極限運算法則

1、極限運算法則極限運算法則定理定理1 設(shè)設(shè) lim f (x) = A, lim g(x) = B, 則則(1)lim ( )( )lim( )lim ( );f xg xf xg xAB(2)lim ( )( )lim( ) lim ( );f xg xf xg xA B例例:22222lim(ln )limlimln4ln2xxxxxxx例例:221111lim()limlim1xxxxxx exeee 極限運算法則極限運算法則注注:運算前后極限過程保持一致運算前后極限過程保持一致;定理的前提是定理的前提是 lim f (x), lim g(x)必須存在必須存在;在除法運算中在除法運算中,還

2、要求分母的極限不為零還要求分母的極限不為零.(3)( )lim( )lim,( )lim ( )f xf xAg xg xB其中其中0.B 例例:000limcoscos1lim()1lim1xxxxxxxee推論推論1lim.CC 推論推論2lim( )lim( ).Cf xCf x極限運算法則極限運算法則例例:1lim22x lim22x 例例:2211lim22lim2 12xxxx 極限運算法則極限運算法則例例:求下列極限求下列極限0lim(cos2)xxxe 1lim(2ln )xxx 0lim(2)cos xxx 2limsinxxx 0lim(2)xxex 24lim()xxex

3、x 極限運算法則極限運算法則lim ( )( )( );f xg xh xABC若有若有 lim h(x) = C, 則則例例:22111lim(2ln1)lim2limln13xxxxxxx例例:求求22lim(233)xxxe例例:求求322lim(2334)xxxxx極限運算法則極限運算法則推論推論3lim ( )lim( ) .nnf xf x lim ( )( )( );f xg xh xA B C若有若有 lim h(x) = C, 則則例例:3322222limlimlimlim(lim )8xxxxxxxxxx例例:221111lim(sin )limlimlimsin1sin

4、1xxxxxxx exxexe 例例:求求0limcos (2)xxex x 例例:求求0coslim(2)xxxxex 例例:求求32032lim1xxxxx思考思考:211lim (2)(3)xxx極限運算法則極限運算法則例例:求求211lim1xxx 例例:求求2256lim2xxxx 例例:求求例例:求求011limxxx例例:求求44lim53xxx 02lim11xxx思考：思考：2lim (1)xxx 極限運算法則極限運算法則00例例:求求2225lim31xxxx 例例:求求2331lim21xxxx 例例:求求321lim21xxxx 極限運算法則極限運算法則 110110.

5、lim0.mnmmmmnnxnnamnba xaxamnb xbxbmn 注意極限條件注意極限條件:x x 或或極限運算法則極限運算法則例求例求:10210541lim252xxxxx例求例求:32542lim1xxxx 思考思考:302050(21) (32)lim(21)xxxx 例求例求:32231lim(21)xxxx 例求例求:4433lim(22)xxx 極限運算法則極限運算法則 例例:求求232lim1xxx 例例:求求223limxxxx 例例:求求2lim ()xxxx 極限運算法則極限運算法則 例例:求求3113lim()11xxx 思考：思考：322lim()2121xx

6、xxx 例例:求求212lim()11xxxx 極限運算法則極限運算法則例例:求求224lim()22xxxxx 定理定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f g(x) 是由函數(shù)是由函數(shù) y = f (u) 與函數(shù)與函數(shù) u = g(x) 復(fù)合而成復(fù)合而成, 若若000lim( ),lim( ),xxuug xuf uA00lim ( )lim( ).xxuuf g xf uA且在且在 x0 的某去心鄰域內(nèi)有的某去心鄰域內(nèi)有 g(x) u0 , 則則復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限例例:1limxxe 1ueux 10求求解解順順序序x 0u 結(jié)果結(jié)果:1li

