大學(xué)物理簡明教程第8章 機械振動

1、1第第8章機械振動章機械振動8.1 簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動的動力學(xué)特征8.2 簡諧振動的運動學(xué)簡諧振動的運動學(xué)8.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量8.4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成2tx振動振動：任一物理量：任一物理量( (如電流、電壓等如電流、電壓等) )在某一在某一 數(shù)值附近隨時間作周期性變化。數(shù)值附近隨時間作周期性變化。機械振動機械振動：物體在一定位置附近作來回的往復(fù)運動。：物體在一定位置附近作來回的往復(fù)運動。最簡單最基本的振動最簡單最基本的振動簡諧振動簡諧振動3簡諧振動簡諧振動：一個作往復(fù)運動的物體，如果其偏離：一個作往復(fù)運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移平衡位置的位移x（或

2、角位移（或角位移 ）隨時間）隨時間t按余弦按余弦（或正弦）規(guī)律變化。（或正弦）規(guī)律變化。)tcos(Ax0 10105502)(st()xcm振動曲線振動曲線8.1簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動的動力學(xué)特征 4一、彈簧振子模型一、彈簧振子模型 彈簧振子：彈簧彈簧振子：彈簧剛體（質(zhì)點）系統(tǒng)剛體（質(zhì)點）系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然伸長的位置彈簧處于自然伸長的位置輕彈簧輕彈簧質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律 kl0 xmoAA00Fx設(shè)彈簧原長為坐標原點設(shè)彈簧原長為坐標原點5)cos()(tAtxkmoxXkxdtxdm220222xdtxdkxF令令mk2加速度

3、加速度首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出6特征特征1：物體所受回復(fù)力與位移成正比且反向：物體所受回復(fù)力與位移成正比且反向kxF特征特征2：物理量對時間的二階導(dǎo)數(shù)與本身成正比且反向：物理量對時間的二階導(dǎo)數(shù)與本身成正比且反向xdtxd222特征特征3：物理量是時間的余弦（正弦）函數(shù)：物理量是時間的余弦（正弦）函數(shù))cos(tAx動力學(xué)方程動力學(xué)方程運動學(xué)方程運動學(xué)方程簡諧振動的特征簡諧振動的特征7 鉛直位置為角鉛直位置為角平衡位置平衡位置，o為角為角坐標原點坐標原點。 受受力分析：力分析：sinmgF/o0lgmT/o0mgFmgdtdml220222 dtd結(jié)論結(jié)論：單擺的小角度擺動振

4、動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。l/g 2 00cost二、微振動的簡諧近似二、微振動的簡諧近似8例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m的物體懸掛于輕彈簧下端，的物體懸掛于輕彈簧下端，不計空氣阻力，試證其在平衡位置附近的振動不計空氣阻力，試證其在平衡位置附近的振動是簡諧振動是簡諧振動.證以平衡位置A為原點，向下為x軸正向22()d xmk x lmgdt22d xmkxdt 式中 .2km2220dxxdt為98.2簡諧振動的運動學(xué)簡諧振動的運動學(xué)一、簡諧振動的運動學(xué)方程0222 xdtxd 微分方程微分方程運動學(xué)方程運動學(xué)方程)cos(0 tAxA、 0 由初始條件所決定由初始條件所決定1

5、.速度速度)sin(0 tAdtdx2.加速度加速度)cos(02 tAdtdaxa2 10二. 描述諧振動的三個特征量 1.振幅振幅A 由初始條件決定由初始條件決定t=0 0000sincos AAx22020 xA2. 周期周期T 完成一次完全振動所需的時間完成一次完全振動所需的時間)cos(0 tAx 0)(cos TtA)2cos(0 tA11周期周期T： 2 T頻率頻率 ： 21 T圓頻率圓頻率: 2 固有圓頻率固有圓頻率：僅由振動系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定頻率：僅由振動系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定頻率彈簧振子彈簧振子固有圓頻率固有圓頻率mk 固有振動周期固有振動周期kmT 2 單擺單擺lg gl

6、T 2 123. 位相和初位相位相和初位相(1) 能唯一確定系統(tǒng)運動狀態(tài)，而又能反映其周期性能唯一確定系統(tǒng)運動狀態(tài)，而又能反映其周期性特征的的物理量特征的的物理量 = t+ 0 叫做位相叫做位相, 是描述系統(tǒng)的機械運動狀態(tài)的物理量是描述系統(tǒng)的機械運動狀態(tài)的物理量(2)初位相初位相: t=0時的位相時的位相 0 0000sincos AAx )(0010 xtg (3)位相差位相差兩振動位相之差兩振動位相之差12 13當當 = (2k+1) , k=0,1,2. 兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反, ,稱稱反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滯后于滯后于 2 )cos()cos( 002tat

