理論力學(xué)第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)-2

1、1.3 1.3 平動(dòng)參照系平動(dòng)參照系一、絕對(duì)速度、相對(duì)速度與牽連速度一、絕對(duì)速度、相對(duì)速度與牽連速度 2. 2.不同參照系下研究不同參照系下研究 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的關(guān)系點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的關(guān)系: : P 1. 1.如行駛的船中有小車運(yùn)貨。參照系如行駛的船中有小車運(yùn)貨。參照系 ( (船船) )相對(duì)相對(duì)于參照系于參照系 （地球（地球) )作平動(dòng)作平動(dòng), , 稱為對(duì)稱為對(duì) 的平動(dòng)參的平動(dòng)參照系，照系， 一般稱為靜系，一般稱為靜系， 為動(dòng)系。為動(dòng)系。 SSSSSS為為P P相對(duì)于動(dòng)系相對(duì)于動(dòng)系 的速度，稱為相對(duì)速度。的速度，稱為相對(duì)速度。 SP P點(diǎn)同時(shí)參與兩種運(yùn)動(dòng)：相對(duì)于動(dòng)系點(diǎn)同時(shí)參與兩種運(yùn)動(dòng)：相對(duì)于動(dòng)系 的運(yùn)的運(yùn)動(dòng)

2、；被動(dòng)系動(dòng)；被動(dòng)系 帶著一起以帶著一起以 運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。0SS為為 系相對(duì)于靜系系相對(duì)于靜系 的速度，稱為牽連速度。的速度，稱為牽連速度。 0SS其中其中 為為 相對(duì)于靜系相對(duì)于靜系 的速度，稱為絕對(duì)速度。的速度，稱為絕對(duì)速度。 PS【例例1 1】某人以某人以4km/h4km/h向東前進(jìn)向東前進(jìn), , 感覺(jué)風(fēng)從正感覺(jué)風(fēng)從正北吹來(lái)北吹來(lái), ,以以8 km/h8 km/h向東前進(jìn)向東前進(jìn), , 感覺(jué)風(fēng)從東北吹感覺(jué)風(fēng)從東北吹來(lái)來(lái), , 求風(fēng)速和風(fēng)向。求風(fēng)速和風(fēng)向。 1 1、先確定是相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、先確定是相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題, , 一個(gè)被考察一個(gè)被考察的質(zhì)點(diǎn)和兩個(gè)做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考系。的質(zhì)點(diǎn)和兩個(gè)做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考

3、系。解：解：2 2、確定動(dòng)系和靜系、確定動(dòng)系和靜系靜系：地面靜系：地面 動(dòng)系：人動(dòng)系：人 研究對(duì)象：風(fēng)研究對(duì)象：風(fēng)-人行走速度人行走速度-風(fēng)速風(fēng)速( (相對(duì)于地相對(duì)于地) )-風(fēng)相對(duì)于人的速度風(fēng)相對(duì)于人的速度0由：得：得：解得：22y 因此：4,4xy 風(fēng)速：224 2/xykm h風(fēng)向：西北風(fēng)以矢量方式求解：以矢量方式求解：二、絕對(duì)加速度、相對(duì)加速度與牽連加速度二、絕對(duì)加速度、相對(duì)加速度與牽連加速度 動(dòng)系動(dòng)系S S相對(duì)于靜系相對(duì)于靜系S S做勻加速直線運(yùn)動(dòng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng) 由由得得: :非慣性系動(dòng)力學(xué) - 動(dòng)系相對(duì)與靜系作加速平動(dòng)絕對(duì)加速度、相對(duì)加速度和牽連加速度之間滿足如下關(guān)系對(duì)于質(zhì)點(diǎn)P，

