可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)

1、110-3 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程2復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程; 階階;定解條件定解條件.解解; 通解通解; 特解特解;分離變量法步驟分離變量法步驟: 1.分離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.d()dyyxx 形形如如的微分方程的微分方程.3.齊次方程齊次方程解法：解法：,xyu 作變量代換作變量代換,yxu 即即dd.ddyuu xxx 則則d(),dxyuyxxy 其其它它變變量量代代換換: :令令2. 可分離變量方程可分離變量方程 的求解方法的求解方法:( )d( )dg yyf xx 3 4. 一階線性齊次微分方程

2、一階線性齊次微分方程5. 一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式d( )0dyP x yx ( )dP xxyCe d( )( )dyP x yQ xx ( )d( )d( )d)P xxP xxyeQ x exC 解法？解法？410-3 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程高階微分方程定義：高階微分方程定義：二階及二階以上的微分方程二階及二階以上的微分方程.可降階的高階微分方程：可降階的高階微分方程：可以通過代換將它化為較低可以通過代換將它化為較低階的方程來(lái)解，階的方程來(lái)解， 這種類型的方程稱為

3、這種類型的方程稱為可降階的方程可降階的方程.相應(yīng)的解法稱為相應(yīng)的解法稱為降階法降階法.一般形式：一般形式：( )(1)( , ,).nnyf x y yy ( )( )nyf x 一一、型型特點(diǎn)：特點(diǎn)：(1),.ny yy 不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù)，解法：解法：接連積分接連積分n次，得通解次，得通解521 cos.xyex 求求方方程程的的通通解解例例 2cosdxyexx 201sin,2xexC 201sind2xyexCx 2021cos,4xexC xC 2021cosd4xyexC xCx 221231sin,8xexC xC xC 01:,2CC 其其中中221231sin.8

4、xyexC xC xC 6( ,)yf x y 二二、的的型型微微分分方方程程( ),yP x 令令d,dPyPx 則則代入原方程代入原方程,得得 ,( ) .Pfx P x 這是一階微分方程這是一階微分方程.200(1)22 13.xxxyxyyy 求求微微分分方方程程滿滿足足, ,的的特特解解例例( ,)yf x y 所所給給方方程程是是型型，( ),yP x 令令d,dPyPx 則則代入原方程代入原方程,得得212dd ,1xPxPx 積分積分212dd ,1xPxPx 2lnln(1) ln ,PxC 即即2(1),PCx 則則得得: :03xy 由由得得：3C ，23(1),Px 則

5、則: :23(1),yx 即即兩邊積分得兩邊積分得:313,yxxC 01xy 由由得得：11,C 331.yxx 則則所所求求的的特特解解為為: :73 0.xyy 求求微微分分方方程程的的通通解解例例( ),yP x 令令d,dPyPx 則則代入原方程代入原方程0,xPP d,dPxPx 即即分離變量分離變量,得得11ddPxPx ，1lnlnlnPxC 積分得積分得1,CPx 1ddCyxx 即即，12lnyCxC ，12ln.yCxC 8( ,)yf y y 三三、的的型型微微分分方方程程,dyyPdx 令令d,dpyPy 則則()yy ddddPyyx ddPPy，代入原方程代入原方

6、程,得得d( ,)dpPf y Py 這是一階微分方程這是一階微分方程.24 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解( ),yP y 設(shè)設(shè)d,dpyPy 則則,y y 將將代代入入原原方方程程得得：2dd0pyyPP ，00,yp 在在、時(shí)時(shí)p約約去去 并并分分離離變變量量再再積積分分得得：ddpyPy ，()ddPydxdx 91lnlnlnpyC 即即，1p C y ，1ddyC yx 即即，:分分離離變變量量得得1ddyC xy ，:積積分分1ddyC xy ，12:lnlny C xC 即即，12:,C xy Ce 所所以以12.C xy Ce 則則原原方方程程的的通通解解為

7、為：24 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解( ),yP y 設(shè)設(shè)d,dpyPy 則則,y y 將將代代入入原原方方程程得得：2dd0pyyPP ，00,yp 在在、時(shí)時(shí)p約約去去 并并分分離離變變量量再再積積分分得得：ddpyPy ，102002115 1 xxyyyyy 例例求求微微分分方方程程滿滿足足初初始始條條件件, ,.的的特特解解( ),yP y 設(shè)設(shè)d,dpyPy 則則,y y 將將代代入入原原方方程程得得：221ddpPPyy ，221dd ,1ppypy 2ln(1)lnln,pyC 21,pCy 即即001,1,xxyy 11,yp 2.C 212 ,py 2

