第六章定積分

1、第六章第六章 定積分定積分(1)(1)分割分割在在 a, b 內(nèi)插入內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210 , , . , ,112110nniixxxxxxxx， 把區(qū)間把區(qū)間 a,b,b 分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間1 (1 2)iiixxxin ， ，記每一個(gè)小區(qū)間記每一個(gè)小區(qū)間 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為1,iixx abX X( )yf x oy6.1 6.1 引出定積分概念的例引出定積分概念的例( (一一) ) 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積如圖如圖, ,由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y= =f( (x)()(這里不防先假設(shè)這里不防先假設(shè) ），），()0fx Y直線直線x= =a，x= =b及及

2、x軸圍成的圖形稱為軸圍成的圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形. .下面我們討論如何求其面積下面我們討論如何求其面積(2)近似近似 表示第表示第i個(gè)小曲邊梯形的面積個(gè)小曲邊梯形的面積,在小區(qū)間在小區(qū)間 內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作作x軸的垂線與曲線軸的垂線與曲線交于點(diǎn)交于點(diǎn) ,以以 為底為底, 為高做矩形為高做矩形,以此以此矩形做為小曲邊梯形面積的近似值矩形做為小曲邊梯形面積的近似值,則則iA 1,(1,2, )iixxin 1()iiiixx i (,()iiiPfix ()if ()iiiAxf a( )yf x MNoy(3)求和求和將所有矩形面積求和將所有矩形面積求和1122 ()()()

3、nnnAfxfxfx1()niiifx xb過(guò)每個(gè)過(guò)每個(gè)分點(diǎn)分點(diǎn)xi(i=1,2,n)作作y軸的平行線，將軸的平行線，將曲邊梯形曲邊梯形分割成分割成n個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形.則則 即是曲邊梯形面積即是曲邊梯形面積S的近似值的近似值. .1()nniiisfx (4) (4) 取極限取極限 記記 為所有小區(qū)間中長(zhǎng)度的最大者為所有小區(qū)間中長(zhǎng)度的最大者, ,即即 1max,ii nx 01lim()niiiSfx( (二二) ) 變力所作的功變力所作的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿的作用沿X軸由點(diǎn)軸由點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)b，并設(shè)，并設(shè)F處處處處平行于平行于X 軸，且軸，且F為變力，它連續(xù)依賴于質(zhì)

4、點(diǎn)所在位置為變力，它連續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)的坐標(biāo)x，即，即 F= =F( (x) ) axb 圖示如下：圖示如下：0 ns當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,總和總和 的極限就是曲邊梯形面積的極限就是曲邊梯形面積S,S,即即0axbF(x)求變力求變力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功W。()WFba 分析分析: :若若F F為常力，則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為常力，則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功這里變力這里變力F( (x) )為為 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，但它在很小的一上的連續(xù)函數(shù)，但它在很小的一段位移區(qū)間上可近似看作常量段位移區(qū)間上可近似看作常量. .因此可類似于求曲邊梯形面積那樣處理這里的問(wèn)題，采因此可類似于求曲邊梯形面積那樣

5、處理這里的問(wèn)題，采用：用：(1)分割分割;(2) 近似；近似；3)求和；求和；(4)取極限。取極限。解解 (1) (1) 分割分割011211,iinnssssssss 1 (1,2, )iiisssin 0121 innassssssb 在在 插入插入n個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)：,ab將閉區(qū)間將閉區(qū)間 a, b 分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: :小區(qū)間的長(zhǎng)度記為小區(qū)間的長(zhǎng)度記為(2) (2) 近似近似 在每一個(gè)小區(qū)間在每一個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) , ,把把 視為質(zhì)點(diǎn)在小區(qū)間上受力的近似值視為質(zhì)點(diǎn)在小區(qū)間上受力的近似值, ,于是于是, ,力力F在小區(qū)在小區(qū)間間 上對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功的近似值為上對(duì)質(zhì)點(diǎn)所

6、做的功的近似值為i ()iF 1,iiss ()iiiWFs (3) (3) 求和求和 ,ab 把各小區(qū)間上力把各小區(qū)間上力F所做的功的近似值加起來(lái)所做的功的近似值加起來(lái), ,即得到即得到在區(qū)間在區(qū)間 上所做功的近似值上所做功的近似值, ,即即11() nniiiiiWWFS(4)(4)取極限取極限01lim(niiiWFs ）maxis 把所有小區(qū)間的最大長(zhǎng)度記為把所有小區(qū)間的最大長(zhǎng)度記為 , ,即即 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), ,和式的極限即為變力在區(qū)間和式的極限即為變力在區(qū)間 上上對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功, ,即即 0 ,ab 將解決上面兩例的思想方法抽象化就得下面的定積將解決上面兩例的思想方

7、法抽象化就得下面的定積分概念。分概念。6.2 6.2 定積分的定義（參見(jiàn)教材定積分的定義（參見(jiàn)教材P232-234)P232-234)bxxxxxann1210 定義定義6.16.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上有定義且有上有定義且有界，將區(qū)間界，將區(qū)間 a, b 任意分成任意分成n個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)依次為：個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)依次為：各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為1, 1, 2, , )iiixxxin （并作和式并作和式1()nniiiSfx 在每一個(gè)小區(qū)間在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) xi-1, , xi ， i ( ) ,iifx 作乘積作乘積1max

