第1章 線性系統(tǒng)的時間域分析(1)

1、Harbin Engineering University陳明杰陳明杰第第1 1章章 線性系統(tǒng)的時間域分析線性系統(tǒng)的時間域分析 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法Harbin Engineering University1.5 1.5 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合1.4 1.4 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性1.3 1.3 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的能控性和能觀性1.2 1.2 線性系統(tǒng)的運動分析線性系統(tǒng)的運動分析1.1 系統(tǒng)的數學描述系統(tǒng)的數學描述第第1 1章章 線性系統(tǒng)的時間域分析：線性系統(tǒng)的時間域分析： 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法Harbin Engineering Unive

2、rsityClick to add Title系統(tǒng)的輸入輸出描述系統(tǒng)的輸入輸出描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)方程的約當規(guī)范型線性系統(tǒng)的坐標變換線性系統(tǒng)的坐標變換系統(tǒng)的數系統(tǒng)的數學描述學描述主要內容主要內容1.1 系統(tǒng)的數學描述系統(tǒng)的數學描述Harbin Engineering University主要的數學描述主要的數學描述1.1.1 1.1.1 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述視系統(tǒng)為視系統(tǒng)為“black box”, black box”, 只描述輸入只描述輸入/ /輸出間的關系輸出間的關系即時系統(tǒng)（零記憶系統(tǒng)）即時系統(tǒng)（零記憶系統(tǒng)）：t1t1時刻的輸出

3、只依賴于時刻的輸出只依賴于 t1t1時刻的輸入時刻的輸入動力學系統(tǒng)：動力學系統(tǒng)：t1t1時刻的輸出依賴于時刻的輸出依賴于 t1 t1 時刻的輸入時刻的輸入 t1t1之前和（或）之后的輸入之前和（或）之后的輸入1qySystem1pu一一 非零初始條件與脈沖輸入非零初始條件與脈沖輸入 系統(tǒng)的初始條件為零是指系統(tǒng)在初始時刻沒有能系統(tǒng)的初始條件為零是指系統(tǒng)在初始時刻沒有能 量儲備，系統(tǒng)量儲備，系統(tǒng)輸出只由此后的輸入唯一地確定輸出只由此后的輸入唯一地確定 。 在建立線性系統(tǒng)的輸入在建立線性系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述 時，必須假設系統(tǒng)的初始條件為零。時，必須假設系統(tǒng)的初始條件為零。 初始條件不為零時，可

4、以將非零的初始條件初始條件不為零時，可以將非零的初始條件 等效成等效成在初始時刻的一個脈沖輸入。在初始時刻的一個脈沖輸入。 初始條件不為零初始條件不為零時如何處理時如何處理？系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述Harbin Engineering University單位脈沖函數（單位脈沖函數（函數函數 ）1111101()0ttttttttt 令令函數：當函數：當00時，時， 的極限函數，即的極限函數，即 )tt (1110() lim()ttttHarbin Engineering University函數性質：函數性質：（1 1）對任意）對任意00, ,有有11tt111dt)tt (d

5、t)tt (（2 2）對任何在）對任何在 時刻連續(xù)的函數時刻連續(xù)的函數f(tf(t) ), ,有有1t11( ) ()( )f ttt dtf tHarbin Engineering University非零初始條件與等價的脈沖輸入非零初始條件與等價的脈沖輸入 結論：結論：非零初始條件對應的系統(tǒng)響應非零初始條件對應的系統(tǒng)響應等效于在初始時刻脈沖輸入時的系統(tǒng)響應。等效于在初始時刻脈沖輸入時的系統(tǒng)響應。 以后在建立系統(tǒng)的輸入以后在建立系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述時，均假定系統(tǒng)的初始條件為零。時，均假定系統(tǒng)的初始條件為零。二二 線性系統(tǒng)的單位脈沖響應線性系統(tǒng)的單位脈沖響應注意：注意： g(t,g(t,

6、) )是雙變量函數是雙變量函數; ; 代表代表函數作用于系統(tǒng)的時刻；函數作用于系統(tǒng)的時刻； t t代表觀測其輸出響應的時刻。代表觀測其輸出響應的時刻。( , )( ()g tLt 系統(tǒng)的單位脈沖響應系統(tǒng)的單位脈沖響應：對單變量系統(tǒng)，在零對單變量系統(tǒng)，在零初始條件下，當系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數時，初始條件下，當系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數時，相應的系統(tǒng)輸出。相應的系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述 結論：對單輸入線性系統(tǒng)，結論：對單輸入線性系統(tǒng)，u u(t)(t)為其為其輸入變量，輸入變量，g(t,g(t,) )為其單位脈沖響應，在為其單位脈沖響應，在初始條件為零的條件下，系統(tǒng)的輸出響應

7、初始條件為零的條件下，系統(tǒng)的輸出響應為為( )( ,) ( )y tg tud系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述 結論：結論：對多輸入線性系統(tǒng)，對多輸入線性系統(tǒng)，u u(t)(t)為其為其p p維輸入向量，維輸入向量， y y(t)(t)為為q q維輸出向量，在維輸出向量，在初始條件為零的條件下，系統(tǒng)的輸出響應初始條件為零的條件下，系統(tǒng)的輸出響應為為y(t)G(t, )u( )d系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述單輸入系統(tǒng)的結論可以推廣到多輸入系統(tǒng)單輸入系統(tǒng)的結論可以推廣到多輸入系統(tǒng)Harbin Engineering University其中其中), t (g), t (g), t (g

