信息光學(xué)07-抽樣定理

1、第一章第一章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1.4 抽樣定理抽樣定理 Sampling Theorem問題的提出問題的提出: 對(duì)于一個(gè)連續(xù)的信號(hào)對(duì)于一個(gè)連續(xù)的信號(hào)(模擬信號(hào)模擬信號(hào)), 是否是否必須連續(xù)地發(fā)送必須連續(xù)地發(fā)送,才能傳遞信號(hào)所包含的全部信息才能傳遞信號(hào)所包含的全部信息?答答:為了完全描述一個(gè)頻帶受限制的信號(hào)為了完全描述一個(gè)頻帶受限制的信號(hào)(帶限信號(hào)帶限信號(hào)), 可以對(duì)它在離散點(diǎn)可以對(duì)它在離散點(diǎn)(時(shí)間或空間點(diǎn)時(shí)間或空間點(diǎn))進(jìn)行抽樣進(jìn)行抽樣.抽樣定理抽樣定理若函數(shù)若函數(shù)g (x, y) 不包括高于不包括高

2、于Bx 和和By 的頻率分量的頻率分量,則此函則此函數(shù)可以由一系列間隔數(shù)可以由一系列間隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 處的函數(shù)值完全決定處的函數(shù)值完全決定. X, Y: 時(shí)時(shí)/空域空域, 間隔間隔; Bx , By :頻域頻域, 帶寬帶寬1.4 抽樣定理抽樣定理 1、函數(shù)的抽樣、函數(shù)的抽樣上式表明上式表明,抽樣后的函數(shù)抽樣后的函數(shù)gs(x,y)由間距分別為由間距分別為X和和 Y的的d d 函數(shù)陣列構(gòu)成函數(shù)陣列構(gòu)成, 每個(gè)每個(gè)d d 函數(shù)下的體積正比于該函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值.),( ),(yxgYyXxyxgscombcomb將連續(xù)函數(shù)將

3、連續(xù)函數(shù)g(x,y)在間隔為在間隔為X和和Y的分立的空間的分立的空間點(diǎn)上抽樣點(diǎn)上抽樣, 就是與梳函數(shù)相乘的過程就是與梳函數(shù)相乘的過程.抽樣后的抽樣后的函數(shù)系列用函數(shù)系列用gs(x,y)表達(dá)表達(dá):g(x)0 x=x0 xcomb(x/X).0gs(x)#1.4 抽樣定理抽樣定理 1、函數(shù)的抽樣：二維情形、函數(shù)的抽樣：二維情形1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜的頻譜),(,yxnmyxffGYmfXnf d nmyxYmfXnfG,),(combcomb ),(yxyxsffGYyXxffG),(combcomb yxyxffGYfXfXY經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜經(jīng)過抽樣后

4、函數(shù)的頻譜,是原連續(xù)函數(shù)的是原連續(xù)函數(shù)的頻譜以間隔頻譜以間隔1/X, 1/Y重復(fù)平移并疊加重復(fù)平移并疊加.),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs1.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數(shù)的抽樣二、函數(shù)的抽樣抽樣后函數(shù)抽樣后函數(shù)gs(x,y)的頻譜的頻譜如果如果G (fx, fy)頻帶無限制頻帶無限制, 則這則這些頻譜函數(shù)必然會(huì)疊加些頻譜函數(shù)必然會(huì)疊加 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)即使即使G (fx, fy)是頻帶有限的函數(shù)是頻帶有限的函數(shù), 若若X,Y取值不合適取值不合適, 這些重復(fù)的這些重復(fù)的頻譜函數(shù)之間也會(huì)互相重疊頻譜函數(shù)之間也會(huì)互相重疊.fxGs(fx)01/X1/

5、X只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊, 才有可才有可能用濾波的方法能用濾波的方法,從中提取出原函數(shù)的從中提取出原函數(shù)的頻譜頻譜, 進(jìn)而求出原函數(shù)進(jìn)而求出原函數(shù).fxGs(fx)01.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數(shù)的抽樣二、函數(shù)的抽樣由抽樣值還原出原函數(shù)的條件由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxG(fx)-BxBx0 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)(2) 原函數(shù)抽樣時(shí)原函數(shù)抽樣時(shí),在在x方向和方向和y方向抽樣點(diǎn)的間隔方向抽樣點(diǎn)的間隔 X 和和Y不得大于不得大于1/(2 Bx)和和1/(2 By), (1) g(x,y)是是限帶函數(shù)限帶函數(shù), 其頻譜其頻譜G (fx, f

