電阻電路的等效化簡(jiǎn)

1、第2章 電阻電路的等效化簡(jiǎn) 二端網(wǎng)絡(luò)： 將電路 N 分為 N1和 N2兩部分，若 N1 、 N2內(nèi)部變量之間無(wú)控制和被控的關(guān)系，則稱 N1和 N2為單口網(wǎng)絡(luò)（二端網(wǎng)絡(luò)）。一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)對(duì)電路其余部分的影響，決定于其端口電流電壓關(guān)系（VAR）。2.1 等效及等效化簡(jiǎn)NN1N2+-ui 一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓電流關(guān)系和另一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、 電流關(guān)系相同, 這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)叫做等效網(wǎng)絡(luò)。Niu 電路等效變換的條件是相互代換的兩部分電路具有相同的VAR； 電路等效的對(duì)象是A (也就是電路未變化的部分) 中的電流、 電壓、 功率； 電路等效變換的目的是為簡(jiǎn)化電路， 可以方便地求出需要求的結(jié)果。 等效化簡(jiǎn)方

2、法的一般步驟：等效化簡(jiǎn)方法的一般步驟：1.在電路中某兩個(gè)關(guān)系的節(jié)點(diǎn)處作分解，把電路分解成兩個(gè)或多個(gè)部分。2.分別對(duì)各部分進(jìn)行等效化簡(jiǎn)，求出最簡(jiǎn)的等效電路。3.用最簡(jiǎn)的等效電路替代原電路，求出端鈕處的電壓或電流。4.若還需要求電路中其他支路上的電壓或電流，在回到原電路，根據(jù)已求得的端電壓或端電流進(jìn)行計(jì)算。2.2二端電阻網(wǎng)絡(luò)的等效2.2.1二端串聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)1.串聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效：電阻的串聯(lián)等效串聯(lián)電阻及分壓關(guān)系 RR+R+R aR1U1R2U3R3U2bI(a)UaRUbI(b)2.2.分壓公式：分壓公式： 由串聯(lián)電阻的分壓公式； 由此可得 RRRUUURRIRURRIRURRIRUUUU3213

3、21333222111:RRRPPPRIPRIPRIPPPPPIUIUIUIU321321323222121321321:, 各電阻消耗的功率可以寫(xiě)成如下形式： 故有串聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系串聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系 例例2.1 有一量程為100mV， 內(nèi)阻為1k的電壓表。 如欲將其改裝成量程為U1=1V， U2=10V， U3=100V的電壓表， 試問(wèn)應(yīng)采用什么措施? 圖 2.2 例2.1圖 U1UgU2U3R1R2R3Rg解解:kRUURRRRUUggggg91) 11001() 1(1010331111則kRRRkUURRRRRRRRUUkRRRUURRRRRRUUggggggggggk900

4、99999910101001009099991011010010(213333213213123322122) 13() 1()() 1() 1()所以 2.2.2 2.2.2 電阻的并聯(lián)電阻的并聯(lián) 1. 1. 等效并聯(lián)電阻及分流關(guān)系等效并聯(lián)電阻及分流關(guān)系 aR3bI(a)UI3(G3)R2I2(G2)R1I1(G1)aRUbI(b)(G)RRRRGGGG3213211111 在并聯(lián)電路中， 若總電流I為已知， 于是根據(jù)各支路電導(dǎo)求出各支路電流 圖 2.3電阻并聯(lián)及其等效電路 各電導(dǎo)上的電流具有分流（current division）關(guān)系。若已知端電流i，則第j個(gè)電導(dǎo)上分得的電流為 這就是并聯(lián)

5、電阻電路的分流公式。由上式可知，對(duì)于并聯(lián)的電阻網(wǎng)絡(luò)，電阻上分得的電流與其電導(dǎo)值成正比，即與其電阻值成反比，電阻值越大，其分得的電流也越小。iGGGiGuGinkkjnkkjjj11 2. 并聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系并聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系 上式說(shuō)明各并聯(lián)電導(dǎo)所消耗的功率與該電導(dǎo)的大小 成正比，即與電阻成反比。 3. 3. 兩電阻并聯(lián)時(shí)的等效電阻計(jì)算及分流公式兩電阻并聯(lián)時(shí)的等效電阻計(jì)算及分流公式PPPPIUIUIUIU321321即GGGPPPGUPGUPGUP321321323222121:,RRRIIRRRIRRRRRRR21122121212121/ 例例 2.2 有一量程為100 A， 內(nèi)阻為

