工科化學(xué)復(fù)件回歸隨堂講義

1、第二章第二章 分析化學(xué)中的誤差和數(shù)據(jù)處理分析化學(xué)中的誤差和數(shù)據(jù)處理 2 21 1 誤差的分類及表示方法誤差的分類及表示方法誤差的分類誤差的分類系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 Systematic Error （可測誤差）（可測誤差） 特點：特點： 重復(fù)性重復(fù)性 單向性單向性 可測性可測性隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 Random Error （偶然誤差）（偶然誤差）特點：特點：（后續(xù)）（后續(xù)）過失誤差過失誤差 a. 方法誤差方法誤差 b. 儀器誤差儀器誤差 試劑誤差試劑誤差 c. 主觀誤差主觀誤差 d. 操作誤差操作誤差一一. . 誤差的分類誤差的分類 誤差的表征誤差的表征準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度分析結(jié)果與分析結(jié)果與真實值之間真實

2、值之間的接近程度的接近程度精密度（重復(fù)性，再現(xiàn)性）精密度（重復(fù)性，再現(xiàn)性）各次分析結(jié)果各次分析結(jié)果相互接近的程度相互接近的程度二二. 誤差的表征誤差的表征真值（真值（XT）：理論真值；計量學(xué)約定真值；相對真值）：理論真值；計量學(xué)約定真值；相對真值準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系：準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系：甲、乙、丙、甲、乙、丙、丁丁4人分析鐵人分析鐵礦石結(jié)果：礦石結(jié)果：準(zhǔn)確度高一定需準(zhǔn)確度高一定需要精密度高，但要精密度高，但精密度高不一定精密度高不一定準(zhǔn)確度高準(zhǔn)確度高精密度精密度 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系三三. 誤差的表示：誤差與偏差誤差的表示：誤差與偏差 1.1.誤差誤差- -

3、衡量準(zhǔn)確度高低的尺度衡量準(zhǔn)確度高低的尺度 誤差的定義：表示測定結(jié)果與真實值間的差異誤差的定義：表示測定結(jié)果與真實值間的差異 表示形式表示形式(E)(E)： 絕對誤差絕對誤差E Ea a；相對誤差；相對誤差E Er r 絕對誤差絕對誤差 E Ea a=x=xi i-x-xT T 相對誤差相對誤差%100-=%100=TTiTarxxxxEE有有“+” “-”2. 2. 偏差偏差- - 衡量精密度高低的尺度衡量精密度高低的尺度偏差偏差的定義：的定義： 測定值與平均值之間的差值測定值與平均值之間的差值 表示形式表示形式(d)(d)： 絕對偏差；相對誤差絕對偏差；相對誤差單次測量值的：單次測量值的：

4、絕對偏差絕對偏差 d di i = x = xi i- - %100-=%100 xxxxd=diirx單次測單次測量值有量值有“+ +”“- -”相對偏差相對偏差 四四. 數(shù)據(jù)的集中趨勢和分散程度數(shù)據(jù)的集中趨勢和分散程度 1. 數(shù)據(jù)集中趨勢的表示數(shù)據(jù)集中趨勢的表示 平均值平均值 X 中位數(shù)中位數(shù) xM1=1=niixnx2. 數(shù)據(jù)分散程度的表示（即數(shù)據(jù)的精密度）數(shù)據(jù)分散程度的表示（即數(shù)據(jù)的精密度） 平均偏差平均偏差 d1=0=niid1=niindd平均偏差平均偏差相對平均偏差相對平均偏差%100=rxdd無無“+ +”, ,“- -” 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 統(tǒng)計上的幾個術(shù)語：統(tǒng)計上的幾個術(shù)語：

5、 x=lim=1limxxnnn樣本容量樣本容量nxi-=nn樣本平均值樣本平均值=1limxnn總體總體平均偏差平均偏差 不存在系統(tǒng)不存在系統(tǒng)誤差時，總誤差時，總體平均值體平均值 就是真值就是真值xT總體總體 ; 樣本樣本總體平均值總體平均值 標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)學(xué)表達(dá)式總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差nxi2)-(=n樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差1-)-(=2nxxsi有限次測量有限次測量n-1n-1稱為自由度稱為自由度f fnxnxxiin22)-(=1-)-(lims 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 RSD (sr)（又稱變異系數(shù)）為：（又稱變異系數(shù)）為：%100 xs=sr兩組數(shù)據(jù)兩組數(shù)據(jù)

