計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程附錄(第二版)(孫家廣-胡事民編著)(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上附錄A 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)A.1 矢量運(yùn)算矢量是一有向線段，具有方向和大小兩個(gè)參數(shù)。設(shè)有兩個(gè)矢量V1(x1, y1, z1)，V2(x2, y2, z2)。(1) 矢量的長(zhǎng)度|V1|=(x1x1, y1y1, z1z1)1/2(2) 矢量倍乘V1=(x1, y1, z1)(3) 兩個(gè)矢量之和V1+V2=(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)圖A-1(4) 兩個(gè)矢量的點(diǎn)積V1·V2=|V1|V2| cos=x1x2+y1y2+z1z2其中，為兩相量之間的夾角。點(diǎn)積滿足交換律和分配律：V1·V

2、2=V2·V1V1·(V2+V3)=V1·V2+V1·V3(5) 兩個(gè)矢量的叉積叉積V1×V2是一個(gè)向量，而且滿足： |V1×V2|=|V1|V2| sin，即以V1和V2為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積。圖A-2 V1×V2垂直于V1和V2。 V1，V2，V1×V2構(gòu)成右手系。圖A-3用坐標(biāo)表示為：叉積滿足反交換律和分配律V1×V2=V2×V1V1×(V2+V3)=V1×V2+V1×V3A.2 矩陣運(yùn)算設(shè)有一個(gè)m行n列矩陣A：其中(ai1, ai2, ai3, ,

3、ain)被稱為第i(1in)個(gè)行向量，(a1j, a2j, a3j, , amj)T被稱為第j(1jm)個(gè)列向量。(1) 矩陣的加法運(yùn)算 設(shè)兩個(gè)矩陣A和B都是m×n的，把它們對(duì)應(yīng)位置的元素相加而得到的矩陣叫做A、B的和，記為AB只有在兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相同時(shí)才能實(shí)施矩陣的加法運(yùn)算。(2) 數(shù)乘矩陣 用數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素而得的矩陣叫做k與A之積，記為kA：(3) 矩陣的乘法運(yùn)算只有當(dāng)前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時(shí)兩個(gè)矩陣才能相乘：Cm×n= Am×p·Bp×n矩陣C中的每個(gè)元素。下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。設(shè)A為2×3的矩

4、陣，B為3×2的矩陣，則兩者的乘積為：(4) 單位矩陣 對(duì)于一個(gè)n×n的矩陣，如果它的對(duì)角線上的各個(gè)元素均為1，其余元素都為0，則該矩陣稱為單位矩陣，記為In。對(duì)于任意m×n的矩陣，恒有：Am×n·In = Am×nIm ·Am×n = Am×n(5) 矩陣的轉(zhuǎn)置 交換一個(gè)矩陣Am×n的所有的行列元素，那么所得到的m×n的矩陣被稱為原有矩陣的轉(zhuǎn)置，記為AT：顯然，(AT)T=A，(A+B)T=(AT+BT)，(kA)T=kAT。但是，對(duì)于矩陣的積：(A·B)T=BT·

5、;AT(6) 矩陣的逆 對(duì)于一個(gè)n×n的方陣A，如果存在一個(gè)n×n的方陣B，使得AB=BA=In，則稱B是A的逆，記為B=A-1，同時(shí)A則被稱為非奇異矩陣。矩陣的逆是相互的，A同樣也可記為B=A-1，B也是一個(gè)非奇異矩陣。任何非奇異矩陣有且只有一個(gè)逆矩陣。(7) 矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì) 矩陣加法適合交換律與結(jié)合律 A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C 數(shù)乘矩陣適合分配律與結(jié)合律 (A+B)=A+B(A·B)=(A)·B=A·B 矩陣的乘法適合結(jié)合律 A(B·C)=(A·B)C 矩陣的乘法對(duì)加法適合分配律 (A+B)C=A

6、C+BCC(A+B)=CA+CB 矩陣的乘法不適合交換率 A·BB·AA.3 齊次坐標(biāo)所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示。如向量(x1, x2, , xn)的齊次坐標(biāo)表示為hx1, hx2, , hxn, h，其中h是一個(gè)實(shí)數(shù)。顯然一個(gè)向量的齊次表示是不惟一的，齊次坐標(biāo)的h取不同的值都表示的是同一個(gè)點(diǎn)，比如齊次坐標(biāo)8,4,2、4,2,1表示的都是二維點(diǎn)2,1。齊次坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)： 它提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集，從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。 它可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。n+1維的齊次坐標(biāo)中如果h=0，實(shí)際上就表示了n維