7、m1xxe 復(fù)合函數(shù)求極限法則復(fù)合函數(shù)求極限法則例例:1lim cos lnxx例例:lim sin(arctan)xx 例例:1lim ln cosxx 復(fù)合函數(shù)求極限法則復(fù)合函數(shù)求極限法則10limxxe 01lim arctanxx 例例:1sinlimxxe 例例:例例:例例:1lim cos lnxx極限存在準則極限存在準則準則準則 I (夾逼準則夾逼準則) 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x), g(x), h(x),在同一變化過程中滿足在同一變化過程中滿足 g(x) f (x) h(x), 且且lim h(x) = lim g(x) = A , 那么那么 lim f (x) = A.xy

8、( )g x( )h x( )f xOA夾逼準則夾逼準則例例:試用夾逼準則證明試用夾逼準則證明sinlim0 xxx 1sin11sin111sinlimlim0lim0 xxxxxxxxxxxx 1yx xy1yx O111sintan222sintansincos1AOBAODAOBSSSxxxxxxxxx扇扇形形證明證明:0limcos1xx 1.2.3.0sinlim1xxx sin,tanxCB xABxADOABCD1x0sinlim1xxx 重要極限重要極限I:例例:求求0tanlimxxx例例:求求0sinlimlnxxx例例:求求0limsinxxx注注:在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)

9、用中,利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,可將這個極限變形可將這個極限變形, 當當sinlim1xu 例例:1sin(ln )lim1lnxxx 若若0, 則則xu例例:求求0sin5limxxx例例:求求1limsinxxx例例:求求0tan3limxxx例例:求求0sinlimsin2xxxxx 例例:求求0sin6limsin5xxx思考：思考：330sinlimsinxxx重要極限重要極限I:sinlim1xu 重要極限重要極限I:sinlim1xu 例例:求求 a 為何值時為何值時,函數(shù)函數(shù)20( )sin30axxf xxxx 在在0 x 時有極限時有極限.1li

10、m 1xxex可將這個極限變形可將這個極限變形, 當當若若 , 則則xu重要極限重要極限II:例例:求求2lim 1xxx 1lim 1xue 冪指函數(shù)冪指函數(shù)注注:在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中,利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,例例:tan21lim 1tanxxex 例例:求求24lim 1xxx 例例:求求2lim 1xxx 重要極限重要極限II1lim 1xue 例例:求求3lim 12xxx 例例:求求23lim 1xxx 321lim 1xxx 15lim 1xxx 例例:求求例例:求求重要極限重要極限II思考：思考：2lim2xxxx 1lim 1xue 例例:求

11、求22lim 1xxx 10lim 1xxxe可將這個極限變形可將這個極限變形, 當當 1lim 1.xue 重要極限重要極限II的變形的變形:例例: 1ln1lim 1lnxxxe 若若0, 則則xu重要極限重要極限 II注注:在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中,利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則利用復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,例例:求求 10lim 1xxx 例例:求求102lim2xxx 重要極限重要極限II例例:求求10lim(14 )xxx 例例:求求 a 為何值時為何值時, 函數(shù)函數(shù)1(1)0( )(12 )0 xa xxf xxx 在在0 x 時有極限時有極限. 1lim 1xue 思考思考: sec2lim 13cosxxx 一般冪指函數(shù)的化簡一般冪指函數(shù)的化簡冪指函數(shù)是由冪指函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和和冪函數(shù)冪函數(shù)復(fù)合而的函數(shù)復(fù)合而的函數(shù).( )( )v xyu x 冪指函數(shù)的化簡方法冪指函數(shù)的化簡方法:()ln ( )( )ln ( )v xu xv xu xyee例例:化簡化簡xyx lnlnxxxxxyxee例例:求求sin1limxxx例例:求求ln4lim(5)xxx 冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限:一般冪指函數(shù)的極限一般冪指函數(shù)的極限sin xyx ln(5)xyx將下列冪指函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)將下列冪指函數(shù)化為復(fù)合函數(shù):連續(xù)