6、平均偏差平均偏差均為均為0.24例例1+0.3,-0.2,+0.3,-0.2,-0.4-0.4,+0.2,+0.1, ,+0.2,+0.1, +0.4+0.4, 0.0,-0.3,+0.2,-0.3 , 0.0,-0.3,+0.2,-0.3 S S1 1 =0.28 =0.280.0,+0.1, 0.0,+0.1, -0.7-0.7,+0.2,-0.1,-0.2, ,+0.2,-0.1,-0.2, +0.5+0.5,-0.2,+0.3,+0.1,-0.2,+0.3,+0.1S S2 2=0.33=0.33 與與 的的關(guān)系關(guān)系統(tǒng)計學(xué)證明：統(tǒng)計學(xué)證明： =0.79790.80 n 極差極差R（全距

7、）（全距） 平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差R=xmax- xminnx=nnssx=有限有限次次 平均值的平均偏差平均值的平均偏差nx=nddx=n有限有限次次 定義定義 實際能測到的數(shù)字。反映了測量的精確程度，實際能測到的數(shù)字。反映了測量的精確程度，有效數(shù)字只有最后一位是可疑的。有效數(shù)字只有最后一位是可疑的。2 22 2 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則一一. . 有效數(shù)字有效數(shù)字例例2 2 E Ea a E Er r 分析天平分析天平 0.5000g 0.5000g 0.0001g 0.0001g 臺秤臺秤 0.5g 0.5g 0.1g0.1g%02. 0=%1005000. 0

8、0001. 0%20=%1005 . 01 . 0 幾種特殊情況幾種特殊情況 純數(shù)字：純數(shù)字： 非測量所得數(shù)字，不是有效數(shù)字。非測量所得數(shù)字，不是有效數(shù)字。如：如： 比例關(guān)系；倍數(shù)關(guān)系等比例關(guān)系；倍數(shù)關(guān)系等 6；1/2；2倍倍 “0”的意義：有時為有效數(shù)字，有時僅作定位的意義：有時為有效數(shù)字，有時僅作定位 用，不屬有效數(shù)字用，不屬有效數(shù)字.如：如： 30.20mL, 0.03020L; 25.0g ,25000mg, 2.50104mg pH, pM, lgK :有效數(shù)字位數(shù)取決于小數(shù)點后有效數(shù)字位數(shù)取決于小數(shù)點后 數(shù)字的位數(shù)數(shù)字的位數(shù)如：如：pH=11.02 H=9.6 10-12mol/L

9、二二. .有效數(shù)字的修約規(guī)則有效數(shù)字的修約規(guī)則四舍六入五成雙；四舍六入五成雙；不能分次修約，只能一次修約不能分次修約，只能一次修約 6 6 4 4舍舍進(jìn)進(jìn)尾數(shù)為尾數(shù)為5 5“5 5”后只有后只有“0 0”，則前，則前“奇奇”進(jìn)，進(jìn)， “偶偶”舍，舍，“0 0”舍舍“5 5”后還有不為零的數(shù)，后還有不為零的數(shù)， 奇偶皆進(jìn)奇偶皆進(jìn)例例3：250.65025.30507.866501250.625.307.867三三. . 有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則 1. 加減法加減法 運(yùn)算式中各數(shù)值的絕對誤差傳遞到結(jié)果中去運(yùn)算式中各數(shù)值的絕對誤差傳遞到結(jié)果中去例例4 10.1+ 9.45 +0.5812

10、=?10.19.450.5812修約后修約后10.1+ 9.4 +0.6 =0.10.010.000120.12. 乘除法乘除法 運(yùn)算式中各數(shù)值的相對誤差傳遞到結(jié)果中去運(yùn)算式中各數(shù)值的相對誤差傳遞到結(jié)果中去例例5 0.0141 23.76 3.08421=?0.014123.763.08421%7 .0=%10014110.0003%=100%3084211%04.0=%10023761修約后修約后0.0141 23.8 3.08 = 1.03 運(yùn)算中遇到大于運(yùn)算中遇到大于9的數(shù)字時，有效數(shù)字可多保留一位的數(shù)字時，有效數(shù)字可多保留一位如：如：0.1000 9.76 374.26= 365.32

