信號與系統(tǒng)（張明友、呂幼新）

1、信號與系統(tǒng) 張明友、呂幼新第一章第1章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.1 信號的描述及分類 1.2 信號的運算 1.3 系統(tǒng)的數(shù)學模型及其分類 1.4 系統(tǒng)的模擬 1.5 線性時不變系統(tǒng)分析方法概述 習題1第第1章章 信號與系統(tǒng)的基本概念信號與系統(tǒng)的基本概念 1.1 信號的描述及其分類信號的描述及其分類1.1.1 信號及其描述 什么是信號（signal）？廣義地說，信號是隨時間變化的某種物理量。在通信技術中，一般將語言、文字、圖像或數(shù)據(jù)等統(tǒng)稱為消息（message）。在消息中包含有一定數(shù)量的信息（information）。但是，信息的傳送一般都不是直接的，它必須借助于一定形式的信號（光信號、聲信號

2、、電信號等），才能遠距離快速傳輸和進行各種處理。因而，信號是消息的表現(xiàn)形式，它是通信傳輸?shù)目陀^對象，而消息則是信號的具體內(nèi)容，它蘊藏在信號之中。本課程將只討論應用廣泛的電信號，它通常是隨時間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由于信號是隨時間而變化的，在數(shù)學上可以用時間 t 的函數(shù) f ( t ) 來表示，因此，“信號”與“函數(shù)”兩個名詞常常通用。信號的特性可以從兩個方面來描述，即時間特性和頻率特性。信號可寫成數(shù)學表達式，即是時間 t 的函數(shù)，它具有一定的波形，因而表現(xiàn)出一定波形的時間特性，如出現(xiàn)時間的先后、持續(xù)時間的長短、重復周期的大小及隨時間變化的快慢等。另一方面，任意信號

3、在一定條件下總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成份，因而表現(xiàn)為一定波形的頻率特性，如含有大小不同頻率分量、主要頻率分量占有不同的范圍等。信號的形式所以不同，就因為它們各自有不同的時間特性和頻率特性，而信號的時間特性和頻率特性有著對應的關系，不同的時間特性將導致不同的頻率特性的出現(xiàn)。 1.1.2 信號的分類對于各種信號，可以從不同的角度進行分類。 1確定信號和隨機信號 按時間函數(shù)的確定性劃分，信號可分為確定信號和隨機信號兩類。 確定信號（determinate signal）是指一個可以表示為確定的時間函數(shù)的信號。對于指定的某一時刻，信號有確定的值。如我們熟知的正弦信號、周期脈

4、沖信號等。隨機信號（random signal）則與之不同，它不是一個確定的時間函數(shù)，通常只知道它取某一數(shù)值的概率，如噪音信號等。 實際傳輸?shù)男盘枎缀醵季哂胁豢深A知的不確定性，因而都是隨機信號。如，通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘枎в胁淮_定性，接收者在收到所傳送的消息之前，對信息源所發(fā)出的消息是不知道的，否則，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意義。另外，信號在傳輸過程中難免受各種干擾和噪聲的影響，將使信號產(chǎn)生失真。所以，一般的通信信號都是隨機信號。但是，在一定條件下，隨機信號也表現(xiàn)出某些確定性，通常把在較長時間內(nèi)比較確定的隨機信號，近似地看成確定信號，以使分析簡化。 2連續(xù)信號和離散信號

5、 按照函數(shù)時間取值的連續(xù)性劃分，確定信號可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號，簡稱連續(xù)信號和離散信號。 連續(xù)信號（continuous signal）是指在所討論的時間內(nèi)，對任意時刻值除若干個不連續(xù)點外都有定義的信號，通常用f ( t )表示。 離散信號（discrete signal）是指只在某些不連續(xù)規(guī)定的時刻有定義，而在其它時刻沒有定義的信號。通常用 f(tk) 或 f(kT) 簡寫 f(k ) 表示，如圖1.1-2所示。圖中信號 f (tk) 只在t k = 2, 1, 0, 1, 2, 3,等離散時刻才給出函數(shù)值。 3. 周期信號和非周期信號按信號（函數(shù)）的周期性劃分，確定信號又可以分為

6、周期信號與非周期信號。 周期信號（periodic signal）是指一個每隔一定時間T，周而復始且無始無終的信號，它們的表達式可寫為f ( t ) = f ( t + n T )n = 0, 1, 2, 滿足此關系式的最小T 值稱為信號的周期。只要給出此信號在任一周期內(nèi)的變化過程，便可確知它在任一時刻的數(shù)值。非周期信號（aperiodic signal）在時間上不具有周而復始的特性。非周期信號也可以看作為一個周期T趨于無窮大時的周期信號。 4 能量信號與功率信號 信號按時間函數(shù)的可積性劃分，可以分為能量信號，功率信號和非功非能信號。 信號可看作是隨時間變化的電壓或電流，信號 f(t) 在1歐

7、姆的電阻上的瞬時功率為 | f ( t ) | 2 ，在時間區(qū)間 所消耗的總能量定義為：),( （1.1-1）其平均功率定義為： （1.1-2）上兩式中，被積函數(shù)都是f ( t )的絕對值平方，所以信號能量E 和信號功率P 都是非負實數(shù)。若信號f ( t )的能量0 E , 此時P = 0，則稱此信號為能量有限信號，簡稱能量信號（energy signal）。若信號f ( t )的功率0 P 0)，就是將 f（t）表達式中所有自變量t用t 替換,成為 。信號f ( t )的折疊就是將f ( t )表達式以及定義域中的變量 t 用 t 替換，成為f ( - t )。 1.2.4 信號的尺度變換尺

8、度變換就是把信號f ( t )以及定義域中自變量t用at去置換，成為f ( at )。 ttfd)(d0t0t)(0ttf 1.3 系統(tǒng)的數(shù)學模型及其分類系統(tǒng)的數(shù)學模型及其分類1.3.1 系統(tǒng)的概念什么是系統(tǒng)（system）？廣義地說，系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。例如，通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、計算機網(wǎng)絡系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、水利灌溉系統(tǒng)等。通常將施加于系統(tǒng)的作用稱為系統(tǒng)的輸入激勵；而將要求系統(tǒng)完成的功能稱為系統(tǒng)的輸出響應。1.3.2 系統(tǒng)的數(shù)學模型分析一個實際系統(tǒng)，首先要對實際系統(tǒng)建立數(shù)學模型，在數(shù)學模型的基礎上，再根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入激勵，運用數(shù)學方法求其