6、1.6 k的電流表， 如欲將其改裝成量程I1=500A，I2=5mA，I3=50mA的電流表。試問(wèn)應(yīng)采取什么措施? 圖 2.4 例2.2圖 圖中Rg為電流表內(nèi)阻，Ig為其量程， R1、R2、R3為分流電阻。 首先求出最小量程I1的分流電阻， 此時(shí)，I2、I3的端鈕均斷開(kāi)， 分流電阻為R1+R2+R3， 根據(jù)并聯(lián)電阻分流關(guān)系， 有0321R1R2R3RgIgI2I3I140010)100500(106 . 11010063613211321321IIRIRRRIRRRRRRRIggg所以 當(dāng)量程I2=5mA時(shí)，分流電阻為R2+R3， 而R1與Rg相串聯(lián)，根據(jù)并聯(lián)電阻分流關(guān)系， 有 3604040

7、040400160010510100136321232232132)()(RRRRRIIRRIRRRRRRIgggg故 當(dāng)量程I3=50mA時(shí)，分流電阻為R3，R1、R2均與Rg相串聯(lián)，同理有44001600105010100)()(3632133RRRRIIRgg所以， R2=40=36 。 對(duì)應(yīng)各量程電流表內(nèi)阻為 2.39160043636016003604363201600436360436360)()()()()(3211230232132101RRRRRRRRRRRRRRRRRRgggg 2 .2.3 混聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效混聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效 在一個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)中，既有電阻串聯(lián)，又有電阻并聯(lián)

8、時(shí)，就構(gòu)成了混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于二端混聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效，關(guān)鍵是要抓住二端網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)端鈕，從一個(gè)端鈕出發(fā)，逐個(gè)元件地縷到另一個(gè)端鈕 。 分清每個(gè)部分的結(jié)構(gòu)是串聯(lián)還是并聯(lián)，再利用串聯(lián)和并聯(lián)的等效公式，最終求得該二端混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效電路。下面舉例說(shuō)明混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效化簡(jiǎn)等效化簡(jiǎn)。 dcba71556620c（a）dcba15437RabR2R1ba46Rabc20dcba656157Rab（b）（c）（d）圖2.2-4 例2.2-2圖 例例2.2-2 求圖求圖2.2-4（a）所示電路）所示電路a、b兩端的等效電阻兩端的等效電阻Rab。 解：電路為多個(gè)電阻混聯(lián)，初一看似乎很復(fù)雜，但只要抓住端鈕a和b，從a點(diǎn)出發(fā)

9、，逐點(diǎn)縷順，一直縷到另一端鈕b。為清楚起見(jiàn)，在圖2.2-4（a）中標(biāo)出節(jié)點(diǎn)c和d。就得到圖2.2-4（b），并可看出5和20的電阻是并聯(lián)，兩個(gè)6的電阻也是并聯(lián)，其等效電阻分別是 520= 66=這里，用符號(hào)“”表示兩個(gè)電阻的并聯(lián)關(guān)系。420520536666 由此，進(jìn)一步得到圖2.2-4（b）的等效電路圖2.2-4（c）。再對(duì)2.2-4（c）進(jìn)行等效化簡(jiǎn)，得到2.2-4（d）。其中R2=15(3+7)=1510=6。 所以a、b兩端的等效電阻 Rab=R1+R2=4+6=10。 輸入電阻輸入電阻:前面我們分析了二端電阻網(wǎng)絡(luò)的等效，不管二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電阻是串聯(lián)、并聯(lián)還是混聯(lián)，總可以等效為一個(gè)電阻，