8、0ii nx ( )baf x dx 和和 的取法都無(wú)關(guān)的取法都無(wú)關(guān), ,則稱此極限則稱此極限I為為f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, , b 上上的的定積分定積分，記為，記為 i 當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度01lim()niiifxI 時(shí)，若存在極限時(shí)，若存在極限 ，且此極限，且此極限I與分點(diǎn)與分點(diǎn)01( )lim()nbiiaif x dxfx 即即: : ( )baf x dx 在在 中中( )f x 稱稱為為積分號(hào)積分號(hào)； 稱稱為為被積函數(shù)被積函數(shù)；( )f x dx 稱稱為為被積表達(dá)式被積表達(dá)式；x 稱稱為為積分變?cè)e分變?cè)?,ab 稱稱為

9、為積分區(qū)間積分區(qū)間；ab 分分別別稱稱為為、積分下限和上限積分下限和上限。1()niiifx 而和式而和式 則則 稱為稱為積分和積分和。f( (x) )存在定積分也稱存在定積分也稱f( (x) )在在 a, ,b 上是可積的。上是可積的。( (這里表示的是和式極限）這里表示的是和式極限）(2) (2) 在定積分定義中，我們假定在定積分定義中，我們假定 ab,若若ba，我們規(guī)定，我們規(guī)定( )( )abbaf x dxf x dx 特別地，特別地， a=b時(shí)，時(shí)，( )0aaf x dx (3) (3) 由定義看出，由定義看出， f( (x) )有界是有界是f( (x) )可積的必要條件?？煞e的

10、必要條件。即即: :()( )( )bbbaaaf x dxf t dtf u du 由定積分定義看出：由定積分定義看出：(1) (1) 定積分定積分 是一個(gè)和式的極限值，是一個(gè)常是一個(gè)和式的極限值，是一個(gè)常數(shù)，它只與被積函數(shù)數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間及積分區(qū)間 a, ,b 有關(guān)，與積有關(guān)，與積分變?cè)檬裁醋帜笩o(wú)關(guān)。分變?cè)檬裁醋帜笩o(wú)關(guān)。( )baf x dx ( )0abf x dx且且.在有限區(qū)間在有限區(qū)間 a, , b 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)f( (x) ) 在在 a, , b 上上是可積的；是可積的；. . 在在 a, b 上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有

11、界函數(shù)f( (x) )在在 a, b 上也是可積的。上也是可積的。如果在如果在a,b上，上，f(x) 0時(shí)，時(shí)，(4) (4) 定積分在幾何意義定積分在幾何意義ax( )yf x oyb曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積A A（見(jiàn)右圖）。（見(jiàn)右圖）?？梢宰C明：可以證明：( )baf x dx 表示以表示以f( (x) )為曲邊的為曲邊的綜上，下圖中有綜上，下圖中有1234( )baf x dxAAAA abf(x)1A2A3A4Aax( )yf x oyb()baAfx d x ( )0f x 如果在如果在 a, ,b 上上 ，此時(shí)，此時(shí)由曲線由曲線y= =f( (x) )，直線，直線x= =a，x

12、= =b及及x軸所圍成的曲邊梯形位于軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的軸的下方，則定積分下方，則定積分 在幾何在幾何上表示上述曲邊梯形的面積上表示上述曲邊梯形的面積A A的相反數(shù)的相反數(shù). .()bafx dx 即：即：0iA 這里這里 表示圖表示圖形面積。形面積。 1234( )baAAAAf x dx 6.3 6.3 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)下面的討論中，區(qū)間下面的討論中，區(qū)間 a, , b 均有均有ab1. ( (k為常數(shù)為常數(shù)) )()()bbaakfx dxkfx dx 2. 2. 被積函數(shù)具有可加、減性被積函數(shù)具有可加、減性( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x d

13、xg x dx 更一般地，有更一般地，有 12()()()bbbnaaafx dxfx dxfx dx 12()()()bnafxfxfxdxbccabaxxfxxfxxf d)( d)( d)( 3 3. . 積分區(qū)間具有可加性積分區(qū)間具有可加性: : 若若 ，則，則 ,ca bbabaxxgxxf d)( d)( 4. 4. 保序性保序性: :若在若在 a, , b 上總有上總有 , , 則有則有)( )(xgxf5. 若若f(x) =1 , ，則，則 , xa b dbax ba 6.6.估值定理估值定理：設(shè)：設(shè)f( (x) ) 在在 a, , b 上的最大最小值分別為上的最大最小值分別

14、為M, m ，即，即: : (), ,mfxMxa bbaabMxxfabm )()d()(則有：則有：（圖示見(jiàn)下頁(yè)左圖）（圖示見(jiàn)下頁(yè)左圖）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式也成立。（但要確?？煞e。）時(shí)，上式也成立。（但要確?？煞e。） ,ca bmM7. 7. 積分中值定理積分中值定理：若：若f( (x) ) 在在 a, b 上連續(xù)，則至少存上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)在一點(diǎn) , ,使使 ( , )a b ( )d( ) ()baf xxfba （圖示見(jiàn)上右圖）（圖示見(jiàn)上右圖）性質(zhì)性質(zhì)7的幾何意義：的幾何意義：在在 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn) , ,使得曲邊梯形的面積等使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為于同一底邊而

15、高為 的矩形的面積的矩形的面積. . ,ab ( )f ab 例例1. 比較積分值的大小比較積分值的大小 與與 ，21lnex d x 1lnex d x 211xe dx 與與 .2121xedx 0 ln1x 2lnlnxx 211lnln.eex d xx d x 由定積分的保序性得：由定積分的保序性得： 1,2 在區(qū)間在區(qū)間 上，上，解解 在區(qū)間在區(qū)間 上，上， 1,e20 xx 211xx 211xxee 2122111.xxe dxedx 3613sind236236x x，解解例例2 2上連續(xù)且單增，最大值、最小上連續(xù)且單增，最大值、最小. 的值的值試估計(jì)定積分試估計(jì)定積分 36