4、在慣性系S 中,amamamF0amamF)(0FFma慣0amF慣慣性力慣性力慣性力參照系本身相對(duì)于慣性參照系作加速運(yùn)動(dòng)所引起的。參照系本身相對(duì)于慣性參照系作加速運(yùn)動(dòng)所引起的。大小：大?。旱扔谫|(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m m和牽連加速度和牽連加速度 的的乘積。乘積。0a方向：方向：和和 的方向相反。的方向相反。0a)am(F0u慣性力是虛假的力，只反映了參考系是非慣性力是虛假的力，只反映了參考系是非慣性系。慣性系。u慣性力不是相互作用的力，不存在施力物慣性力不是相互作用的力，不存在施力物體，不存在反作用力。只有在非慣性系中質(zhì)體，不存在反作用力。只有在非慣性系中質(zhì)點(diǎn)才會(huì)受這一力的作用。點(diǎn)才會(huì)受這

5、一力的作用。u慣性力的具體表達(dá)式與參考系的運(yùn)動(dòng)方式慣性力的具體表達(dá)式與參考系的運(yùn)動(dòng)方式有關(guān)。有關(guān)。 【例例2 2】火車在平直軌道上以勻加速火車在平直軌道上以勻加速a a0 0向前行駛，向前行駛，在火車中用線懸掛著一小球，懸線與豎直線成在火車中用線懸掛著一小球，懸線與豎直線成角角而靜止而靜止, ,求求。解：方法一（慣性系）解：方法一（慣性系）1.1.作圖，受力分析作圖，受力分析gmT,2.2.列出方程列出方程gmTam03.3.選取平面直角坐標(biāo)系（地面為參照系，如圖），選取平面直角坐標(biāo)系（地面為參照系，如圖）， 分量方程。分量方程。0cossin0mgTmaT4.4.解之得解之得gatg0方法二

6、（非慣性系），選火車為參照系方法二（非慣性系），選火車為參照系FFma慣而：而：0 a即：即：00amgmT0cos0sin0mgTmaT投影：投影：y yx xT Tmgmg0magatg0解之得：解之得：一、牛頓定律的內(nèi)容一、牛頓定律的內(nèi)容（1）慣性系慣性系：牛頓定律在其中成立的參照系，是否為：牛頓定律在其中成立的參照系，是否為慣性系由實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。慣性系由實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。 如：以太陽(yáng)系質(zhì)心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸指向恒量的坐標(biāo)系中，如：以太陽(yáng)系質(zhì)心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸指向恒量的坐標(biāo)系中，應(yīng)用牛頓定律和萬(wàn)有引力定律的計(jì)算結(jié)果以很高精度符合觀察應(yīng)用牛頓定律和萬(wàn)有引力定律的計(jì)算結(jié)果以很高精度符合觀察結(jié)果，表明日心結(jié)

7、果，表明日心-恒星系是很好的慣性系恒星系是很好的慣性系。伽利略（伽利略（15641642）在地球表面得到慣性定律，）在地球表面得到慣性定律，但地球表面并非是好慣性系：但地球表面并非是好慣性系：地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)范圍比地球半徑小很多。運(yùn)動(dòng)范圍比地球半徑小很多。運(yùn)動(dòng)時(shí)間遠(yuǎn)小于自轉(zhuǎn)周期。運(yùn)動(dòng)時(shí)間遠(yuǎn)小于自轉(zhuǎn)周期。 （2）力學(xué)相對(duì)性原理力學(xué)相對(duì)性原理伽利略相對(duì)性原理伽利略相對(duì)性原理： 不可能借助于在慣性系中所做力學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定不可能借助于在慣性系中所做力學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定該參照系是靜止，還是勻速直線運(yùn)動(dòng)。該參照系是靜止，還是勻速直線運(yùn)動(dòng)。 在彼此做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系中，總結(jié)出的在彼此做勻速直

8、線運(yùn)動(dòng)的慣性系中，總結(jié)出的力學(xué)規(guī)律是相同的。力學(xué)規(guī)律是相同的。推論：相對(duì)于慣性參照系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的一切推論：相對(duì)于慣性參照系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的一切 參照系都是慣性參照系。參照系都是慣性參照系。愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理： 一切慣性系對(duì)所有物理過(guò)程（力、電磁、光學(xué)）都一切慣性系對(duì)所有物理過(guò)程（力、電磁、光學(xué)）都是等價(jià)的。是等價(jià)的。 二、牛頓定律的適用范圍：宏觀低速二、牛頓定律的適用范圍：宏觀低速（1）v與與c相比不可忽略，讓位于相對(duì)論力學(xué)。相比不可忽略，讓位于相對(duì)論力學(xué)。 （2）微觀體系，讓位于量子力學(xué)。）微觀體系，讓位于量子力學(xué)。微觀粒子運(yùn)動(dòng)用波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。微觀粒子運(yùn)動(dòng)用波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)

