中國石油大學華東線性代數(shù)第5章-相似矩陣和二次型

1、1第第5 5章章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 關于特征值和特征向量的討論關于特征值和特征向量的討論 用正交變換化二次型為標準形用正交變換化二次型為標準形 (或用正交矩陣化對稱陣為對角陣或用正交矩陣化對稱陣為對角陣) 本章討論本章討論 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 特征值和特征向量特征值和特征向量 相似矩陣相似矩陣 二次型的化簡二次型的化簡 本章重點本章重點21 1 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 nnyyyyxxxx2121,)(,2211yxyxyxyxyxTnn 令令1. 向量的內(nèi)積和長度向量的內(nèi)積和長度定義定義 設有設有 n 維向量維向量的的內(nèi)積內(nèi)積.yxyx,為為稱稱注注 內(nèi)積是向量間的一種運算，

2、其結果是一個數(shù)內(nèi)積是向量間的一種運算，其結果是一個數(shù).3,) 1xyyx 對對稱稱性性注注 內(nèi)積運算滿足：內(nèi)積運算滿足：,)3)2zyzxzyxyxyx 線線性性xnxxxxxxxn , 22221維維向向量量為為稱稱令令 定義定義 即內(nèi)積滿即內(nèi)積滿足交換律足交換律 稱長度為稱長度為 1的向量為的向量為單位向量單位向量. 如如,21neee皆為單位向量皆為單位向量.的的長度長度（或（或范數(shù)范數(shù)）.4xx 齊齊次次性性)2(*)3yxyx 三三角角不不等等式式,0 xty xty 對任意實數(shù)對任意實數(shù) t, 顯然顯然（*）式的證明略去，其直觀意義是明顯的）式的證明略去，其直觀意義是明顯的）注注

3、向量的長度滿足：向量的長度滿足：.0;0,)10 00 0 xxxx時時當當非非負負性性2 ,2 , ,0 x xt x yty y 即即上式左端是關于上式左端是關于 t 的二次三項式，故其判別式的二次三項式，故其判別式 0.0. 5亦即亦即2 , 2 , , 0 x xt x yty y 24 ,4 , ,0 x yx xy y 從而得從而得2 , , ,x yx xy y )0(1,時時當當 yxyxyx正因為如此，正因為如此， 在解析幾何中，常把在解析幾何中，常把yxyxyx與與定定義義為為向向量量,arccos 的的夾角夾角.由上得由上得 此稱為此稱為許瓦茲不等式許瓦茲不等式.62.

4、正交與正交規(guī)范化正交與正交規(guī)范化定義定義 當當x, y=0時，稱向量時，稱向量 x 與與 y 正交正交. 顯然，若顯然，若 x=0, 則則 x 與任何向量都正交與任何向量都正交. 稱稱兩兩正交的兩兩正交的非零向量所組成的向量組為非零向量所組成的向量組為正交向量組正交向量組.例（例（P107例例1） 已知已知 121,11121aa正交，試求一個非零向量正交，試求一個非零向量 a3，使，使 a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交.7 12111121,aa解解 記記 12111121TTaaA a3 應滿足齊次應滿足齊次方程方程 Ax=0，即，即 00121111321xxx由由 010101A

5、得得 0231xxx故可取故可取.101 3 3a8r,a,aa21r,a,aa21定理定理1 若若n維向量維向量 是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的非零向量，則非零向量，則線性無關線性無關.證證 設有設有使使r ,21Oaaarr 2211,aaaTT0,1111 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以類似可證類似可證.032 r 于是向量組于是向量組r,a,aa21線性無關線性無關.0 從而必有0, 故0, 因121111 aaaaT9稱由正交向量組構成的向量空間的基為稱由正交向量組構成的向量空間的基為正交基正交基. .如如 n維單位坐標向量組構成維單位坐標向量組構成 Rn 的一個正交規(guī)范基的一個

6、正交規(guī)范基.定義定義 設設 n 維向量維向量 是向量空間是向量空間 V 的一個基，如果的一個基，如果 兩兩兩兩 正交，且都是單位向量則稱正交，且都是單位向量則稱 是是 V 的一個的一個正交規(guī)范基正交規(guī)范基. .r,e,ee21)(nRV r,e,ee21r,e,ee21又如又如 2121002121000021210021214 43 32 21 1, , , , 是是 R4 的一個正交規(guī)范基的一個正交規(guī)范基.10r,e,ee21rreeea 2211結論結論 若若是是 V 的一個正交規(guī)范基，的一個正交規(guī)范基，那么那么 V 中任一向量中任一向量 a 可表示為可表示為其中其中),2, 1(ria

7、,eii 證證 設設rreeea 2211iTiiTiTieeaee 得得左乘左乘兩邊用兩邊用,即即), 2 , 1(ria,eaeiTii 證畢證畢11 問題：能否將向量空間的一個基重新構造成一個正交問題：能否將向量空間的一個基重新構造成一個正交規(guī)范基呢？規(guī)范基呢？回答是肯定的，其構造過程稱為回答是肯定的，其構造過程稱為施密特正交化施密特正交化.設有向量空間的一個基設有向量空間的一個基r,a,aa2111ab 取取1122bkab 又又設設1112121,bbk,ab,bb 則則,01121121,bb,abk,bb 得得令令12221133bkbkab 又又設設11131212111313

