2.1一階微分方程.ppt課件

1、第二節(jié)轉(zhuǎn)化 解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy例例 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )例例. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得

2、Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y例例. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeC

3、yd)(稱為齊次方程 ;齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得例例. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求解. 令,) 1

4、()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)例例. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其