7、Aam)cos(0 tAx)cos()sin(200 ttAm諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系當當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同,稱稱同相同相14例、一質(zhì)點沿例、一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，其角頻率軸作簡諧振動，其角頻率w = 10 rad/s其初始位移其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度，初始速度v0 = 75.0 cm/s；試寫出；試寫出振動方程：振動方程： )Acos(wt x -Asincm/s75 v Acoscm7.5 x00/4 - cm 10.6 A /4)(-cos10t1010.6x -215例：已知

8、如圖示的諧振動曲線，試寫出振動方程例：已知如圖示的諧振動曲線，試寫出振動方程. t(s)x(cm)p420-4-21解：解：設(shè)諧振動方程為設(shè)諧振動方程為 )cos(0 tAx從圖中得：從圖中得：A4 cmt0時，時，x0-2 cm，且，且 00，得，得042 cos 000 sinA得得320 16032 )sin( A 3532 得得即即 所以振動方程為所以振動方程為)cos(324 tx再分析，再分析，t1 s時，時，x2 cm， 0，)cos(3242 17簡諧振動簡諧振動：)tcos(Ax0 W W -角頻率：由振動系統(tǒng)決定，且角頻率：由振動系統(tǒng)決定，且 ； 2 T 0 0 初位相：由

9、初始條件確定；初位相：由初始條件確定；位相，決定簡諧振動物體的振動狀態(tài)位相，決定簡諧振動物體的振動狀態(tài)0 tA -振幅：由初始條件決定；振幅：由初始條件決定；18)cos(0tAx 以以 為原為原點旋轉(zhuǎn)矢量點旋轉(zhuǎn)矢量 的端點在的端點在 軸軸上的投影點的上的投影點的運動為簡諧運運動為簡諧運動動. .xAo19三、 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 以以 為原點為原點, ,旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 的端點在的端點在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動動為簡諧運動. .oAx 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)一周，M點完成一次全振動。點完成一次全振動。 旋轉(zhuǎn)矢量的模旋轉(zhuǎn)矢量的模A：振幅振幅旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量

10、A A的角速度的角速度 ：角頻率角頻率 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A與與 x 軸軸的夾角的夾角( t+ 0 )： 相位相位oAtt 0t)cos(0tAxxM20)cos(0 tAx用旋轉(zhuǎn)矢量定相位用旋轉(zhuǎn)矢量定相位例：例： x0 = A/2 0 0 =?m m x0 x0 答：答：3 a一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x 軸作簡諧振動。根據(jù)初始條件求初相位。軸作簡諧振動。根據(jù)初始條件求初相位。（1） x0 = -A； （2）過）過 平衡位置平衡位置向正向運動；向正向運動；（3）過）過 x0 = A/2處向負向運動處向負向運動21X oxAX0v0X0v0 xAX0X0v0X=Av=0X=-AV = 0X=0v0X=0v

11、 028s132311ttyx3234s61123322tts65161112ttt29 兩個彈簧振子的周期都是兩個彈簧振子的周期都是0.4 s0.4 s， 設(shè)設(shè)開始時第一個振子從平衡位置向負方開始時第一個振子從平衡位置向負方向運動，經(jīng)過向運動，經(jīng)過0.5 s 0.5 s 后，第二個振子后，第二個振子才從正方向的端點開始運動，則這兩才從正方向的端點開始運動，則這兩振動的相位差為振動的相位差為_30一、動能一、動能221mvEk)(2mk二、勢能二、勢能221kxEP三、機械能三、機械能221kAEEEPk)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA2max2

12、1mv2221Am設(shè)某一時刻設(shè)某一時刻x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0)以彈簧振子為例以彈簧振子為例:8.3簡諧振動的能量簡諧振動的能量 31x0tx=Acos(t)Et221kAE 平均動能平均動能 )(sin TKdttkATE0022211 241kAEK 平均勢能平均勢能 TPdttkATE0022211)(cos 241kAEP 221kAEkp EE 32振幅振幅A ： 決定于系統(tǒng)的初始能量決定于系統(tǒng)的初始能量由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守

13、恒機械能守恒.338.4簡諧振動的合成簡諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成 x1 = A1cos ( t+ 10)x2 = A2 cos ( t+ 20) 求：求： x x1 x2 x 10AA1A20 x1x2 0 20 x)cos( 0 tAx合振幅合振幅 )cos(21020212221 AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110 AAAAtg 34計算法計算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos2

14、02101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA 令 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx 上式合振幅合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg35位相差對合振幅的影響位相差對合振幅的影響(1) ( , 1, 0,21020 kk ), 1, 0)12( ( kk (2)01AA2AAmax=A1+A2 , 相互加強相互加強 01AA2AAmin= |A2 A1| , 相互減弱相互減弱 (3) 一般情形一般情形AminA Amax120.4cos(2) ,650.3cos(2) .6xtmxtm練習(xí)：一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動。求合振動的振幅