8、1,bbk,ab,bbk,bbk,ab,bb 則則,01131131,bb,abk,bb 得得令令.,211112122正正交交滿滿足足時時即即取取,bbb,bb,abab 如此得到的如此得到的b1 ,b2與與a1 ,a2還是等價的還是等價的13依此下去，便有依此下去，便有.,321222321113133兩兩兩兩正正交交滿滿足足時時即即取取,b,bbb,bb,abb,bb,abab 如此得到的如此得到的b1 ,b2 ,b3與與a1 ,a2 ,a3等價等價222322221213232,bbk,ab,bbk,bbk,ab,bb 又又,02232232,bb,abk,bb 得得令令14結論結論

9、（施密特正交化）（施密特正交化）設有向量空間的一個基設有向量空間的一個基r,a,aa21,11 1ab 取取,111212b,bb,abab 2 2.,2121等等價價且且與與兩兩兩兩正正交交則則rr,a,aa,b,bb,b,bb,abb,bb,ababr-r-r-rr-r11111111 r rr r再將再將 b1,b2, ,br 單位化，便可得到正交規(guī)范基單位化，便可得到正交規(guī)范基.15設設 014131121321,a,aa試用施密特正交化過程將這組向量正交規(guī)范化試用施密特正交化過程將這組向量正交規(guī)范化.解解 ,11 1ab 取取121212bb,abab 2 2222321213133

10、bb,abbb,abab 12164131例（例（P108例例2） 1113516 101211135121321b b, ,b b, ,b b再把它們單位化，取再把它們單位化，取,12161111 bbe 10121333bbe,11131222 bbe.321為為所所求求則則,e,ee 1012111351213101417例（例（P108例例3） 已知已知解解 a2 , a3 應滿足方程應滿足方程 a1Tx=0, 即即 ,111 1 1a求一組非零向量求一組非零向量a2 , a3，使，使 a1 , a2 , a3 兩兩正交兩兩正交.0321 xxx基礎解系基礎解系可取為：可取為： 110

11、,10121 把基礎解系正交化，把基礎解系正交化，得到所求的向量，得到所求的向量， 12121231 11 12 21 12 2, , a,10112 a183 . 3 . 正交矩陣正交矩陣定義定義 （正交矩陣）如果（正交矩陣）如果 n 階方陣階方陣A 滿足滿足 ATA=E，則，則 稱稱 A 為為正交矩陣正交矩陣.由定義立即可知：由定義立即可知：也也是是正正交交陣陣11,1 AAAAATT為進一步分析正交矩陣的結構，將為進一步分析正交矩陣的結構，將A 按列分塊按列分塊.設設 A= (a1 a2 an）,其中其中ai 皆為列向量皆為列向量.若若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則19 nTnTTaaa

12、aaa2121 AAT nTnTnTnnTTTnTTTaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111由于由于ATA=E，故知，故知 ), 2 , 1,(01njijijiaajTi 可見，當可見，當 A為正交矩陣時，為正交矩陣時，A 的列向量皆為單位向的列向量皆為單位向量，且兩兩正交，同樣對行也有類似的結論量，且兩兩正交，同樣對行也有類似的結論.20結論結論 A為正交陣為正交陣A的列（行）向量皆為單位的列（行）向量皆為單位向量，且兩兩正交向量，且兩兩正交.于是知于是知, A 的列的列(行行)向量組皆構成向量組皆構成 Rn 的正交規(guī)范基的正交規(guī)范基.例例 下列矩陣是否為正交矩陣？下

13、列矩陣是否為正交矩陣？ 979494949198949891)2(121312112131211)1(1)不是不是,(2)是是.21定義定義 若若 P 為正交矩陣為正交矩陣, x , y是是 n維向量維向量, 稱由稱由 x 到到 y 的的 變換變換 y=Px 為為正交變換正交變換.結論結論 正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的長度不變. .xy 即即 若若 y=Px，P 為正交矩陣，則為正交矩陣，則證證yyyyyT , 從幾何上看，就是從幾何上看，就是在正交變換下圖形的形狀保持不在正交變換下圖形的形狀保持不變變（如旋轉變換就是一種正交變換）（如旋轉變換就是一種正交變換）.xxxPxPx

14、TTT 22302212|,|,| ().TAAABEAB設設 為為 階階正正交交矩矩陣陣，且且則則練習題：練習題：.1|1|2 AAEAAT分分析析：| )2(|)21(|21|213TTTTTBAAABAAABE 則則.|形形式式等等技技巧巧化化為為矩矩陣陣乘乘積積的的通通過過恒恒等等變變形形沒沒有有現(xiàn)現(xiàn)成成的的公公式式，只只有有對對于于BA 128|AAB評注：評注：232 方陣的特征值和特征向量方陣的特征值和特征向量定義定義 設設 A為為 n 階方陣，如果數(shù)階方陣，如果數(shù)和和 n 維維非零向量非零向量 x, 使關系式使關系式)1(xAx 成立，則稱數(shù)成立，則稱數(shù)為方陣為方陣 A 的的特

