第3章復(fù)變函數(shù)的積分

1、第第3章章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分本章學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解復(fù)變函數(shù)積分的概念;2了解復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì);3掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識(shí);4熟練掌握柯西古薩基本定理;5會(huì)用復(fù)合閉路定理解決一些問題;6會(huì)用柯西積分公式;7會(huì)求解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分l3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念l3.1.1積分的定義l本章中,我們將給出復(fù)變函數(shù)積分的概念,然后討論解析函數(shù)積分的性質(zhì),其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ),借助于這些性質(zhì),我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。 一、積分的定義一、積分的定義1.有向曲線有向曲線

2、: 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向?yàn)檎较? (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, . C記為記為簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線簡單閉曲線C的正向的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方順此方向前進(jìn)時(shí)向前進(jìn)時(shí), , 鄰近鄰近P點(diǎn)

3、的曲線點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方點(diǎn)的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明關(guān)于曲線方向的說明: 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn)為起點(diǎn), 另一個(gè)作為終點(diǎn)另一個(gè)作為終點(diǎn), 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的的長長度度這這里里kkkkkkzzszzz (

4、 , 0 時(shí)時(shí)無限增加且無限增加且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記記為為的的積積分分沿沿曲曲線線函函數(shù)數(shù)那那么么稱稱這這極極限限值值為為一一極極限限有有唯唯的的取取法法如如何何的的分分法法及及如如果果不不論論對(duì)對(duì)CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明: .d)( , )1( CzzfC記為記為那么沿此閉曲線的積分那么沿此閉曲線的積分是閉曲線是閉曲線如果如果 . ),( )( , )2(定積分的定義定積分的定義實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)這個(gè)積分定義就是一元這個(gè)積分定義就是一元而而軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間是是如果如果xuzfbxaxC 二、積分存在的條件及其計(jì)算法

5、二、積分存在的條件及其計(jì)算法1. 存在的條件存在的條件.d)( , )(一一定定存存在在積積分分是是光光滑滑曲曲線線時(shí)時(shí)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)而而如如果果 CzzfCzf且有，且有， Cyvxudd CyuxvddC)(dzzfi : ddd )(相相乘乘后后求求積積分分得得到到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式2. 積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法. d)( 積積分分來來計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)的的線線可可以以通通過過

6、兩兩個(gè)個(gè)二二元元實(shí)實(shí)變變 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf ttztzfzzfCd)()(d)(則則光光滑滑曲曲線線相相互互連連接接所所組組成成的的按按段段等等光光滑滑曲曲線線依依次次是是由由如如果果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后討論的積分中在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線曲線 C

7、 是按段光滑的是按段光滑的.綜上，綜上， l1) 當(dāng)是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。l2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。 udyvdxivdyudxdzzfccc tctfz dzfztzt dt3.1.3 積分的性質(zhì)積分的性質(zhì) l從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質(zhì)，它們是與實(shí)變函數(shù)中曲線積分的性質(zhì)相類似的.l我們把簡單閉曲線的兩個(gè)方向規(guī)定為正向和負(fù)向. 以后遇到積分路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向. 3.1.3 積分的性質(zhì)l1l2l3l4 dzzfkdzzfkcc ;dzzfdzzfcc ;dzzgdzzfdzzgzfccc

8、 ccf z dzf z dsML（積分估值定理）例例1計(jì)算計(jì)算 其中其中 為從原點(diǎn)到為從原點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn) 的直線段。的直線段。l解 直線的方程可寫成l又因?yàn)閘容易驗(yàn)證，右邊兩個(gè)線積分都與路線 無關(guān)，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于,dzzcCi 4310 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzccccCdzzcC24321i例例2計(jì)算計(jì)算 其中其中 為以為以 中心，中心， 為半徑的正向圓周為半徑的正向圓周, 為整數(shù)為整數(shù). 解解: 的方程可寫成的方程可寫成所以所以因此C2020201110de

9、rideriderirezzdzinninncnininC,10cnzzdzrn,20 ,0irezzcnnnizzdz, 0, 0, 0,210重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān). .0z例例3計(jì)算計(jì)算 的值，其中的值，其中 為沿從為沿從（0，0）到（）到（1，1）的線段：）的線段：l解 :dzzcC; 10 ,ttytx1100121czdztiti dttdt例例4計(jì)算計(jì)算 的值，其中的值，其中 為沿從為沿從（0，0）到（）到（1，0）的線段與從（）的線段與從（1，0）到（）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折）的線段所連結(jié)成的折線。線。 l解

10、 :dzzcC12ccczdzzdzzdziiidtitddtt12121110101.積分與路經(jīng)無關(guān)問題 觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例1， , )( 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析被被積積函函數(shù)數(shù)zzf 此時(shí)積分與路線無關(guān)此時(shí)積分與路線無關(guān). 柯西柯西古薩（古薩（CauchyGoursat）基本定理基本定理觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例3, ,)( iyxzzf 被積函數(shù)被積函數(shù)由于不滿足柯西黎曼方程由于不滿足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析處處不解析. d 與與路路線線有有關(guān)關(guān)此此時(shí)時(shí)積積分分值值zzc 由以上討論可知由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān)積分是否與路線有關(guān), 可可