6、y)僅在僅在頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域 上不為零上不為零.2 Bx, 2 By : 帶寬帶寬: 包圍包圍 的最小矩形在的最小矩形在 fx 和和 fy方向上的寬度方向上的寬度.yxBYBX21 ,21則則Gs中各個(gè)區(qū)域中各個(gè)區(qū)域(間隔為間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會(huì)重疊的頻譜就不會(huì)重疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜提取出原函數(shù)的頻譜G, 進(jìn)而求出原函數(shù)進(jìn)而求出原函數(shù).1.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數(shù)的抽樣二、函數(shù)的抽樣由抽樣值還原出原函數(shù)的條件由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxGs(fx)-BxBx01/X則則Gs中

7、各個(gè)區(qū)域中各個(gè)區(qū)域(間隔為間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會(huì)重疊的頻譜就不會(huì)重疊, 有可能用濾有可能用濾波的方法波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜提取出原函數(shù)的頻譜G, 進(jìn)而求出原函數(shù)進(jìn)而求出原函數(shù).yxBYBX21 ,21yxBYBX21 ,21稱為奈奎斯特稱為奈奎斯特(Niquest)間隔間隔只要以小于或等于只要以小于或等于奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔對(duì)對(duì)g(x,y)抽樣抽樣,則則gs(x,y)的頻的頻譜就是譜就是G (fx, fy)的周期性復(fù)現(xiàn)的周期性復(fù)現(xiàn),包含了包含了g(x,y)的全部信息的全部信息.1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數(shù)的復(fù)原、原函數(shù)的復(fù)原理想低通濾波理想低通濾波為了從為了從gs

8、(x,y)中還原出中還原出g(x,y), 將將gs(x,y)通通過一個(gè)理想低通濾波器過一個(gè)理想低通濾波器,只允許所有頻率只允許所有頻率|fx|Bx, |fy|By 的頻率分量無畸變地通過的頻率分量無畸變地通過,而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通濾波器的頻率此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的門函數(shù)特性為頻域中的門函數(shù)1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數(shù)的復(fù)原、原函數(shù)的復(fù)原理想低通濾波理想低通濾波用頻域中寬度用頻域中寬度2 2Bx和和2 2By的位于原的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù): : yyx

9、xyxBfBf,ffH2rect2rect濾波過程濾波過程 :yxyyxxyxs,ffGBfBf,ffG2rect2rect根據(jù)卷積定理，在空間域得到根據(jù)卷積定理，在空間域得到: : yxgyxhyxgs, mYnX,yxnX,mYgXYx,ygYyXxx,ygnms combcombyBxBsBBBfBfFx,yhyxyxyyxx2sinc2inc4 2rect2rect1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數(shù)的復(fù)原、原函數(shù)的復(fù)原理想低通濾波理想低通濾波mYyBx-nX BnX,mYgXYBBx,ygyxnmyx 2sinc2sinc 4若取最大允許的抽樣間隔，即若取最大允許的抽樣間隔，即X =

10、1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，則，則用函用函數(shù)的抽樣值計(jì)算出原函數(shù)：數(shù)的抽樣值計(jì)算出原函數(shù)： yyxxnmyxBmyB Bnx-BBmBngyx22sinc22sinc2,2,g原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值插值函數(shù)插值函數(shù)插值插值: :由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值空域中等效于：空域中等效于：1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示g(x)0 xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X.fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/X

11、X1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.還原還原1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函數(shù)稱為函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)頻域?yàn)V波相當(dāng)于頻域?yàn)V波相當(dāng)于空域的插值運(yùn)算空域的插值運(yùn)算連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣.重新恢重新恢復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定.1.4