8、), t (g), t (g), t (g), t (g), t (g), t (g), t (Gqpq2q12p22211p1211稱稱G(tG(t,) )為系統(tǒng)的單位脈沖響應矩陣。為系統(tǒng)的單位脈沖響應矩陣。元素元素為在系統(tǒng)第為在系統(tǒng)第j j個輸入端單獨施加單位脈沖函數個輸入端單獨施加單位脈沖函數時（而其他輸入為零），系統(tǒng)第時（而其他輸入為零），系統(tǒng)第i i個輸出端的個輸出端的響應。響應。)p, 2 , 1j ; q, 2 , 1i (), t (gij三三 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數矩陣線性定常系統(tǒng)的傳遞函數矩陣系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述0( )( )stG sG t edt( )(

9、 ) ( )y sGs u s對輸出進行拉氏對輸出進行拉氏變換可得變換可得 為系統(tǒng)的傳遞函為系統(tǒng)的傳遞函數矩陣數矩陣注意：注意： 傳遞函數矩傳遞函數矩陣是陣是I/OI/O描述描述 系統(tǒng)必須松系統(tǒng)必須松馳（零初始條件）馳（零初始條件）注意：注意： 傳遞函數傳遞函數矩陣的真和嚴矩陣的真和嚴格真格真1.1.2 1.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一一 狀態(tài)的含義狀態(tài)的含義 系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) 描述系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的過去、現在和未過去、現在和未來行為的變量組，來行為的變量組，是用來完善地描是用來完善地描述系統(tǒng)行為的最述系統(tǒng)行為的最小的一組變量。小的一組變量。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 狀態(tài)

10、變量是狀態(tài)變量是指構成系統(tǒng)狀態(tài)指構成系統(tǒng)狀態(tài)的每一個變量。的每一個變量。狀態(tài)變量構成的狀態(tài)變量構成的列向量為狀態(tài)向列向量為狀態(tài)向量。量。 狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現在狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現在： 只要給定這組變量只要給定這組變量 在初始時刻在初始時刻t0的值，的值，以及輸入變量以及輸入變量 在各瞬時在各瞬時tt0的值，則系統(tǒng)的值，則系統(tǒng)中任何一個變量在中任何一個變量在tt0時的運動行為就可以被完全確定。時的運動行為就可以被完全確定。12( )( )( )nx tx tx t， ，12( )( )( )pu tu tut， ，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關于

11、狀態(tài)的幾點說明關于狀態(tài)的幾點說明 狀態(tài)變量組的最小性體現在：狀態(tài)變量組的最小性體現在： 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是為完全表征系統(tǒng)行為是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最少個數，減少變量數將破壞表征的完所必需的系統(tǒng)變量的最少個數，減少變量數將破壞表征的完全性，而增加變量數將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。全性，而增加變量數將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。12( )( )( )nx tx tx t， ， 狀態(tài)變量組選取上的不唯一性：狀態(tài)變量組選取上的不唯一性： 由于系統(tǒng)中變量的個數必大于由于系統(tǒng)中變量的個數必大于n，而其中僅有，而其中僅有n個個是線性無關的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不是線性無關的

12、，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不唯一性。唯一性。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關于狀態(tài)的幾點說明關于狀態(tài)的幾點說明 系統(tǒng)的任意選取的兩個狀態(tài)變量組之間為線性非奇系統(tǒng)的任意選取的兩個狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關系。異變換的關系。狀態(tài)變量是時間域的。狀態(tài)變量是時間域的。狀態(tài)變量有時是不可測量的。狀態(tài)變量有時是不可測量的。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。線性系統(tǒng)的結構框圖：線性系統(tǒng)的結構框圖：000 xA(t)xB(t)u, x(t )x ,tt ,t yC(t)

13、xD(t)u二二 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述Harbin Engineering University輸入輸出描述僅揭輸入輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松弛示系統(tǒng)在初始松弛假定下輸入輸出間假定下輸入輸出間的關系，不能揭示的關系，不能揭示系統(tǒng)的內部行為系統(tǒng)的內部行為復雜的線性系統(tǒng)，復雜的線性系統(tǒng)，求狀態(tài)空間描述較求狀態(tài)空間描述較困難，可借助于直困難，可借助于直接量測求取輸入輸接量測求取輸入輸出描述。出描述。動態(tài)方程能夠推廣動態(tài)方程能夠推廣到時變情形，而傳到時變情形，而傳遞函數向時變情形遞函數向時變情形的推廣是不成功的的推廣是不成功的若采用動態(tài)方程若

14、采用動態(tài)方程描述，較容易在描述，較容易在計算機上對系統(tǒng)計算機上對系統(tǒng)進行仿真進行仿真 輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述當當D0D0時，時，G(s)G(s)為真有理分式陣；為真有理分式陣；當當D=0D=0時，時，G(sG(s) )為嚴格真有理分式陣。為嚴格真有理分式陣。0 xAx Bu,x(0)x ,t0y Cx Du-1G(s)C(sI-A) BD系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述三三 傳遞函數矩陣的狀態(tài)參數表示傳遞函數矩陣的狀態(tài)參數表示對于狀態(tài)空間描述對于狀態(tài)空間描述其傳遞函數矩陣為其傳遞函數矩陣為Harbin Engi

