概率論第二章1.

1、 第二章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量隨機變量2.2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布2.3 隨機變量隨機變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)2.4 連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量及其分布2.5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容基本概念（理解）基本概念（理解）變量及其分布（重點）變量及其分布（重點）變量函數(shù)的分布（理解）變量函數(shù)的分布（理解） 一、隨機變量概念的產(chǎn)生一、隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果隨機試驗的結(jié)果常和數(shù)量常和數(shù)量相聯(lián)系，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念相聯(lián)系，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.2.1 隨機向量隨機向量第第1章：主

2、講隨機章：主講隨機事件及其結(jié)果出事件及其結(jié)果出現(xiàn)的概率計算現(xiàn)的概率計算 1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）就是一個數(shù)）. 例例 擲一顆骰子擲一顆骰子,考察面上出現(xiàn)的點數(shù)；考察面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份北京的最高溫度；七月份北京的最高溫度；每天從鄭州站下火車的人數(shù)；每天從鄭州站下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)6點的概率點的概率=1/62、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果種結(jié)果. 也就是說，也就是說，把試驗結(jié)

3、果數(shù)值化把試驗結(jié)果數(shù)值化. 例 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述可以用一個變量來描述： 反面向上反面向上正面向上正面向上 , 0, 1)(X反面向上的概率反面向上的概率=1/2正如裁判員在運動正如裁判員在運動場上不叫運動員的場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. 試驗結(jié)果數(shù)值化類似于試驗結(jié)果數(shù)值化類似于這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù)一種實值函數(shù).X()R 隨機變量是由樣本空間到實數(shù)軸的單值隨機變量是由樣本空間到實數(shù)軸的單值映射；映射；

4、 XS（1）這種實值函數(shù)是定義在樣本空間上的）這種實值函數(shù)是定義在樣本空間上的函數(shù)。它隨函數(shù)。它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值試驗結(jié)果的不同而取不同的值， 所以在試驗之前只知道它可能取值的范圍，所以在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.定義定義 2.1.1 設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗 E 的樣本空間的樣本空間 = ，如果對于每一個如果對于每一個 有實數(shù)有實數(shù) X

5、() 和它對應(yīng)，和它對應(yīng)，這樣就得到一個定義在這樣就得到一個定義在 上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù) X(); 稱稱 X() 為為隨隨量量機機 變變簡記為簡記為 r.v.(random variable) 。 隨著試驗結(jié)果的不同而取不同值的變量稱隨著試驗結(jié)果的不同而取不同值的變量稱為隨機變量。為隨機變量。 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 例如，從某一學(xué)校隨機選一例如，從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高學(xué)生，測量他的身高. 我們可以把可能的

6、我們可以把可能的身高看作隨機變量身高看作隨機變量 X,然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于 X 的各種問題的各種問題. 如如 P( X 1.7米米 )=？ P( X 1.5米米 )=?P( 1.5米米 X 1.7米米)=? 有了隨機變量有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.二、引入隨機變量的意義二、引入隨機變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用 X 表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X

7、 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件的重大事件. 引入隨機變量后，對引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對的研究，就由對事件及事件概率事件及事件概率的的研究擴大為對研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律隨機變量及其取值規(guī)律的研究的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機變量及其隨機變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律三、隨機變量的分類三、隨機變量的分類 如如“取到次品的個數(shù)取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等.隨隨機機變變量量離散型隨機變量離散型隨機變量非離散型隨機變量非離散型隨機變量所有

8、取值可以逐個所有取值可以逐個一一列舉一一列舉如，如，“電視機的壽命電視機的壽命”，實，實際中常遇到的際中常遇到的“測量誤差測量誤差”等等.全部可能取值不僅全部可能取值不僅無窮多，而且還不能無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一一列舉，而是充滿一個區(qū)間一個區(qū)間.其中一重要情形：其中一重要情形： 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量2.1 隨機變量隨機變量2.2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布2.3 隨機變量隨機變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)2.4 連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量及其分布2.5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容基本概念（理解）基本概念（理解）變量及其分布（