16、s in x d x值分別為：值分別為： 3sin,32 1sin.62即即 3613sind1212x x， 在在 ,63sin x6.4 6.4 微積分基本定理微積分基本定理( (一一).).變上限的定積分變上限的定積分定理定理6.1 6.1 設(shè)設(shè) f ( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, , b 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 ()( )d ()xapxfttfx , xa b 記記 ，稱，稱 p( (x) ) 為為變上限的定積分。變上限的定積分。 ( )( )d xap xf tt ( )d xaftt , xa b 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f ( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, , b 上連續(xù)，則對(duì)任意上連續(xù)

17、，則對(duì)任意函數(shù)函數(shù) f ( (x) )在在 a, , x 上可積，且上可積，且 為為x的函數(shù)的函數(shù), ( )( )d xap xf tt 即即（證明見(jiàn)教材（證明見(jiàn)教材239239） , xa b 例例3. 利用定積分估值定理估計(jì)積分利用定積分估值定理估計(jì)積分 之值之值.221ln(1)xdx 解解 ： 令令 ，則，則 在閉區(qū)間在閉區(qū)間2( )ln(1)f xx 1,2 ( )f x( 1)ln2,(0)0,(2)ln5.fff 連續(xù)，必存在最大值連續(xù)，必存在最大值M 和最小值和最小值 m .令令 ，22( )01xfxx 比較比較 得得 0,ln5.mM 2210ln(1)3 ln5xdx 0

18、 x 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) . . 由上面的定理可得如下結(jié)論：由上面的定理可得如下結(jié)論：定理定理6.2(6.2(原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理) ) 如果如果f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上上連續(xù)，則連續(xù)，則 ( )( )d xap xf tt 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)總存在原函數(shù)，只是有的初初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)總存在原函數(shù)，只是有的初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。上面的定理說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)總是存在的。上面的定理說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)總是存在的。由此得：由此得：是是 f(x)在在a, b上的一個(gè)原函數(shù)。上的一個(gè)原函數(shù)。 例如，下面的不定積分都存在，但

19、它們都不能用例如，下面的不定積分都存在，但它們都不能用初等函數(shù)表示：初等函數(shù)表示：2sin1,cos.lnxdxdxx dxxx 定理定理6.1 6.1 推論推論2 2() a( ) ( ) ( )b xxf t dtf b x b x 綜上有：綜上有：() a( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )b xxxf t dtf b x b xf a x ax (6.11) b( )( )( )bxxxxf t dtf t dtf x 定理定理6.1 6.1 推論推論1 12011xddtdxt 例例1. 求求解：由定理解：由定理6.1 有有22011.11xddtdxtx 例例2 求求12s

20、in2xdtdtdx 解解 122sin2sin2xdtdtxdx 例例3 求求32arctanxxdtdtdx 解解 32arctanxxdtdtdx 33arctan()xx23arctan2arctan 2xx xx arctan 2(2 )xx21c o s20li mtxxed tx 例例4. 求求 可用羅必達(dá)法則與變上限定積分的導(dǎo)數(shù)求解?？捎昧_必達(dá)法則與變上限定積分的導(dǎo)數(shù)求解。221coscos200(cos)limlim2txxxxedtexxx 2cos0sinlim2xxxex 2cos0lim2xxe 1.2e 分析與解分析與解 ：仔細(xì)觀察一下，這是一個(gè)：仔細(xì)觀察一下，這是

21、一個(gè) 型未定式，型未定式，00另外的例見(jiàn)書(shū)另外的例見(jiàn)書(shū)P243例例10書(shū)書(shū)P263習(xí)習(xí)16.求求222001lim(1)xtxxtedtx 分析與解：所求極限為分析與解：所求極限為 型不定式，可用羅必達(dá)法則，型不定式，可用羅必達(dá)法則，但要注意式中變量表示的意義。但要注意式中變量表示的意義。00222001lim(1)xtxxtedtx 222000(1)limlimxtxxxtedtex 220lim (1)xxxe 1. 22200lim(1)xxtxetedtx 下面的定理稱為微積分基本定理（參見(jiàn)教材下面的定理稱為微積分基本定理（參見(jiàn)教材P241-242)定理定理6.3 6.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函

22、數(shù)f( (x) )在在 a, , b 上連續(xù)，且上連續(xù)，且F( (x) )是是f( (x) )的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則baaFbFxxf )()(d)( ()d()( )().bbaafxxFxF bF a 又常常寫(xiě)成：又常常寫(xiě)成： 這個(gè)公式是由牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的，因此也稱為這個(gè)公式是由牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的，因此也稱為牛牛頓頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式。這個(gè)公式把定積分和不定積分這。這個(gè)公式把定積分和不定積分這兩個(gè)兩個(gè)截然不同的概念截然不同的概念密切聯(lián)系起來(lái)。有了牛密切聯(lián)系起來(lái)。有了牛萊公式，萊公式，要計(jì)算定積分的值要計(jì)算定積分的值, ,只需用求不定積分的方法求出被積只需用求不定積分的