10、這個(gè)等效電阻又稱為該二端網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻，也就是說(shuō)，從a、b兩端看進(jìn)去的等效電阻，用Rin表示。ba圖2.2-6 輸入電阻的定義RiniNu 輸入電阻定義為該二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓除以端電流，即 2.3 星形（星形（Y）和三角形（）和三角形（）電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換）電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換 星形（Y）（star-connected）電阻網(wǎng)絡(luò)和三角形（）（delta- connected）電阻網(wǎng)絡(luò)是實(shí)際工程電路，尤其是三相電路中常見(jiàn)的電路結(jié)構(gòu)，圖2.3-1（a）、（b）分別是星形（Y）電阻網(wǎng)絡(luò)和三角形（）電阻網(wǎng)絡(luò)，它們分別由三個(gè)電阻構(gòu)成，電阻之間的關(guān)系既不是串聯(lián)關(guān)系，又不是并聯(lián)關(guān)系。 iuRin 星形（Y）電阻

11、網(wǎng)絡(luò)和三角形（）電阻網(wǎng)絡(luò) 1.1.星形（星形（Y Y）網(wǎng)絡(luò)和三角形（）網(wǎng)絡(luò)和三角形（）網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換）網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換 213322131113322123313322112RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 特殊地，當(dāng)Y形電阻網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)電阻都相等時(shí)，即時(shí)，其等效的形電阻網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)電阻也相等，即，它們之間的關(guān)系是 YRR32.2.三角形（三角形（）網(wǎng)絡(luò)和星形（）網(wǎng)絡(luò)和星形（Y Y）網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換）網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換312312312333123122312231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR 形相鄰電阻之積 Y電阻= 形電阻之和形電阻網(wǎng)絡(luò)等效成Y形電阻網(wǎng)絡(luò)的電阻便于記憶 特殊地

12、，當(dāng)形電阻網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)電阻都相等時(shí)，即時(shí)，其等效的Y形電阻網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)電阻也相等，即，它們之間的關(guān)系是 RRY31例例2.3-1 求圖2.3-2（a）所示二端網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻Rab ba1/31/3111（b）1/3ba1/34/34/31（c）圖2.3-2 例2.3-1圖111111（a）ab解：先對(duì)三個(gè)1電阻組成的網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)作標(biāo)記，在圖2.3-2（a）上分別記為、。再將這個(gè)網(wǎng)絡(luò)等效成Y形網(wǎng)絡(luò)，如圖2.3-2（b），由于網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)電阻都為1，即，則其等效的Y形網(wǎng)絡(luò)的電阻為。再根據(jù)電阻的串、并聯(lián)關(guān)系，把圖2.3-2（b）等效成圖2.3-2（c），并得到輸入電阻 3113131RRY2)34/34(3

13、11abR例例2.3-2 電路如圖2.3-3（a）所示，求電流源兩端的電壓U。 cbaU+22233641A（a）圖2.3-3 例2.3-2圖66cba3366（b）ba232（c）解：欲求電流源兩端的電壓U，只要求出a、b兩端的等效電阻即可。 從圖中可以看出，節(jié)點(diǎn)a、b、c的三端網(wǎng)絡(luò)是由一個(gè)形網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)Y形網(wǎng)絡(luò)組成，將三個(gè)2電阻組成的Y形網(wǎng)絡(luò)等效成形網(wǎng)絡(luò)，得圖2.3-3（b）的等效電路。 進(jìn)一步等效，得到圖2.3-3（c）的等效電路。所以，a、b兩端的等效電阻 Rab=3(2+2) =34=。電流源兩端的電壓 U=1(4+Rab)=4+=5.71V。6233YRR2.4含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)的等

14、效2.4.1 含理想電壓源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效 一、一、 理想電壓源的串聯(lián)理想電壓源的串聯(lián)圖2.4-1（a）所示電路是由n個(gè)理想電壓源的串聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)，其端電壓式中，當(dāng)某電壓源的參考方向與端電壓u的參考方向相同時(shí)，取“+”，反之，則取“”。njsjsnsjssuuuuuu121圖2.4-1 理想電壓源串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效+usjusnus2us1bau（a）ba+Ru（b）us 電壓值相同且極性也相同的理想電壓源可以并聯(lián)，并聯(lián)后的電壓值和極性都不變，相當(dāng)于一個(gè)電壓源，如圖2.4-2所示。二、 理想電壓源的并聯(lián)+uSuSuSuSuS圖2.4-2 理想電壓源并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效但是，如果理想電壓源的電壓值不同，或

