理論力學15達朗伯原理

1、2 本章介紹動力學的一個重要原理達朗伯原理達朗伯原理。應用這一原理，就將動力學問題從形式上轉化為靜力學問題，從而根據(jù)關于平衡的理論來求解。這種解答動力學問題的方法，因而也稱動靜法動靜法。 151 慣性力的概念慣性力的概念 質(zhì)點的達朗伯原理質(zhì)點的達朗伯原理 152 質(zhì)點系的達朗伯原理質(zhì)點系的達朗伯原理 153 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 154 定軸轉動剛體的軸承動反力定軸轉動剛體的軸承動反力 靜平衡與動平衡的概念靜平衡與動平衡的概念 達朗伯原理的應用達朗伯原理的應用 第十五章第十五章 達朗伯原理達朗伯原理415-1慣性力的概念慣性力的概念 質(zhì)點的達朗伯原理質(zhì)點的達朗伯原理力 是由于小

2、車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力慣性力。F 定義：質(zhì)點慣性力定義：質(zhì)點慣性力 加速運動的質(zhì)點，對迫使其產(chǎn)生加速運動的物體的慣加速運動的質(zhì)點，對迫使其產(chǎn)生加速運動的物體的慣性反抗的總和。性反抗的總和。amQ一、慣性力的概念慣性力的概念 人用手推車，人給小車一個力 ，而反過來小車也給人手一個力 ，由牛頓第三定律， （作用力與反作用力定律）由牛頓第二定律FFFFamFamFF所以5222222dtzdmmaQdtydmmaQdtxdmmaQzzyyxx0222bbnnmaQvmmaQdtsdmmaQ注注 質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)

3、點對施質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施 力體反作用力的合力。力體反作用力的合力。6 非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力 ， 約束反力 ，合力FNamNFR0amNF0QNF質(zhì)點的達朗伯原理質(zhì)點的達朗伯原理二、質(zhì)點的達朗伯原理二、質(zhì)點的達朗伯原理即：質(zhì)點在任意瞬時，除作用的主動力和約束反力外，如再假想地加上慣性力，則這些力在形式上將組成一平衡力系。7 該方程對動力學問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動力學問題的實質(zhì)。采用動靜法解決動力學問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學提供的解題方法，給動力學問題一種統(tǒng)一的解題格式。8例例1 列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運

4、動時，單擺左偏角度 ，相對于車廂靜止。求車廂的加速度 。a9 選單擺的擺錘為研究對象 虛加慣性力 ) ( maQamQ0cossin , 0QmgXtgga 角隨著加速度 的變化而變化，當 不變時， 角也不變。只要測出 角，就能知道列車的加速度 。這就是擺式加速計的原理。aaa解：解：由動靜法, 有 解得 1015-2 質(zhì)點系的達朗伯原理質(zhì)點系的達朗伯原理 對整個質(zhì)點系，主動力系、約束反力系、慣性力系形式上構成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達朗伯原理質(zhì)點系的達朗伯原理。可用方程表示為：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF 設有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，有 ) ,1,2,.

5、 ( 0niQNFiii注意到 , 將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分, 則 0)( , 0)()(iiOiiFmF 0)()( 0)()(iOeiOieiQmFmQF11 表明：對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關。dtKdvmdtdaMamQiiCiii)(dtLdvmmdtdammQmOiiOiiOiO)()()(12對平面任意力系：對平面任意力系： 0)()( 0 0)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX對于空間任意力系：對于空間任意力系：0)()( , 00)()( , 00)()( , 0)()()()()()(izei

6、zizeiiyeiyiyeiixeixixeiQmFmQZQmFmQYQmFmQX 實際應用時, 同靜力學一樣任意選取研究對象, 列平衡方程求解。用動靜法求解動力學問題時，13 15-3 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化 簡化方法就是采用靜力學中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點O簡化而得到一個慣性力 和一個慣性力偶 。QRQOM )( 與簡化中心有關與簡化中心無關QmMaMamQROQOCQ 無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。14一、剛體作平動一、剛體作平動向質(zhì)心C簡化：CQaMR0)()(CiiCiiiCQCar

7、mamrQmMcQaMR剛體平動時慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。翻翻頁頁請請看看動動畫畫1516空間慣性力系平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉軸z與質(zhì)量對稱平面的交點，向O點簡化：iiiamQ主矢：主矩：CQaMR)( 0 )()(2反向負號表示與OiiiiiniOiOQOIrmrmrQmQmM二、定軸轉動剛體二、定軸轉動剛體 先討論具有垂直于轉軸的質(zhì)量對稱平面的簡單情況。O直線 i : 平動， 過Mi點，17向O點簡化：CQaMROQOIM向質(zhì)點C點簡化：CQaMRCQCIM作用在C點作用在O點18討論：討論：剛體作勻速轉動，轉軸不通過質(zhì)點C 。2meRQ19討論：討論：轉軸過質(zhì)點C，但0