8、1.py 01,xy d21.dyyx 112002115 1 xxyyyyy 例例求求微微分分方方程程滿滿足足初初始始條條件件, ,.的的特特解解由于由于01,xy 所以取正的一支所以取正的一支.即即d21.dyyx 分離變量并兩邊積分得分離變量并兩邊積分得21.yxC 1.C 01xy 將將代代入入上上面面式式子子，從而所求的特解為從而所求的特解為211.yx 注意：注意： 在求特解的過程中，在求特解的過程中， 出現(xiàn)任意常數(shù)后，出現(xiàn)任意常數(shù)后，馬上用初馬上用初值條件值條件代入，代入，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.數(shù)時(shí)，可根據(jù)已知條件定出其中一支數(shù)時(shí)，可根據(jù)已知條件定出其中一支.當(dāng)當(dāng)出現(xiàn)幾支

9、函出現(xiàn)幾支函確定任意常數(shù)，確定任意常數(shù)，12高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)第四節(jié)二、二、n階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 第十章 1322dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx ( )0f x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，式叫二階線性齊次微分方程式叫二階線性齊次微分方程( )0f x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，式叫二階線性式叫二階線性非非齊次微分方程齊次微分方程n 階線性微分方程的一般形式為階線性微分方程的一般形式為時(shí)時(shí), 稱為非齊次方程稱為非齊次方程 ; ( )0f x 時(shí)時(shí), 稱為齊次方程稱為齊次方程.( )0f x ( )(1

10、)11( )( )( )( )nnnnya x yax yax yf x 一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 二階線性微分方程的定義二階線性微分方程的定義14回顧回顧: 一階線性方程一階線性方程( )( )yP x yQ x ( )d P xxye xexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)( 齊次通解齊次通解Y非齊次特解非齊次特解 y*d)()(CxexQxxP d22dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx 二階線性微分方程二階線性微分方程( )0f x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，式叫二階線性齊次微分方程式叫二階線性齊次微分方程( )0f x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)

11、，式叫二階線性式叫二階線性非非齊次微分方程齊次微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x 151.二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu):( )( )0(1)yP x yQ x y 121122( )( ),1(1)y xy xyC yC y 如如果果函函數(shù)數(shù)與與是是方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)解解 那那么么定定理理12(1),.CC也也是是的的解解. .其其中中是是任任意意常常數(shù)數(shù)證證明明12( )( )(1)y xy x因因?yàn)闉榕c與是是方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)解解， 則則有有：111( )( )0yP x yQ x y ，222( )( )0yP x yQ x y ，11

12、22(1)yC yC y 將將代代入入的的左左端端得得：112211221122( )( )C yC yP x C yC yQ x C yC y 11112222( )( )( )( )C yP x yQ x yC yP x yQ x y 0, 1122(1).yC yC y 所所以以是是方方程程的的解解16說明說明:( )( )0(1)yP x yQ x y 121.( )( )( )( )0y xyxyP x yQ x y若若、是是的的解解12111( )( )2( )2( )(1).yy xy xyy xyiy x 則則由由定定理理 知知、是是方方程程的的解解不一定不一定是方程是方程(1

13、)的通解的通解.11222.( )( )yC y xC yx:0yy 如如的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：12,2,xxyeye 122xxyC eC e 而而12(2)xCC e 120,xxyyyeye 又又還還有有兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：12xxyC eC e 而而就是它的通解就是它的通解.為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念線性無(wú)關(guān)概念. 17定義定義:12 ( ),( ),( ) ny x y xy xIn為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間 內(nèi)內(nèi)的的 個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)， 如如果果存存在在12 ,nnk kk個(gè)個(gè)不不全全為為零零的的常常數(shù)