15、neering University 對角規(guī)范形對角規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有對角形的形有對角形的形式。式。 約當規(guī)范形約當規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有分塊對角形有分塊對角形的形式。的形式。1.1.3 1.1.3 狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形一一 對角線規(guī)范形對角線規(guī)范形u當當A A的的n n個特征值個特征值 兩兩互異時兩兩互異時，u或當系統(tǒng)矩陣或當系統(tǒng)矩陣A A的的n n個特征向量個特征向量 線性無關線性無關 此時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過線性非奇異變換，此時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過線性非奇異

16、變換，變換為對角線規(guī)范形形式。變換為對角線規(guī)范形形式。n21,n21,化對角規(guī)化對角規(guī)范形的條件范形的條件 結論：設系統(tǒng)滿足化為對角規(guī)范形的條件，那結論：設系統(tǒng)滿足化為對角規(guī)范形的條件，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下必可化為如下必可化為如下的對角線規(guī)范形：下的對角線規(guī)范形：,PQn21-1xPx12nxxBu,BPB化對角規(guī)化對角規(guī)范形的方法范形的方法對角規(guī)范形對角規(guī)范形u Q Q矩陣由矩陣由A A的的n n個線個線性無關的特征向量構性無關的特征向量構成的。成的。u 在對角規(guī)范形下，在對角規(guī)范形下，各個狀態(tài)變量間實現各個狀態(tài)變量間實現了完全解耦。了完全解耦。二二 約當規(guī)范形

17、約當規(guī)范形u 矩陣矩陣A A有重特征根，但矩陣有重特征根，但矩陣A A有有n n個線性無關的個線性無關的 特征向量，則特征向量，則A A可化為對角線規(guī)范形；可化為對角線規(guī)范形；u 矩陣矩陣A A有重特征根，且矩陣有重特征根，且矩陣A A的線性無關的特征的線性無關的特征 向量個數少于向量個數少于n n，則，則A A可化為約當規(guī)范形?？苫癁榧s當規(guī)范形?；s當規(guī)化約當規(guī)范形的條件范形的條件1 1 化約當規(guī)范形的條件化約當規(guī)范形的條件2 2 約當規(guī)范形的形式約當規(guī)范形的形式uBx 11liJJJPBuxPAPx 設系統(tǒng)的特征值設系統(tǒng)的特征值為為 ，且且 ，則存在可逆變換陣則存在可逆變換陣Q Q，通過，

18、通過引入變換引入變換 ，可使系統(tǒng)的狀態(tài)方程化，可使系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為如下的約當規(guī)范形：為如下的約當規(guī)范形：)(,),(),(2211重重重lln21l1 xQ xPx 其中，其中， 為為 對應的約當塊，其維數為對應的約當塊，其維數為iJiiii1iJJJ 其中，其中， 為對應為對應 的約當塊的約當塊 中的第中的第k k個約當個約當小塊，小塊， 。 的維數為的維數為 ，具有如下，具有如下形式：形式：ikJiiJikJii11Jik 且且iii2i1iiiik1,ikik約當規(guī)范形約當規(guī)范形Harbin Engineering University 代數重數代數重數則稱則稱 為特征值為特征值 的的

19、代數重數。代數重數。 幾何重數幾何重數 對應的約當小塊對應的約當小塊的個數，也是的個數，也是 對對應的線性無關特征應的線性無關特征向量的個數。向量的個數。3 3 特征值的代數重數和幾何重數特征值的代數重數和幾何重數約當規(guī)范形約當規(guī)范形0)()()()AI(detiiiiiiiiiii1i)AI(ranknii4 4 廣義特征向量廣義特征向量 一個一個n n1非零向量非零向量 ，當其滿足，當其滿足0)AI(0)AI(i1-kiiki時，稱時，稱 是矩陣是矩陣A A的屬于特征值的屬于特征值 的的k k級廣義級廣義特征向量。特征向量。iii約當規(guī)范形約當規(guī)范形Harbin Engineering U

20、niversity 性質性質1 1：設：設 是矩陣是矩陣A A的屬于特征值的屬于特征值 的的k k級廣義特征向量，則如下定義的級廣義特征向量，則如下定義的k k個向量必是線個向量必是線性無關的：性無關的：iii1ki(1)iii1)-(kii(k)i)AI()AI(并稱向量組并稱向量組 為長度為為長度為k k的廣的廣義特征向量鏈。義特征向量鏈。廣義特征向量的基本性質：廣義特征向量的基本性質：)k(i)1k(i)1(i,Harbin Engineering University 性質性質2 2：設：設 為矩陣為矩陣A A的代數重數為的代數重數為 的特的特征值，計算秩征值，計算秩直到直到 為止。為