11、 23 3 誤差的傳遞誤差的傳遞一一. 系統(tǒng)誤差的傳遞系統(tǒng)誤差的傳遞1. 1. 加減法加減法設(shè)：設(shè)：R = A + B - CR = A + B - C)1(R+E(R+ER R), (A+E), (A+EA A), (B+E), (B+EB B), (C+E), (C+EC C) )(R+E(R+ER R)=(A+E)=(A+EA A)+(B+E)+(B+EB B)-(C+E)-(C+EC C) )2(2)-(1)(2)-(1)得：得：E ER R = E= EA A + E+ EB B- E- EC C)3(R = A + mB - CR = A + mB - C若為若為E ER R =

12、E= EA A + mE+ mEB B- E- EC C則同樣有則同樣有)4(加減法中，以各項絕對誤差的代數(shù)和傳遞加減法中，以各項絕對誤差的代數(shù)和傳遞到分析結(jié)果中去，形成結(jié)果的絕對誤差到分析結(jié)果中去，形成結(jié)果的絕對誤差2. 2. 乘除法乘除法 設(shè)：設(shè)：CABR=)1(1)(1)式取自然對數(shù)：式取自然對數(shù)：lnR = lnA + lnB - lnC(2)(2)式微分：式微分：CdCBdB+AdA=dCClnRdB+BlnRdA+AlnR=RdR)2()3(即即CE-BE+AE=RECBAR)4(若為若為CABm=R則同樣有則同樣有CEBE+AE=RECBAR)5(乘除法中，以各項相對誤差的代數(shù)和

13、傳遞到乘除法中，以各項相對誤差的代數(shù)和傳遞到分析結(jié)果中去，乘法相加，除法相減，形成分析結(jié)果中去，乘法相加，除法相減，形成結(jié)果的相對誤差結(jié)果的相對誤差3. 3. 指數(shù)關(guān)系指數(shù)關(guān)系4.4.對數(shù)關(guān)系對數(shù)關(guān)系設(shè)：設(shè)：nmAR =)1(1)(1)式取自然對數(shù)：式取自然對數(shù)：lnR = nlnA + lnm )2(2)(2)式微分：式微分：AdAnRdR=AEnREAR=)3(mlgA=R設(shè)：設(shè)：)1(1)(1)式換成自然對數(shù)：式換成自然對數(shù)：AmRln434. 0=)2(2)(2)式微分：式微分：)3(AdAmdR4340.=AEmA4340.=ER1.1.加減法加減法二二. .隨機(jī)誤差的傳遞隨機(jī)誤差的

14、傳遞 設(shè)：設(shè)：R= f (A,B,)經(jīng)統(tǒng)計處理證明經(jīng)統(tǒng)計處理證明+S)BR(+S)AR(=S2B22A22R)1(R = A + B - CR = A + B - C設(shè)：設(shè)：)2(據(jù)據(jù)(1)(1)式得式得2C2B2A2RS+S+S=S)3(R = aA + bB R = aA + bB cC + cC + 若為若為則則+Sc+Sb+Sa=S2C22B22A22R)4()5(2.2.乘除法乘除法CABR=設(shè)：設(shè)：)1(據(jù)據(jù)(1)(1)式得式得2C222B22A22RS)CAB(+S)CA(+S)CB(=S-)2(將將(2)(2)式除以式除以2222=CBAR22C22B22A22RCS+BS+A

15、S=RS得：得：)3(對于對于CABmR=同樣有同樣有22C22B22A22RCS+BS+AS=RS3.3.指數(shù)關(guān)系指數(shù)關(guān)系4.4.對數(shù)關(guān)系對數(shù)關(guān)系nmAR =22222=ASnRSARASnRSAR=或或AmRlg=2222)434.0(=ASmSARASmSA4340.=R或或設(shè)：設(shè)：設(shè)：設(shè)：三三. 極值誤差極值誤差R = A + B - CR = A + B - C設(shè)：設(shè)：極值誤差為極值誤差為CBARE+E+E=ECABR =設(shè)：設(shè)：極值誤差為極值誤差為CE+BE+AE=RECBAR2 24 4 隨機(jī)誤差的分布隨機(jī)誤差的分布一一. .頻數(shù)分布頻數(shù)分布頻數(shù)：頻數(shù)：指每組內(nèi)指每組內(nèi)測量值出現(xiàn)