9、解答，最后又回到實際系統(tǒng)，對結果作出物理解釋，并賦予物理意義。所謂系統(tǒng)的模型是指系統(tǒng)物理特性的抽象，以數(shù)學表達式或具有理想特性的符號圖形來表征系統(tǒng)特性。系統(tǒng)模型的建立是有一定條件的，對于同一物理系統(tǒng)，在不同條件下可以得到不同形式的數(shù)學模型。另一方面，對于不同的物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學模型。133 系統(tǒng)的分類 系統(tǒng)的分類比較復雜，我們主要考慮其數(shù)學模型的差異來劃分不同的類型。 1 連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng) 輸入和輸出均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時間信號的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。模擬通信系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，而數(shù)字計算機就是離散時間系統(tǒng)。

10、連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，而離散時間系統(tǒng)則用差分方程來描述。 2 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng)。所謂線性特性（linearity）系指齊次性與疊加性。若系統(tǒng)輸入增加k倍，輸出也增加k倍，這就是齊次性（homogeneity）。若有幾個輸入同時作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)總的輸出等于每一個輸入單獨作用所引起的輸出之和，這就是疊加性（superposition Property）。系統(tǒng)同時具有齊次性和疊加性便呈現(xiàn)線性特性 。 一個系統(tǒng)的輸出不僅與輸入有關，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。設具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)加入激勵時的總響應為y ( t )；僅有激勵而初始狀態(tài)為零的響應為y z s

11、( t )，稱為零狀態(tài)響應；僅有初始狀態(tài)而激勵為零時的響應為y z i ( t )，稱為零輸入響應。若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸入激勵，則對于線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，其輸出總響應必然是每個輸入單獨作用時相應輸出的疊加。 因此，一般線性系統(tǒng)必須具有： a. 分解性（decomposition property）： 即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) （1.3-6） b零輸入線性當系統(tǒng)有多個初始狀態(tài)時，零輸入響應對每個初始狀態(tài)呈線性。 c零狀態(tài)線性當系統(tǒng)有多個輸入時，零狀態(tài)響應對每個輸入呈線性。 凡不具備上述特性的系統(tǒng)則稱為非線性系統(tǒng)。 3 時不變

12、系統(tǒng)和時變系統(tǒng) 只要初始狀態(tài)不變，系統(tǒng)的輸出僅取決于輸入而與輸入的起始作用時刻無關，這種特性稱為時不變性。具有時不變特性的系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)（time invariant system）。不具有時不變特性的系統(tǒng)為時變系統(tǒng)（time varying system）。對時不變系統(tǒng)，如果激勵是 x(t)，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應是y ( t )，當激勵延遲一段時間td為x ( t td)，則系統(tǒng)的響應也同樣延遲td時間為y ( t td)，其波形形狀不變。公式化地表示為： 若 x ( t ) y ( t )則 x ( t td) y ( t td) (1.3-7)系統(tǒng)的線性和時不變性是兩個不同的概念，線性系統(tǒng)可

13、以是時不變的，也可以是時變的，非線性系統(tǒng)也是如此。本課程只討論線性時不變（LTI）系統(tǒng)，簡稱線性系統(tǒng)。線性時不變連續(xù)（離散）系統(tǒng)的數(shù)學模型為常系數(shù)微分（差分）方程。 4 因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng) 因果系統(tǒng)（Causal system）是響應不會超前激勵的系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)（noncausal system）是響應能領先于激勵的系統(tǒng)。 1.4 系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)的模擬如前所述，把一個實際系統(tǒng)抽象為數(shù)學模型，便于用數(shù)學方法進行分析。另外，還可借助簡單而易于實現(xiàn)的物理裝置，用實驗的方法來觀察和研究系統(tǒng)參數(shù)和輸入信號對于系統(tǒng)響應的影響。此時，需要對系統(tǒng)進行實驗模擬。系統(tǒng)模擬（system simulation）

14、不需要仿制實際系統(tǒng)，而只需在數(shù)學意義上的等效，使模擬系統(tǒng)與實際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學表達式。1.4.1 基本運算器連續(xù)系統(tǒng)的模擬一般需要三種基本的運算器：加法器、標量乘法器和積分器。模擬一個系統(tǒng)的微分方程不用微分器而用積分器，這是因為積分器對信號起“平滑”作用，甚至對短時間內(nèi)信號的劇烈變化也不敏感，而微分器將會使信號的噪聲大大增加，因而使用較少，顯然積分器的抗干擾性能比微分器好，運算精度高。1.4.2 連續(xù)系統(tǒng)的模擬圖對于連續(xù)的線性時不變系統(tǒng)，可用線性常系數(shù)微分方程來描述，根據(jù)微分方程可作出相應的模擬圖。構成系統(tǒng)模擬圖的規(guī)則如下：(1)把微分方程輸出函數(shù)的最高導數(shù)項保留在等式左邊，把其它各項移到等

15、式右邊；(2)將最高階導數(shù)作為第一個積分器的輸入，其輸出作為第二個積分器的輸入，以后每經(jīng)過一個積分器，輸出函數(shù)的導數(shù)階數(shù)就降低一階，直到獲得輸出函數(shù)為止；(3)把各個階數(shù)降低了的導數(shù)及輸出函數(shù)分別通過各自的標量乘法器，一齊送到第一個積分器前的加法器與輸入函數(shù)相加，加法器的輸出就是最高階導數(shù)。這就構成了一個完整的模擬圖。 現(xiàn)在考慮更一般的情況，即微分方程右邊含有輸入函數(shù)導數(shù)的情況。例如，二階微分方程(1.4-8)()( )()( )( 0101txbtxbtyatyaty則引入輔助函數(shù)，使xqaqaq01代入原方程)()()()( )( 01001101qaqaqbqaqaqbtyatyaty0