9、。（1 1）什么樣的參照系是慣性系？）什么樣的參照系是慣性系？ （2 2）什么樣的參照系是非慣性系？）什么樣的參照系是非慣性系？ （3 3）如何判斷一個(gè)參照系是靜止還是做勻）如何判斷一個(gè)參照系是靜止還是做勻速直線運(yùn)動(dòng)速直線運(yùn)動(dòng)( (力學(xué)相對(duì)性原理力學(xué)相對(duì)性原理) )？ （4 4）地球是個(gè)絕對(duì)的慣性系嗎？）地球是個(gè)絕對(duì)的慣性系嗎？ （5 5）力與加速度方向的關(guān)系如何？）力與加速度方向的關(guān)系如何？ 回答下列問(wèn)題：回答下列問(wèn)題：注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn): : u第一定律是第二定律所不可缺少的前提，因?yàn)榈诘谝欢墒堑诙伤豢扇鄙俚那疤?，因?yàn)榈谝欢蔀檎麄€(gè)力學(xué)體系選定了一類特殊的參考系一定律為整個(gè)力

10、學(xué)體系選定了一類特殊的參考系-慣性參考系慣性參考系 u第二定律中的質(zhì)量是慣性質(zhì)量第二定律中的質(zhì)量是慣性質(zhì)量, ,與萬(wàn)有引力中的引與萬(wàn)有引力中的引力質(zhì)量相比，近年來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)證實(shí)相差不到力質(zhì)量相比，近年來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)證實(shí)相差不到1010-12-12. . 愛(ài)因斯坦把引力質(zhì)量等于慣性質(zhì)量作為廣義愛(ài)因斯坦把引力質(zhì)量等于慣性質(zhì)量作為廣義相對(duì)論的基本公設(shè)相對(duì)論的基本公設(shè). . u一般工程問(wèn)題一般工程問(wèn)題地球地球可以看作慣性參考系；如果物體可以看作慣性參考系；如果物體運(yùn)動(dòng)的尺度很大而且對(duì)精確度要求很高運(yùn)動(dòng)的尺度很大而且對(duì)精確度要求很高, ,應(yīng)當(dāng)考慮地應(yīng)當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)的影響球自轉(zhuǎn)的影響, ,可取可取地

11、心地心為慣性參考系；在分析行星為慣性參考系；在分析行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)，地心本身作公轉(zhuǎn)，必須取的運(yùn)動(dòng)時(shí)，地心本身作公轉(zhuǎn)，必須取日心日心參考系。太參考系。太陽(yáng)本身在銀河系的加速度大約是陽(yáng)本身在銀河系的加速度大約是3 31010-10-10米米/ /秒秒2 2， 一一般來(lái)說(shuō)可以不用考慮了，可以認(rèn)為足夠精確的了般來(lái)說(shuō)可以不用考慮了，可以認(rèn)為足夠精確的了. . 基本定律基本定律: :質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)受力的質(zhì)點(diǎn)受力 的作用，在慣性系中的加速度為的作用，在慣性系中的加速度為 , , 則則: : m1iF ina 一、微分方程的建立一、微分方程的建立 1. 1. 自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件

12、稱為約束，不受約束的質(zhì)限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束，不受約束的質(zhì)點(diǎn)稱為自由質(zhì)點(diǎn)。點(diǎn)稱為自由質(zhì)點(diǎn)。 (1) (1) 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 三個(gè)二階常微分方程構(gòu)成微分方程組，給出初始條件：三個(gè)二階常微分方程構(gòu)成微分方程組，給出初始條件： 即可解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即可解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 (2) (2) 平面極坐標(biāo)平面極坐標(biāo) 如果質(zhì)點(diǎn)在如果質(zhì)點(diǎn)在xyxy平面上運(yùn)動(dòng)，平面上運(yùn)動(dòng)，或:2. 2. 非自由質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng)非自由質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng) 若質(zhì)點(diǎn)被限制在某一曲線或曲面上運(yùn)動(dòng)若質(zhì)點(diǎn)被限制在某一曲線或曲面上運(yùn)動(dòng), ,該曲線或該曲線或曲面稱為約束曲面稱為約束, ,其方程為約束方程其方程為約束方程, ,約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)的