9、重點）變量及其分布（重點）變量函數(shù)的分布（理解）變量函數(shù)的分布（理解） 設(shè)設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能是一個離散型隨機變量，它可能取的值是取的值是 x1, x2 , 。 為了描述隨機變量為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要，我們不僅需要知道隨機變量知道隨機變量 X 的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道 X取每個值的概率。取每個值的概率。 2.2 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 這樣這樣,我們就掌握了我們就掌握了X 這個這個隨機變量取值的概率規(guī)律隨機變量取值的概率規(guī)律.從從5個球中任取個球中任取3 個球，個球，取到的取到的白球數(shù)白球數(shù)X是一個隨機變量。是一個隨機變量。X可能

10、取的值是：可能取的值是：0, 1, 2。取每個值的概率為取每個值的概率為101)0(3533 CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例1且且 201)(iiXP 定義定義2.2.1 ：設(shè)：設(shè) xk (k=1,2, )是離散型隨是離散型隨機變量機變量 X 所取的一切可能值，稱所取的一切可能值，稱 k=1,2, ,)(kkpxXP為離散型隨機變量為離散型隨機變量 X 的的概率分布概率分布或或分布分布律律.一、離散型隨機變量概率分布的定義一、離散型隨機變量概率分布的定義 離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的的概率分布或分布律，概率分布或分布律，也可以也可以用

11、表格的形式來表示：用表格的形式來表示：X x1 x2 . xn .P p1 p2 . pn . 其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：kp, 0kp k=1,2, （1）kkp1（2）用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是一個函數(shù)是否是概率分布概率分布解解: 依據(jù)概率分布的性質(zhì)，依據(jù)概率分布的性質(zhì)，kkXP1)(pk=P(X =k)0, 1!0aekakk a0，從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布，應(yīng)有欲使上述函數(shù)為概率分布，應(yīng)有 ea0kkke! 這里用到了常見的這里用到了常見的冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式例例2. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的概率分布為：的概率分布為：,!)(k

12、akXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .0 bxaiixXPbXaP)(因為，因為， 注：若已知注：若已知離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的概率的概率分布分布 k=1,2, ,)(kkpxXP 則對于任意實數(shù)則對于任意實數(shù)ab, 事件事件aXb的的概率可由概率分布求得。概率可由概率分布求得。, bxaiixXbXa 且事件且事件X = xi 互不相容，由概率的可加性，得到互不相容，由概率的可加性，得到例例 隨機的擲一顆骰子，隨機的擲一顆骰子，表示表示的樣本點的樣本點, ,: : 出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點點 出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點點 出現(xiàn)出現(xiàn)3 3點點 出現(xiàn)出現(xiàn)4 4點點 出現(xiàn)出現(xiàn)5 5點

13、點 出現(xiàn)出現(xiàn)6 6點點X(): 1 2 3 4 5 6X的概率分布為的概率分布為3161613XP2XP4X1P/)()()( X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 注意注意: : 離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求: :(1) 確定隨機變量的所有可能取值確定隨機變量的所有可能取值;(2) 計算每個取值點的概率計算每個取值點的概率(3) 列出列出隨機變量的概率分布表隨機變量的概率分布表. .二、二、常見離散型隨機變量的概率分布常見離散型隨機變量的概率分布1 1、兩點分布兩點分布2 2、二項、二項分布分布3 3、超

14、幾何、超幾何分布分布4 4、泊松、泊松分布分布一定條件下一定條件下5 5、幾何、幾何分布分布一定條件下一定條件下二、二、常見離散型隨機變量的概率分布常見離散型隨機變量的概率分布1 1、兩點分布兩點分布 設(shè)設(shè) E 是一個只有兩種可能結(jié)果是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗的隨機試驗, 用用= 1, 2表示其樣本空間表示其樣本空間. P( 1 ) = p , P( 2 ) = 1-pl來源來源X( )=1, = 10, = 2例例 5 200200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, ,有有196196件是正品件是正品,4,4件是件是次品次品, ,今從中隨機地抽取一件今從中隨機地抽取一件, ,若規(guī)定若規(guī)定X( )=1,