21、止。 再按如下方式生成廣義特征向量鏈：假定再按如下方式生成廣義特征向量鏈：假定, 2 , 1 , 0m,)AI(ranknmimim00,mm且ii8, 7, 6, 3, 0, 4m, 8,10n432100i如下表所示：如下表所示：Harbin Engineering University134123312301i3) 2(i3(1)i3ii3( IA) i2) 2(i2(1)i2ii2( I A)(1)3i1ii1( I A)i12i) 2(i1)AI(3)i1ii1( I A )i1)4(i1其中其中 滿足滿足0)AI(0)AI(i13ii14ii1的非零列向量。的非零列向量。8, 7,

22、 6, 3, 0, 4m, 8,10n432100iHarbin Engineering University 為滿足為滿足i3i2,0)AI(0)AI(0)AI(0)AI(,i3ii32ii2ii22ii3i2)2(i1和和線性無關的非零列向量。的非零列向量。 則上表所生成的則上表所生成的 個廣義特征向量個廣義特征向量2 , 1j , 4 , 3 , 2 , 1k,) j(i3(j)i2)k(i1必是線性無關的。必是線性無關的。i5 5 化為約當規(guī)范形的變換矩陣的組成化為約當規(guī)范形的變換矩陣的組成 變換矩陣變換矩陣Q Q可按如下方式組成：可按如下方式組成：ikikiirn)r (ik)2(i

23、k)1(ikiknii2i1inn1QQQQQQlQQ其中其中i, 2 , 1k;,1,2,il約當規(guī)范形約當規(guī)范形 性質性質3 3：矩陣的屬于不同特征值的廣義特征：矩陣的屬于不同特征值的廣義特征向量之間必是線性無關的。向量之間必是線性無關的。Harbin Engineering University311100101111001100201121000211010000110200001110 xxu約當規(guī)范形約當規(guī)范形 例例: :給定一個線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程給定一個線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程導出其約當規(guī)范型導出其約當規(guī)范型Harbin Engineering University 設在線

24、性空間中設在線性空間中有一組有一組向量，向量，若該空間中的每一個若該空間中的每一個向量均可唯一地由該向量均可唯一地由該組向量的線性組合表組向量的線性組合表示，則稱該組向量是示，則稱該組向量是該線性空間中的一個該線性空間中的一個基底基底。 將系統(tǒng)在狀態(tài)空將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個基底上的表間的一個基底上的表征，化為另一個基底征，化為另一個基底上的表征。上的表征。 1.1.4 1.1.4 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性一一 坐標變換坐標變換二二 線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述 DuCxyBuAxx對對x x進行非奇異變換進行非奇異變換 ，則有，則有Pxx uDx

25、CyuBxAx式中：式中：DD,CPC,PBB,PAPA-1-1 D(t)uC(t)xyB(t)uA(t)xx對對x x進行非奇異變換進行非奇異變換 ，則有，則有P(t)xx (t)uDx(t)Cy(t)uBx(t)Ax式中：式中：-1-1-1A(t)P(t)P (t)P(t)A(t)P (t)B(t)P(t)B(t),C(t)C(t)P (t),D(t)D(t)代數等價狀態(tài)空間描述代數等價狀態(tài)空間描述三三 代數等價系統(tǒng)的主要性質代數等價系統(tǒng)的主要性質u 對于兩個代數等價系統(tǒng)對于兩個代數等價系統(tǒng) u 對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數等價的狀態(tài)空對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數等價的狀態(tài)空 間描述，可以化為

26、相同的對角線規(guī)范形或約間描述，可以化為相同的對角線規(guī)范形或約 當規(guī)范形。當規(guī)范形。Harbin Engineering University 1.2 1.2 線性系統(tǒng)的運動分析線性系統(tǒng)的運動分析線性時變系統(tǒng)的運動分析線性時變系統(tǒng)的運動分析1.2.4線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣1.2.3線性定常系統(tǒng)的運動分析線性定常系統(tǒng)的運動分析1.2.2引言引言1.2.11.2.1Harbin Engineering University 運動分析的目的運動分析的目的 從系統(tǒng)數學模型出發(fā)，從系統(tǒng)數學模型出發(fā)，定量地和精確地定出系定量地和精確地定出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律。統(tǒng)運動的變化規(guī)律。

27、運動分析的數學實質運動分析的數學實質求解在給定的求解在給定的 和和u u作用下的狀態(tài)方程，即作用下的狀態(tài)方程，即由初始狀態(tài)和外輸入作由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的響應。用所引起的響應。 1.2.1 1.2.1 引言引言線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析一一 運動分析實質運動分析實質0 xHarbin Engineering University零初態(tài)響應零初態(tài)響應 系統(tǒng)初始狀態(tài)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)為零時，由系統(tǒng)輸入輸入u u單獨作用單獨作用所引起的運動。所引起的運動。系統(tǒng)運動響應系統(tǒng)運動響應 零輸入響應和零零輸入響應和零初態(tài)響應的疊加初態(tài)響應的疊加線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析 零輸入響

28、應零輸入響應 系統(tǒng)輸入為零系統(tǒng)輸入為零時，由初始狀態(tài)時，由初始狀態(tài)單獨作用所引起單獨作用所引起的運動。的運動。0( ; , , )t t0 u00( ; , )t tx u00( ; ,0)t txHarbin Engineering University矩陣指數函數矩陣指數函數零輸入響應表達式零輸入響應表達式典型矩陣典型矩陣A A的矩的矩陣指數函數陣指數函數矩陣指數函數矩陣指數函數的計算方法的計算方法Harbin Engineering University定義定義n nn n的矩陣函數的矩陣函數為矩陣指數函數為矩陣指數函數 。由狀態(tài)方程由狀態(tài)方程 描述的線性定常系統(tǒng)描述的線性定常系統(tǒng)的零輸