16、1001101qbqbaqbqbaqbqbqbqby01由此可見1a0a)(txq q)(ty0b1bqxqaqaq01qbqby01完整的二階系統(tǒng)模擬圖：根據(jù)系統(tǒng)模擬圖列寫微分方程的一般步驟： （1）選中間變量q ( t ) 。 設系統(tǒng)最右端積分器的輸出為q ( t )； （2）寫出各加法器輸出信號的方程； （3）消去中間變量q ( t )，可得微分方程。 以上介紹了連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬方法，關于離散時間系統(tǒng)的模擬將在第五章中介紹。它們的S域(復頻域)或Z域模擬將在第六章中介紹。 1-5 線性時不變系統(tǒng)分析方法概述線性時不變系統(tǒng)分析方法概述 在系統(tǒng)分析中，線性時不變系統(tǒng)分析具有重要意義。這

17、是因為：一方面，實際工作的多數(shù)系統(tǒng)在指定條件下可被近似為線性時不變系統(tǒng)；另一方面，線性時不變系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)比較成熟，形成了較為完善的體系。而非線性系統(tǒng)與時變系統(tǒng)的分析雖然已經(jīng)發(fā)展了一些實用方法，但作為普通的理論，至今尚未達到成熟的階段。分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后再進一步求得系統(tǒng)數(shù)學模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學描述方法可分兩類：一類稱為輸入-輸出描述法；一類稱為狀態(tài)變量描述法。輸入-輸出描述法著眼于系統(tǒng)激勵與響應的關系，并不涉及系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。因而，這種方法對于單輸入、單輸出系統(tǒng)較為方便。一般而言，描述線性時不變系統(tǒng)的輸入-輸出關系，對連續(xù)系統(tǒng)是常系

18、數(shù)線性微分方程，對離散系統(tǒng)是常系數(shù)線性差分方程。 狀態(tài)變量描述法不僅可以給出系統(tǒng)的響應，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)。用這種方法建立的數(shù)學式為一階標準形式，便于計算機求解。狀態(tài)變量分析法還適用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，已成為系統(tǒng)理論與近代控制工程的基礎。從系統(tǒng)數(shù)學模型的求解方法來講，基本上可分為時域方法和變換域方法兩類。時域法是直接分析時間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時域特性。對于輸入-輸出描述的數(shù)學模型，可求解常系數(shù)線性微分方程或差分方程；對于狀態(tài)變量描述的數(shù)學模型，則需求解矩陣方程。在線性系統(tǒng)時域分析方法中，卷積方法非常重要，不管是連續(xù)系統(tǒng)中的卷積還是離散系統(tǒng)中的卷積

19、和，都為分析線性系統(tǒng)提供了簡單而有效的方法，本書中將詳細討論這種方法。變換域方法是將信號與系統(tǒng)的時間變量函數(shù)變換成相應變換域的某個變量函數(shù)。例如，傅里葉變換（FT）是以頻率作為變量的函數(shù)，利用FT來研究系統(tǒng)的頻率特性；拉普拉斯變換（LT）與Z變換（ZT）則注重研究零點與極點分布，對系統(tǒng)進行S（復頻率）域和Z域分析。變換域方法可以將分析中的微分方程或差分方程轉換為代數(shù)方程，或將卷積積分與卷積和轉換為乘法運算，使信號與系統(tǒng)分析的求解過程變得簡單而方便。在分析線性時不變系統(tǒng)中，時域法和變換域法都以疊加性、線性和時不變性為分析問題的基準。首先把激勵信號分解為某種基本單元信號，然后求出在這些基本單元信號

20、分別作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，最后疊加。應該指出，卷積方法求得的是零狀態(tài)響應。變換域方法不限于求零狀態(tài)響應，也可用來求零輸入響應或直接求全響應，它是求解數(shù)學模型的有力工具。狀態(tài)變量分析法適用于時域法和變換域方法。本書按照先輸入-輸出描述后介紹狀態(tài)變量描述，先連續(xù)系統(tǒng)后離散系統(tǒng)，先時域后變換域的順序，研究線性時不變系統(tǒng)的基本分析方法。信號與系統(tǒng)第二章第第2 2章章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 沖激函數(shù)及其性質 2.2 系統(tǒng)的沖激響應 2.3 信號的時域分解和卷積積分 2.4 卷積的圖解和卷積積分限的確定 2.5 卷積積分的性質 2.6 卷積的數(shù)值計算 習題2 2.12

21、.1 沖激函數(shù)及其性質沖激函數(shù)及其性質 2.1.1 沖激函數(shù)沖激函數(shù) 沖激函數(shù)是對于集中于一個瞬間（或一點）出現(xiàn)的物理量的一種理想描述。 單位沖激函數(shù)的工程定義: 單位沖激函數(shù)的工程定義直觀地反映了它出現(xiàn)時間極短和面積為1兩個特點。從它t=0時函數(shù)值趨于無窮大，可以看出，不是通常意義下的函數(shù)。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為廣義函數(shù)（generalized function），或稱分配函數(shù)（distribution function）。這類函數(shù)的數(shù)學定義不是象普通函數(shù)那樣，由對應于自變量的變化值所取的函數(shù)值來定義，而是由它對另一個函數(shù)（常稱為測試函數(shù)）的作用效果來定義的，也就是說，不是用它“是”什么來

22、定義，而是用它能“做”什么來定義的。000)(ttt和1)( dtt單位沖激函數(shù)的嚴格的數(shù)學定義。 2.1.2 沖激函數(shù)的性質沖激函數(shù)的性質 作為廣義函數(shù)，沖激函數(shù)除了式（2.1-4）和式（2.1-16）所描述的取樣性質（或稱篩選性質）外，還具有如下常用性質： 1.加權特性 2.單位沖激函數(shù)為偶函數(shù) 3.單位階躍函數(shù)的導數(shù)是單位沖激函數(shù) 4.尺度變換 5.沖激函數(shù)的導數(shù)及其性質 單位沖激函數(shù)及其各階導數(shù)和積分是一族最常用的奇異函數(shù)。)0()()(dttt（2.1-4） 2.2 系統(tǒng)的沖激響應系統(tǒng)的沖激響應 線性時不變時間系統(tǒng)的單位沖激響應，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號作用下的響應，