7、空間的一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。對(duì)于齊次坐標(biāo)a,b,h，保持a,b不變，h0的過(guò)程就表示了在二維坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，沿直線ax+by=0逐漸走向無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程。A.4 線性方程組的求解對(duì)于一個(gè)有n個(gè)變量的方程組：可將其表示為矩陣形式：AX=B，A為系數(shù)矩陣。該方程有惟一解的條件是A為非奇異矩陣，則方程的解為：X=A-1B附錄B 圖形的幾何變換B.1 窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)變換實(shí)際的窗口區(qū)與視圖區(qū)大小往往不一樣，要在視圖區(qū)正確地顯示形體，必須將其從窗口區(qū)變換到視圖區(qū)。圖B-1 由比例關(guān)系，兩者的變換公式為： 可以簡(jiǎn)單地將兩者的關(guān)系表示為：其中：用矩陣表示為：B.2 二維圖形的幾何變換正如我們?cè)诟戒汚中提到的那樣

8、，用齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)的變換將非常方便，因此在附錄B中所有的幾何變換都將采用齊次坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算。二維齊次坐標(biāo)變換的矩陣的形式是： 這個(gè)矩陣每一個(gè)元素都是有特殊含義的。其中可以對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換；是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；g h是對(duì)圖形作投影變換；i則是對(duì)圖形整體進(jìn)行縮放變換。(1) 平移變換 圖B-2(a)(2) 縮放變換 圖B-2(b)(3) 旋轉(zhuǎn)變換 圖B-2(c)在直角坐標(biāo)平面中，將二維圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的變換形式如下：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)取正值，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)值。(4) 對(duì)稱變換 圖B-2(d)對(duì)稱變換其實(shí)只是a，b，d，e取0，1等特殊值產(chǎn)生的一些特殊效果。例如： 當(dāng)b=d=0，a=1

9、，e=1時(shí)，有x´=x，y´=y，產(chǎn)生與y軸對(duì)稱的圖形； 當(dāng)b=d=0，a=1，e=1時(shí)，有x´=x，y´=y，產(chǎn)生與x軸對(duì)稱的圖形； 當(dāng)b=d=0，a=e=1時(shí)，有x´=x，y´=y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對(duì)稱的圖形； 當(dāng)b=d=1，a=e=0時(shí)，有x´=y，y´=x，產(chǎn)生與直線y=x對(duì)稱的圖形； 當(dāng)b=d=1，a=e=0時(shí)，有x´=y，y´=x，產(chǎn)生與直線y=x對(duì)稱的圖形。(5) 錯(cuò)切變換 當(dāng)d=0時(shí)，x´=x+by，y´=y，此時(shí)，圖形的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)隨初值(x, y)及變換系

10、數(shù)b作線性變化。圖B-2(e) 當(dāng)b=0時(shí)，x´=x，y´=dx+y，此時(shí)，圖形的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)隨初值(x, y)及變換系數(shù)d作線性變化。圖B-2(f)(6) 復(fù)合變換如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個(gè)變換矩陣綜合起來(lái)進(jìn)行一步到位的變換。復(fù)合變換有如下5個(gè)性質(zhì)： 復(fù)合平移 對(duì)同一圖形做兩次平移相當(dāng)于將兩次的平移兩加起來(lái)： 復(fù)合縮放 兩次連續(xù)的縮放相當(dāng)于將縮放操作相乘： 復(fù)合旋轉(zhuǎn) 兩次連續(xù)的旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將兩次的旋轉(zhuǎn)角度相加： 關(guān)于(xf, yf)點(diǎn)的縮放變換縮放、旋轉(zhuǎn)變換都與參考點(diǎn)有關(guān)，上面進(jìn)行的各種變換都是以原點(diǎn)為參考點(diǎn)的。如果相對(duì)某個(gè)一般的參考點(diǎn)(xf, y

11、f)作縮放、旋轉(zhuǎn)變換，相當(dāng)于將該點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處，然后進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)變換，最后將(xf, yf)點(diǎn)移回原來(lái)的位置。切記復(fù)合變換時(shí)，先作用的變換矩陣在右端，后作用的變換矩陣在左端。 繞(xf, yf)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 B.3 三維幾何變換由于用齊次坐標(biāo)表示，三維幾何變換的矩陣是一個(gè)4階方陣，其形式如下：其中產(chǎn)生縮放、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等幾何變換，產(chǎn)生平移變換， a41 a42 a43產(chǎn)生投影變換，a44產(chǎn)生整體的縮放變換。(1) 平移變換 圖B-3參照二維的平移變換，很容易得到三維平移變換矩陣：(2) 縮放變換 圖B-4直接考慮相對(duì)于參考點(diǎn)(xf, yf, zf)的縮放變換，其步驟為： 將參考點(diǎn)平移到坐標(biāo)原