29、入響應的表達的零輸入響應的表達式為式為 線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析0AtkkkeA tk1！000, ( ),Attt xx xx0()0000; , ,At tttet t0 xxHarbin Engineering University方法一：冪級數求和法方法一：冪級數求和法直接利用矩陣指數函數的定義式計算，即直接利用矩陣指數函數的定義式計算，即說明：該方法只能得到說明：該方法只能得到eAt的數值結果，一般不能寫成閉合的數值結果，一般不能寫成閉合形式。實際計算時，可取前有限項給出近似結果。形式。實際計算時，可取前有限項給出近似結果。011( )!Atk kk kkteAtA tA t

30、kk線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析如何求矩陣如何求矩陣指數函數？指數函數？ 可以有多種可以有多種方法求解方法求解如何求矩陣如何求矩陣指數函數？指數函數？Harbin Engineering University(1)(1)當當A A為對角線矩陣，即為對角線矩陣，即 時時,1ndiagA12 22112212!12!nAtnntteIAtA tItteeHarbin Engineering University(2)(2)當當A A具有如下形式具有如下形式000100010A則則A A是零冪矩陣，即自乘若干次后化成零矩陣。是零冪矩陣，即自乘若干次后化成零矩陣。100101!1!122002tt

31、tAktAketkkkkkkAt應用矩陣指數函數定義，可得應用矩陣指數函數定義，可得Harbin Engineering University推廣可得推廣可得010010010A1111)!2()!1(2212tttentnttAtnn(3) (3) 當當A A具有如下形式具有如下形式00A 由矩陣指數函數定義，有由矩陣指數函數定義，有tcostsin-tsintcos-00-! 2t0-0t1001e222AtHarbin Engineering University方法三：特征值特征向量法方法三：特征值特征向量法利用對角形變換求解利用對角形變換求解 當當A A的的n n個特征值個特征值 兩

32、兩互異時，確兩兩互異時，確定矩陣非奇異定矩陣非奇異P,P,化化A A為對角線標準形為對角線標準形12,n PPn11 -APeePett1 -Atn1矩陣指數函數求法矩陣指數函數求法方法二：拉氏反變換法方法二：拉氏反變換法1-1At)AsI(LeHarbin Engineering Universityu 利用約當形變換求解利用約當形變換求解 當當A A有重特征值時，確定矩陣有重特征值時，確定矩陣Q,Q,化化A A為約當為約當標準形，如：標準形，如：122111Q111QA1tttttt! 2etttAtQeteeeteeteeQe222111t1211矩陣指數函數求法矩陣指數函數求法Harb

33、in Engineering University對于任何多項式對于任何多項式f(f(),),有有n-1n-1次多項式次多項式 1n1-n10)g(使使 ( )i(),10,1,n1l(l)iifg( ) i,m;l1n1-n10AAI)A(gf(A)方法四：利用定理計算矩陣指數函數方法四：利用定理計算矩陣指數函數矩陣指數函數求法矩陣指數函數求法定理：對定理：對n nn n矩陣矩陣A A，其特征多項式為，其特征多項式為 imnii1det(I-A )()Harbin Engineering University二零初態(tài)響應二零初態(tài)響應,(0),0ABtxxu x0 由狀態(tài)方程由狀態(tài)方程 所描述

34、的線性所描述的線性定常系統(tǒng)的零初態(tài)響應的表達式為定常系統(tǒng)的零初態(tài)響應的表達式為 當當 時，線性定常系統(tǒng)的零初態(tài)響應為：時，線性定常系統(tǒng)的零初態(tài)響應為： 00t ()0;0, ,( ),0tA tteBdt0 uu0()00; , ,( ),tA ttt teBdtt0 uu線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析()0;0, ,( ),0tA tteBdt0 uuHarbin Engineering University三線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)運動規(guī)律三線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)運動規(guī)律 初始狀態(tài)初始狀態(tài)x0和外輸入作用和外輸入作用u共同作用下的狀態(tài)方程共同作用下的狀態(tài)方程000,( ),ABtttxxuxx或或

35、的解，可由零輸入響應和零初態(tài)響應疊加而得出。的解，可由零輸入響應和零初態(tài)響應疊加而得出。00()()00( )( ),tA t tA ttx teeBdttxu線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析110( )() +( )tLsABsxxU 或者或者Harbin Engineering University滿足如下矩陣方程滿足如下矩陣方程的的n nn n解陣解陣 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。陣。由方程由方程的任意的任意n n個線性無個線性無關解所構成的關解所構成的n nn n矩陣函數矩陣函數 ，稱為方程的一個基稱為方程的一個基本解陣。本解陣。四四 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣線性定常系統(tǒng)