23、簡稱沖激響應，用 h(t) 表示。它反映了系統(tǒng)的特性，同時也是利用卷積積分進行系統(tǒng)時域分析的重要基礎。 1. 對于簡單電路，直接計算該電路在單位沖激信號作用下的零狀態(tài)響應，即可求得沖激響應h(t)。 2. 先計算系統(tǒng)的階躍響應s(t)，然后利用沖激響應和階躍響應的關系計算沖激響應h(t)。 3. 從系統(tǒng)的微分方程求解沖激響應。2.3 信號的時域分解和卷積積分信號的時域分解和卷積積分 上一節(jié)討論了系統(tǒng)對于單位沖激信號這一特殊激勵下的零狀態(tài)響應，本節(jié)將研究任意波形信號可以分解為連續(xù)的沖激信號之和，以及任意信號作用下的零狀態(tài)響應問題，進而說明卷積積分的物理意義。2.3.1 信號的時域分解信號的時域分

24、解 任意波形的信號可以分解為連續(xù)的加權沖激信號之和。 任意波形的信號也可以分解為無限多個連續(xù)的加權階躍信號之和。2.3.2 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應-卷積積分卷積積分 任意波形信號作用于線性系統(tǒng)引起的零狀態(tài)響應，為 (2.3-10） dthxty)()()( 式（2.3-10）是卷積積分的一般形式，當與受到某種限制時，其積分上、下限會有所變化。 若tt1時，x(t)=0，式（2.3-10）中的積分下限應從t1開始，式（2.3-10）應表示為 (2.3-12） 相反，若x(t)不受此限，而tt2時，h(t)=0，積分上限應取t-t2 ，式（2.3-10）應表示為 （2.3-13）若tt1時，x(t)

25、=0，而t0)，則根本不存在傅里葉變換，因此，傅里葉變換的運用便受到一定的限制，其次，求取傅里葉反變換有時也是比較困難的，此處尤其要指出的是傅里葉變換分析法只能確定零狀態(tài)響應，這對具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)確定其響應也是十分不便的。因此，有必要尋求更有效而簡便的方法，人們將傅里葉變換推廣為拉普拉斯變換（LT: Laplace Transform）。本章首先從傅里葉變換導出拉普拉斯變換，對拉普拉斯變換給出一定的物理解釋；然后討論拉普拉斯正、反變換以及拉普拉斯變換的一些基本性質，并以此為基礎，著重討論線性系統(tǒng)的復頻域分析法；應用系統(tǒng)函數(shù)及其零極點來分析系統(tǒng)的時域特性、頻域特性等。 4.1 4.1 拉普拉斯

26、變換拉普拉斯變換4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換信號f(t)之所以不能滿足絕對可積的條件，是由于當t或t - 時，f ( t )不趨于零。如果用一個實指數(shù)函數(shù)e- t去乘f(t)，只要的數(shù)值選擇得適當，就可以克服這個困難。例如，對于信號0e0e)(tttftatb式中a、b都是正實數(shù)，且a b 。只要選擇a b，就能保證當 t 和 t 時，f ( t )e-t 均趨于零。通常把e-t 稱為收斂因子。f ( t )乘以收斂因子e-t 后的信號f ( t )e-t的傅里葉變換為它是 的函數(shù)，可寫成dteetfetftjtt)()(Fdtetftj)()(jFjf t edtjt( )()dt

27、etfsFst)()(記為最后得到 式（4.1-5）稱為f (t)的雙邊拉普拉斯變換(bilateral Laplace Transform)，稱F(s）是f ( t )的象函數(shù)。而式 (4.1-6) 是F（s）的雙邊拉普拉斯反變換，稱 f (t) 是F(s)的原函數(shù)。 式（4.1-5）和（4.1-6）稱為雙邊拉普拉斯變換對，可以用雙箭頭表示f ( t )與F(s)之間這種變換與反變換的關系其傅氏反變換為 desFetftjt)(21)(dtetfsFst)()( f tjF s edss tjj( ) 12（4.1-5）（4.1-6）)()(),()(sFtftfsF-1LL記)()(sFt

28、f從上述由傅氏變換導出雙邊拉普拉斯變換的過程中可以看出，f ( t ) 的雙邊拉普拉斯變換F(s)=F( )是把f ( t )乘以e - t之后再進行的傅里葉變換，或者說F(s)是f ( t ) 的廣義傅里葉變換。而f ( t )e - t 較容易滿足絕對可積的條件，這就意味著許多原來不存在傅里葉變換的信號都存在廣義傅里葉變換，即雙邊拉普拉斯變換，于是，拉普拉斯變換擴大了信號的變換范圍。拉普拉斯變換與傅里葉變換的基本區(qū)別在于：傅里葉變換是將時間域函數(shù)f ( t )變換為頻率域函數(shù)F( )，或作相反的變換，此處時域變量 t 和頻域變量 都是實數(shù)；而拉普拉斯變換則是將時間域函數(shù)f ( t ) 變換

29、為復頻域函數(shù)F(s)，或作相反的變換，這里時域變量 t 是實數(shù)，復頻變量 s 是復數(shù)。概括地說，傅里葉變換建立了時域和頻域 ( 域) 間的聯(lián)系，而拉普拉斯變換則建立了時域和復頻域（S域）間的聯(lián)系。 j 4.1.2 拉普拉斯變換的收斂域從以上討論可知，當信號f (t)乘以收斂因子e-t后，就有可能滿足絕對可積的條件。然而，是否一定滿足，還要看f (t)的性質與 值的相對關系而定。也就是說，對于某一函數(shù)f (t)，通常并不是在所有的 值上都能使式(4.1-5)的積分收斂，即并不是對所有的 值而言，函數(shù) f ( t )都存在拉普拉斯變換，而只是在 值的一定范圍內(nèi)，f ( t )才存在拉普拉斯變換。通

