圓錐曲線經(jīng)典例題與總結(jié)全面實用你值得擁有資料全

1、 圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號”的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC

2、0，且A，B，C同號，AB）。（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,

3、0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。5、點和橢圓（）的關(guān)系：

4、（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時

5、的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共

6、點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線。 如 （1）短軸長為，8、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。9、 弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則

7、，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。拋物線：在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！11了解下列結(jié)論（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，

8、焦準距（焦點到相應(yīng)準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量容：（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給

9、出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的心；（15）在中，給出等于已知是的心（三角形切圓的圓心，三角形的心是三角形三條角平分線的交點）； （16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;（3）已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點的兩點，點C坐標為（0，2p）（1）求證：

10、A,B,C三點共線； （2）若（）且試求點M的軌跡方程。（1）證明：設(shè)，由得，又，即A,B,C三點共線。（2） 由（1）知直線AB過定點C，又由與（）知OMAB，垂足為M，所以點M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標為。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線

11、時，距離和最小。（2） B在拋物線，如圖，作QRl交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2，）（2）（）1、已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1與雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值圍。解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得即.由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得解此不等式得由、得故k的取值圍為在平面直角坐標系xOy中，已知

12、點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足MB/OA， MAAB = MBBA，M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。()設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+） =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2. ()設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。則O點到的距離.又，所以當=0時取等號，所以O(shè)點到距離的最小值為2.設(shè)

13、雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )設(shè)雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為( ).過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·( )0已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則( )已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）設(shè)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為_.橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則；的大小為.過拋物線的焦點

14、F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則_解析設(shè)切點，則切線的斜率為.由題意有又解得:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以=,所以,由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是，于是兩焦點坐標分別是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.·解析設(shè)拋物線的準線為直線 恒過定點P .如圖過分 別作于,于, 由,則,點B為AP的中點.連結(jié),則, 點的橫坐標為, 故點的坐標為, 故選D一、橢 圓1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去

15、長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,(,).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、

16、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在橢圓，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓，則過Po的弦中點的軌跡方程是.二、雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的角.2. PT平分PF1F2在點P處的角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線

17、的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：(,當在右支上時，,.當在左支上時，,9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，

18、則MFNF.11. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0），則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0），則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的

19、兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項.6. P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于

20、P，則.10. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11. 設(shè)P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半

21、徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的、外角平分線與長軸交點分別稱為、外點.）17. 橢圓焦三角形中,心將點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3.

22、若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），O為坐標原點，P

23、、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.11. 設(shè)P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12. 設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過

24、雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的、外角平分線與長軸交點分別稱為、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為、外點到雙曲線中心

25、的比例中項.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則 （斜率）且（在軸上截距） （充要條件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。 7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；8、為直徑端點的圓方程切線長：過圓（

26、）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半與圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。攻克圓錐曲線解答題的策略摘要:為幫助高三學生學好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓練、強化訓練。關(guān)鍵詞：知識儲備 方法儲備 思維訓練 強化訓練第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要容傾斜角與斜率點到直線的距離夾角公式：（3）弦長公式直線上兩點間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系

27、=-1 2、圓錐曲線方程與性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標準方程： 距離式方程：(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知是橢圓的兩個焦點，平面一個動點M滿足則動點M的軌跡是（ ）A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：（其中）(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3）(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設(shè)、，為橢圓的弦中點則有，；兩式相減得

28、=2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以與根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元······，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，

29、且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法與重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法與交軌法求出點D的軌跡方程；解：（1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設(shè)直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點（0，設(shè)D（x,

30、y），則，即所以所求點D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當時，求雙曲線離心率的取值圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系，如圖，若設(shè)C，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函數(shù)，整理，此運算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標函數(shù)，整理,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、

31、D關(guān)于軸對稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點坐標公式得， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值圍為分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標表示，回避的計算, 達到設(shè)而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值圍為5、判別式法例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值與此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的

32、一門學科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)化為

33、如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自

34、然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)，則由可得：

35、，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2）代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對

36、題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)

37、系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于

38、的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點評：圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說

39、明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，（）求橢圓的標準方程；（）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是

40、否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，（）由F為的重心（）兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m消元 解題過程：（）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又即 ，故橢圓方程為（）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又得 即 由韋達定理得解得或（舍） 經(jīng)檢驗符合條件點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過、三點（）求橢圓的方程：（）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，當切圓的面積最大時，求心的坐標；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程：（） 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點的縱坐標的絕對值最大最大為橢圓短軸端點面積最大值為（） 得出點坐標為解題過程： （）設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程