8、，慣性力偶 （與反向）CQIM20討論：討論：剛體作勻速轉動，且轉軸過質(zhì)心，則0 , 0QCQMR（主矢、主矩均為零）21 假設剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)點C）的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉動： 作用于質(zhì)心CQaMRCQCIM CQaMRCQCIM三、剛體作平面運動三、剛體作平面運動2223 對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：0)( , 0)(0 , 00 , 0)()()(QCeCCQyeQxeMFmFmRYYRXX實質(zhì)上： )( , , )(22)(22)(22eCCeCeCFm

9、dtdIYdtydMXdtxdM24例例1 均質(zhì)桿長l ,質(zhì)量m, 與水平面鉸接, 桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。 選桿AB為研究對象 虛加慣性力系： 2mlRQ3 , 02mlIMmaRAQAnnQ解解：根據(jù)動靜法，有25(3) 02/cos , 0)(2) 0sin , 0(1) 0cos , 0000QAAnQnAnQAMlmgFmRmgRFRmgRF。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :) 3( ; sin :)2( 000mgRlgmgRAnA26cos2331cos22lgmllmg0 , cos23g , , 此時時0

10、00lt用動量矩定理用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：質(zhì)心運動定理再求解此題：解解：選AB為研究對象2coslmgIA由得：由質(zhì)心運動定理：nAnARmgmaglamgRma000sin0cos432 cos00cos4 , sin mgRmgRAnA27 例例2 牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力 及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f , 試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M 之最大值。TS、 取輪為研究對象 虛加慣性力系： 2mIMmRmaRCQCCQ解：解：由動靜

11、法，得：O28(3) 0 , 0)(2) 0 , 0(1) 0 , 0QCCQMFRMFmSPNYRTFX由(1)得TFmRRQ得代入所以(3) mRTF (4) )()( 2222RTRRFTFRFRMmRTFmFRMFRMQC由(2)得 N= P +S，要保證車輪不滑動，必須 Ff N =f (P+S) (5)RTRRSPfM22)( 可見，可見，f 越越大越不易滑動。大越不易滑動。 Mmax的值的值為上式右端的為上式右端的值。值。把(5)代入(4)得：O2915-4 定軸轉動剛體的軸承動反力定軸轉動剛體的軸承動反力 靜平衡與動平衡的概念靜平衡與動平衡的概念 一、剛體的軸承動反力一、剛體的

12、軸承動反力 剛體的角速度 ，角加速度（逆時針） 主動力系向O點簡化: 主矢 ,主矩 慣性力系向O點簡化: 主矢 ,主矩RQROMQOM )()()( )(kQmjQmiQmkMjMiMQmQrMaMRiziyixQzQyQxiOiiQOCQ30iiiiiiiiiiiiiniiiixnixixQxRzmRzmamzamzQmQmQmMcossin cossin )()()( 2ziiiiiizQzyzzxQyIRmRamQmMIIM22)( 同理可得)()( /co /sin 2iiiiiiQxiiiiiizymxzmMRxsRy故而2 , yzzxQxiiiyziiizxIIMzymIxzmI

13、慣性積令31根據(jù)動靜法：. 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 QzzBAQyyABQxxzBQyyBAQxxBAMMOBXOAXMMOAYOBYMMRZRRYYRRXX其中有五個式子與約束反力有關。設AB=l , OA=l1, OB=l2 可得32/)()( /)()(/)()( /)()(11112222xBQxQyxyBQyQxyxBQyQxyxAQxQyxyARZllRMlRMXllRMlRMYllRMlRMYllRMlRMX 由兩部分組成，一部分由主動力引起的，不能消除，稱為靜反力靜反力；一部分是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動附加動反力反力，它可以通過調(diào)整加以消除。 使

14、附加動反力為零，須有靜反力靜反力附加動反力附加動反力動反力動反力330QyQxMM0QyQxRR當剛體轉軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。當剛體轉軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。0022yzzxyzzxIIII)0(04222yzzxxzIII00CyCxMaMa0CCyx對z 軸慣性積為零，z 軸為剛體在O點的慣性主軸；過質(zhì)心34 靜平衡：靜平衡：剛體轉軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動力時，不論位置如何，總能平衡。 動平衡：動平衡：轉動為中心慣性主軸時，轉動時不產(chǎn)生附加動反力。二、靜平衡與動平衡的概念二、靜平衡與動平衡的概念35例例1 質(zhì)量不計的剛性軸以角速度勻速轉