15、征值特征值，非零向量，非零向量 x為為 A 的的對應于對應于的的特征向量特征向量.注注 由定義可知：由定義可知： 1) 若若 p 是是 A 的對應于的對應于的特征向量的特征向量, 則則 kp (k0) 也也 是是 A 的對應于的對應于的特征向量的特征向量. 2) 若若 p1, p2 皆是皆是 A 的對應于的對應于的特征向量的特征向量, 則則 p1+p2 ( p1+p2 0) 也是也是 A 的對應于的對應于的特征向量的特征向量. 24問題問題: 給定方陣給定方陣A, 如何去求如何去求A的特征值及特征向量的特征值及特征向量?0 0 ExAx 式式知知由由 ) 1 (0 0 xEA)( 這是這是 n

16、個未知數(shù)個未知數(shù) n 個方程的齊次線性方程組個方程的齊次線性方程組,由克萊姆由克萊姆法則知其有非零解的法則知其有非零解的充要條件充要條件是系數(shù)行列式是系數(shù)行列式)3()0(0 AEEA 或或即即)3( 0/212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa25,)(EAf 記記 由代數(shù)學基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，由代數(shù)學基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，n 次方程一定次方程一定有有 n 個根個根(重根按重數(shù)計算重根按重數(shù)計算). 故知有故知有結論結論 n 階方陣階方陣 A 一定有一定有n 個特征值個特征值.稱其為方陣稱其為方陣 A 的的特征多項式特征多項式.這是一個關于這是一個關于的一元的一元 n

17、次多項式次多項式. 上式左端是關于上式左端是關于的一元的一元 n 次方程次方程, 稱其為稱其為 A 的的特征特征方程方程，顯然顯然 A 的特征值即為特征方程的解的特征值即為特征方程的解.26通常，稱通常，稱nnaaa2211為為A的的跡跡，記為，記為 tr(A).則則對對應應于于的的一一個個特特征征值值為為方方陣陣若若已已求求得得,Ai 即，求對應的特征向量歸結為解一個線性方程組即，求對應的特征向量歸結為解一個線性方程組.0 0i i xEAi)( 的的特特征征向向量量滿滿足足設設A 的特征值為的特征值為n ,21由多項式的根與系數(shù)由多項式的根與系數(shù)之間的關系知：之間的關系知：.)2)1212

18、21121Aaaannnn 271） 解特征方程解特征方程2) 對每個特征值對每個特征值總結：總結：n 階方陣階方陣A的特征值、特征向量的求法：的特征值、特征向量的求法：0 EA 得到得到 A 的全部特征值的全部特征值.（注意共有（注意共有 n 個特征值）個特征值）,i 求出齊次線性方程組求出齊次線性方程組0 0 xEAi)( 的基礎解系，它們就是的基礎解系，它們就是 A 的對應于的對應于i 的線性無關的特征向量的線性無關的特征向量.28例例 （教材教材P111例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多項式為的特征多項式為2) 1

19、)(2(201034011 AE故得故得A的三個特征值為的三個特征值為. 1, 2321 對于對于, 21 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（2E -A)x= 0 ,29系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000010001001014013)2(行行同解方同解方程組為程組為 332100 xxxx取基礎取基礎 解系解系.1001 則則1就是就是 A 的屬于的屬于1 =2的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是 A 的屬于的屬于1 =2的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P111例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.30對于對于,

20、 132 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（E A)x = 0 ,系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000210101101024012)(行行同解方同解方程組為程組為 3332312xxxxxx取基礎取基礎 解系解系.1212 )0( k則則2就是就是 A的屬于的屬于2 = 3 =1的特征向量的特征向量, 而而就是就是 A的屬于的屬于2 = 3 =1的全部特征向量的全部特征向量.2 k注意注意:這里基這里基礎解系礎解系只含一只含一個向量個向量例例 （教材教材P111例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.31例例 （教材教材P112例例5） 求三階矩

21、陣求三階矩陣 122212221A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多項式為的特征多項式為2) 1)(5(122212221 AE故得故得A的三個特征值為的三個特征值為. 1, 5321 對于對于, 51 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（5E A)x= 0 ,32系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣4221015242011224000()EAI行行同解方同解方程組為程組為 333231xxxxxx取基礎取基礎 解系解系.1111 則則1就是就是A的屬于的屬于1 =5的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是A的屬于的屬于1 =5的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P11

22、2例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A33對于對于, 132 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（ E A)x= 0 ,系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000000111222222222)(行行同解方程組為同解方程組為 3322321xxxxxxx例例 （教材教材P112例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A34取基礎解系取基礎解系 101,01132 則則2 ,3就是就是A的屬于的屬于2 = 3 =1的兩個線性無關的的兩個線性無關的A的屬于的屬于2 = 3 =1 的全部特征向量的全部特征向量.

