計算機圖形學基礎教程附錄(第二版)(孫家廣-胡事民編著)(共16頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上附錄A 計算機圖形學的數(shù)學基礎A.1 矢量運算矢量是一有向線段，具有方向和大小兩個參數(shù)。設有兩個矢量V1(x1, y1, z1)，V2(x2, y2, z2)。(1) 矢量的長度|V1|=(x1x1, y1y1, z1z1)1/2(2) 矢量倍乘V1=(x1, y1, z1)(3) 兩個矢量之和V1+V2=(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)圖A-1(4) 兩個矢量的點積V1·V2=|V1|V2| cos=x1x2+y1y2+z1z2其中，為兩相量之間的夾角。點積滿足交換律和分配律：V1·V

2、2=V2·V1V1·(V2+V3)=V1·V2+V1·V3(5) 兩個矢量的叉積叉積V1×V2是一個向量，而且滿足： |V1×V2|=|V1|V2| sin，即以V1和V2為鄰邊所構成的平行四邊形的面積。圖A-2 V1×V2垂直于V1和V2。 V1，V2，V1×V2構成右手系。圖A-3用坐標表示為：叉積滿足反交換律和分配律V1×V2=V2×V1V1×(V2+V3)=V1×V2+V1×V3A.2 矩陣運算設有一個m行n列矩陣A：其中(ai1, ai2, ai3, ,

3、ain)被稱為第i(1in)個行向量，(a1j, a2j, a3j, , amj)T被稱為第j(1jm)個列向量。(1) 矩陣的加法運算 設兩個矩陣A和B都是m×n的，把它們對應位置的元素相加而得到的矩陣叫做A、B的和，記為AB只有在兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相同時才能實施矩陣的加法運算。(2) 數(shù)乘矩陣 用數(shù)k乘矩陣A的每一個元素而得的矩陣叫做k與A之積，記為kA：(3) 矩陣的乘法運算只有當前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時兩個矩陣才能相乘：Cm×n= Am×p·Bp×n矩陣C中的每個元素。下面用一個簡單的例子來說明。設A為2×3的矩

4、陣，B為3×2的矩陣，則兩者的乘積為：(4) 單位矩陣 對于一個n×n的矩陣，如果它的對角線上的各個元素均為1，其余元素都為0，則該矩陣稱為單位矩陣，記為In。對于任意m×n的矩陣，恒有：Am×n·In = Am×nIm ·Am×n = Am×n(5) 矩陣的轉置 交換一個矩陣Am×n的所有的行列元素，那么所得到的m×n的矩陣被稱為原有矩陣的轉置，記為AT：顯然，(AT)T=A，(A+B)T=(AT+BT)，(kA)T=kAT。但是，對于矩陣的積：(A·B)T=BT·

5、;AT(6) 矩陣的逆 對于一個n×n的方陣A，如果存在一個n×n的方陣B，使得AB=BA=In，則稱B是A的逆，記為B=A-1，同時A則被稱為非奇異矩陣。矩陣的逆是相互的，A同樣也可記為B=A-1，B也是一個非奇異矩陣。任何非奇異矩陣有且只有一個逆矩陣。(7) 矩陣運算的基本性質 矩陣加法適合交換律與結合律 A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C 數(shù)乘矩陣適合分配律與結合律 (A+B)=A+B(A·B)=(A)·B=A·B 矩陣的乘法適合結合律 A(B·C)=(A·B)C 矩陣的乘法對加法適合分配律 (A+B)C=A

6、C+BCC(A+B)=CA+CB 矩陣的乘法不適合交換率 A·BB·AA.3 齊次坐標所謂齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。如向量(x1, x2, , xn)的齊次坐標表示為hx1, hx2, , hxn, h，其中h是一個實數(shù)。顯然一個向量的齊次表示是不惟一的，齊次坐標的h取不同的值都表示的是同一個點，比如齊次坐標8,4,2、4,2,1表示的都是二維點2,1。齊次坐標的優(yōu)點： 它提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集，從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法。 它可以表示無窮遠的點。n+1維的齊次坐標中如果h=0，實際上就表示了n維