15、動，其上固結著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡： (b)、 (d)動平衡： ( a)36 動平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，動平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不一定是動平衡的。不一定是動平衡的。GrrgGmrGrrRMbGrmrGrMaQQQ2222212121 , 0 : )(21 , 0 : )(對對2121 ,例例2 兩個相同的定滑輪如下圖示，開始時都處于靜止，問哪個角速度大？(a) 繩子上加力G(b) 繩子上掛一重G的物體OO37 根據(jù)達朗伯原理，以靜力學平衡方程的形式來建立動力學方程的方法，稱

16、為動靜法。應用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。 應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當問題中有多個約束反力時，應用動靜法求解它們時就方便得多。 達朗伯原理的應用達朗伯原理的應用38 選取研究對象選取研究對象。原則與靜力學相同。 受力分析。受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。 運動分析。運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出 方向。 應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：虛加慣性力。虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力

17、和慣性力偶，一定要 在 正確進行運動分析的基礎上。熟記剛體慣 性力系的簡化結果。 39 列動靜方程。列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。 建立補充方程。建立補充方程。運動學補充方程（運動量之間的關系）。 求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及轉向已在受力圖中標出，建立方程時，只需按 代入即可。QOQMR , OQOCQIMmaR , 40 例例1 質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。 取系統(tǒng)為研究對象解：解：方法1 用達朗伯原理求解41虛加慣性力和慣性

18、力偶：IIMamRamROQOQQ , , 222111由動靜法：00 , 0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列補充方程： 代入上式得：2211 , raragIrmrmrmrm222211221142方法2 用動量矩定理求解 2211)(222211222111)( grmgrmMIrmrmIrvmrvmLeOOgIrmrmrmrm2222112211 根據(jù)動量矩定理：2211222211)( grmgrmIrmrmdtd取系統(tǒng)為研究對象43gIrmrmrmrm2222112211 )(2 2121212222112222

19、2211IrmrmIvmvmTgdrmrmIrmrmdWdTF)()(2 22112222112得由取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時系統(tǒng)的 )gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmWF221122112211 元功兩邊除以dt，并求導數(shù)，得方法3 用動能定理求解44例例2 在圖示機構中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M， 試求：(1)鼓輪的角加速度？ (2)繩子的拉力？ (3)軸承O處的支反力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？45解：解：方法方法1 用達朗伯原理求解用達

20、朗伯原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶OOOQRgQIM221列出動靜方程：(3) 0 sin0(2) 0cos0(1) 0 , 0)(TQ , YYT , XXMMTRFmOOQOAAQRgPagPR2QA21M , 取輪A為研究對象，虛加慣性力 和慣性力偶MQC如圖示。QR46列出動靜方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(PFRTXMRTRRRPFmQQAQC運動學關系： ，OAOAARRa 將MQ，RQ，MQA及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：。 )3()sin3( , )3()sin(22RPQQRMPTgRPQRPMO47代入(2)、(3)、(5

21、)式，得：。 )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOO48方法方法2 用動力學普遍定理求解用動力學普遍定理求解(1) 用動能定理求鼓輪角加速度。 取系統(tǒng)為研究對象)sin( sinPRMPRMWF)sin()3(4 , 2212PRMCRPQgWTTOF得由 )( AORRv222222221)3(4 22121221)( RPQgRgPvgPRgQTCTOAO常量gRPQPRMO2)3()sin(2 兩邊對t求導數(shù)： )sin(2)3(412OOOPRMRPQg49(2) 用動量矩定理求繩子拉力 （定軸

22、轉動微分方程） 取輪O為研究對象，由動量矩定理得TRMRgQO22RPQQRMPT)3()sin3(3) 用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力 取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運動定理：sin0 , cos0 , TQYYMaTXXMaOCyOCxQRPQQRMPYRPQQRMPXOO sin)3()sin3( , cos)3()sin3(50(4) 用剛體平面運動微分方程求摩擦力 取圓柱體A為研究對象， 根據(jù)剛體平面運動微分方程)( OAAAFRIRPQPRMPgRPQPRMRgPRRIFAA)3()sin()3()sin(22122方法方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度：用動能定理求鼓輪的角加速度

23、用達朗伯原理求約束反力用達朗伯原理求約束反力（繩子拉力 、軸承O處反 力 和 及摩擦力 ）。TOXOYF51例例3 均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O點開始滾動。平板對水平線的傾角為 ，試求OA=S時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。解解：(1) 用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。在初始位置時，處于靜止狀態(tài)，故T1=0；在末位置時，設角速度為，則vC = R , 動能為：P52222224322121CCvgPRgPvgPT 主動力的功：sinPSWF由動能定理 得FWTT12sin34 sin04322gSvPSvgPCC對 t 求導數(shù)，則：sin32 , sin32RggaC(2) 用達朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力 和慣性力偶MQCQRP53sin3sin3221, sin322PRRgRgPMPagPRQCCQ 0sincossin32sin3 , 0)(0sinsin32 , 00cossin32 , 0R