12、點(diǎn)處； 進(jìn)行縮放變換； 將參考點(diǎn)移回原來(lái)位置。       則變換矩陣為：(3) 繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換 三維空間的旋轉(zhuǎn)相對(duì)要復(fù)雜些。考慮右手坐標(biāo)系下相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角的變換。 繞x軸旋轉(zhuǎn) 繞y軸旋轉(zhuǎn) 繞z軸旋轉(zhuǎn)(4) 繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 圖B-5設(shè)旋轉(zhuǎn)軸AB由任意一點(diǎn)A(xa, ya, za)及其方向數(shù)(a, b, c)定義，空間一點(diǎn)P(xp, yp, zp)繞AB軸旋轉(zhuǎn)角到P(xp, yp, zp)，則：可以通過(guò)下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)P點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)： 將A點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)； 使AB分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度與z軸重合； 將AB繞z軸旋轉(zhuǎn)角

13、； 作上述變換的逆操作，使AB回到原來(lái)位置。所以Rab()=T-1(xa,ya,za) Rx-1() Ry-1() Rz() Ry() Rx() T(xa,ya,za)。其中各個(gè)矩陣的形式參照上面所講的平移、旋轉(zhuǎn)矩陣，而，分別是AB在yoz平面與xoz平面的投影與z軸的夾角。附錄C 形體的投影變換C.1 投影變換分類把三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過(guò)程稱為投影變換。投影變換的分類情況如圖C-1所示。C.2 世界坐標(biāo)系與觀察坐標(biāo)系物體在空間的表示是用世界坐標(biāo)來(lái)表示，但是當(dāng)人們?nèi)ビ^察物體時(shí)，坐標(biāo)系就轉(zhuǎn)化為觀察坐標(biāo)系。這就需要在兩個(gè)坐標(biāo)系之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。平移后，用單位矢量法得到旋

14、轉(zhuǎn)矩陣：(1) 取zv軸向?yàn)橛^察平面的法向VPN，其單位矢量n=VPN/|VPN|=(nx, ny, nz)；(2) 取xv軸向?yàn)橛^察方向PREF，其單位矢量u=PREF/|PREF|=(ux, uy, uz)；(3) 取yv軸向的單位矢量v=n×u=(vx, vy, vz)。得到旋轉(zhuǎn)矩陣，因此世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換矩陣為：C.3 正平行投影（三視圖）投影方向垂直于投影平面的投影稱為正平行投影，通常所說(shuō)的三視圖均屬于正平行投影。三視圖的生成就是把xyz坐標(biāo)系的形體投影到z=0的平面，變換到uvw坐標(biāo)系。一般還需將三個(gè)視圖在一個(gè)平面上畫出，這時(shí)就得到下面的變換公式，其中(a, b

15、)為uv坐標(biāo)系下的值，tx、ty、tz均如圖C-3所示。(1) 主視圖 u=x+atxv=z+b+tz(2) 俯視圖 u=x+atxv=y+bty(3) 側(cè)視圖u=y+a+tyv=z+b+tz正軸測(cè)：當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，產(chǎn)生的正投影稱為正軸測(cè)投影。正軸測(cè)投影分類：l 正等測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿三個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。l 正二測(cè)：投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿兩個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。l 正三測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不相等。沿三個(gè)軸線具有各不相同的變形系數(shù)。C.4 斜平行投影投影

16、方向不垂直于投影平面的平行投影被稱為斜平行投影。圖C-4中z=0的坐標(biāo)平面為觀察平面，點(diǎn)(x, y)為點(diǎn)(x, y, z)在觀察平面上的正平行投影坐標(biāo)，點(diǎn)(x´, y´)為斜投影坐標(biāo)。(x, y)與(x´, y´)的距離為L(zhǎng)。顯然，而L的長(zhǎng)度依賴于z、，即tg=z/L，L=z/tg，所以 令l1=1/tg，則，由此可得：斜等測(cè)投影：l 投影平面與一坐標(biāo)軸垂直l 投影線與投影平面成45°角l 與投影平面垂直的線投影后長(zhǎng)度不變斜二測(cè)投影：l 投影平面與一坐標(biāo)軸垂直l 投影線與投影平面成 arctg(2)角(約63.4 °)l 該軸軸向變形