23、方法求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) F( (x) )，再代入上、下限相減即可。，再代入上、下限相減即可。因此求定積分與求不定積分一樣，也有直接積分法、換因此求定積分與求不定積分一樣，也有直接積分法、換元積分法、分部積分法。元積分法、分部積分法。20s ind.xx 例例1 1 求求 cossinxx因因?yàn)闉槭鞘潜槐环e積函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，例例2 2 求求2120d.1xxx 2 - -萊布尼茨公式，有萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓根據(jù)牛頓 20s i ndc o s20 xxxc o s 0c o s2 1 2120d1xxx 112001dd1xxx 1 11arctan0

24、 x 1.4 解解解解1201(1)d1xx 1201d1xx 例例3 3計(jì)算計(jì)算20( )df xx ，其中其中 2 ,01( )5 ,12xxf xxx 解解20( )df xx 例例4 4計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線 、直線、直線 x= =2 與與x軸圍成的圖形軸圍成的圖形的面積的面積2yx 220dAxx 23013x 83 22152x （另外的例見(jiàn)教材（另外的例見(jiàn)教材242243）102xdx 17.22yx 2o21( )df xx 10( )df xx 215xdx 120 x 解由定積分的幾何意義，得解由定積分的幾何意義，得由于定積分的計(jì)算是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再代上、由于定積分的

25、計(jì)算是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再代上、下限相減，所以定積分用換元法勿需還元，只需遵循：下限相減，所以定積分用換元法勿需還元，只需遵循：換元必?fù)Q限，用湊微分法換元必?fù)Q限，用湊微分法“不換元不換元”就不換限，即有：就不換限，即有：6.5 6.5 定積分的換元積分法定積分的換元積分法( (一一). ). 定積分的換元積分法定積分的換元積分法1. ( )bag x dx 令令( )xt 換元、換限換元、換限( )( )ftt dt ( (不需還元不需還元) ) ( )()()FtFF (其中其中 ) 11( ),( )ab要求：要求： 連續(xù)可導(dǎo)，且連續(xù)可導(dǎo)，且x與與t在對(duì)應(yīng)區(qū)間雙方在對(duì)應(yīng)區(qū)間雙方單值變化

26、。單值變化。1()tx ()(bafdxx ( ) ( ) ( )baFxFbFa 2. ()()()bbaag x dxfxx dx (變形變形) (用湊微分用湊微分“不換元不換元”就不換就不換限限) 1,dtdxx 例例1 求定積分求定積分215lnexdxx 解法解法1：令：令 ,則則lntx 且有且有x 從從 時(shí)，時(shí)，1e變變到到t 從從01.變變到到120(5)tdt 2215ln5lnexdxdxxxx e e1 1（）31(5)30tt 1155.33 15.3 解法解法2215lnexdxx 215lnedxxx （）(“不換元不換元”就不換限就不換限) 21lnln5()ed

27、xx （） 3l3ln5nxxe e （）1 13ln5 ln3ee （）注意注意：這里的：這里的 “不換元不換元”并不是真正意義的不換元并不是真正意義的不換元，只是原積分的變?cè)?，只是原積分的變?cè)獂 沒(méi)有用另外的變量代，而是用沒(méi)有用另外的變量代，而是用x 的函數(shù)代。的函數(shù)代。3ln 15 ln 13 - -（）例例2 求定積分求定積分ln 220(1)xxeedx 解法解法1 令令 ，則，則1xte 當(dāng)當(dāng)x 從從 時(shí)，時(shí)，0ln2變變到到t 從從 .23變變到到ln 220(1)xxeedx 322t dt (換元就換限換元就換限) 333 2t 333233 193 xdte dx 解法解法

28、2 2ln 220(1)xxeedx ln 220(1)xxe dxe ln 220()(11)xxeed3ln 2(1)30 xe 19.3 例例3 求定積分求定積分442200sincossin(sin)xxdxxdx 解解 1.5 5sin250 x 例例4 求定積分求定積分8311dxxx 2211xdxx 分析：由于上面兩個(gè)個(gè)定積分的被積函數(shù)都含有根式分析：由于上面兩個(gè)個(gè)定積分的被積函數(shù)都含有根式，因此都需用第二類換元法去根號(hào)后，再求積分。，因此都需用第二類換元法去根號(hào)后，再求積分。 420sincosxxdx8311dxxx 3tx 解：解： 令令 ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；1x 1t

29、當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；8x 2t 22131tdtt 282331113tdxdtttxx 212231()211d tt223ln(1)21t 3(ln5 ln2)2 35ln.22 32,3.xtdxt dt 則則2211xdxx 230tan tdt 解：本題需用三角代換解：本題需用三角代換 ，1seccosxtt 有有 ；sectandxtt dt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1x 0t ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 2x 3t . .223101tansec tansecxtdxttdtxt 230(sec1)tdt (tan ) 30t 3.3 另外的例見(jiàn)教材另外的例見(jiàn)教材P244-245.23300sec t

30、dtdt 30t cos1t 1cos2t ( (二二). ). 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)設(shè)設(shè)f( (x) )在在-a , , a 上可積，則上可積，則(1). (1). 當(dāng)當(dāng)f( (x) )為偶函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)時(shí)，0()2()aaafx dxfx dx (2). (2). 當(dāng)當(dāng)f( (x) )為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)時(shí)，()0aafx dx 證明：證明：0120( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dxII 對(duì)于對(duì)于 ，令變換，令變換 ，則有，則有tx 1I()A01()aIft dt 0()aft dt ()B代代 入入 ，得，得()B(