36、的狀態(tài)轉移矩陣0()tt基本解陣定義基本解陣定義 Axx( ) t1000()( )(),tttttt狀態(tài)轉移矩陣定義狀態(tài)轉移矩陣定義 線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析000()()(0),ttAttttIHarbin Engineering University線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為線性定常系統(tǒng)運動規(guī)律表達式為線性定常系統(tǒng)運動規(guī)律表達式為0()00(),A t tttett狀態(tài)轉移矩陣狀態(tài)轉移矩陣000000; ,( ),ttt ttttBdttx uxuHarbin Engineering University線性時變線性時變系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣轉移矩

37、陣狀態(tài)轉移矩陣計算狀態(tài)轉移矩陣計算 1000( , )( )( ),t ttttt狀態(tài)轉移矩陣定義狀態(tài)轉移矩陣定義 線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析1.21.2.3 .3 線性時變系統(tǒng)的運動分析線性時變系統(tǒng)的運動分析I)t ,(t)t(t,A(t)t ,(t0000)d)u(B()(t,)x(tt,(t) t(xtt000線性時變系統(tǒng)的運動規(guī)律線性時變系統(tǒng)的運動規(guī)律 Harbin Engineering University當當A(tA(t) )給定后，給定后，狀態(tài)轉移矩陣是狀態(tài)轉移矩陣是唯一的唯一的若若A(tA(t) )與與 是可交換的，則是可交換的，則線性系統(tǒng)運動分析線性系統(tǒng)運動分析狀態(tài)轉

38、移矩陣性質狀態(tài)轉移矩陣性質) t ,t ()t , t (001)t , t ()t ,t ()t ,t (011202d )(Att0d )(Aexp)t , t (tt00Harbin Engineering University 1.3 1.3 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的結構分解線性系統(tǒng)的結構分解1.3.5系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形1.3.4線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀性判據線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀性判據1.3.3線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性判據線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性判據1.3.21.3.2能控性和能觀性的定義能控性和能觀性的定義1.3

39、.1Harbin Engineering University例：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為例：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1122401052xxuxx 1206xyx結構圖表明：通過控制量結構圖表明：通過控制量u可以控制狀態(tài)可以控制狀態(tài)x1和和x2，所，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量只能反映狀態(tài)變量x2，不，不能反映狀態(tài)變量能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測。，所以系統(tǒng)不完全能觀測。圖圖3-1 系統(tǒng)結構圖系統(tǒng)結構圖能控性和能觀性的定義能控性和能觀性的定義1.3.1Harbin Engineering University0 x一一 能控性定義能控性定義 考

40、慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程 如果存在一個無約束的容許控制如果存在一個無約束的容許控制u,u,能在一個有能在一個有限的時間間隔內限的時間間隔內 ，使得系統(tǒng)的狀態(tài)由給定的，使得系統(tǒng)的狀態(tài)由給定的非零初始狀態(tài)非零初始狀態(tài) 轉移到轉移到 ，則稱，則稱 是完全能是完全能控的。控的。 t ,t f00)t (xf0 xJt ,x)x(tB(t)u,A(t)xx00能控性和能觀性的定義能控性和能觀性的定義1.3.10 xHarbin Engineering University二二 能觀性定義能觀性定義 考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 如果在有限時間區(qū)間

41、如果在有限時間區(qū)間 內，通過對輸出向內，通過對輸出向量量y(ty(t) )的觀察可以唯一地確定初始狀態(tài)的觀察可以唯一地確定初始狀態(tài) 的值，則的值，則初始狀態(tài)初始狀態(tài) 具有能觀性。對任意具有能觀性。對任意 ，系統(tǒng)狀態(tài)能，系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則系統(tǒng)具有能觀性。觀測，則系統(tǒng)具有能觀性。0tJt ,t ,x) t (Cyx)x(tA(t)x,x000t ,t f00 x0 xHarbin Engineering University一一 線性定常系統(tǒng)的能控性判據線性定常系統(tǒng)的能控性判據1 1 格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是，存在時刻存在

42、時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。非奇異。1t101,0ttATAtcdteBBetWT線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性判據線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性判據1.3.21.3.2Harbin Engineering University2 2 秩判據秩判據 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：能控判別陣能控判別陣nBAABBrankn1能控性判據能控性判據3 PBH3 PBH秩判據秩判據 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：對矩陣對矩陣A A的所有特征值，下式均成立：的所有特征值，下式均成立：或：或：, ,1

43、,irankIA Bn in 復數snBAsIrank,Harbin Engineering University線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是: :能控性判據能控性判據4 4 約當規(guī)范形判據約當規(guī)范形判據 當矩陣當矩陣A有重特征值時，其約當規(guī)范型中，有重特征值時，其約當規(guī)范型中， 矩陣與同一特征值的各約當塊對應的各子塊矩陣與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無關的。的最后一行組成的矩陣是行線性無關的。B 當矩陣當矩陣A A的特征值兩兩相異時，其對角線規(guī)范的特征值兩兩相異時，其對角線規(guī)范型中，型中， 矩陣不包含元素全為零的行。矩陣

44、不包含元素全為零的行。BHarbin Engineering University例：已知約當規(guī)范型系統(tǒng)如下：例：已知約當規(guī)范型系統(tǒng)如下：2100000000020000010000200000400002000007000031000000000301100000003041xx+u試判斷其可控性。試判斷其可控性。解：解： ， ，均行線性無關，均行線性無關，所以：系統(tǒng)完全可控。所以：系統(tǒng)完全可控。1100040007B2110041B能控性判據能控性判據Harbin Engineering University2 能控性指數能控性指數k-1kB ABA B,k0,1,Q 引理引理：對矩陣：對