23、注意注意: 這里這里基礎解系含基礎解系含有兩個向量有兩個向量323322,(kkkk 特征向量特征向量, 而而不同時為不同時為0）就是）就是 由上兩例可見：由上兩例可見：k 重特征根所對應的線性無關的特征重特征根所對應的線性無關的特征向量個數(shù)可能為向量個數(shù)可能為 k, 也可能少于也可能少于 k .例例 （教材教材P112例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A35引理引理 設設是是A的特征值，則的特征值，則2是是A2 特征值，一般特征值，一般 地，地，k 是是Ak 的特征值的特征值.證證 因為因為是是A的特征值，即有的特征值，即有pApp 使使

24、, 0 0于是，于是，pAppAApApA22)()()( 即即2是是A2 特征值，類似可證一般情形特征值，類似可證一般情形.注：此注：此結結論還可進一步推廣如下：論還可進一步推廣如下：若若是是A的特征值，則的特征值，則的的特特征征值值是是的的特特征征值值，是是bEaAbaaAa 更一般地，更一般地，mmaaa 10.10的的特特征征值值是是mmAaAaEa 36定理定理 2 設設m ,21是方陣是方陣A的的 m個特征值個特征值,依次是與之對應的特征向量，如果依次是與之對應的特征向量，如果mppp,21m ,21各不相等，則各不相等，則mppp,21線性無關線性無關.證證 設有設有( (* *

25、) )0 0 mmpxpxpx2211（*）式兩端分別用）式兩端分別用12, mAAAE左乘左乘, 由引理由引理0 mmmmmpxpxpxpxpxpx221122112 21 10 0可得可得:0 02 21 1 mmmmmmpxpxpx122111137 OOOpxpxpxmmmmmmm 11221112211111 左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，由條件知，左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，由條件知，此行列式不等于零，故該矩陣可逆，于是有：此行列式不等于零，故該矩陣可逆，于是有： OOOpxpxpxmm 2211故故但但即即, , ,OpmjOpxjjj ).,2,1(), 2

26、, 1(0mjxj .,21線線性性無無關關所所以以mppp證畢證畢用矩陣形式寫出用矩陣形式寫出,即即:38*:1. 31,1,2|3|?AAE 思思考考設設 階階矩矩陣陣 的的特特征征值值為為，則則2.322AA設設 為為 階階矩矩陣陣，各各列列元元素素之之和和均均為為 ，問問 是是的的一一個個特特征征值值嗎嗎？*3. 3|2|0,|2|0|2|0,|.AAEAEAEA設設 為為 階階方方陣陣，且且，求求12*4.4,0(). AAxR A 設設 為為 階階矩矩陣陣，是是的的兩兩個個線線性性無無關關的的解解，求求3946015. 3501.361Axkk 設設的的一一個個特特征征向向量量，求

27、求-46- 3-51.3-6 .Axxkkk ，解解：，得得到到的的特特征征值值是是多多少少？問問上上題題中中對對應應于于 x.211121112111kAAkx的特征向量，求的特征向量，求的逆陣的逆陣是是設設練習題練習題 參參考考上上提提示示：述述例例子子. .403 3 相似矩陣相似矩陣定義定義 設設A，B都是都是 n 階方陣，若有可逆矩陣階方陣，若有可逆矩陣 P，使，使BAPP 1則稱矩陣則稱矩陣 B 和和A相似相似，對對A進行運算進行運算BAPP 1稱為對稱為對A進行進行相似變換相似變換，可逆矩陣，可逆矩陣 P 稱稱為為相似變換矩陣相似變換矩陣.定理定理 3 若若 n 階方陣階方陣A與

28、與B相似，則相似，則A與與B的特征多項式相的特征多項式相 同，從而同，從而A與與B的特征值亦相同的特征值亦相同.證證 因因A與與B相似，即有相似，即有P，使，使BAPP 1故故PEAPPEPAPPEB)()(111 .1EAPEAP 41推論推論 若若 n 階方陣階方陣 A相似于對角陣相似于對角陣 n 21則則n ,21即是即是A的的 n 個特征值個特征值.思考思考：1) 若若A、B相似，相似，A、B是否等價？是否等價？2) 若若A、B相似相似, 是否有是否有?BA 結論結論: 若若A、B相似相似, 則則A, B等價等價(從而秩相等從而秩相等), 且有且有 A,B的特征多項式相同的特征多項式相

29、同,特征值相同特征值相同; ,BA 以及以及nnnnbbbaaa 2211221142問題問題 對對n 階方陣階方陣A，如何尋求相似變換矩陣，如何尋求相似變換矩陣P，使，使 APP1為對角陣？為對角陣？定理定理 4 n 階方陣階方陣A相似于對角陣（即相似于對角陣（即A能對角化）能對角化）充分充分 必要條件必要條件是是A有有n 個個線性無關線性無關的特征向量的特征向量. 由此定理知，由此定理知，A能否對角化歸結為何時能否對角化歸結為何時A能有能有n個線性個線性無關的特征向量，在上節(jié)的例子中，我們知道，盡管無關的特征向量，在上節(jié)的例子中，我們知道，盡管 n階矩陣一定有階矩陣一定有 n 個特征值，但

