中學(xué)物理解題思維之5.極限法

1、五、極限法方法簡(jiǎn)介極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷準(zhǔn)確。因此要求解題者，不僅具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。試題精講例 1：如圖5 1 所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h 高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k ，則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為。解析 ：球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此推理，小球所受合力為零的

2、位置速度、動(dòng)能最大。所以速最大時(shí)有mg = kx由機(jī)械能守恒有：mg (h + x) = Ek + 1 kx 22聯(lián)立式解得：Ek = mgh m2 g2圖 512k例 2：如圖 5 2 所示，傾角為 的斜面上方有一點(diǎn)O ，在 O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿直軌道到達(dá)斜面P 點(diǎn)的時(shí)間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角 。解析 ：質(zhì)點(diǎn)沿OP做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t 應(yīng)該與 角有關(guān)，求時(shí)間t 對(duì)于 角的函數(shù)的極值即可。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為：a = gcos 該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t ，則：1 at 2 = OP2圖 52所以： t =

3、2OPg cos由圖可知，在OPC中有：OP=OCsin(90 o) sin(90 o所以： OP = OCcos)cos(將式代入式得：t =2OCcos=4OCcoscos(coscos(2 ) gg cos)顯然，當(dāng) cos( 2 ) = 1，即 =時(shí)，上式有最小值。2所以當(dāng) =2時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿直軌道滑到斜面所用的時(shí)間最短。此題也可以用作圖法求解。例 3 ：從底角為 的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，若斜面足夠長(zhǎng)，如圖5 3 所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H 為多少？解析 ：當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn)。以水平向右為x 軸正方向， 豎直向下為y 軸

4、正方向， 則由： vy= v0tan = gt，解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t = v0 tan g該點(diǎn)的坐標(biāo)為：x = vt =v0212=v02tan2tan ， y =gt0g22g由幾何關(guān)系得：H+ y = xtancos解得小球離開斜面的最大距離為：圖 5H = v02tan sin 2g這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡(jiǎn)便。例 4：如圖5 4 所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m 的墻外，從噴口算起，墻高為4.0m。若不計(jì)空氣阻力，取g = 10m/s 2，求所需的最小初速及對(duì)應(yīng)的發(fā)射仰角。解析 ：水流做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以噴口 O 為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)

5、，本題的任務(wù)就是水流能通過點(diǎn) A（ d 、 h）的最小初速度和發(fā)射仰角。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，水流的運(yùn)動(dòng)方程為：xv0 costy v0sint1 gt22把 A 點(diǎn)坐標(biāo)（ d、 h ）代入以上兩式，消去t ，得：v02 =2(hgd2)cos 2圖 54d tan=gd2h(cos 2 1)dsin 2=gd 2dhd 2h2h 2sin 2h2cos 2hd2d2令 h = tan ，則d= cos ，h= sin ，上式可變?yōu)椋篸d2h2d2h2v 02 =h2gd 2)hd2sin(2顯然，當(dāng) sin (2 ) = 1 時(shí)，即 2 = 90 ，亦即發(fā)射角 = 45 + =245 + 1

6、arctanh = 45 + arctan4 = 71.6時(shí)， v0最小，且最小速度為：2d3v0 = g(d2h2h) = 310= 9.5m/s例 5 ：如圖 5 5 所示，一質(zhì)量為m的人，從長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為 M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為 ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為 ，且 。這樣，人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L 是多少？解析 ：人驟然停止奔跑后，其原有動(dòng)量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動(dòng)量，此后，地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力 f ，其加速度a=f(Mm)g= g 。圖 55=1MmMm由于鐵板移動(dòng)的距離L = v 2，故 v越大，

7、L 越大。 v 是人與鐵板一起開始地運(yùn)2a1動(dòng)的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦 (M + m)g，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律得：F = ma 2 + M0所以： a2=F = Mm gm m設(shè) v 、 v分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度：因?yàn)椋?mv = (M + m) v 且： v 2 = 2a 2 l ， v 2 = 2a 1L并將 a1、 a2 代入式解得鐵板移動(dòng)的最大距離：mlL =Mm例 6：設(shè)地球的質(zhì)量為M ，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m ，地球的半徑為R0 ，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球