14、數(shù) xI使使得得當(dāng)當(dāng)在在內(nèi)內(nèi)有有恒恒等等式式11220nnk yk yk y nI那那么么稱稱這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 內(nèi)內(nèi)線線性性相相關(guān)關(guān)，.否否則則稱稱線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)例如例如(,)x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2,xxxeee ，線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).221 cos, sinxx，線性相關(guān)線性相關(guān).特別地：特別地：,I若若在在區(qū)區(qū)間間 上上12( )( )y xy x 常常數(shù)數(shù)，12( )( ).y xy xI則則稱稱與與在在 上上線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)12( )( )y xy x 常常數(shù)數(shù)，,I若若在在區(qū)區(qū)間間 上上12( )( ).y xy xI則則稱稱與與在在 上上線線性性相相關(guān)關(guān)18兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)

15、函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件:1122( )( )0k y xk yx1221( )( )y xkyxk 12( )( )y xyx 常數(shù)常數(shù)思考思考:相關(guān)相關(guān)12 ( ),( )y x y x 線線性性相相關(guān)關(guān)120,k k存存在在不不全全為為 的的常常數(shù)數(shù)使使1(0)k 無(wú)無(wú)妨妨設(shè)設(shè)12 ( ),( )y x y x 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)1212 ( ),( )0,( ),( )_.y x y xy x y x若若中中有有一一個(gè)個(gè)恒恒為為 則則必必線線性性1912( )( )(12),y xy x 如如果果函函數(shù)數(shù)與與是是方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)線線

16、性性無(wú)無(wú)定定關(guān)關(guān)的的特特解解理理(1)是是方方程程的的通通解解. .1122yC yC y 那那么么12,.CC其其中中是是任任意意常常數(shù)數(shù)120,xxyyyeye 還還有有兩兩個(gè)個(gè)特特解解為為：如如: :12xxyC eC e 所所以以就是它的通解就是它的通解.212( )( )xy xey x 常常數(shù)數(shù)，推論推論:12( )( ),( )ny x y xy xn如如果果, ,是是 階階線線性性齊齊次次方方程程( )(1)11( )( )( )0nnnnyP x yPx yP x y 1122,nnyC yC yC y 12,.nC CC其其中中, ,是是常常數(shù)數(shù)( )( )0(1)yP x

17、 yQ x y ,n的的 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特解解那那么么它它的的通通解解為為: :20( )( )( )(2)yP x yQ x yf x *( )3y x 設(shè)設(shè)是是二二階階線線性性非非定定理理齊齊次次方方程程：,的的一一個(gè)個(gè)特特解解( ),Y x 是是它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次通通解解*( )( )yY xy x 則則是是二二階階線線性性非非齊齊次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. .證明證明*( )( )yY xy x 將將代代入入方方程程( (2 2) )的的左左端端, ,得得到到*()( )()( )()YyP x YyQ x Yy *( )( ) ( )YP x YQ

18、 x YyP x yy 0( )f x ( ),f x ( ),Y x是是它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次通通解解( )Y x則則中中含含有有兩兩個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立的的任任意意常常數(shù)數(shù), ,*( )( )yY xy x 則則是是二二階階線線性性非非齊齊次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 推論：推論：1221(2).yyyy 若若 、 是是的的解解, ,則則是是相相應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解21說明說明:*y只須只須求它的一個(gè)特解求它的一個(gè)特解( )( )0yP x yQ x y 和和.,21yy的的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解*yYy則則( )( )( )yP x yQ x yf

19、 x 的通解為的通解為1122*.yC yC yy 即即( )( )( )yP x yQ x yf x 若若求求的的通通解解，齊次通解齊次通解Y+ 非齊次特解非齊次特解 y*非齊次通解非齊次通解 y =例如例如, 方程方程0yy 有特解有特解且且故方程的通解為故方程的通解為12cossinyCxCx 又知又知 方程方程yyx 有特解有特解*yx 因此因此 的通解為的通解為yyx 1cos ,yx 2sin ,yx 12tanyxy ,常常數(shù)數(shù)12cossin.yCxCxx 2212( )( )( )( )yP x yQ x yfxfx ，1( )( )( )yP x yQ x yfx 2( )( )( )yP x yQ x yfx 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函數(shù)之和，是幾個(gè)函數(shù)之和，若若而而*1y*2y與與分別是方程分別是方程的的特解，特解，那么那么*2*1yyy 就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理4.解的疊加原理解的疊加原理定理定理 5.12( ),( ),( )ny x y xy x設(shè)設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特解個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 1122( )( )( )*( )nnyC y xC yxC yxyx給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程( )(1)1( )( )( )nnnyax yax yf x *(