16、的次數(shù)測量值出現(xiàn)的次數(shù)相對頻數(shù)：相對頻數(shù)：指指頻數(shù)在測量總數(shù)頻數(shù)在測量總數(shù)中占的比率中占的比率 1. 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式高斯方程高斯方程二二. . 正態(tài)分布正態(tài)分布222/)-(xe21=f(x)=y 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差y y 概率密度概率密度 總體平均值總體平均值當(dāng)當(dāng)x-x- =0=0，21=maxy記作：記作：N(N( , , 2 2) ) 或或 N N ( ( , , ) ) 2. 2. 隨機(jī)誤差出現(xiàn)的規(guī)律隨機(jī)誤差出現(xiàn)的規(guī)律 單峰性單峰性 對稱性對稱性3. 3. 與與 對正態(tài)分布的影響對正態(tài)分布的影響1221=21間有顯著性差異與x則與)x(例8：某化

17、驗室測定樣品中CaO含量得如下結(jié)果：樣品中樣品中CaOCaO含量的標(biāo)準(zhǔn)值是含量的標(biāo)準(zhǔn)值是30.43%30.43%。問此操作是否有系統(tǒng)。問此操作是否有系統(tǒng)誤差（誤差（P=95%P=95%）？）？30.51%=xs=0.05, n=6,s=0.05, n=6,3.92=60.0530.43-30.51=ns-x=t計解：解：查查 表表7-3，f=5, P=95%, t表表=2.57，t計計t表表 說明此操作存在系統(tǒng)誤差（說明此操作存在系統(tǒng)誤差（ P=95%P=95%）。）。n-x=-x=ux計 當(dāng)無限次測量時則為當(dāng)無限次測量時則為u u檢驗：檢驗： 與該置信度與該置信度P下的下的u u表表值比較值

18、比較二二. . 兩組數(shù)據(jù)平均值的比較兩組數(shù)據(jù)平均值的比較 F F檢驗檢驗( (檢驗檢驗s s1 1與與s s2 2 間是否有顯著性差異）間是否有顯著性差異） ,2x,1xs s1 1, n, n1 1s s2 2, n, n2 2 t t檢驗檢驗( (檢驗檢驗 與與 間是否有顯著性差異）間是否有顯著性差異） 1x2x1. F1. F檢驗法檢驗法22=小大計ssFs s大大ss小小，所以，所以F F計計始終始終11 再再據(jù)自由度據(jù)自由度f f大大，f f小小及所要求的置信度及所要求的置信度P P（一般（一般95%95%）查）查F F表表值值 比較比較 若若表計FF間沒有顯著性差異與則21ss 注

19、意在進(jìn)行注意在進(jìn)行F F檢驗時，有單、雙邊檢驗之分。檢驗時，有單、雙邊檢驗之分。例9. 在吸光光度分析中，用一臺舊儀器測定溶液的吸光度6次，得標(biāo)準(zhǔn)偏差s1=0.055；再用一臺性能稍好的新儀器測定4次，得標(biāo)準(zhǔn)偏差s2=0.022。試問新儀器的精密度是否顯著優(yōu)于舊儀器的精密度？解：解： 本題屬于本題屬于單邊檢驗單邊檢驗問題問題6.25=0.0220.055=ss=F222小2大計查表，查表，f f大大=5=5，f f小小=3=3，F(xiàn) F表表=9.01=9.01說明說明s1 與與s2間不存在顯著性差異，即不能得到新儀器的精密間不存在顯著性差異，即不能得到新儀器的精密度明顯優(yōu)于舊儀器的精密度的結(jié)論，