31、)A 0( )( )()aaaf x dxf xfxdx 0( )( )( )aaaf x dxf xf x dx 由由證畢！證畢！由奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)，有：由奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)，有：22cosxxdx 2252(sin)xx dx 2202x dx 32216.303x ()( )fxf x 當(dāng)當(dāng)f( (x) )為偶函數(shù)時(shí)，有為偶函數(shù)時(shí)，有 ，代入，代入 ：()C( )C 0( )( )()aaaf x dxf xfxdx 02( )af x dx 0( )( )( )0aaaf x dxf xf x dx ()( )fxf x 當(dāng)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，有為奇函數(shù)時(shí)，

32、有 ，代入，代入 ：()C0, 6.6 6.6 定積分的分部積分法定積分的分部積分法 定積分適用分部積分的類型以及被積表達(dá)式中定積分適用分部積分的類型以及被積表達(dá)式中u u、dvdv的選擇都與不定積分一致，只是每運(yùn)算一步都必須帶的選擇都與不定積分一致，只是每運(yùn)算一步都必須帶限。具體計(jì)算公式為：限。具體計(jì)算公式為：()()() ()()()bbbaaau x vx dxu x v xv x ux dx 或簡(jiǎn)記為或簡(jiǎn)記為: :bbbaaaudvuvvdu 41cos2202xx 例例1 求求20sin 2xx d x 解解：令：令.4 bbbaaaudvuvvdu分部積分公式：分部積分公式： 1s

33、in 2240 x,ux sin 2,dvxdx sin 2vxdx .dudx 1cos 2,2x 20sin2xxdx 20cos22()xxd 201cos 22x xd 例例2 2 求求12112.xed x 解：先將被積函數(shù)的根號(hào)化掉，令解：先將被積函數(shù)的根號(hào)化掉，令21tx 則則21(1),2xt .dxtdt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 12x 0;t 1x 時(shí)，時(shí)，1.t 10tetd 1121102xted xte d t 10tte e 1. 1ee 10tdet 10te 例例3 3 計(jì)算計(jì)算1lndeexx 1111lnd(ln)dlndeeeexxxxxx 11111(ln)de

34、exxxxx 1e 解解21ee 11()(1)eeeee （見(jiàn)教材（見(jiàn)教材P263習(xí)習(xí)12 ）1dex 1deex e 111( ln)deexxxxx 1ln1lnln1xxxexxe 分析與解：積分分析與解：積分I 可用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì)及三可用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì)及三角代換求出。這里由定積分幾何意義，角代換求出。這里由定積分幾何意義，I 恰好是半個(gè)單位恰好是半個(gè)單位圓的面積。（見(jiàn)下圖）圓的面積。（見(jiàn)下圖）99.22 例例4 4 計(jì)算計(jì)算1211d,Ixx 并利用該結(jié)果求并利用該結(jié)果求3239d.xx 12111d=.2Ixx 而而3322339d=31() d3xxxx

35、1t=23191d=xtt 令令o111 21yx323=91() d()33xx 11().eAfx dxe 證證: 設(shè)設(shè) , 則由已知?jiǎng)t由已知1( )ef x dxA ( )lnf xxA 111( )lneeef x dxxdxAdx 1( ln )1eexxxdxx 將將 兩邊從兩邊從1到到 e 積分，得：積分，得：( )lnf xxA (1)(1)AeeA e 即即解之得：解之得：（另外的例見(jiàn)教材（另外的例見(jiàn)教材P247）例例5 5 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) 滿足滿足 ，( )f x1( )ln( )ef xxf x dx 證明：證明：11( ).ef x dxe 分析：分析： 本題的關(guān)

36、鍵是要正確理解并掌握定積分是常數(shù)。本題的關(guān)鍵是要正確理解并掌握定積分是常數(shù)。(1)Ae 10( )xf x dx 例例6.設(shè)設(shè) ，求，求 。 （參見(jiàn)書(shū)（參見(jiàn)書(shū)P247例例4）21sin( )xtf xdtt 分析：由已知，分析：由已知，2222sin2sin( )(),xxfxxxx 使人想到這里要用分部積分，且令使人想到這里要用分部積分，且令 。( )uf x 解：令解：令 ， 。( )u f x dv xdx 10( )xf x dx 102()2(fdxx 221022)(10()f xfxxx dx 21022sin2xxxdx 120sinxx dx 22101sin.2xxd 21

37、1cos20 x 1(cos11).26.7 6.7 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用( (一一). ). 平面圖形的面積平面圖形的面積由定積分的幾何意義，我們可利用定積分求平面圖形的由定積分的幾何意義，我們可利用定積分求平面圖形的面積。面積。1. 1. 平面上平面上X- -型區(qū)域的面積的計(jì)算型區(qū)域的面積的計(jì)算(1). (1). 若若y= =f(x)(0)(0)，在，在 a, ,b 上連續(xù)，則如右的曲邊梯形上連續(xù)，則如右的曲邊梯形AabBAabB的面積的面積()baSfxd x ABabf(x)當(dāng)用垂直于當(dāng)用垂直于X 軸的直線穿區(qū)域（不含邊界）時(shí)，直線與軸的直線穿區(qū)域（不含邊界）時(shí)，直線與區(qū)域邊界的交