12、抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示抽樣抽樣空域空域 g(x,y)頻域頻域 G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)還原還原低通濾波器低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)= gs(x,y)* h(x,y)G(fx,fy)= Gs(fx,fy)H(fx,fy)抽樣定理表明抽樣定理表明: : 在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。一個(gè)連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟一個(gè)連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息。失任何信息。 1.4 抽樣定理抽樣定理抽樣定理

13、的適用性抽樣定理的適用性在數(shù)學(xué)上在數(shù)學(xué)上, 限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內(nèi)函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內(nèi).只要只要信號(hào)存在于有限的時(shí)空范圍信號(hào)存在于有限的時(shí)空范圍,就會(huì)有所有的頻率分量就會(huì)有所有的頻率分量.嚴(yán)格的限帶函數(shù)在物理上是不存在的嚴(yán)格的限帶函數(shù)在物理上是不存在的.但是但是,實(shí)際信號(hào)的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶實(shí)際信號(hào)的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶.高頻分量攜帶的能量甚少高頻分量攜帶的能量甚少.由于忽略高頻分量由于忽略高頻分量, 所引入的誤差所引入的誤差可以忽略可以忽略, 故

14、可近似看作限帶函數(shù)故可近似看作限帶函數(shù). 因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義.yxyxyxBBBBBBXY164XY421Y221X21.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積若若 限帶函數(shù)限帶函數(shù)g(x,y)在頻域中在頻域中|fx|Bx, |fy|By 以外恒等于零以外恒等于零, 即函數(shù)的帶寬為即函數(shù)的帶寬為Bx 和和By, 則函數(shù)在空域中則函數(shù)在空域中|x| X 和和|y| Y的范圍內(nèi)最少的抽樣點(diǎn)數(shù)為的范圍內(nèi)最少的抽樣點(diǎn)數(shù)為:空域中的面積空域中的面積頻域中的面積頻域中的面積在該區(qū)域中函數(shù)可以用在該區(qū)域中函數(shù)可以用16XYBxB

15、y個(gè)值個(gè)值近似近似表示表示.定義定義: 空間帶寬積空間帶寬積SW (SBP)= 16XYBxBy1.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積空間帶寬積的物理意義空間帶寬積的物理意義 空間信號(hào)空間信號(hào)(圖像、場(chǎng)分布圖像、場(chǎng)分布)的信息容量的信息容量 成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力 空間物體的自由度數(shù)或自由參數(shù)數(shù)空間物體的自由度數(shù)或自由參數(shù)數(shù)N若若g(x,y)為實(shí)函數(shù)，為實(shí)函數(shù)， 每個(gè)抽樣值為一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)抽樣值為一個(gè)實(shí)數(shù)， N=SW若若g(x,y)為復(fù)函數(shù)，為復(fù)函數(shù)， 每個(gè)抽樣值為一個(gè)復(fù)數(shù)，每個(gè)抽樣值為一個(gè)復(fù)數(shù)， N=

16、2SW 不變性，不變性， 不隨空間位移或頻移變化不隨空間位移或頻移變化 (空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化.)1.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積 空間信號(hào)空間信號(hào)(圖像、場(chǎng)分布圖像、場(chǎng)分布)的信息容量的信息容量 成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力例例液晶顯示屏尺寸為液晶顯示屏尺寸為250250(mm2), 每個(gè)像元的每個(gè)像元的尺寸為尺寸為0.25 0.25 (mm2), 計(jì)算計(jì)算:1.像元總數(shù)像元總數(shù)2.最高空間頻率最高空間頻率3. 空間帶寬積空間帶寬積第一章復(fù)習(xí)第一章復(fù)習(xí)一、基本概念一、基本概念 頻譜頻譜, 振幅譜振幅譜, 位相譜位相譜 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng), 脈沖響應(yīng)，線性空不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)脈沖響應(yīng)，線性空不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù) 濾波（高通濾波濾波（高通濾波, 低通濾波）低通濾波） 抽樣定理抽樣定理, 奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔第一章復(fù)習(xí)第一章復(fù)習(xí)二、基本技能二、基本技能簡單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述：矩孔、圓孔、單縫、多縫、線光柵、簡單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述：矩孔、圓孔、單縫、多縫、線光柵、 位相板等；位相板等；脈沖函數(shù)的運(yùn)算，卷積和