11、能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.B2.基本定理基本定理: 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的積積分分為為零零內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條封封閉閉曲曲線線沿沿那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)C定理中的定理中的 C 可以不是簡可以不是簡單曲線單曲線.此定理也稱為此定理也稱為柯西積分定柯西積分定理理.關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf , 上解析上解析即在閉區(qū)域即在閉區(qū)域CBB ,

12、 上上解解析析內(nèi)內(nèi)與與CB czzf. 0d)( 那那末末(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf那那末末上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 , CBB , 內(nèi)解析內(nèi)解析B定理仍成立定理仍成立.23一、復(fù)合閉路定理一、復(fù)合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在在多多連連通通域域內(nèi)內(nèi)解解析析設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)zf ),( 1正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向單閉曲線單閉曲線內(nèi)的任意兩條簡內(nèi)的任意兩條簡為為及及DCC. 11DDCC全全含含于于為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作兩兩段段不不相相交交的的弧弧段段24

13、DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符為為了了討討論論方方便便 . 均為封閉曲線均為封閉曲線 , D因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 25 AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzf

14、d)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或26DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一條復(fù)合閉路成一條復(fù)合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡單如果我們把這兩條簡單CC : 的的正正方方向向?yàn)闉?, 按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行外面的閉曲線外面的閉曲線 C , 1按順時(shí)針進(jìn)行按順時(shí)針進(jìn)行內(nèi)部的閉曲線內(nèi)部的閉曲線 C ), , (的的左左手手邊邊內(nèi)內(nèi)部部總總在在的的的的正正向向進(jìn)進(jìn)行行時(shí)時(shí)即即沿沿 . 0)( dzzf那那末末 解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內(nèi)作

15、連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說明說明: : 在變形過程中曲線不經(jīng)在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)過函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .27例例5 5. , ,d)(1 1為為整整數(shù)數(shù)的的任任一一簡簡單單閉閉路路為為含含求求nazazn 解解 , 內(nèi)內(nèi)部部在在曲曲線線因因?yàn)闉?a a , 故故可可取取很很小小的的正正數(shù)數(shù) , : 1內(nèi)內(nèi)部部含含在在使使 az1 , )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域?yàn)檫吔绲膹?fù)連通域在以在以 naz28由閉路變形原理由閉路變形原理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 2

16、01d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來很方用起來很方便便, 因?yàn)橐驗(yàn)椴槐厥菆A不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡單閉曲在簡單閉曲線線內(nèi)即可內(nèi)即可.292. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡單閉曲線內(nèi)部的簡單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡單閉曲線內(nèi)的一條簡單閉曲線多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析

17、在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC30DC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , ,2 ,1 , :( f(z) , ,2 ,1 , 順時(shí)針進(jìn)行按按逆時(shí)針進(jìn)行其方向是連續(xù)到邊界組成的復(fù)合閉路為由這里nCCCCnCCCC31例例6 6解解 . 1 ,d12 2曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任何何正正向向簡簡單單閉閉為為包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)內(nèi)有有兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在復(fù)復(fù)平平面面因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù)依題意知依題意知, xyo 1 也也包包含含這這

18、兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)， 32, 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只只包包含含奇奇點(diǎn)點(diǎn) , 1 2 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念l如果函數(shù) 區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于 ，則稱 是 的一個(gè)原函數(shù) z f z z f z34一、主要定理和定義一、主要定理和定義定理一定理一 ( ) , ( )d . Cf zBf zz如果函數(shù)

19、在單連通域內(nèi)處處解析那末積分只與C起點(diǎn)和終點(diǎn)相關(guān)解析函數(shù)積分的路徑無關(guān)性解析函數(shù)積分的路徑無關(guān)性與圍線積分為與圍線積分為0等價(jià)等價(jià)1. 兩個(gè)主要定理兩個(gè)主要定理:35BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令內(nèi)變動(dòng)內(nèi)變動(dòng)在在讓讓如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)便可確定便可確定36 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函數(shù)析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)解內(nèi)的一個(gè)解必為必為那末

20、函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) 定理二定理二B zK373. 不定積分的定義不定積分的定義:()()()()()() d() () . FxfxFzcfxcfzzFzcfz令為的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 則也 是的 原 函 數(shù)為 任意 常 數(shù)。 稱 ：為的 不 定 積 分定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (類似于牛頓類似于牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )例例 7 計(jì)算計(jì)算 l解： zdzii2sinzdzii2siniiiizzdzzii2sin212sin212122cos1例例 8 計(jì)算計(jì)算 l解： 1010cos01coscoszdzzzzdzzdzz10sinzdzz10sin1cos1sin01sincoszzz例例9 計(jì)算計(jì)算 l解： dzedzeiiziiz323221dzeiiz32. 021321262iizeeiie例例10 計(jì)算計(jì)算 l解： izzdzei