30、卻不一定有個特征值，但卻不一定有 n 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量.43 nnnppppppA 212121則有：則有：定理定理 4的證明的證明即即)(iiiiippAp 可可逆逆由由于于的的特特征征向向量量的的對對應應于于是是所所以以PApii, （充分性）將必要性證明逆推之即可（充分性）將必要性證明逆推之即可.證證 （必要性）若（必要性）若A與對角陣相似，與對角陣相似， APP1),(的的列列向向量量皆皆為為 Ppi即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 P，使，使 PAP.,21線線性性無無關關故故nppp44推論推論 如果如果 n 階矩陣階矩陣A的的 n 個特征值各不相等，則個特征值

31、各不相等，則A與對與對 角陣相似角陣相似.在一個特別情形，我們有在一個特別情形，我們有注意注意 由定理由定理4的證明過程可知：的證明過程可知：1）對角陣）對角陣的對角線上的元素就是的對角線上的元素就是A的的 n 個特征值；個特征值；2）相似變換矩陣）相似變換矩陣 P 的列向量就是的列向量就是A的的 n個線性無關個線性無關 的特征向量的特征向量.當有當有 APP1成立時，成立時，設設3階方陣階方陣A的特征值為的特征值為 1,1,2，問，問A3 能否相似對角化？能否相似對角化？答答: 可以可以.45解解 A的特征多項式為的特征多項式為2)1)(2(163053064 AE故得故得A的三個特征值為的

32、三個特征值為. 1, 2321 對于對于, 21 方程組（方程組（-2E A)x= 0 , 試證三階矩陣試證三階矩陣與對角陣相似與對角陣相似,并求出并求出P. 163053064A解齊次線性解齊次線性可得特可得特征向量：征向量： 1111x例例 (P116例例 7 )46對于對于, 132 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（E A)x= 0 ,則有則有 試證三階矩陣試證三階矩陣A與對角陣相似與對角陣相似. 163053064A得兩個線性無得兩個線性無關的特征向量：關的特征向量：,100,01232 xx構造矩陣構造矩陣 101011021321xxxP 1121APP即即A與對角矩陣相似與對

33、角矩陣相似.47 1. (P118第1題)解解 因因A與與相似，相似，.,4512422421yxyxA求求相似相似與與設方陣設方陣 ,),()( AtrAtr故故有有 yxyx20)83(54511 yxyx48312即即.5, 4 yx解解得得4800111100設設Ax 問問 x 取何值時，取何值時，矩陣矩陣A能對角化？能對角化？2.解：解：011110AEx 21(1)(1) (1)1 1231,1 特特征征值值：4923A12 矩矩陣陣 可可對對角角化化的的充充要要條條件件是是對對應應重重特特征征值值，有有 個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量. .()02AE x即即 有有 個

34、個線線性性無無關關的的解解. .()1.R AE亦亦即即應應有有 10110101AEx 由由 101001000 x 1xA 所所以以，當當時時，矩矩陣陣 可可對對角角化化. .504 實對稱矩陣的相似矩陣定理定理 5 實對稱矩陣實對稱矩陣的特征值為實數(shù)的特征值為實數(shù). 前面我們知道，一般來說前面我們知道，一般來說 n 階矩陣不一定有階矩陣不一定有 n 個線性個線性無關的特征向量無關的特征向量; 但在實對稱矩陣情形，則有肯定的結但在實對稱矩陣情形，則有肯定的結論論. 對實對稱矩陣，有對實對稱矩陣，有（證明略去）此定理表明（證明略去）此定理表明 n 階實對稱矩陣一定有階實對稱矩陣一定有 n個實

35、個實特征值特征值.51定理定理 6 設設1,2 是是實對稱矩陣實對稱矩陣A的兩個特征值，的兩個特征值，P1, P2 是對應的特征向量，若是對應的特征向量，若12，則，則P1, P2正交正交.證證 已知已知021 ppT要證要證,21222111 pAppAp2121211211)()(pAppApppppTTTTT 0)(2121 ppT ,02121 ppT 21222121ppppAPpTTT 證畢證畢52定理定理7 設設A是是 n 階階實對稱矩陣實對稱矩陣, 是是 A的特征方程的的特征方程的 r 重重 根根, 則特征值則特征值恰有恰有 r 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. （此

36、時矩陣（此時矩陣（AE）的秩）的秩 R(AE)= n - r )在上述三個定理的基礎上，可得下述定理在上述三個定理的基礎上，可得下述定理8. 定理表明定理表明, n 階階實對稱矩陣實對稱矩陣一定有一定有 n 個線性無關的特個線性無關的特征向量征向量. 此定理在理論上非常重要，但證明超出范圍，故略去此定理在理論上非常重要，但證明超出范圍，故略去.53定理定理8 設設A是是 n 階階實對稱矩陣實對稱矩陣, 則必有正交矩陣則必有正交矩陣 P, 使使 ，其中，其中 是以是以 A 的的 n 個特征值為對角元素個特征值為對角元素 的對角陣的對角陣. APP1 證證 設設A的互不相等的特征值為的互不相等的特