7、空間的一個無窮遠點。對于齊次坐標a,b,h，保持a,b不變，h0的過程就表示了在二維坐標系中的一個點，沿直線ax+by=0逐漸走向無窮遠處的過程。A.4 線性方程組的求解對于一個有n個變量的方程組：可將其表示為矩陣形式：AX=B，A為系數(shù)矩陣。該方程有惟一解的條件是A為非奇異矩陣，則方程的解為：X=A-1B附錄B 圖形的幾何變換B.1 窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標變換實際的窗口區(qū)與視圖區(qū)大小往往不一樣，要在視圖區(qū)正確地顯示形體，必須將其從窗口區(qū)變換到視圖區(qū)。圖B-1 由比例關系，兩者的變換公式為： 可以簡單地將兩者的關系表示為：其中：用矩陣表示為：B.2 二維圖形的幾何變換正如我們在附錄A中提到的那樣

8、，用齊次坐標表示點的變換將非常方便，因此在附錄B中所有的幾何變換都將采用齊次坐標進行運算。二維齊次坐標變換的矩陣的形式是： 這個矩陣每一個元素都是有特殊含義的。其中可以對圖形進行縮放、旋轉、對稱、錯切等變換；是對圖形進行平移變換；g h是對圖形作投影變換；i則是對圖形整體進行縮放變換。(1) 平移變換 圖B-2(a)(2) 縮放變換 圖B-2(b)(3) 旋轉變換 圖B-2(c)在直角坐標平面中，將二維圖形繞原點旋轉角的變換形式如下：逆時針旋轉取正值，順時針旋轉為負值。(4) 對稱變換 圖B-2(d)對稱變換其實只是a，b，d，e取0，1等特殊值產生的一些特殊效果。例如： 當b=d=0，a=1

9、，e=1時，有x´=x，y´=y，產生與y軸對稱的圖形； 當b=d=0，a=1，e=1時，有x´=x，y´=y，產生與x軸對稱的圖形； 當b=d=0，a=e=1時，有x´=x，y´=y，產生與原點對稱的圖形； 當b=d=1，a=e=0時，有x´=y，y´=x，產生與直線y=x對稱的圖形； 當b=d=1，a=e=0時，有x´=y，y´=x，產生與直線y=x對稱的圖形。(5) 錯切變換 當d=0時，x´=x+by，y´=y，此時，圖形的y坐標不變，x坐標隨初值(x, y)及變換系

10、數(shù)b作線性變化。圖B-2(e) 當b=0時，x´=x，y´=dx+y，此時，圖形的x坐標不變，y坐標隨初值(x, y)及變換系數(shù)d作線性變化。圖B-2(f)(6) 復合變換如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個變換矩陣綜合起來進行一步到位的變換。復合變換有如下5個性質： 復合平移 對同一圖形做兩次平移相當于將兩次的平移兩加起來： 復合縮放 兩次連續(xù)的縮放相當于將縮放操作相乘： 復合旋轉 兩次連續(xù)的旋轉相當于將兩次的旋轉角度相加： 關于(xf, yf)點的縮放變換縮放、旋轉變換都與參考點有關，上面進行的各種變換都是以原點為參考點的。如果相對某個一般的參考點(xf, y

11、f)作縮放、旋轉變換，相當于將該點移到坐標原點處，然后進行縮放、旋轉變換，最后將(xf, yf)點移回原來的位置。切記復合變換時，先作用的變換矩陣在右端，后作用的變換矩陣在左端。 繞(xf, yf)點的旋轉變換 B.3 三維幾何變換由于用齊次坐標表示，三維幾何變換的矩陣是一個4階方陣，其形式如下：其中產生縮放、旋轉、錯切等幾何變換，產生平移變換， a41 a42 a43產生投影變換，a44產生整體的縮放變換。(1) 平移變換 圖B-3參照二維的平移變換，很容易得到三維平移變換矩陣：(2) 縮放變換 圖B-4直接考慮相對于參考點(xf, yf, zf)的縮放變換，其步驟為： 將參考點平移到坐標原

