第八章習(xí)題答案

1、1. 1 ),(),(),( 1|,max| 1 ), 0(), 0(), 0(| )0 ,()0 ,()0 ,( 1 1 1 1:)0 ,()0 ,()0 ,( 1|,max| 1 1 ),()0 ,(),( .3211221344242424141412121111114211212221112114321 TxxxxxxTrTTxTxTxrTxTxTrxTTTTxTxTxrTTTTxxxxxxxxTTTTT得得此此外外由由故故：得得：再再由由；得得：由由；所所以以，類類似似地地，得得由由，類類似似地地有有：且且是是有有界界的的，可可知知由由顯顯然然是是線線性性算算子子、由由定定義義，.)

2、,(),(: ),()(:), 0(),(: )0 ,(),(: . 1212141221322121211224321并并說說明明它它們們的的幾幾何何意意義義子子，求求出出它它們們的的范范數(shù)數(shù)，試試證證它它們們是是有有界界線線性性算算；，；分分別別由由下下式式定定義義：、設(shè)設(shè)xrxxxTxxxxTxxxTxxxTRRTTTT2.QPOPPQPPQ IIII21432211rxxPTTxTxT ，使使上上一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)映映射射，把把于于軸軸行行線線交交軸軸的的平平，作作與與平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)表表示示這這樣樣一一個(gè)個(gè)變變換換：過過；象象限限對對角角線線得得對對稱稱映映射射，表表示示關(guān)關(guān)于于軸

3、軸上上的的投投影影；表表示示在在軸軸上上的的投投影影；表表示示在在. 1.0|:. 2的的閉閉子子空空間間是是的的零零子子空空間間有有界界，則則若若是是線線性性算算子子，是是賦賦范范線線性性空空間間，、設(shè)設(shè)XTxXxNTTYXTYX .*0lim* *的的閉閉子子空空間間是是故故的的線線性性子子空空間間，顯顯然然是是是是閉閉集集，即即所所以以有有界界得得：，由由，設(shè)設(shè)XNXNNNxTxTxTxxNxnnnn 3., . 3必是有界的必是有界的：則線性算子則線性算子間間是有限維的賦范線性空是有限維的賦范線性空若若XXTX.)( maxmax| )1( | 0,11111111是有界的是有界的所以

4、所以則則都有：都有：使對任意使對任意，的一個(gè)基，取的一個(gè)基，取是是，維的，維的，是是設(shè)設(shè)TXxxTlMTlTlTlTxxMlxMXllnXiniininiiniiiniiiniiniiin 4.1 , 0)( )( )()( 1 , 0)( | )(|max)( )( )(1 , 01 , 0D . 411011證證之之是是有有界界線線性性算算子子嗎嗎？試試所所定定義義的的范范數(shù)數(shù)下下，在在，：設(shè)設(shè)DCtxtxtxtxCtxtxtxtxtDxCCCCCtC . 1)()( )()( )(1 , 0)(11 DDtxtxtxtxtDxCtxDCCCCC有界，且有界，且故故是有界線性算子，因?yàn)槭怯?/p>

5、界線性算子，因?yàn)?. |sup)( )( |sup. 51111nniiinnTTlxTxyl 是是有有界界線線性性算算子子，且且證證明明中中定定義義線線性性算算子子，在在設(shè)設(shè). |sup 0 |1 ) 10( )(|000 )()( |sup100111100000nniiiiiiiiiiiiiiinnTTTTxTTxxiiiixTTxTxlx ，從從而而是是任任意意的的，故故因因?yàn)闉?，故故且且，則則，取取，滿滿足足，必必有有某某對對任任意意給給定定的的時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，顯顯然然有有，當(dāng)當(dāng)所所以以則則，記記6. 0|inf . 61 nnT 條條件件是是存存在在有有界界逆逆的的充充分分必必要要

6、證證明明上上題題中中的的 .)( 11|1|sup00|inf 1),0 ,0( 01 )(|inf111111111111111111STISTTSSlxSxTTTlTlTlTlTlTlTllilxTxTlxTTiiinnnniiiiiiiiiiiiiiiiinn有有有有界界逆逆，故故是是有有界界線線性性算算子子，顯顯然然則則令令，則則反反之之，設(shè)設(shè)，所所以以故故，但但，故故則則中中的的元元，的的，其其余余坐坐標(biāo)標(biāo)為為個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)為為表表第第特特別別設(shè)設(shè)，則則有有有有界界逆逆，若若設(shè)設(shè) 7.), 2 , 1( )(,)( | )( 1111 . 71/11的的有有界界線線性性算算子子到到是是