37、征值為s ,21它們的重數(shù)依次為它們的重數(shù)依次為)(,2121nrrrrrrss 由定理由定理7知特征值知特征值),2,1(sii 所對應的線性所對應的線性于是于是,一共可以得到一共可以得到 n個單位正交的特征向量個單位正交的特征向量,以這以這 n個單位正交的特征向量為列向量構造矩陣個單位正交的特征向量為列向量構造矩陣P, 則則P為正為正交矩陣，且有交矩陣，且有 APP1證畢證畢.無關的特征向量有無關的特征向量有個個ir)(21nrrrs 54解解 A的特征多項式為的特征多項式為2)4)(2(310130004 EA故得故得A的三個特征值為的三個特征值為. 4, 2321 對于對于, 21 解

38、齊次線性方程組（解齊次線性方程組（A 2E)x = 0 ,P119 例例 9例例 設設 310130004A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 P,使使 APP1為對角陣為對角陣.55系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IEA 000110001110110002)2(行行同解同解方程方程組為組為 333210 xxxxx取基取基礎解礎解系系.1101 單位單位化得化得.212101 p例例 設設 310130004A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 P,使使 APP1為對角陣為對角陣56對于對于, 432 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（A4E)x= 0 ,系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IEA 000000110110110000

39、)4(行行同解同解方程方程組為組為 333211xxxxxx取基取基礎解礎解系系 110,00132 例例 設設 310130004A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 P,使使 APP1為對角陣為對角陣.57 基礎解系中的基礎解系中的 兩個向量恰好正兩個向量恰好正交交, 故只須單位化故只須單位化 21210,00132pp構造構造正交正交矩陣矩陣 4421APP且且有有,2102121021010 P例例 設設 310130004A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 P,使使 APP1為對角陣為對角陣.58解解 A的特征多項式為的特征多項式為2)5)(4(124242421 AE故得故得A的三個特征值為

40、的三個特征值為. 5, 4321 對于對于, 41 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（4 EA)x= 0 ,P120 例例10例例 設設 124242421A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 Q, 使使 AQQ1為對角陣為對角陣.59 得特得特征向量征向量121 .2 單位單位化得化得1231.323q 對于對于, 532 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（5EA)x= 0 ,23100,1112 得兩個線性無得兩個線性無 關的特征向量關的特征向量例例 設設 124242421A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 Q, 使使 AQQ1為對角陣為對角陣.60 由于這兩個向量不是正交的由于這兩個向量不是

41、正交的, 故須先正交化再單位化故須先正交化再單位化正交化正交化,取取210,1 33 , , 0112102112 14114 例例 設設 124242421A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 Q, 使使 AQQ1為對角陣為對角陣.61再單位化再單位化 6232262,2202232 qq構造構造正交正交矩陣矩陣 5541AQQ且且有有,622232322031622231 Q例例 設設 124242421A求一個正交矩陣求一個正交矩陣 Q, 使使 AQQ1為對角陣為對角陣.625 5 二次型及其標準形二次型及其標準形(*)122 cybxyaxyxyyxxcossinsincos/ 12/2/

42、nymx的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)淖鴺诵D變換的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)淖鴺诵D變換把方程化為標準形把方程化為標準形引言引言 在解析幾何中，為了便于研究二次曲線在解析幾何中，為了便于研究二次曲線 注意注意此為正此為正交變換交變換63nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13113211222222211121222),( 稱為稱為二次型二次型. （*）式的左邊是一個二次齊次多項式，從數(shù)學的觀點）式的左邊是一個二次齊次多項式，從數(shù)學的觀點看，化標準形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個看，化標準形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只含有平方項。

43、二次齊次多項式，使它只含有平方項。 我們把二次齊次多項式稱為我們把二次齊次多項式稱為二次型二次型.定義定義8 含有含有 n 個變量個變量的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)nxxx,2164 稱只含平方項的二次型，如2222211nnxkxkxkf 于是，有ijjijiijjiijijjixxaxxaxxaaa 2,則則取取nnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaf1,131132112222222111222 為二次型的為二次型的標準形標準形. njijiijxxa1,65二次型的矩陣形式表示, nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA21212222111211 nnnnnnnnTxxxaa

44、aaaaaaaxxxAXXf2121222211121121)(記記則二次型可以記為則二次型可以記為 , 驗證如下：驗證如下：AXXfT 66 nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121)()()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxa1, 131132112222222111222 njijiijxxa1,67 矩陣矩陣A是實的對稱陣；是實的對稱陣；易知，在上述記法下：易知，在上述記法下： 稱對稱陣稱對稱陣A為二次型為二