8、做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運(yùn)行軌道，發(fā)射速度 v = gR0 (2R0 ) ，并用該式求出這個(gè)發(fā)射速度的最小值和最大值。（取 R0 = 6.4r106m），設(shè)大氣層對(duì)衛(wèi)星的阻力忽略不計(jì)，地面的重力加速度為g）解析 ：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)總機(jī)械能為一常量。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為v 發(fā)，衛(wèi)星發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為：E1 = 1 m 2 G Mm2v 發(fā)R0進(jìn)入軌道后衛(wèi)星的機(jī)械能為：E2 = 1 m2 GMm2v軌r由 E1=E 2，并代入 v 軌 =GM ，解得發(fā)射速度為：rv 發(fā) =GM (2R 0 )R 0r又因?yàn)樵诘孛嫔先f有引力等于重力，即：GM

9、m= mg ，所以：R02GM = gR 0R0把式代入式即得：v 發(fā) =gR0 (2R0 )r（ 1）如果 r = R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需發(fā)射速度最小為： vmin =gR 0= 7.9 103m/s 。（ 2 ）如果 r ，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為：vmax= 2gR 0 = 11.2 103m/s 。例 7：如圖5 6 所示， 半徑為 R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O 點(diǎn)正下方 C 點(diǎn)處，OC=3R ， 半球重為G ，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G 的物體，88它與半球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù) = 0.2，求無滑動(dòng)時(shí)物體離球心O 點(diǎn)最

10、大距離是多少？解析：物體離O點(diǎn)放得越遠(yuǎn)，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度 越大，但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí)， 有限度。設(shè)物體距球心為x 時(shí)恰好無滑動(dòng)，對(duì)整體以半球體和地面接觸點(diǎn)為軸，根據(jù)平衡條件有：G 3R sin = Gxcos ，得到： x = 3Rtan 圖 5688可見， x 隨 增大而增大。臨界情況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：tan m = fm = = 0.2，所以 x = 3 R = 0.6R。N例 8 ：有一質(zhì)量為m = 50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù) = 0.3，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角 = 30 ，如圖 5 7 所

11、示。（ 1）若以水平力F 作用在桿上，作用點(diǎn)到地面的距離h1= 2 L（ L 為桿長(zhǎng)），要使桿不滑倒，力F 最大不能越過多少？5（ 2）若將作用點(diǎn)移到h2 =4 L 處時(shí)，情況又如何？圖 575解析 ：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力的大小還與 h 有關(guān)，討論力與 h 的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如圖5 7甲所示，由平衡條件得：F Tsin f = 0N Tcos mg = 0F(L h) fL = 0另由上式可知， F 增大時(shí)， f 相應(yīng)也增大，故當(dāng)f 增大到最大圖 5 7甲靜摩擦力時(shí)，桿剛要滑倒，此時(shí)滿足：f = N解得： Fmax =mgL tantan (Lh

12、)h由上式又可知，當(dāng)tan(L h) h ，即當(dāng) h0 = 0.66L時(shí)，對(duì) F 就沒有限制了。（ 1）當(dāng) h 1 =2 L h0，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入Fmax 的表達(dá)式得： Fmax = 385N5（ 2）當(dāng) h2 = 4 L h 0 ，無論 F 為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。5例 9 ：放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為M ，如圖 5 8 所示， 板上有質(zhì)量為m的小狗以與木板成 角的初速度v0（相對(duì)于地面） 由 A 點(diǎn)跳到B 點(diǎn)，已知 AB 間距離為s 。求初速度的最小值。解析 ：小狗跳起后，做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平位移向右，由于水平方向動(dòng)量守恒，木板向左運(yùn)動(dòng)。小狗落到板上的B 點(diǎn)時(shí)，小狗和

13、木板對(duì)地位移的大小之和，是小狗對(duì)木板的水平圖 58位移。由于水平方向動(dòng)量守恒，有：mv0cos = Mv，即： v = mv 0 sinM小狗在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t = 2v0 sing又： s + v0cos t = vt將、代入式得：v0 =Mgs(Mm)sin 2當(dāng) sin2 = 1，即 =時(shí)， v0有最小值，且v0min =Mgs 。4Mm例 10 ：一小物塊以速度v0= 10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺(tái)上，并由高臺(tái)上飛出，如圖5 9 所示。當(dāng)高臺(tái)的高度h 多大時(shí)，小物塊飛行的水平距離s 最大？這個(gè)距離是多少？（g 取 10m/s2）解析 ：依題意，小