7、試試證證：，如如下下：作作算算子子適適合合條條件件無無窮窮陣陣，設(shè)設(shè)ppjjkjkkpiqpkjqkjijllTkylxTxyTqpp .| 1)()1( | )(/1/1111/1111是有界線性算子是有界線性算子故故）可知：）可知：且由（且由（顯然是線性的，顯然是線性的，的算子，的算子，到到是是，即，即故故時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)TxTxTllTlyTxlxpqpkjqkjpppkkjjqpjqkjkpjjkjkpkpi 8.)()(Banach . 8中中開開集集中中可可逆逆算算子子的的全全體體是是，試試證證是是設(shè)設(shè)EEE . )()( 1)( )()()()(111111111是是開開集集是是任任

8、意意的的，所所以以的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，因因是是，故故就就有有時(shí)時(shí)，有有有有界界逆逆，這這說說明明，當(dāng)當(dāng)也也有有有有界界逆逆，即即有有有有界界逆逆，從從而而有有有有界界逆逆，又又故故時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，則則，設(shè)設(shè)中中可可逆逆算算子子的的全全體體為為設(shè)設(shè)GGAGAGBABABBAAIABAAIBAABAAABABAAIABAABEBGAGE 9.)()( . 9111 BABABAABEAEBA，若若，證明：，證明：，、設(shè)設(shè)BABAAABABAABBAAABABAAB1111111 ，由此又得：，由此又得：，即，即，所以，所以因?yàn)橐驗(yàn)?0. .101完完備備的的條條件件不不能能去去掉掉間間舉舉例例說說明明共共鳴

9、鳴定定理理中中空空E. 0)(00)()( )( )(0)()(0)( | )(1101010101011010能能成成立立不不完完備備時(shí)時(shí)，共共鳴鳴定定理理不不這這說說明明當(dāng)當(dāng)不不是是有有界界的的，故故，但但顯顯然然有有），從從而而充充分分大大時(shí)時(shí)，故故當(dāng)當(dāng)有有限限個(gè)個(gè)只只有有定定的的是是有有界界數(shù)數(shù)列列（因因?yàn)闉閷坦蹋瑒t則：上上的的線線性性泛泛函函序序列列考考慮慮是是賦賦范范線線性性空空間間，有有定定義義，雖雖然然故故，時(shí)時(shí)，只只有有有有限限個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)，因因?yàn)闉橹兄卸ǘx義范范數(shù)數(shù)，在在中中只只有有有有限限個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)考考慮慮Efnfnxfnxxflxnxflxfllxlxxlxln

10、nnnniinnniniiiiii 11.)(0)(lim)( iv)()()( iii)()(0 ii)0)( i)(Banach .11xMxpExMxpxpxxypxpyxpxpxpxpExpEnnn ，都都有有，使使對對一一切切證證明明：必必存存在在時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)；時(shí)時(shí)，；上上泛泛函函，滿滿足足是是空空間間，是是設(shè)設(shè) ).( )( 1 )( )(2)(2)()2(2)2(2)2(2)()2(21)(, 0 ).( )(0)( ),(000000000ExMxpxExMxpxpKrMxpKrxpxrxprxxrxprxrprxpKxrxpBxrxxExKxpBxKExxMxpMBxprxB

11、，從從而而有有即即得得，令令，由由此此可可知知從從而而，時(shí)時(shí)，于于是是，當(dāng)當(dāng)皆皆有有使使事事實(shí)實(shí)上上，設(shè)設(shè)有有，使使必必有有上上有有界界，則則在在，使使球球首首先先證證明明：如如果果存存在在一一12.)()(*)( B210 ),(B),(22)(),(0iv)2)()21,(),(21)(),(0iv)1)()21,(),( .)(11112221222221120111011111001000 xMxpMnxpBxEnxpBxBrrrxBBBrxBBrrxprxBxrxprxBxBrxBBrrxprxBxrxprxBxrxBBxpMnnnnnnnnnnn ，使使因因此此必必有有，這這是是不

12、不可可能能的的，從從而而完完備備，故故有有現(xiàn)現(xiàn)在在因因，有有，且且，：滿滿足足一一列列球球，依依此此方方法法，必必可可作作出出，則則，可可取取有有時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng)知知有有，再再由由使使類類似似地地，必必有有，則則，取取時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng)必必有有，由由條條件件使使，則則必必存存在在任任取取一一球球都都無無界界在在任任意意開開球球（閉閉球球）上上不不存存在在，則則滿滿足足條條件件的的由由前前面面證證明明可可知知，如如果果.1113).1( )()1( )()( .121 qqplqlpiiiiqii 收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，一一切切為為一一數(shù)數(shù)列列，證證明明：若若對對設(shè)設(shè)，其其中中所所以以再再由由上上的