45、次型 f 的矩陣的矩陣，也把，也把 f 叫做對叫做對稱陣稱陣A的二次型的二次型，A的秩就叫做的秩就叫做二次型二次型 f 的秩的秩.),( ,njiaaaaaaaaaaaAjiijnnnnnn21212222111211 其其中中 實二次型與實對稱陣之間是一一對應的實二次型與實對稱陣之間是一一對應的.68解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例注意：注意：這種習題雖然簡單，但它是正確解題的前這種習題雖然簡單，但它是正確解題的前 提，千萬不

46、能寫錯提，千萬不能寫錯. .692222211nnykykykf nkkk21 nnnTyyykkkyyyYYf212121可見，與標準形對可見，與標準形對 應的矩陣是應的矩陣是對角陣對角陣解解問：問： 與標準形與標準形對應的矩陣是什么？此標準形用矩陣如何表示？對應的矩陣是什么？此標準形用矩陣如何表示？70 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111用矩陣表述用矩陣表述，即尋求可逆變換，即尋求可逆變換 X=CY ，其中，其中nnijcC )(AXXfT 為可逆陣，使二次型為可逆陣，使二次型化為標準形化為標準形. 也即也即YYYACCY

47、CYACYAXXfTTTTT )()()(2222211nnykykyk f化為標準形化為標準形.將二次型將二次型尋求可逆的尋求可逆的 線性變換線性變換 njijiijxxaf1,即即要討論的問題是：要討論的問題是：71證證定理定理9 9 任給可逆矩陣任給可逆矩陣C C，令，令ACCBT ，如果如果).()(ARBR A 為對稱陣，則為對稱陣，則 B 亦為對稱陣，且亦為對稱陣，且YYYACCYAXXfTTTCYXT )(由上可見：由上可見：二次型化簡，即二次型化簡，即BACCCACACCBTTTTTTTT )()(稱滿足此式稱滿足此式的矩陣的矩陣A， B是是合同合同的的 ACCT的問題等價于：

48、當實對稱陣的問題等價于：當實對稱陣A給定后，如何求給定后，如何求一個可逆陣一個可逆陣C，使得，使得 成為對角陣成為對角陣.).()(,ARBRBAB 從而有從而有等價等價又易知又易知對稱對稱故故72)(1,jiijnjijiijaaxxaf 總有正交變換總有正交變換 ，使，使 化為標準形化為標準形其中其中 是是 的矩陣的矩陣 的特征值的特征值. .2222211nnyyyf n,21)(ijaA PYX ff定理定理1010 任給實二次型任給實二次型 在本章第四節(jié)，我們已經(jīng)知道，對于任意實對稱陣在本章第四節(jié)，我們已經(jīng)知道，對于任意實對稱陣A，一定有正交矩陣一定有正交矩陣 P，使得，使得 ，而對

49、正交矩陣來，而對正交矩陣來說說 . 因此，可以借助于正交變換來將二次型化因此，可以借助于正交變換來將二次型化簡簡. 從而有從而有 APP1TPP 173例（教材P124例11） 寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣A A（一定是對稱陣）；（一定是對稱陣）； 求求A A的特征值（共的特征值（共 n n 個，重根按重數(shù)計算）；個，重根按重數(shù)計算）； 求各特征值對應的特征向量；求各特征值對應的特征向量； （在正交化、單位化后）寫出正交矩陣（在正交化、單位化后）寫出正交矩陣P P； 寫出二次型的標準形及所用的正交變換寫出二次型的標準形及所用的正交變換. .434232413121222222xxxxxxx

50、xxxxxf 注注 此類習題是本章的基本題型之一，要求大家必須掌此類習題是本章的基本題型之一，要求大家必須掌 握，其解法步驟如下：握，其解法步驟如下：求一個正交變換把下列二次型化為標準形求一個正交變換把下列二次型化為標準形.74 0111101111011110A3)1)(3(111111111111 EA.1,34321 434232413121222222xxxxxxxxxxxxf解解 二次型二次型 的矩陣為的矩陣為它的特征它的特征多項式為多項式為于是于是A的特征值為的特征值為, 31 對于對于0 0 xEA)3(解方程組解方程組 75 1111,1100,0011432 11111得基礎

51、解系得基礎解系單位化得單位化得,1111211 p, 1432 對于對于0)( xEA解方程組解方程組可得正交的基礎解系可得正交的基礎解系76 21212121,212100,002121432ppp 432143212121021212102121021212102121yyyyxxxx.324232221yyyyf 單位化單位化 即得即得于是，正于是，正交變換為交變換為標準形為標準形為PYX 77323121622)2xxxxxxf 例例 化簡二次型化簡二次型32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 若不限于用正交變換，還可以有多種方法把二次型若不限于用正交變換，還可