15、 1, 取到合格品取到合格品0, 0, 取到不合格品取到不合格品 則則 PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 故故 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為0.98的兩點分布的兩點分布 . 即即 X B(1,0.98).2 2、二項分布二項分布： 設(shè)設(shè)貝努里試驗貝努里試驗（獨立試驗序列）中，每次試驗事（獨立試驗序列）中，每次試驗事件件A出現(xiàn)出現(xiàn)(成功成功) )的概率都是的概率都是 p，失敗的概率都是，失敗的概率都是 q =1-=1-p. .用用 X 表示表示 n 重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)（出現(xiàn)（成成功功）的次數(shù)，）的次數(shù)，則則X的概率分布為的概率分布為nkqp

16、CkXPknkkn,.,2, 1 ,0)( 其中：其中：0p1，q=1-p，記為記為 XB(n, p).試驗具備三條：（1）每一次試驗只有兩個結(jié)果，一個記為“成功”，一個記為“失敗”，P成功=p，P失敗=1-p（2）成功的概率p在每次試驗中保持不變；（3）試驗與實驗之間是相互獨立的。例例6:一批產(chǎn)品的合格率為一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取有放回地抽取4次次, 每次每次一件一件, 求取得合格品件數(shù)求取得合格品件數(shù)X, 以及取得不合格品件數(shù)以及取得不合格品件數(shù)Y的概率分布的概率分布,(1) X 對應(yīng)的實驗次數(shù)為對應(yīng)的實驗次數(shù)為n=4,“,“成功成功”即即“取得合取得合格品格品”的概率的概

17、率 p = 0.8, (2)此時此時, “成功成功”即即“取得不合格品取得不合格品”的概率為的概率為p=0.2,所以所以, XB(4, 0.8)所以所以, YB(4,0.2)knkknppCkXP )1()(X 0 1P 1-p p當當 n=1 時，隨機變量時，隨機變量X服從服從兩點分布兩點分布或稱作或稱作0-1分布分布.1 ,0)1()(1 kppkXPkk或者：或者：3.超幾何分布超幾何分布例例8：在在6只同類產(chǎn)品中有只同類產(chǎn)品中有2只不合格品，從中每只不合格品，從中每次取一只，共取次取一只，共取3次次（1）每次取出的產(chǎn)品立即放回，再取下一只每次取出的產(chǎn)品立即放回，再取下一只。求取出求取出

18、3只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X的概率分布的概率分布（二項分布二項分布）（2）每次取出的產(chǎn)品都不放回每次取出的產(chǎn)品都不放回，求取出求取出3只產(chǎn)只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)品中的不合格品數(shù)Y的概率分布的概率分布（超幾何分布超幾何分布）kkkC 333231)2 , 1 , 0(36342 kCCCkk超幾何分布與二項分布之間的關(guān)系超幾何分布與二項分布之間的關(guān)系：當當N 很大很大, n 很小時很小時: 超幾何分布近似的看成是二項分布。超幾何分布近似的看成是二項分布。命題：若命題：若 當當N時，時，M / N p, 則有則有., NqpCCCCmnmmnnNmnMNmM當當4、Possion 分

19、布分布 (泊松分布泊松分布)定義定義: :若隨機變量若隨機變量X所有可能取得值為所有可能取得值為0，1，2，, 取各個值的概率為取各個值的概率為),(!)( n210memmXPm 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的Possion分布分布,記為記為XP(). . 歷史上，泊松分布是作為二項分布的近歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 .二項分布與泊松分布二項分布與泊松分布l命題命題 對于二項分布對于二項分布B(n, p), 當當n充充分大分大, p又很小時又很小時, 則對任意固定的非負則對任意固定的非負整數(shù)整數(shù)k, 有近似公式有近似公式npekppCpnkbkknkkn 其其中中!)1(:),;(例例9：已知某自動機床產(chǎn)品的次品率為已知某自動機床產(chǎn)品的次品率為0.001，從產(chǎn)品中任取從產(chǎn)品中任取5000個，求這個，求這5000個產(chǎn)品中次品個產(chǎn)品中次品超過超過5的概率？的概率？解解 令令5000個產(chǎn)品中次品數(shù)為個產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則，則 XB(5000, 0.001)，于是，所求概率于是，所求概率從上式可以看出，若用二項分布概率公式計算，從上式可以看出，若用二項分布概率公式計算，計