20、作出此判斷的度明顯優(yōu)于舊儀器的精密度的結(jié)論，作出此判斷的置信度為置信度為95%95%。表計FF =0.05例例10.甲、乙兩個實驗室對同一材料各分析甲、乙兩個實驗室對同一材料各分析5次，測得結(jié)果如次，測得結(jié)果如下：下：甲：甲：乙：乙：0.028=s0.112,=d5，=n30.80%,=x2乙2乙乙乙0.168=s0.672,=d5，=n30.00%,=x2甲2甲甲甲問在問在95%置信度下，這兩組平均值是否相符？置信度下，這兩組平均值是否相符？解：解： 首先應(yīng)對數(shù)據(jù)精密度進(jìn)行顯著性檢驗。首先應(yīng)對數(shù)據(jù)精密度進(jìn)行顯著性檢驗。 =0.05 =0.05所以甲、乙兩個實驗室所測得的數(shù)據(jù)精密度間無顯著性差

21、所以甲、乙兩個實驗室所測得的數(shù)據(jù)精密度間無顯著性差異，作出異，作出此判斷的置信度為此判斷的置信度為90%90%。（1） F F檢驗：檢驗：本題屬于本題屬于雙邊檢驗雙邊檢驗問題問題6.0=0.0280.168=ss=F2乙2甲計查表，查表，f f大大=f=f小小=4=4，F(xiàn) F表表=6.39=6.39表計FF則兩組結(jié)果間存在顯著性差異則兩組結(jié)果間存在顯著性差異例例10.解：解： 經(jīng)對兩組數(shù)據(jù)精密度進(jìn)行顯著性檢驗無顯著性差異。經(jīng)對兩組數(shù)據(jù)精密度進(jìn)行顯著性檢驗無顯著性差異。（2） 則則 對兩組數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對兩組數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行t t檢驗檢驗0.313=25+50.112+0.672=2n+nd+d=s2

22、12221合并4.04=5+5550.31330.8030.00=+nnnnsxx=t2121合并21計-查表查表 當(dāng)當(dāng)P=95%, f=5+5-2=8, P=95%, f=5+5-2=8, t t計計tt表表所以兩平均值間有顯著性差異，兩組數(shù)據(jù)結(jié)果不相符所以兩平均值間有顯著性差異，兩組數(shù)據(jù)結(jié)果不相符（P=95%)。t t0.05,80.05,8=2.31=2.31法d4一一. .由偶然誤差分布規(guī)律知，由偶然誤差分布規(guī)律知，x-x-3 3 的概率只有的概率只有 P0.3%Px可疑數(shù)據(jù)-可疑值應(yīng)可疑值應(yīng)舍舍否則應(yīng)保否則應(yīng)保留留2 27 7 可疑值的取舍可疑值的取舍二二. . 格魯布斯格魯布斯(G

23、rubbs)(Grubbs)檢驗法檢驗法 將數(shù)據(jù)由小到大排列：將數(shù)據(jù)由小到大排列：nxxxx321, 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量T:T:設(shè)設(shè)x x1 1為可疑值為可疑值: :sx-x=T1計設(shè)設(shè)x xn n為可疑值為可疑值: :sxx=Tn計- 據(jù)測定次數(shù)及置信度要求查據(jù)測定次數(shù)及置信度要求查T T ,n,n值值 比較比較 若若表計TT可疑值應(yīng)可疑值應(yīng)舍舍否則應(yīng)保否則應(yīng)保留留三三. Q. Q檢驗法檢驗法 將數(shù)據(jù)由小到大排列：將數(shù)據(jù)由小到大排列：nxxxx321, 計算舍棄商計算舍棄商Q:Q:設(shè)設(shè)x x1 1為可疑值為可疑值: :設(shè)設(shè)x xn n為可疑值為可疑值: :1n12計xxxx=Q-1n1nn

24、計xxxx=Q- 據(jù)測定次數(shù)及置信度要求查據(jù)測定次數(shù)及置信度要求查Q Q表表值值 比較比較 若若表計QQ可疑值應(yīng)可疑值應(yīng)舍舍否則應(yīng)保否則應(yīng)保留留 2 28 8 提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法一一. 選擇適當(dāng)?shù)姆治龇椒ㄟx擇適當(dāng)?shù)姆治龇椒ǘ? 消除測定過程中的系統(tǒng)誤差消除測定過程中的系統(tǒng)誤差1. 系統(tǒng)誤差的檢查和檢驗系統(tǒng)誤差的檢查和檢驗對照試對照試驗驗（1）選用組成與試樣相近的標(biāo)準(zhǔn)試樣作測定）選用組成與試樣相近的標(biāo)準(zhǔn)試樣作測定（2）采用標(biāo)準(zhǔn)方法與所選方法同時測定）采用標(biāo)準(zhǔn)方法與所選方法同時測定（3）采用加入回收法作對照試驗）采用加入回收法作對照試驗100%加入量樣品含量測得總量