13、的有有界界線線性性泛泛函函，且且是是可可知知，由由：上上的的線線性性泛泛函函考考慮慮), 0 ,|,|()2( | |) (| )(| )1( | | )(|)( )( 1111/11/11)1(11111/11/111/11/111 pnnpnpnipiqnipqinnnniipiiniipinipipnipinpnpnipiniqniqipnipiiinqiniiinnpsignsignxffxfxfsignflfxxflxxffl 14.12.)(| ,2 , 1 | 3,2 , 1 0| )(| )(|)()()()3( |211/11111/11qipipipnipinniiinqi

14、niiiniiiiqiiiiiqipnipinlKnKnKfKfxflxlsignlf ，故，故上式表明上式表明）可知）可知由（由（，使，使有界，即存在有界，即存在由共鳴定理由共鳴定理，收斂，顯然收斂，顯然收斂，即收斂，即，從而，從而，則，則時(shí)，令時(shí)，令最后，因?yàn)楫?dāng)最后，因?yàn)楫?dāng)）可知）可知），（），（結(jié)合（結(jié)合（15)( 0)( 0Banach .1312221121ExxMxMExxMxME ，使得，使得則必存在則必存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)空間，空間，下均為下均為與與為線性空間，它在范數(shù)為線性空間，它在范數(shù)設(shè)設(shè)ExxIxXxxIxIYXIXYIYxxMIxxMxXYxIxIE

15、EYEX : :),(),(11211211212121即即其逆映射也是有界的，其逆映射也是有界的，算子定理，算子定理，的有界線性算子，由逆的有界線性算子，由逆到到是是記記可以寫成可以寫成的映射，那么，的映射，那么，看成，看成上的恒同映射上的恒同映射，把，把，記記16., 2 , 1 |Banach .140中中稠稠密密在在試試證證必必有有的的線線性性算算子子，令令賦賦范范線線性性空空間間空空間間是是由由設(shè)設(shè)EMnxnTxExMFETnn .)()( )(24()(24(2)(24()(2)( 22),(0.),(),(Banach0021110111112110112111211121112

16、111112111111111111中中稠稠密密在在無無關(guān)關(guān)，故故與與，因因，且且，故故是是線線性性算算子子，由由現(xiàn)現(xiàn)在在因因，且且，即即知知取取，則則，設(shè)設(shè)可可設(shè)設(shè)，不不失失一一般般性性，使使，故故有有則則，令令，設(shè)設(shè)存存在在，使使故故有有球球不不是是稀稀疏疏集集，使使空空間間，故故必必有有是是，因因?yàn)闉轱@顯然然EMxnxxzrxMxzrxMxMxxnxTxnTxTxxrxxzMxzxnnrnnxzxnnrnrxnnrnxnnrnxnxnxznxnznTxTzxzTMxrxzrxxzMzrxBxxxxrxxExMrxBrxBMnEMEnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnin 17.)(

17、)( .150002010yTxTDxEyTxExxTDDxTnnn 且且時(shí)時(shí)，件件是是：當(dāng)當(dāng)是是閉閉算算子子的的充充分分必必要要條條證證明明.),(),(),(.),(),(),(| ),(00000000000000000000021閉閉算算子子即即是是閉閉的的，即即故故且且故故，時(shí)時(shí)，必必有有且且當(dāng)當(dāng)且且，反反之之，設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)且且從從而而，則則子子空空間間，由由此此可可知知，若若的的閉閉線線性性是是是是閉閉算算子子，則則設(shè)設(shè)TGGyxyTxDxyTxxxyxTyxyTxDxyTxxxTxyDxGyxyxTxxEEDxTxxGTnnnnnnnn 18. .16算算子子定定理理試試用用閉閉圖圖

18、像像定定理理證證明明逆逆.:| ),( | ),(| ),(.11Banach:1121211212112121是是連連續(xù)續(xù)的的定定理理是是閉閉算算子子，根根據(jù)據(jù)閉閉算算子子所所以以閉閉線線性性子子空空間間，但但是是從從而而的的閉閉子子空空間間，是是連連續(xù)續(xù)，故故其其圖圖像像因因?yàn)闉檫B連續(xù)續(xù)滿滿映映射射，是是空空間間，是是、，設(shè)設(shè) TEETEyyTyGEEExxTxGEEExTxxGTTTEEEET19.1 , 01 , 0 .17必必是是有有限限維維的的中中是是閉閉的的，則則在在如如果果線線性性空空間間，上上連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)組組成成的的是是由由一一些些設(shè)設(shè)MCMM.)1(1 | )( |max 013 .Banach1 , 01 , 000)( 1 , 0.1 , 01 , 0Banach1 , 0Banach1 , 0Banach1 , 0101111111111是有限維的是有限維的是列緊的，由此可知是列緊的，由此可知從而從而必等度連續(xù)，必等度連續(xù)，一致有