30、常把使 f (t)e-t 滿足絕對可積條件的 值的范圍稱為拉普拉斯變換的收斂域 ( ROC: region of convergence )。在收斂域內(nèi)，函數(shù)的拉普拉斯變換存在，在收斂域外，函數(shù)的拉普拉斯變換不存在。雙邊拉普拉斯變換對并不一一對應，即便是同一個雙邊拉普拉斯變換表達式，由于收斂域不同，可能會對應兩個完全不同的時間函數(shù)。因此，雙邊拉普拉斯變換必須標明收斂域。 4.1.3 （單邊）拉普拉斯變換（單邊）拉普拉斯變換 考慮到實際中遇到的信號都是有始（因果）信號，即 t 0 (4.1-9）記為-1 F(s)。即 F(s) = f (t) 和 f (t) = 1 F (s) 00)()(dt

31、etfsFst f tjF s edss tjj( ) 12 式（4.1-8）中積分下限用0而不用0，目的是可把t = 0時出現(xiàn)的沖激考慮到變換中去，當利用單邊拉普拉斯變換解微分方程時，可以直接引用已知的起始狀態(tài)f (0)而求得全部結果，無需專門計算0到0的跳變。 由于在分析因果系統(tǒng)，特別是具有非零初始條件的線性常系數(shù)微分方程時，單邊拉普拉斯變換具有重要價值，所以，我們在下文中討論的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）都是指單邊拉普拉斯變換。 如果因果信號f ( t )滿足：（1）在有限區(qū)間a t b內(nèi)（0 a b 0，拉普拉斯變換積分式（4.1-8）絕對且一致收斂。即f ( t )存在拉普拉斯變換。

32、)(0)(lim0ttetf 0為最低限度的值，稱為收斂坐標( abscissa of convergence )，它的取值與函數(shù)f ( t ) 的性質有關。經(jīng)過0的垂直線是收斂邊界，或稱為收斂軸。由于單邊拉普拉斯變換的收斂域是由Res = 0的半平面組成，因此其收斂域都位于收斂軸的右邊。凡滿足式(4.1-10)的函數(shù)f ( t )稱為“指數(shù)階函數(shù)”，意思是可借助于指數(shù)函數(shù)的衰減作用將函數(shù)f(t) 可能存在的發(fā)散性壓下去，使之成為收斂函數(shù)。 由于(單邊)拉氏變換的收斂域是由Re(s) 0的半平面組成，收斂域比較容易確定，故在一般情況下，不再加注其收斂域。我們在此再強調一下，以后討論的拉普拉斯變

33、換是指單邊拉普拉斯變換。 4.2 4.2 典型信號的拉普拉斯變換典型信號的拉普拉斯變換下面給出一些典型信號的拉氏變換。因為f ( t )與f ( t ) 的單邊拉氏變換相同，因此假定這些信號都是有始信號。 1. 指數(shù)信號 2. 單邊階躍信號 3. 單邊正弦信號 4. 單邊余弦信號cost )(tstet1)(20200)(sinsttst1)(2020)(cossstt 5. 單邊衰減正弦信號 6. 單邊衰減余弦信號 7. 單位沖激信號 8. t的正冪信號t n，（n為正整數(shù)） 9. 單邊雙曲正弦函數(shù)sh和余弦函數(shù)chettst sin( )()002022020)()(cosssttet1)

34、(t1!)(nnsntt22)(sinhstt22)(coshsstt 4.3 4.3 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質 在實際應用中，人們常常不是利用定義式計算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質。這些性質與傅里葉變換性質極為相似，在某些性質中，只要把傅氏變換中的j用s替代即可。但是，傅氏變換是雙邊的，而這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質又有差別。有些性質與傅氏變換相類似。 1 線性 2 時移性 3 比例性（尺度變換） 4 頻移性 5 時域微分 6 時域積分 7 初值定理 8終值定理拉氏變換還有一些其它性質，如時域卷積和復頻域卷積等，它們與傅氏變換的性質類似，不再重復。表

35、4-2列出了常用拉氏變換的性質。 4.4 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f (t)的過程稱為拉普拉斯反變換。簡單的拉普拉斯反變換只要應用表4-1以及上節(jié)討論的拉氏變換的性質便可得到相應的時間函數(shù)。求取復雜拉氏變換式的反變換通常有兩種方法：部分分式展開法和圍線積分法。前者是將復雜變換式分解為許多簡單變換式之和，然后分別查表即可求得原信號，它適合于F(s)為有理函數(shù)的情況；后者則是直接進行拉氏變換積分，它的適用范圍更廣。 4.4.1部分分式展開法常見的拉氏變換式是s的多項式之比（有理函數(shù)），一般形式是：)()()(sDsNsF式中N(s)和D(s)分別為F(s)的分子多項式和

36、分母多項式。ai ( i= 0,1,n) , bj (j = 0,1,m)均為實數(shù)。如果N(s)的階次比D(s)的階次高，則要用長除法將F(s)化成多項式與真分式之和，即（4.4-2 ） 由于商多項式的拉氏反變換是沖激函數(shù)及其各階導數(shù)可由微分性質直接求得。所以只需討論真分式多項式的拉氏反變換。下面著重討論是真分式時的拉氏反變換，可以將其分為以下三種情況： 商+真分式)()()(sDsNsF1. D(s) = 0的根都是相異實根因式分解為)()()(21nnssssssasD F(s)可表示為 然后，由表41進行反變換。 2. D(s) = 0有復根且無重復根 )()()()()(21nnsss

37、sssasNsDsNnnssksskssk2211)()()(2221cbssssssssasDnn)(21cbsssD)()()()()(11221sDsNcbssksksDsNsF的反變換可用配方法。cbssksk 221其中 3. D(s) = 0的根為重根同樣，可求得反變換。 4.4.2 圍線積分法拉普拉斯反變換式是拉氏反變換的運算轉換為求被積函數(shù)在各極點上的留數(shù)?？蓪懗蓜t重根只有一個若)(,0)(sDpsD)()()()(11nppnssssssasD)()()()()()()(11111211211) 1( 111sDsNsskssksskssksFpppp f tjF s eds