38、點(diǎn)不多于兩個(gè)，則稱該平面區(qū)域?yàn)閰^(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)，則稱該平面區(qū)域?yàn)閄-型區(qū)型區(qū)域域。abABy=f(x)(2). (2). 若若y= =f( (x)( 0)( 0)，在，在a,b上連續(xù)，則如下左的上連續(xù)，則如下左的曲邊曲邊梯形梯形AabB的面積為的面積為()baSfx dx 1S2S3Sabcd(3).(3). 若若y=f( (x）在）在a,b上連續(xù)、時(shí)上連續(xù)、時(shí)正時(shí)負(fù)，則如上正時(shí)負(fù)，則如上右的陰影區(qū)右的陰影區(qū)域的面積為域的面積為123()baSSSSfxdx ()bafxd x ()bafx dx abf(x)g(x)Sabf(x)g(x)S(4). (4). 若平面區(qū)域由若平面區(qū)域由

39、 g( (x) ) f( (x) ,) ,及及x= =a, ,x= =b圍成圍成（見(jiàn)下圖陰影區(qū)域）。（見(jiàn)下圖陰影區(qū)域）。 ( )( )( )( )bbbaaaSf xg x dxf x dxg x dx 則其面積為：則其面積為：注注1 1 、 若若 如下圖如下圖()()fxg x()()baSfxg xdx abf(x)g(x)c1c22. 2. 平面上平面上Y- -型區(qū)域的面積的計(jì)算型區(qū)域的面積的計(jì)算若用垂直于若用垂直于Y 軸的直線穿區(qū)域，直線與區(qū)域邊界的交軸的直線穿區(qū)域，直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，則稱該區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)不多于兩點(diǎn)，則稱該區(qū)域?yàn)閅 Y 型區(qū)域。型區(qū)域。(1). (1). 若平面

40、區(qū)域由若平面區(qū)域由 及及y= =c，y=d 和和 y 軸圍成軸圍成（如下左圖），則陰影區(qū)域面積為（如下左圖），則陰影區(qū)域面積為 ( )xy ()dcSy dy cd( )y( )yScd( )xyS ()()()()dddcccSyydyy dyy dy (2). (2). 若平面區(qū)域由若平面區(qū)域由 及及y= =c，y= =d 圍成圍成（如上右圖），則陰影區(qū)域面積為（如上右圖），則陰影區(qū)域面積為( )( )yy 注注2 2 、 若平面區(qū)域如下圖：若平面區(qū)域如下圖：1D2D3D123DDDSSSS 則則120dSxxx2yxyx 例例1 1 求由曲線求由曲線 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積

41、S. .2yxyx ，得兩曲線的交點(diǎn)為得兩曲線的交點(diǎn)為（0,0）, ,（1,11,1）, ,視平面區(qū)域?yàn)橐暺矫鎱^(qū)域?yàn)閄- -型，于是積分區(qū)間為型，于是積分區(qū)間為0,1.0,1.所求面積為：所求面積為：解解 首先畫(huà)出曲線所圍成的平面區(qū)域如下圖所示：首先畫(huà)出曲線所圍成的平面區(qū)域如下圖所示：求兩曲線的交點(diǎn)，為此解方程組求兩曲線的交點(diǎn)，為此解方程組332121()330 xx1.3yx o12yx 221(242)d Syyy 解解 由由 解得交點(diǎn)解得交點(diǎn)A(2,-1),B(8,2)A(2,-1),B(8,2)例例2 2 求拋物線求拋物線 與直線與直線 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積. . 22

42、yx 24xy2242xyxy 視區(qū)域?yàn)橐晠^(qū)域?yàn)閅-Y-型區(qū)域，則所求面積為型區(qū)域，則所求面積為A(2,-1),B(8,2)2322 =4319.yyy （另外的例見(jiàn)書(shū)（另外的例見(jiàn)書(shū)P250251)畫(huà)出略圖如下右所示：畫(huà)出略圖如下右所示：1.1.設(shè)某立體是由連續(xù)曲線設(shè)某立體是由連續(xù)曲線 y = = f( (x)( 0)( 0 ) ) ， 直線直線 x= =a，x= =b（a b）及）及X軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體（見(jiàn)下圖）求它的體積而成的旋轉(zhuǎn)體（見(jiàn)下圖）求它的體積 .xV類似求曲邊梯形的面積類似求曲邊梯形的面積，采用：，采用： 2()bxaVfxdx (6.

43、22)( (二二) ) 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積(1)(1)分割；分割；(2)(2)近似；近似； (3)求和；求和；(4)(4)取極限取極限 。（參見(jiàn)教材（參見(jiàn)教材P252)得：得：我們稱上面這種求我們稱上面這種求 的方法為的方法為微元法微元法。xV直線直線 y= =c，y= =d（c d）及）及y軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體（見(jiàn)下面的圖示），求它的體積轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體（見(jiàn)下面的圖示），求它的體積yV 2()dycVyd y (6.23)()(0)xy 2 . 2 . 設(shè)某立體是由連續(xù)曲線設(shè)某立體是由連續(xù)曲線采用微元法采用微元法，可得：可得：dc()xy xOyd

44、c()xy xOy 求平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)，求平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)，繞繞X軸旋轉(zhuǎn)，就視平面圖形為軸旋轉(zhuǎn)，就視平面圖形為x型區(qū)域；繞型區(qū)域；繞Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),就視平面圖形為就視平面圖形為y型區(qū)域型區(qū)域.確定積分區(qū)間、積分變?cè)?、確定積分區(qū)間、積分變?cè)?、被積函數(shù)的方法都與求平面圖形的面積類似，只需被積函數(shù)的方法都與求平面圖形的面積類似，只需注意計(jì)算公式的差別。注意計(jì)算公式的差別。例例4 4 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓 分別繞分別繞x x軸和軸和y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體一周所成的旋轉(zhuǎn)體( (旋轉(zhuǎn)橢球體旋轉(zhuǎn)橢球體) )的體積的體積. .12222byax解（參