45、矩陣 ，若，若 與其左邊各列相關，則所有的列與其左邊各列相關，則所有的列 均均相關于各自左邊的列。相關于各自左邊的列。kQjAb(j 0,1,k-1;i 1,2,p)i) jj (bA1j1i 對線性定常系統(tǒng)，定義對線性定常系統(tǒng)，定義n nkpkp矩陣：矩陣：Harbin Engineering University 能控性指數能控性指數：矩陣：矩陣 的秩隨著的秩隨著k k單調增加，直單調增加，直 至至k=k=。在。在k k時，時， 的全部的全部p p個列將線性個列將線性相關于它的左邊各列，此時相關于它的左邊各列，此時 的秩不再增加，的秩不再增加，即即kQBAkkQ 稱稱為系統(tǒng)的能控性指數。為

46、系統(tǒng)的能控性指數。=“”kkrankQn使成立的 的最小正整數Harbin Engineering University 定理：能控性指數滿足定理：能控性指數滿足nmin(n,n1)pr 其中，其中， 為矩陣為矩陣A A的最小多項式次數，的最小多項式次數， ，n n為系統(tǒng)的階次。為系統(tǒng)的階次。nrankBr Harbin Engineering University 定理：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是：定理：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是：nn1rankQrankBABABnrr 注：該方法是秩判據的改進，特別適用于多輸入注：該方法是秩判據的改進，特別適用于多輸入 系統(tǒng)，可減少不必要的計

47、算。系統(tǒng)，可減少不必要的計算。其中：其中： rrankBp，rHarbin Engineering University三三 線性時變系統(tǒng)的能控性判據線性時變系統(tǒng)的能控性判據1 1 格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據 線性時變系統(tǒng)在時刻線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能控的充要條件是，為完全能控的充要條件是，存在一個有限時刻存在一個有限時刻 ，使如下定義的格拉姆，使如下定義的格拉姆矩陣矩陣非奇異。非奇異。0t)tt , Jt (t011110t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtWHarbin Engineering University2 2 秩判據秩判據

48、 線性時變系統(tǒng)在時刻線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能控的充分條件是，為完全能控的充分條件是，存在一個有限時刻存在一個有限時刻 ，使下式成立，使下式成立0t)tt , Jt (t0111) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n1110能控性判據能控性判據Harbin Engineering University一一 線性定常系統(tǒng)的能觀性判據線性定常系統(tǒng)的能觀性判據1 1 格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據 線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件

49、是，線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件是，存在時刻存在時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。非奇異。1t線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀性判據線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀性判據1.3.3101,0tAtTtAodtCeCetWTHarbin Engineering University2 2 秩判據秩判據 線性定常系統(tǒng)為完線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件是：全能觀的充要條件是：稱為系統(tǒng)的能觀判別陣。稱為系統(tǒng)的能觀判別陣。nCACACrankn1能觀性判據能觀性判據能觀判別陣能觀判別陣3 PBH3 PBH秩判據秩判據 線性定常系統(tǒng)為完全能觀線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件是：對的充要條件是

50、：對A A的所有特的所有特征值，使下式均成立：征值，使下式均成立：或：或：,1,iCrankn inIA復數snAsICrank,Harbin Engineering University線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件是線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件是: :能觀性判據能觀性判據4 4 約當規(guī)范形判據約當規(guī)范形判據 當矩陣當矩陣A有重特征值時，其約當規(guī)范型中，有重特征值時，其約當規(guī)范型中， 矩陣與同一特征值的各約當塊對應的各子塊矩陣與同一特征值的各約當塊對應的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無關的。的第一列組成的矩陣是列線性無關的。C 當矩陣當矩陣A A的特征值兩兩相異時，其對角線規(guī)范的特征

51、值兩兩相異時，其對角線規(guī)范型中，型中， 矩陣不包含元素全為零的列。矩陣不包含元素全為零的列。CHarbin Engineering University例：約當標準型系統(tǒng)如下：例：約當標準型系統(tǒng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx試判斷其可觀測性。試判斷其可觀測性。400020000301010005300yx解：解： 1400030 ,005C2201130C所以：系統(tǒng)完全可觀測。所以：系統(tǒng)完全可觀測。是列線性無關的；是列線性無關的；是列線性無關的；是列線性無關的；能觀性判據能觀性判據Harbin Engineering

52、 University2 能觀測性指數能觀測性指數k-1 TkVC CACA ,k0,1, 對線性定常系統(tǒng)，定義對線性定常系統(tǒng)，定義kqkq n n 矩陣：矩陣： 能觀性指數：矩陣能觀性指數：矩陣 的秩隨著的秩隨著k k單調增加，直單調增加，直 至至k=k=。在。在k k時，時， 的秩不再增加，的秩不再增加，即即kVkVkrankVn k使的 最小正整數 稱稱為線性定常系統(tǒng)的能觀測性指數。為線性定常系統(tǒng)的能觀測性指數。Harbin Engineering University 定理：能觀測性指數滿足定理：能觀測性指數滿足nmin(n,nm 1)q 其中，其中， 為矩陣為矩陣A A的最小多項式次