38、s tjj( ) 120,e)( sRe)(tsFtfksst s 4.5 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系由于拉氏變換是由傅氏變換推廣而來，當0 時，拉氏變換就是傅氏變換。對于有始信號，即t 0傅氏變換不存在。不能由拉氏變換去求得其傅氏變換。 2 0 0在拉氏變換式中令 s=j , 就可得到傅氏變換。 3. 0 = 0這時傅氏變換中必然包含有沖激函數(shù)或它們的導數(shù)。 4.6 連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析4.6.1 微分方程的復頻域分析法對于任何一個線性時不變系統(tǒng)都可用下列常系數(shù)線性微分方程來描述。對上式兩邊取拉氏變換，并假定為有始函數(shù)，即t 0時， x(

39、t)= 0，因而，x(0-)=x(0-)=0 。利用時域微分性質，有以二階常系數(shù)線性微分方程為例)()()()()(01012txbtxbtyatyatya )()(01sXbssXb)()0()()0()0()(0122sYayssYaysysYsa由此可見，時域中的微分方程已轉換為復頻域中的代數(shù)方程，并且自動地引入初始狀態(tài)，這樣十分便于直接求出全響應。全響應的象函數(shù)為上式表明響應由兩部分組成。一部分是由激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應；另一部分是系統(tǒng)的初始狀態(tài)產(chǎn)生的零輸入響應。0122122012201)0()0()0()()(asasayayasyasXasasabsbsY)()(sYsYzizs)

40、()()(sXsYsHzs系統(tǒng)函數(shù)的定義：階導數(shù)的初始狀態(tài)的表示響應式中，ityyi)()0()(它是零狀態(tài)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)函數(shù)。對Y(s) 進行反變換，可得全響應的時域表達式： 4.6.2 電路的復頻域模型當人們在復頻域內(nèi)分析具體電路時，此時可不必先列寫微分方程，再用拉氏變換進行分析，而是先根據(jù)復頻域電路模型，從電路中直接列寫求解復頻域響應的代數(shù)方程，然后求解復頻域響應并進行拉氏反變換。下面先介紹電路元件的復頻域模型。電阻元件的電壓與電流的時域關系為)()()()()()(111tytysYLsYLsYLtyzizszizs)()(tRitRR將上式兩邊取拉氏變換

41、，得 （4.6-9）由式（4.6-9）可得到電阻元件的復頻域模型如圖4.6-1所示。顯然，電阻元件的復頻域模型與時域模型具有相同的形式。)()(sRIsVRR+ -)(sVR)(sIR+ -)(tvR)(tiR電容元件的電壓與電流的時域關系為)0()(1)(0ctcCvdiCt將上式兩邊取拉氏變換，得（4.6-10）或 （4.6-11）上式表明，一個具有初始電壓的電容元件，其復頻域模型為一個復頻容抗與一個大小為的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個大小為的電流源并聯(lián)，如圖4.6-2所示。)0(1)(1)(CcCssIsCsV)0()()(ccccvsscVsI)(sIc+ -)(svc)0 (1cvs+

42、 -sc1)(sIc+ -)(svc)0(ccvsc1電感元件的電壓與電流的時域關系為將上式兩邊取拉氏變換，得 （4.6-12）或 （4.6-13）上式表明，一個具有初始電流的電感元件，其復頻域模型為一個復頻感抗與一個大小為的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個大小為的電流源相并聯(lián)，如圖4.6-3所示。dttdiLtLL)()(sisVsLsILLL)0()(1)()0()()(LLLLissLIsVsL+ -)(sVL)0(LLi)(sIL- +sL+ -)(sVLsiL)0()(sIL 把電路中每個元件都用它的復頻域模型來代替，將信號源及各分析變量用其拉氏變換式代替，就可由時域電路模型得到復頻域電路

43、模型。在復頻域電路中，電壓V(s)與電流I ( s ) 的關系是代數(shù)關系，可以應用與電阻電路一樣的分析方法與定理列寫求解響應的變換式。 4.7 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)4.7.1系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應系統(tǒng)函數(shù)H(s)是在零狀態(tài)條件下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比。式（4.6-1）表示的線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)由式（4.6-7）給出，即 （4.7-1）可見，已知系統(tǒng)時域描述的微分方程就很容易直接寫出系統(tǒng)復頻域描述的系統(tǒng)函數(shù)，反之亦然。系統(tǒng)函數(shù)僅決定于系統(tǒng)本身的特性，與系統(tǒng)的激勵無關，它在系統(tǒng)分析與綜合中占有重要地位。01110111)(asasasabsbsbsbsH

44、nnnnmmmm 由于 YZS(s) = H(s) X(s)當系統(tǒng)的激勵為 (t) 時，零狀態(tài)響應為h(t)，故 h(t) = H(s) (t) =H(s) ( 4.7-2） 即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應h(t)是一對拉氏變換。h(t)與H(s)分別從時域和復頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。在時域、頻域和復頻域，系統(tǒng)的輸入和零狀態(tài)輸出的關系由頻域和復頻域卷積定理相聯(lián)系。h tH s( )( )當系統(tǒng)的激勵為 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應由卷積積分可求得為 （4.7-3）上式表明，若激勵是無時限的復指數(shù)信號時，則因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應也是全響應仍為相同復頻率的指數(shù)信號，但被加權了H(s)。或者說，只要將

45、激勵乘以系統(tǒng)函數(shù)H(s)便可求得響應（條件是：s位于H(s)的收斂域內(nèi)，即位于H(s)的最右極點的右邊）。因此，用拉氏變換法分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，實質上就是將激勵信號分解為許多不同復頻率的復指數(shù)分量之和，即)()(1tetxts)()(10111sHedehetssts dehedehtyststszs111)()()()(其中每個復指數(shù)分量的響應由式（4.7-3）可得為，最后將這些響應分量迭加，即得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 x tjX s e d sjjst( )( )12即ytjX s H s e d sZSjjst( )( )( )12ytjYs e dsZSZSjjst( )( ) 12（4.