45、見(jiàn)書(shū)解（參見(jiàn)書(shū)P252-253）由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，只需考慮半橢由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，只需考慮半橢圓繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)即可得所求之體積。圓繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)即可得所求之體積。 （繞（繞x軸軸旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)）22byaxa 由由(6.22)式，得：式，得：2()axaVyx dx 視橢圓為視橢圓為x型區(qū)域，這里只需考慮上半橢圓繞型區(qū)域，這里只需考慮上半橢圓繞x軸軸旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。()yx其中的其中的 即即上半橢圓周的方程：上半橢圓周的方程：2222()axabVax dxa 222202()abaxdxa 223221()30aba xxa 24.3ab （繞（繞y軸軸旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)） 只需視右半橢圓為只需視右半

46、橢圓為Y型區(qū)域。型區(qū)域。得：得：2222()bybaVby dyb 222202()babydyb 24.3ba 34.3Va 特別當(dāng)特別當(dāng) 時(shí)，得半徑為時(shí)，得半徑為a的球體體積的球體體積ab （由偶函數(shù)積分性質(zhì)）（由偶函數(shù)積分性質(zhì)）22221xyab 22222()axbybybb 將將代入公式（代入公式（6.23），），22222xyayax ，解解得圓與拋物線交點(diǎn)為：得圓與拋物線交點(diǎn)為： ( 2 1)2( 2 1)( 2 1)2( 2 1)AaaBaa , ,、, ,由于平面圖形關(guān)于由于平面圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，只需考慮軸對(duì)稱，只需考慮x軸軸上方的部分，上方的部分，由圖看出，旋轉(zhuǎn)體由兩部分組

47、成，其中一部分由上圖由圖看出，旋轉(zhuǎn)體由兩部分組成，其中一部分由上圖的平面圖形的平面圖形OAD繞繞X 軸旋轉(zhuǎn)而成，另一部分由平面圖軸旋轉(zhuǎn)而成，另一部分由平面圖形形ADC 繞繞X 軸旋轉(zhuǎn)而成。軸旋轉(zhuǎn)而成。ABOCD(0)x 圖形圖形 繞繞X 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。222 xya 例例5. 5. 求圓求圓 與拋物線與拋物線 圍成的圍成的22 (0)yaxa 解方程組：解方程組：(21)02daax x (2 1)202 2axa 即所求的體積為：即所求的體積為：3742.3a ( 21)2( 21)Aaa, ,22ya x 222xya ABOCD12 VV

48、V 2(21) ()aayx dx 0C a, ,22(21)()daaaxx (21)20 ()ayx dx 323( 21)axa xa ( (三三). ). 定積分在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用 ( )()( )( ).() , .yf xf xf xa b 設(shè)設(shè)是是經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)量量的的函函數(shù)數(shù) 如如需需求求函函數(shù)數(shù)，生生產(chǎn)產(chǎn)函函數(shù)數(shù)，成成本本函函數(shù)數(shù)，總總收收益益函函數(shù)數(shù)等等 ，則則導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)或或變變化化率率 在在經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)管管理理中中，可可以以利利用用積積分分法法，根根據(jù)據(jù)邊邊際際函函數(shù)數(shù)求求出出總總函函數(shù)數(shù) 即即原原函函數(shù)數(shù) 或或總總函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)

49、間間上上的的改改變變量量進(jìn)一步，當(dāng)產(chǎn)量由進(jìn)一步，當(dāng)產(chǎn)量由a個(gè)單位變到個(gè)單位變到b個(gè)單位時(shí)，總成本的個(gè)單位時(shí)，總成本的改變量為改變量為: :00()( )xC xCt dtC (6.21) ( )(6 .2 1)baCCt d t ( )C x 1 . 1 . 已知邊際成本已知邊際成本 ，則當(dāng)產(chǎn)量為，則當(dāng)產(chǎn)量為x單位單位時(shí)，時(shí)，總成本函數(shù)為總成本函數(shù)為0( )xCt d t 0C這里這里 為可變成本，為可變成本， 為固定成本為固定成本. .當(dāng)銷售量由當(dāng)銷售量由a個(gè)單位變到個(gè)單位變到b個(gè)單位時(shí)，總收益的改變個(gè)單位時(shí)，總收益的改變量為：量為：0()()( 6 .2 2 )xRxRt d t ( )(

50、 6 .2 2 )baRRt d t 3 .3 .因?yàn)檫呺H利潤(rùn)為因?yàn)檫呺H利潤(rùn)為 ： ( )( )( )L xR xC x 00()( )( )(6.23)xL xRtCtdtC ( )R x 2 . 2 . 已知邊際收益已知邊際收益 ，則總收益可以表示為：，則總收益可以表示為：故總利潤(rùn)為故總利潤(rùn)為: :式中式中 為固定成本。為固定成本。0C是不計(jì)固定成本的利潤(rùn)函數(shù)，有時(shí)也稱為毛利潤(rùn)是不計(jì)固定成本的利潤(rùn)函數(shù)，有時(shí)也稱為毛利潤(rùn). . 0( )( )xR tC tdt 而而 ( )( )(6.23)baLR tC t dt 當(dāng)產(chǎn)量當(dāng)產(chǎn)量( (或銷量或銷量) )由由a個(gè)單位變到個(gè)單位變到b個(gè)單位時(shí)，利

51、個(gè)單位時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)的改變量為：潤(rùn)函數(shù)的改變量為：例例5 . 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天生產(chǎn) x （噸）時(shí)的（噸）時(shí)的2( )10060.6C xxx 邊際成本為邊際成本為 （單位：千元）。（單位：千元）。試求：產(chǎn)量從試求：產(chǎn)量從 2 噸增加到噸增加到4 噸時(shí)的總成本及平均成本。噸時(shí)的總成本及平均成本。解解 .當(dāng)當(dāng)產(chǎn)量從產(chǎn)量從 2 2 噸增加到噸增加到4 4 噸時(shí)，總成本改變量為噸時(shí)，總成本改變量為42210060.6Cxxdx 23410030.22xxx 224.8 成本改變量的平均值成本改變量的平均值112.4 224.82Cx （千元（千元/噸）。噸）。例例8.