15、極性不同，那么就不可以并聯(lián)，因?yàn)樗`背了基爾霍夫電壓定律（KVL）。三、理想電壓源和其它元件的并聯(lián) 例例2.4-1 求圖2.4-4（a）所示電路中的電流I。uSR（a）uS任意元件（b）uS（c）圖2.4-3理想電壓源和其它元件的并聯(lián)I5V9A10205（a）I5V105（b）圖2.4-4 例2.4-1圖2.4.2 含理想電流源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效一、一、 理想電流源的并聯(lián)理想電流源的并聯(lián) 圖2.4-5（a）所示電路是由n個(gè)理想電流源并聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)，其端電流 式中，當(dāng)某電流源的參考方向與端電流i的參考方向相同時(shí)，取“+”，反之，則取“”。njsjsnsjssiiiiii121 因此，對(duì)于n個(gè)理想電

16、流源相并聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)，可以等效為一個(gè)電流源，其電流為各電流源電流的代數(shù)和。即i（a）圖2.2-5 理想電流源并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效iS1iS2iSjiSni（b）iSnjsjsii1二、 理想電流源的串聯(lián) iS圖2.4-6 理想電流源串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效iSiS 但是，電流值不同或電流方向不一致的理想 電流源不可以串聯(lián)，因?yàn)檫@樣就違背了KCL 定律。三、理想電流源和其它元件的串聯(lián) iSiSR（a）iS（b）任 意元件（c）圖2.4-7理想電流源和其它元件的串聯(lián)2.4.3 有伴電源的相互等效 電路中，一個(gè)理想電壓源與一個(gè)電阻相串聯(lián)的支路稱為有伴電壓源（accompanied voltage source），而

17、一個(gè)理想電流源與一個(gè)電阻相并聯(lián)的支路稱為有伴電流源（accompanied current source）。 實(shí)際電壓源模型就是有伴電壓源，而有伴電流源也就是實(shí)際電流源模型，有伴電源的相互等效也就是實(shí)際電源的相互等效。iiuSR1u（a）iSR2（b）圖2.4-8 有伴電壓源和有伴電流源u有伴電壓源和有伴電流源之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。所謂等效，就是端鈕處的電壓和電流相等或具有相同的伏安關(guān)系。對(duì)于圖2.4-8（a）所示的有伴電壓源，端鈕處的伏安關(guān)系為iRuus1 對(duì)于圖2.4-8（b）所示的有伴電流源，端鈕處的伏安關(guān)系為 因此，有伴電壓源和有伴電流源可以相互等效，其等效的條件是：電流源的電流值等于

18、電壓源的電壓值除以電阻，而兩者的電阻相等，即電流源的電流方向與電壓源的電壓方向相反，表明電源的電流流向是從“”極流出，回到“”極。2RuiisRuiRRRss21例例2.4-2 求圖2.4-9（a）電路中的電流I。解：利用有伴電壓源和有伴電流源的等效變換及理想電壓源和理想電流源的串、并聯(lián)之間的關(guān)系，將圖2.4-9（a）作如下等效變換，如圖2.4-9（b）、（c）、（d）、（e）所示。4A453I（a） 8V43A圖2.4-9 例2.4-2圖42A4A9V453I（b）6A9V253I（c）5I3V5（e）9V53I12V2（d）2.5含受控源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效2.5.1 含受控源和電阻的二端網(wǎng)絡(luò)

19、的等效端鈕處的電壓其等效電阻為 iriR1u（a）iRu（b）圖2.5-1 含受控源和電阻的二端網(wǎng)絡(luò)的等效irRriiRu)(11rRR12.5.2 含受控源、電阻和獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效 顯然，當(dāng)電路中含有受控源、電阻和獨(dú)立源時(shí)，可以等效成有伴電壓源或有伴電流源。例例2.5-2 求圖2.5-3（a）所示二端網(wǎng)絡(luò)的最簡(jiǎn)等效電路。解：由圖2.5-3（a）可知 （1） （2）把（1）式代入（2）式，得 （3） U1i1iba3A1 2V12U1圖2.5-3（a） 例2.5-2圖31 ii3111iiU123122111UUUUab21312)3(3iiUab由（3）又可得到 （4）由（3）、（4）式得到最簡(jiǎn)等效電路，如圖2.5-3（b）、（c）所示。 73abU