46、7-4） 4.7.2 系統(tǒng)函數(shù)的求法系統(tǒng)函數(shù)的求法綜上所述，系統(tǒng)函數(shù)可以由零狀態(tài)條件下從系統(tǒng)的微分方程經(jīng)過拉氏變換求得，或從系統(tǒng)的沖激響應求拉氏變換而得到。對于具體的電路，系統(tǒng)函數(shù)還可以用零狀態(tài)下的復頻域等效電路（模型）求得。4.7.3 系統(tǒng)框圖化簡系統(tǒng)框圖化簡在工程分析中，人們較喜歡采用方框圖的表示形式，因此系統(tǒng)可以用框圖表示。一個大系統(tǒng)可以由許多子系統(tǒng)作適當聯(lián)接組成，當各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時，可通過框圖化簡求得總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的基本聯(lián)接方式有級聯(lián)、并聯(lián)及反饋三種。 1. 級聯(lián)如圖4.7-3所示。兩個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H1(s)和H2(s)，整個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為（4.7-5）即，

47、子系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)函數(shù)為各個子系統(tǒng)函數(shù)之積 2. 并聯(lián)如圖4.7-4所示。圖中表示加法器或稱“和點”，在X(s)后面的A點叫做“分點”。（4.7-6）即，子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)函數(shù)為各個子系統(tǒng)函數(shù)之和。)s(H)s(H)s(H21) s (H1) s (H2X(s)Y(s) 2. 并聯(lián) 如圖4.7-4所示。圖中表示加法器或稱“和點”，在X(s)后面的A點叫做“分點”。 （4.7-6）即，子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)函數(shù)為各個子系統(tǒng)函數(shù)之和。) s (H) s (H) s (H21X(s) s (H2) s (H1Y(s)3. 反饋 圖4.7-5表示子系統(tǒng)H1(s)的輸出信號反饋到輸入端的情況，其中H1

48、(s)稱為正向通路的系統(tǒng)函數(shù)，H2(s)稱為反饋通路的系統(tǒng)函數(shù)，“+”號表示正反饋，即輸入信號與反饋信號相加，“”號表示負反饋，即輸入信號與反饋信號相減。沒有反饋通路的系統(tǒng)稱為開環(huán)系統(tǒng)，有了反饋通路則成閉環(huán)系統(tǒng)。在有反饋時的總系統(tǒng)函數(shù)為 （4.7-7）對于負反饋的情況，上式分母中取正號；(對于正反饋的情況，上式分母中取負號。)()(1)()()()(211sHsHsHsXsYsH ) s (EX(s)Y(s) s (H2) s (H1- 4.8 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分析系統(tǒng)特性由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分析系統(tǒng)特性4.8.1系統(tǒng)函數(shù)的零點與極點系統(tǒng)函數(shù)的零點與極點 一般來說，線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是以多

49、項式之比的形式出現(xiàn)的。將式(4.7-1)給出的系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母進行因式分解，進一步可得)()()()()()(0110為標量系數(shù)HpszsHsDsNsHnkkmjj當一個系統(tǒng)函數(shù)的全部零點、極點及確定后，這個系統(tǒng)函數(shù)也就可以完全確定。由于H0只是一個比例常數(shù)，對的函數(shù)形式?jīng)]有影響，所以一個系統(tǒng)隨變量s變化的特性可以完全由它的零點和極點表示。把系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點繪在S平面上的圖形叫做系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖。其中零點用“o”表示，極點用“ ”表示。若為n重零點或極點，則注以( n )。一個實際電系統(tǒng)的參數(shù)（如R、L、C等）必為實數(shù)，故系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式和分母多項式系數(shù)bj (j=0,1,m)

50、和ai ( i=0,1,n)必均為實數(shù)，因而實際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復變量s的實有理函數(shù)，它的零點或極點一定是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)。借助系統(tǒng)函數(shù)在S平面的零、極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多規(guī)律，以統(tǒng)一的觀點闡明系統(tǒng)諸方面的性能。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)的零、極點分布表現(xiàn)出來。從的零、極點的分布不僅可以揭示系統(tǒng)的時域特性的規(guī)律，而且還可用來闡明系統(tǒng)的頻率響應特性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面的性能。 1. 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布確定系統(tǒng)的沖激響應的模式系統(tǒng)函數(shù) H(s) 與沖激響應h ( t )是一對拉氏變換，因此根據(jù)H(s)的零、極點分布就可以確定系統(tǒng)的沖激響應的模式

51、。 （1） 若的極點位于S平面的原點，如，則h ( t ) =(t) ，沖激響應的模式為階躍函數(shù)。 （2） 若的極點位于S平面的正實軸上，如，則h ( t ) =et (t) ，沖激響應的模式為增長指數(shù)函數(shù)；若的極點位于S平面的負實軸上，如，則h ( t ) = e-t (t) ，沖激響應的模式為衰減指數(shù)函數(shù)。 （3） 若的極點位于S平面的虛軸（極點必以共軛形式出現(xiàn)）上，如，則 ，沖激響應的模式為等幅振蕩。2020)(ssH)(sin)(0ttth （4） 若的共軛極點位于S右半平面，如則 ，沖激響應的模式為增幅或減幅振蕩。 以上分析了的極點與沖激響應模式的關系。零點分布的情況只影響沖激響應的

52、幅度和相位，而對沖激響應模式?jīng)]有影響。 2020)()(ssH)(sin)(0ttetht 2. 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定系統(tǒng)全響應模式)s (Y)s (Y)s (Yzizs) s (Y) s (X) s (Hzi(1). 零狀態(tài)響應) t (yzsH(s)與系統(tǒng)全響應模式之間的關系H(s)的極點確定零狀態(tài)響應中自然響應的模式X(s)的極點確定零狀態(tài)響應中強制響應的模式 當?shù)臉O點與的零點或的零點與的極點相消時，就會使的極點所對應的自然響應模式或的極點所對應的強制響應模式消失。(2). 零輸入響應)(tyzi 故零輸入響應（自然響應）的模式由D(s)=0的根確定，它的幅度和相位則與初始狀態(tài)有關