52、 )(3002020d )1020( 6040(2)604026040單位時(shí)的總收益為增加到從產(chǎn)量QQQQRQ，單位為個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益生產(chǎn))(7202020d )1020( 40) 1 (4002400QQQQR解解.6040)2(40) 1 (. )0( 1020)( 個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益?zhèn)€單位產(chǎn)品時(shí)的總收益?zhèn)€單位產(chǎn)品到個(gè)單位產(chǎn)品到求從生產(chǎn)求從生產(chǎn)，個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益?zhèn)€單位產(chǎn)品時(shí)的總收益求生產(chǎn)求生產(chǎn)設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn) 個(gè)單位，總收益?zhèn)€單位，總收益 的變化率為的變化率為QQQfRQ6.8 6.8 廣義積分與廣義積分與 函數(shù)函數(shù) ( (一一). ). 廣義積分廣義積分1.1.無(wú)限區(qū)間

53、上的積分無(wú)限區(qū)間上的積分(1).(1).定義定義6.2(6.2(參見(jiàn)書(shū)參見(jiàn)書(shū)P255P255）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), ,如果存在極限如果存在極限 ,)a lim()babfx dx ()ab ( )lim( )baabf x dxf x dx (6.24)這時(shí)也稱廣義積分這時(shí)也稱廣義積分 存在或收斂存在或收斂. . ()afx dx 就稱此極限值為就稱此極限值為f( (x) )在在 上的廣義積分上的廣義積分. . ,)a 記作記作: :(6.24)(6.24)右之極限若不存在右之極限若不存在, ,則稱廣義積分則稱廣義積分不存在或發(fā)散不存在或發(fā)散. .()afx

54、 dx 類似地類似地, ,可以定義廣義積分可以定義廣義積分: :()lim()(6.25)bbaaf x dxf x dx ( )( )( )(6.26)ccf x dxf x dxf x dx (6.26)(6.26)右之兩個(gè)廣義積分都收斂右之兩個(gè)廣義積分都收斂, ,才稱左邊廣義積分收才稱左邊廣義積分收斂斂, ,否則稱左邊廣義積分發(fā)散否則稱左邊廣義積分發(fā)散. .( )lim( )baabf x dxf x dx (6.24).de03xx例例1 求求bxb03elim31xxbxbxdelimde0303解解301limed( 3 )3bxbx 1.3 311lim 13ebb 例例2 2

55、求求.d112xx02220111ddd111xxxxxx ，解解 根據(jù)定義，根據(jù)定義，xxxxaad11limd1102020()2 220011dlimd11bbxxxx0lim arctan bbx21d.1xx 0limarctanaax 所以，廣義積分所以，廣義積分 收斂，且收斂，且21d1xx（參見(jiàn)教材（參見(jiàn)教材P256例例3）2 ，2，1111ddlimbpbxxxx (ln)limbb 1111ddlimbppbxxxx 1111limbpbxp 1, 11, 1ppp 當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)，綜上：綜上：11dpxx 1, 11, 1ppp 當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)，證畢證畢！請(qǐng)熟記此題結(jié)論！請(qǐng)熟記此

56、題結(jié)論！(參見(jiàn)教材參見(jiàn)教材P256例例2）11dpxx 例例3. 3. 試證無(wú)窮積分試證無(wú)窮積分 當(dāng)當(dāng) 時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)1p 1p 時(shí)發(fā)散。時(shí)發(fā)散。證明證明 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1p 1ln limbbx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1p 111limpbbp 例例4 4 試討論積分試討論積分 的斂散性的斂散性. .s inIx d x 注意：當(dāng)無(wú)窮限積分收斂時(shí)，奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間注意：當(dāng)無(wú)窮限積分收斂時(shí)，奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì)才可以推廣來(lái)用。例如上面例積分的性質(zhì)才可以推廣來(lái)用。例如上面例2可用，例可用，例4則不能用。則不能用。解：解：0120sinsinIxdxxdxII 20limsinbbIx

57、dx lim (c o s)0bbx 我們知道上式右端的極限不存在，所以積分我們知道上式右端的極限不存在，所以積分 I2 發(fā)散發(fā)散.從而從而 發(fā)散發(fā)散. . s inIx d x c o s,c o s.ax d xx d x 同理同理 也發(fā)散。也發(fā)散。在求廣義積分時(shí)，有時(shí)為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，也可省去極在求廣義積分時(shí)，有時(shí)為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，也可省去極限符號(hào)，例如：限符號(hào)，例如：lim()()lim()()bxbFxFxFxF aaa 表表 示示比如比如21darctanlim arctanlim arctan1xxxxxxx ().22 0cos dsinlim sinsin00 xx xxx 發(fā)散。發(fā)散。* *2. 2. 無(wú)界函數(shù)的積分無(wú)界函數(shù)的積分( (瑕積