53、數，的最小多項式次數， ，n n為系統(tǒng)的階次。為系統(tǒng)的階次。nmrankCHarbin Engineering University 定理：線性定常系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：定理：線性定常系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：nn1rankVrankC CACAnm Tm 定理：線性定常系統(tǒng)的能控性指數和能觀測定理：線性定常系統(tǒng)的能控性指數和能觀測性指數在狀態(tài)的非奇異變換下保持不變。性指數在狀態(tài)的非奇異變換下保持不變。mrankCHarbin Engineering University三三 線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據1 1 格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據 線性時變系統(tǒng)在時刻線性時

54、變系統(tǒng)在時刻 為完全能觀的充為完全能觀的充要條件是，存在一個有限時刻要條件是，存在一個有限時刻 ， 使如下定義的格拉姆矩陣使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。非奇異。0t)tt , Jt (t011110t0T0T10o)t , t () t (C) t (C)t , t (,t tdttWHarbin Engineering University2 2 秩判據秩判據 線性時變系統(tǒng)在時刻線性時變系統(tǒng)在時刻 為完全能觀的充分條件為完全能觀的充分條件是，存在一個有限時刻是，存在一個有限時刻 ，使下式成立，使下式成立0t)tt , Jt (t0111) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N)

55、 t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (C) t (N2-n2-n1 -n0010n)t (N)t (N)t (NrankT11 -n1110能觀性判據能觀性判據Harbin Engineering University 一一單變量系統(tǒng)的單變量系統(tǒng)的能控能觀規(guī)范形能控能觀規(guī)范形 對單輸入對單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,1010Ac1 -n10c 則稱此則稱此狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述為能控規(guī)范形。為能控規(guī)范形。系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀

56、規(guī)范形1.3.41 1 能控規(guī)范形能控規(guī)范形Harbin Engineering University結論：對完全能控的單輸入結論：對完全能控的單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)單輸出線性定常系統(tǒng)cxybu,Axx 引入線性非奇異變換引入線性非奇異變換 ，即可得到其能控規(guī)范，即可得到其能控規(guī)范形為形為Pxx xcyu,bxAxccc100Pbb,1010PAPAc1 -n101ccPc1n10-1cHarbin Engineering University設系統(tǒng)的特征多項式為設系統(tǒng)的特征多項式為01n1nnss) s ()AsI(det則變換矩陣可按下式計算則變換矩陣可按下式計算111bAAbb1

57、11bAbbAP1n1n11n1n11n1n1 -Harbin Engineering University 2 2 能觀測規(guī)范形能觀測規(guī)范形 對單輸入對單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式態(tài)空間描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo100c,1100Ac1 -n10o 則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形。則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形。Harbin Engineering University 結論：對完全能觀測的單輸入結論：對完全能觀測的單輸入- -單輸出線性單輸出線性定定常系統(tǒng)，引入線性非奇異變換常系統(tǒng)，引入線性非奇異變換 ，

58、即可得到其能觀測規(guī)范形，其中即可得到其能觀測規(guī)范形，其中Pxx 1 -n10c1 -n101 -cPbb,11-00PAPA100cPc-1cHarbin Engineering University設系統(tǒng)的特征多項式為設系統(tǒng)的特征多項式為01n1nnss) s ()AsI(det則矩陣則矩陣P P可按下式計算可按下式計算ccAcA111P1n1n11nHarbin Engineering University1 1 搜索線性無關行或列的方案搜索線性無關行或列的方案考慮考慮n n維多輸入維多輸入- -多輸出線性定常系統(tǒng)多輸出線性定常系統(tǒng)xAxbu, ycx其能控判別陣能觀判別陣分別為：其能控判

59、別陣能觀判別陣分別為：TnoCACACQ11BAABBQnc多變量系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形多變量系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形二 尋找線性尋找線性 無關的列無關的列 尋找線性尋找線性 無關的行無關的行 Harbin Engineering University(1) (1) 列向搜索方案列向搜索方案搜索步驟：搜索步驟： 第第1 1步：對柵格圖的左第步：對柵格圖的左第1 1列，若列，若 非零，在非零，在乘積乘積 格內劃格內劃。轉入下一格，若。轉入下一格，若 和和 線線性無關，則在其格內劃性無關，則在其格內劃。如此等等，直到首。如此等等，直到首次出現次出現 和和 線性相關，在其線性相關，在其格內

60、劃格內劃，并停止第，并停止第1 1列的搜索，得到一組線性列的搜索，得到一組線性無關的列向量為：無關的列向量為： ，長度為，長度為 。1b10bA1Ab1b1bA1bA,Ab,b1111111111b ,Ab ,Ab1Harbin Engineering University 第第2 2步：步：向右轉入第向右轉入第2 2列，若列，若 和和 線性無關，則在其格內劃線性無關，則在其格內劃。轉入下一格，若轉入下一格，若 和和 線性無線性無關，則在其格內劃關，則在其格內劃。如此等等，直到首次出現。如此等等，直到首次出現 和和 線性相線性相關，在其格內劃關，在其格內劃，并停止第，并停止第2 2列的搜索，得