53、。這里D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根或系統(tǒng)的固有頻率。可以說，零輸入響應的模式由系統(tǒng)的固有頻率確定。如果H(s)沒有零、極點相消，則特征方程D(s)=0的根也就是H(s)的極點，則零輸入響應的模式由H(s)的極點確定。但是，當H(s)的零極點相消時，系統(tǒng)的某些固有頻率在H(s)的極點中將不再出現(xiàn)，這時零輸入響應的模式不再由H(s)的極點確定，但H(s)的零極點是否相消，并不影響零狀態(tài)響應的模式。這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)函數(shù)一般只用于研究系統(tǒng)H(s)的零狀態(tài)響應。 系統(tǒng)的完全響應y(t)也可以分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。隨著時間 t 的增大而衰減為零的部分為暫態(tài)響應，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應。暫

54、態(tài)響應與H(s)和X(s)都有關系。當H(s)和X(s)的極點都在S域左半平面時，暫態(tài)響應等于自然響應與強制響應之和，穩(wěn)態(tài)響應等于零。若X(s)的極點實部大于或等于零，即Repi ；或者極點在原點，仍假定H(s)的極點Repi 0，此情況下，自然響應就是暫態(tài)響應，強制響應就是穩(wěn)態(tài)響應。0 4.8.3由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布確定系統(tǒng)的頻率響應特性由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布確定系統(tǒng)的頻率響應特性 系統(tǒng)函數(shù)H(s)在S平面的零、極點分布與其頻率特性有直接關系。利用系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布就可以借助幾何作圖法確定系統(tǒng)的頻率響應特性（簡稱頻響特性）。 若系統(tǒng)函數(shù)的極點均位于S左半平面，那么它在虛軸上（s =

55、 j）也收斂，令s = j，也就是在S平面中令s只沿虛軸變化，則H(s)| s= j =H(j)或寫作H()即為系統(tǒng)的頻響特性。 在式（4.8-1）系統(tǒng)函數(shù)H(s) 的表達式中，令s = j，則得：)()j ()j ()(0110為標量系數(shù)HpzHHnkkmjj可以看出，頻響特性取決于系統(tǒng)的零、極點分布。即取決于zj=pk的位置，H0是系數(shù)，對頻響特性無關緊要。式（4.8-6）分母中任一極點因子（ j-pk）相當于由極點pk引向虛軸上某點j的一個矢量，稱為極點矢量；分子中任一零點因子（ j-zj）相當于由零點zj引向虛軸上某點j的一個矢量，稱為零點矢量。圖4.8-5中畫出了由零點zj和極點pk

56、與虛軸上某點j聯(lián)接構成的零點矢量j - zj和極點矢量j - pk 。圖中Nj、Mk分別表示零點矢量和極點矢量的模，j、k分別表示零點矢量和極點矢量的輻角。即 j - zj = Nj j - pk = Mk （4.8-7） 于是，幅頻特性為 （4.8-9） 相頻特性為 （4.8-10）nkkmjjMNHH110)(mjnkkj11)(當自原點沿虛軸運動并趨于無窮大時，各零點矢量和極點矢量的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性和相頻特性曲線。討論可知，如果系統(tǒng)函數(shù)的某一極點十分靠近虛軸時，則當角頻率在該極點虛部附近處時，幅頻特性有一峰值，相頻特性急劇減小。類似地，如果系統(tǒng)函數(shù)有一零點十分靠近虛軸

57、時，則當角頻率在該零點虛部附近處時，幅頻特性有一谷值，相頻特性急劇增大。 49 連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.9.1 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于有界的激勵產(chǎn)生有界的響應（BIBO）的系統(tǒng)。如果對于有界的激勵產(chǎn)生無限增大的響應，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身特性的反映，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵今后的情況無關。 設連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入信號x(t)為有界，即，|x(t)| Mx , Mx為有界正值，由于零狀態(tài)響應 欲使y(t)為有界輸出，即|y(t)| ，則式(4.9-1)必須是有界的，也就是系統(tǒng)的沖激響應h(t)必須滿足絕對可積條件 (4.9-2) 對于因果系統(tǒng)的沖激響應，當t

58、0時，h(t) = 0 , 式(4.9-2)可寫為 (4.9-3) dhty )( 0)(dhtydtxhtxthty)()()()()(系統(tǒng)的沖激響應h(t)和系統(tǒng)函數(shù)H(s)從不同側面表征系統(tǒng)的本性。判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，既可從時域方面也可從S域方面進行，即通過研究H(s)在S平面中極點分布的位置，可很方便地給出有關系統(tǒng)穩(wěn)定性的結論。從4.8.2節(jié)中有關系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點分布與沖激響應模式關系的分析中，可得出系統(tǒng)極點分布與穩(wěn)定性的關系。（1）若H(s)的全部極點均位于S左半平面（不包括虛軸），則在t時，h(t)消失，系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）若在H(s)的極點中，只要有一個位于S右半平面或在虛

59、軸（包括原點）上具有二重以上極點，則在t時，h(t)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）若在H(s)的極點中，除了位于S左半平面外，還有一階極點位于虛軸（包括原點）上，則h(t)為有限值或為等幅振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點均位于S左半平面，或者說系統(tǒng)的特征方程D(s) = 0的根都具有負的實部。 4.9.2 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則也稱為羅斯霍爾維茲準則（Routh-Hurwitz criterion）。 羅斯霍爾維茲準則指出：多項式D(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯表中第1列的全部元素均大于0，即如果羅

60、斯表中第1列的元素均為不等于0的正值，則D(s)=0的根全部位于S平面的左半部，故系統(tǒng)穩(wěn)定。如果羅斯表中第1列元素的符號不完全相同，那么其符號改變次數(shù)恰恰就是具有正實部或位于S右半平面的根的數(shù)目。 4.10 系統(tǒng)的信號流圖系統(tǒng)的信號流圖用方框圖描述系統(tǒng)較直觀，但是當系統(tǒng)很復雜時，方框圖的化簡過程是很繁雜的。此時，可以應用信號流圖和梅森（Mason）公式進行化簡。4.10.1信號流圖信號流圖信號流圖是用幾何模型來描述線性方程組變量之間因果關系的一種表示方法，實際上是一種由點和標以方向的線構成的圖形，它也是一種模擬圖形，可以從方框圖演變出來。圖4.10-1（a）所示是用系統(tǒng)函數(shù)表示的系統(tǒng)方框圖，變