13、作約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力為約束力用力為約束力( (約束反力約束反力),),約束力是待定的約束力是待定的, ,取決于取決于約束本身的性質(zhì)。約束確定后，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取約束本身的性質(zhì)。約束確定后，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取 決于質(zhì)點(diǎn)受到的主動(dòng)力的情況決于質(zhì)點(diǎn)受到的主動(dòng)力的情況, ,只靠約束力不能引起只靠約束力不能引起質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), ,故稱約束力為被動(dòng)力。故稱約束力為被動(dòng)力。 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的約束微分方程：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的約束微分方程： 求解時(shí)，一般采用自然坐標(biāo)系。求解時(shí)，一般采用自然坐標(biāo)系。 (1)(1)光滑約束：約束力在軌道的法平面內(nèi)，即沿質(zhì)點(diǎn)光滑約束：約束力在軌道的法平面內(nèi)，即沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向沒(méi)有分量運(yùn)動(dòng)方向沒(méi)有

14、分量 (光滑隱含的意義) (1)(1)式求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律式求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律,(2),(2)和和(3)(3)解出約束力解出約束力, ,方便之處方便之處在于運(yùn)動(dòng)規(guī)律和約束力可分開(kāi)求解。在于運(yùn)動(dòng)規(guī)律和約束力可分開(kāi)求解。(2) (2) 非光滑約束非光滑約束: : 約束力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有分量約束力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有分量( (如摩擦力如摩擦力) ) 四個(gè)方程，四個(gè)未知數(shù)四個(gè)方程，四個(gè)未知數(shù)v v, ,R Rt t, ,R Rn n, ,R Rb b 約束方程 (4)二、運(yùn)動(dòng)微分方程的求解二、運(yùn)動(dòng)微分方程的求解 兩類基本問(wèn)題：兩類基本問(wèn)題： （1 1）已知運(yùn)動(dòng)，求力）已知運(yùn)動(dòng)，求力 （2 2）已知力，求運(yùn)動(dòng)）已知力，

15、求運(yùn)動(dòng) 解題步驟：解題步驟：（1 1）明確研究對(duì)象，選擇適當(dāng)?shù)膮⒖枷担┟鞔_研究對(duì)象，選擇適當(dāng)?shù)膮⒖枷担? 3）寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，選坐標(biāo)系投影；）寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，選坐標(biāo)系投影； （4 4）積分求解，分析解的物理意義。）積分求解，分析解的物理意義。 （2 2）作圖，受力分析；作圖，受力分析；在在x x方向投影：方向投影： 兩邊對(duì)兩邊對(duì)t t積分，得積分，得 1. 1. 力僅是時(shí)間的函數(shù)：力僅是時(shí)間的函數(shù)：F=FF=F( (t t) ) 【例例3 3】研究自由電子在沿研究自由電子在沿x x軸的振蕩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軸的振蕩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 解：自由電子解：自由電子( (視為經(jīng)典粒子視為經(jīng)典粒子) )受電場(chǎng)力

16、作用，受電場(chǎng)力作用，于是：于是： 假定初始位置假定初始位置t=t=0 0時(shí)，時(shí)，x x= =x x0 0, , 則則 假設(shè)初始條件: 當(dāng)t=0時(shí)，v=v0, 結(jié)果討論結(jié)果討論: :該問(wèn)題與無(wú)線電波在高密度自由電子該問(wèn)題與無(wú)線電波在高密度自由電子的電離層中傳播類似。的電離層中傳播類似。 (2) (2) 其余部分描述電子的直線運(yùn)動(dòng)。該部分不會(huì)其余部分描述電子的直線運(yùn)動(dòng)。該部分不會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)的電磁場(chǎng)，對(duì)電磁波的傳播沒(méi)有貢獻(xiàn)。產(chǎn)生波動(dòng)的電磁場(chǎng)，對(duì)電磁波的傳播沒(méi)有貢獻(xiàn)。僅僅給出電子的細(xì)致運(yùn)動(dòng)。僅僅給出電子的細(xì)致運(yùn)動(dòng)。 小結(jié)：這類問(wèn)題最容易解決，只需進(jìn)行兩次小結(jié)：這類問(wèn)題最容易解決，只需進(jìn)行兩次積分，就可以