12、點處； 進行縮放變換； 將參考點移回原來位置。       則變換矩陣為：(3) 繞坐標軸的旋轉變換 三維空間的旋轉相對要復雜些?？紤]右手坐標系下相對坐標原點繞坐標軸旋轉角的變換。 繞x軸旋轉 繞y軸旋轉 繞z軸旋轉(4) 繞任意軸的旋轉變換 圖B-5設旋轉軸AB由任意一點A(xa, ya, za)及其方向數(shù)(a, b, c)定義，空間一點P(xp, yp, zp)繞AB軸旋轉角到P(xp, yp, zp)，則：可以通過下列步驟來實現(xiàn)P點的旋轉： 將A點移到坐標原點； 使AB分別繞x軸、y軸旋轉適當角度與z軸重合； 將AB繞z軸旋轉角

13、； 作上述變換的逆操作，使AB回到原來位置。所以Rab()=T-1(xa,ya,za) Rx-1() Ry-1() Rz() Ry() Rx() T(xa,ya,za)。其中各個矩陣的形式參照上面所講的平移、旋轉矩陣，而，分別是AB在yoz平面與xoz平面的投影與z軸的夾角。附錄C 形體的投影變換C.1 投影變換分類把三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。投影變換的分類情況如圖C-1所示。C.2 世界坐標系與觀察坐標系物體在空間的表示是用世界坐標來表示，但是當人們去觀察物體時，坐標系就轉化為觀察坐標系。這就需要在兩個坐標系之間進行轉換，可以通過平移、旋轉來實現(xiàn)。平移后，用單位矢量法得到旋

14、轉矩陣：(1) 取zv軸向為觀察平面的法向VPN，其單位矢量n=VPN/|VPN|=(nx, ny, nz)；(2) 取xv軸向為觀察方向PREF，其單位矢量u=PREF/|PREF|=(ux, uy, uz)；(3) 取yv軸向的單位矢量v=n×u=(vx, vy, vz)。得到旋轉矩陣，因此世界坐標系到觀察坐標系的變換矩陣為：C.3 正平行投影（三視圖）投影方向垂直于投影平面的投影稱為正平行投影，通常所說的三視圖均屬于正平行投影。三視圖的生成就是把xyz坐標系的形體投影到z=0的平面，變換到uvw坐標系。一般還需將三個視圖在一個平面上畫出，這時就得到下面的變換公式，其中(a, b

15、)為uv坐標系下的值，tx、ty、tz均如圖C-3所示。(1) 主視圖 u=x+atxv=z+b+tz(2) 俯視圖 u=x+atxv=y+bty(3) 側視圖u=y+a+tyv=z+b+tz正軸測：當投影方向不取坐標軸方向，投影平面不垂直于坐標軸時，產生的正投影稱為正軸測投影。正軸測投影分類：l 正等測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿三個軸線具有相同的變形系數(shù)。l 正二測：投影平面與兩個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿兩個軸線具有相同的變形系數(shù)。l 正三測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都不相等。沿三個軸線具有各不相同的變形系數(shù)。C.4 斜平行投影投影

16、方向不垂直于投影平面的平行投影被稱為斜平行投影。圖C-4中z=0的坐標平面為觀察平面，點(x, y)為點(x, y, z)在觀察平面上的正平行投影坐標，點(x´, y´)為斜投影坐標。(x, y)與(x´, y´)的距離為L。顯然，而L的長度依賴于z、，即tg=z/L，L=z/tg，所以 令l1=1/tg，則，由此可得：斜等測投影：l 投影平面與一坐標軸垂直l 投影線與投影平面成45°角l 與投影平面垂直的線投影后長度不變斜二測投影：l 投影平面與一坐標軸垂直l 投影線與投影平面成 arctg(2)角(約63.4 °)l 該軸軸向變形