25、=回收率- 引用其它方法進(jìn)行校正引用其它方法進(jìn)行校正 2. 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除 作空白試驗作空白試驗 校準(zhǔn)儀器校準(zhǔn)儀器三三. . 根據(jù)準(zhǔn)確度要求控制測量誤差根據(jù)準(zhǔn)確度要求控制測量誤差g0.2=0.1%0.0002=wmL20=0.1%0.02=v四四. . 增加平行測定次數(shù)減小偶然誤差增加平行測定次數(shù)減小偶然誤差 在分析化學(xué)中所使用的工作曲線，通常都是直線。一般是把實驗點描在坐標(biāo)紙上，橫坐標(biāo)X表示被測物質(zhì)的濃度，叫自變量。大都是把可以精確測量或嚴(yán)格控制的變量（如標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度）作為自變量；縱坐標(biāo)y表示某種特征性質(zhì)（如吸光度、波高等）的量，稱因變量，一般設(shè)因變量是一組相互獨(dú)立、其誤差服

26、從同一正態(tài)分布N（，2）的隨機(jī)變量。然后根據(jù)坐標(biāo)紙上的這些散點（實驗點）的走向，用直尺描出一條直線。這就是分析工作者習(xí)慣的制作工作曲線的方法。2 29 9 回歸分析法回歸分析法 若吸光度-濃度的直線能通過所有實驗點，在統(tǒng)計上就說溶液的吸光度和濃度有最密切的線性關(guān)系。吸光度完全依賴于濃度的改變而變，完全遵循比爾定律。實驗條件中的各種偶然因素對它無任何影響（亦即沒有實驗誤差）。我們稱這種關(guān)系為確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系。這時做工作曲線圖的任務(wù)比較簡單，借助于一支直尺和一支鉛筆，就能完成。但是由于實驗中不可避免的有誤差存在，實驗點全部密集在回歸線上的情況通常是極少見的，尤其當(dāng)誤差較大時，實驗點比較分散，并

27、不在一條線上，這時作圖就有困難了。因為憑直覺很難判斷怎樣才能使所聯(lián)的線對干所有實驗點來說是誤差最小的，亦即難于確定到底哪條線才是最好的回歸線。 例如，用火焰原子吸收法測定鎂，得到下表數(shù)據(jù)Mg(ppm) 0.0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 A 0.00 0.202 0.410 0.553 0.641 0.736一最小二乘法原理最小二乘法原理 若用（i，yi ）表示n個數(shù)據(jù)點（i=1，2，3，.,n）,而任意一條直線方程可寫成: 在上式中,采用y*符號,表示這是一條任意的直線,如果用這條直線來代表x和y的關(guān)系,即對每個已知的數(shù)據(jù)點(xi,yi)來說,其誤差為 bx+a=y*i

28、i*ibx-ay=yy 令各數(shù)據(jù)點誤差的平方的加和(差方和)為Q,則Q是總的誤差：2n1=i*i)y(y=Q2in1=ii)bxa(y= 回歸直線就是在所有直線中,差方和Q最小的一條直線.換句話說,回歸直線的系數(shù)b及常數(shù)項a,應(yīng)使Q達(dá)到極小值.根據(jù)微積分求值的原理,要使Q達(dá)到極小值,只需將上式分別對a,b求偏微商,令它們等于0.于是a,b滿足：a)bxa(y)bxa(y2=aQiin1=iiin1=iiiiib)abx(y)abx(y2=bQ0=x)bxa(y2=in1=iiin1=in1=in1=iiiii0=xbnay=)bxa(yn1=in1=iiixby=naxby=axn1byn1=an1=in1=iii0=xbxayx=)xbxa(yn1=in1=in1=iiiiin1=iiii20=xbx)nxbny(yxn1=i2in1=iiin1=iiii 2)(1)(12=iiiiiixnxbyxnyx2iiixnxyxnyx=b2)x+x2x(x=)x(x=l2i2i2ixx()2i2iixnx=xn1x=222iyy)y(y=l22i2i2iyny=)y(n1y=)y)(