17、得到全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。積分，就可以得到全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 (1) 為振蕩項(xiàng)為振蕩項(xiàng), ,電子在電場(chǎng)的作用下的受迫振電子在電場(chǎng)的作用下的受迫振動(dòng)動(dòng), ,產(chǎn)生電磁波產(chǎn)生電磁波, ,對(duì)電磁波的傳播有貢獻(xiàn)對(duì)電磁波的傳播有貢獻(xiàn); ; 2. 2. 力只是速度的函數(shù)：力只是速度的函數(shù)：F=FF=F( (v v) ) 在普通物理中，忽略空氣阻力（零級(jí)近似），在普通物理中，忽略空氣阻力（零級(jí)近似），得到簡(jiǎn)單的拋物線方程得到簡(jiǎn)單的拋物線方程: : 拋體：自由落體：yxo 但在速度較大或者物體形狀較大時(shí)，空氣阻力都但在速度較大或者物體形狀較大時(shí)，空氣阻力都是不能忽略的。而空氣阻力比較復(fù)雜，與物體形狀、是不能忽略的。而空氣阻

18、力比較復(fù)雜，與物體形狀、速度、空氣密度、溫度都相關(guān)。速度、空氣密度、溫度都相關(guān)。腔外彈道學(xué)腔外彈道學(xué) 把拋射體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，則阻力把拋射體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，則阻力 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 【例例4 4】考慮質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有阻力的情況。考慮質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有阻力的情況。 投影：再積分：類似地：y消去x和y中的t, 得到軌道方程: 即在阻力很小(b0)或距離很短(x0)時(shí) 在： 23202000001123yxxxxxmgm gbxbxbxyxbbmmm2002000202000lnln 1yxxxxyxxxmmgm gyxbbmbxmgm gbxxbbm(A)結(jié)果分析： (1) 若阻力b很小或者

19、x很小時(shí)，結(jié)果中的三次方及以上可以忽略,軌道近似為拋物線。 （2）由(A)看出，在xmv0 x/b時(shí)，y-，因此x 有一個(gè)極限值mv0 x/b023230001123yxxxgbgyxxxm【例例5 5】質(zhì)量為質(zhì)量為m m的小球以初速的小球以初速v v0 0豎直上拋，空氣的豎直上拋，空氣的阻力為阻力為R=kmvR=kmv2 2求：（求：（1 1）上升的最大高度；）上升的最大高度； （2 2）返回到地面時(shí)小球的速度。）返回到地面時(shí)小球的速度。yamRgm下面列出投影方程，上升時(shí)下面列出投影方程，上升時(shí)222kmvmgdtdymR=kmv2mg2.2.作圖，受力分析作圖，受力分析3.3.選取適當(dāng)?shù)?/p>

20、坐標(biāo)系（如圖）選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.4.列出運(yùn)動(dòng)微分方程列出運(yùn)動(dòng)微分方程解：解：1.1.研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)，選地面為參考系研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)，選地面為參考系利用：得,22dydvmvdtdydydvmdtdvmdtdymdykvgvdvkvgdydvv22hvdykvgvdv0020積分：得得00200221()1ln()22vvd gkvhgkvkgkvk )ln(ln2120kvggk下降時(shí)下降時(shí)R=kmv2mg222kmvmgdtdym利用：得,22dydvvdtdydydvdtdvdtdymdykvgvdvkvgdydvv22002hvdykvgvdvm積分：20ln21kvggk(1)(1)222001()1ln()22mmvvd gkvhgkvkgkvk ln)ln(212gkvgkm得得gkvgkm2ln21(2)(2)將（將（1 1）代入（）代入（2 2），得），得3