52、以有多種方法把二次型化成標準形，這里僅介紹化成標準形，這里僅介紹配方法配方法. 其它方法請大家自其它方法請大家自學學. 用配方法可以分為兩種情形：用配方法可以分為兩種情形： 1）二次型中含有平方項；）二次型中含有平方項； 2）二次型中不含平方項）二次型中不含平方項. 7832232231212165222xxxxxxxxxf ,1繼繼續(xù)續(xù)配配方方可可得得右右端端除除第第一一項項外外不不再再含含 x32232232232223216522)(xxxxxxxxxxx 233222232144)(xxxxxxx .0)2()(232322321xxxxxxf f1x1x解解 由于由于 中含變量中含變

53、量 的平方項，故把含的平方項，故把含 的項歸并的項歸并 起來，配方可得起來，配方可得32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 79,2333223211 xyxxyxxxy令令2221yyff 化化為為標標準準形形就就把把)01(,100210111 CC所用變換所用變換 矩陣為矩陣為CYX 即變換即變換為可逆變換為可逆變換. 3332232112yxyyxyyyx即即32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 80323121622)2xxxxxxf 33212211yxyyxyyx.842232312221yyyyyy .6)2(2)(223232

54、221yyyyyf 代入可得代入可得再配方，得再配方，得故令故令.)( 6)( 2)( 23213212121yyyyyyyyyyf f21xx解解 在在 中不含平方項，由于含有中不含平方項，由于含有 乘積項，乘積項，81,233322311 yzyyzyyz令令 100111311100210101100011011C232221622zzzf )02( C即有即有 所用的變換矩陣為所用的變換矩陣為,233322311 zyzzyzzy即即問：能否繼續(xù)問：能否繼續(xù)化簡此二次型？化簡此二次型？323121622)2xxxxxxf 827 正定二次型正定二次型 試回答下列問題：試回答下列問題：

55、二次型的標準形是否唯一？二次型的標準形是否唯一？ 用正交變換法得到的標準形是否唯一？用正交變換法得到的標準形是否唯一？ 標準形中所含標準形中所含 (非零非零)的項數(shù)是否確定？的項數(shù)是否確定？答答 1 .不唯一不唯一.2 .除順序可能不同外，唯一除順序可能不同外，唯一.3. 確定，為二次型的秩確定，為二次型的秩.83rPZXCYX 及及,),0(),0(22222112222211 irrirrzzzfkykykykf 及及使使則則 中正數(shù)的個數(shù)與中正數(shù)的個數(shù)與 中正數(shù)的個中正數(shù)的個數(shù)相等數(shù)相等. .rkk,1r ,1AXXfT 定理定理11 （慣性定理）（慣性定理） 設有二次型設有二次型 ，它

56、的秩為，它的秩為 ，有兩個，有兩個實的可逆變換實的可逆變換84),0(22112211 irrppppdydydydydf若設若設 中正數(shù)的個數(shù)為中正數(shù)的個數(shù)為 p, ,則負數(shù)的個數(shù)為則負數(shù)的個數(shù)為 r-p. .于是于是 f 的標準形可寫為：的標準形可寫為：rkk,1再作線性變換：再作線性變換： nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111221221rppzzzzf 則上述標準形又變成：則上述標準形又變成： 稱此式為二次型稱此式為二次型 的的規(guī)范形規(guī)范形. 稱稱p為二次型的為二次型的正慣性正慣性指數(shù)指數(shù).AXXxxfTn ),(185問下列二次型正定性如何？問下列二次型正定性如何？由定理

57、由定理11可引出一個較為重要的概念，即正定性可引出一個較為重要的概念，即正定性.23222132152),(xxxxxxf 22213212),(xxxxxf （非負定非負定）（正定正定）則則稱稱二二次次型型為為或或都都有有如如果果對對任任何何設設有有二二次次型型),0( ,0)( ,0,)( XfXAXXXfT定義定義, 0)( Xf正定（非負定）二次型正定（非負定）二次型， 并稱對稱陣并稱對稱陣A是是正定（非負定）正定（非負定）的的， 記作記作A0; 如果對于任何如果對于任何 都有都有. 0 A則稱則稱 f 為為負定二次型負定二次型，并稱，并稱A 是是負定的負定的，記作，記作0 X86推論

58、推論 對稱陣對稱陣A為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A的特征值全的特征值全 為正為正. .定理定理1313 對稱陣對稱陣A為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A 的各階主的各階主 子式都為正；對稱陣子式都為正；對稱陣A為負定的充分必要條件是：奇數(shù)為負定的充分必要條件是：奇數(shù) 階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正. .定理定理12 實二次型實二次型 為正定的充分必要條件為正定的充分必要條件 是：它的標準形的是：它的標準形的 n 個系數(shù)全為正個系數(shù)全為正. AXXfT 二次型、實對稱陣的正定性判別二次型、實對稱陣的正定性判別87nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122221112113332312322211312112221121111,順序主子式順序主子式 即矩陣沿其主對角線方向所取的子式即矩陣沿其主對角線方向所取的子式.如如 n 階方陣階方陣即各階主子式依次為：即各階主子式依次為： nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211881 證明證明 ：若：若A、B皆正定，則皆正定，則A+B也正定。也正定。0X 0,0 BXXAXXTT0)( BXXAXXXBAXTTT由于由于A、