14、物塊經(jīng)歷兩個(gè)過程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機(jī)械能守恒，物塊從高臺(tái)上飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，其水平距離s 是高度 h 的函數(shù)。設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為v ，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：1 m 21 m v 2+ mgh圖 59v0=22小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離s 和高度 h 分別為：s = vth = 1 gt 22以上三式聯(lián)立解得：s =v022gh2h= 2( v 02)2(hv 02) 2g4g4g當(dāng) h =v02= 2.5m 時(shí)， s 有最大值，且smax = v02= 5m。4g2g例 11：軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻s，以速度v 0 起跳，如圖5 10所示

15、，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動(dòng)以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為 。求能使人體重心有最大總升高的起跳角 。解析 ：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運(yùn)動(dòng)上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度。如圖 5 10甲，人做斜拋運(yùn)動(dòng)，有：vx= vcos ，0vy = v 0sin gt重心升高為： H = stan 1s)2g (102v0 cos圖 510腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動(dòng)量增加，即：(mv y) = mvy = f(t) = N(t)t = N(t)t而： N(t)t = mvx所以：vy = vx，人蹬墻后，其重心在豎直方向向上的

16、速度為：v y = vy+vy= vy+ vx，繼續(xù)升高2v y2H =2g重心總升高：H=H 1+ H 2= v02( cos + sin ) 22g s 0當(dāng) = arctan1 時(shí)，重心升高最大。圖 5 10甲例 12 ：如圖 5 11 所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，以速度v0 沿水平的光滑軌道做勻速直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m的小物塊無初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為。（ 1）若要求物塊不會(huì)從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長(zhǎng)？（ 2）若車頂長(zhǎng)度符合（ 1）問中的要求，整個(gè)過程中摩擦力共做多少功？解析 ：當(dāng)兩物體具有共同速度時(shí)，相對(duì)位移最大，這個(gè)相對(duì)位移的大小即為車頂?shù)?/p>

17、最小長(zhǎng)度。設(shè)車長(zhǎng)至少為l，則根據(jù)動(dòng)量守恒：Mv0 = (M + m)v根據(jù)功能關(guān)系：mgl =1 Mv02 1 (M + m)v 2圖 51122解得： l =Mv 022 (Mm)g摩擦力共做功：W = mgl = Mmv 022(Mm)例 13 ：一質(zhì)量 m = 200kg，高 2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的水池底部，如圖 5 12 所示。桶的內(nèi)橫截面積S = 0.500m2，桶壁加桶底的體積為05010V =2.2m3 。桶內(nèi)封有高度為l = 0.200m的空氣。池深 H0 = 20.0m，大氣壓強(qiáng)p0= 10.00m水柱高，水的密度 = 1.000 103kg/m 3，重力加速度

18、取g = 10.00m/s2。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達(dá)水面處，求繩子拉力對(duì)桶所需何等的最小功為多少焦耳？（結(jié)果要保留三位有效數(shù)字）。不計(jì)水的阻力，設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸汽壓的影響。并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。解析 ：當(dāng)桶沉到池底時(shí)，桶自身重力大于浮力。在繩子的作用下桶被緩慢提高過程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加，排開水的體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力逐漸減小，當(dāng)桶受到的浮力等于重力時(shí)，即繩子拉力恰好減為零時(shí)，桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因?yàn)槿粲幸粩_動(dòng)使桶略有上升，則浮力大于重力，無需繩的拉力，桶就會(huì)自動(dòng)浮起，而不需再拉繩。因此繩對(duì)桶的拉力所需做的最小功等于將桶從池底圖

19、 512緩慢地提高到浮力等于重力的位置時(shí)繩子拉桶所做的功。設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為H ，桶內(nèi)氣體的厚度為l ，如圖 5 12甲所示。因?yàn)榭偟母×Φ扔谕暗闹亓g ，因而有： (l S + V0)g = mg有： l = 0.350m在桶由池底上升高度 H 到達(dá)不穩(wěn)定平衡位置的過程中，桶內(nèi)氣體做等溫變化，由玻意耳定律得： p0 + H 0 H (l 0 l ) l S = p0 + H 0 (l 0 l ) lS 圖 5 12甲由、兩式可得： H = 12.240m由式可知 H（ H0 l ），所以桶由池底到達(dá)不穩(wěn)定平衡位置時(shí)，整個(gè)桶仍浸在水中。由上分析可知，繩子的拉力在整個(gè)

20、過程中是一個(gè)變力。對(duì)于變力做功，可以通過分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了H 高度后的總機(jī)械能量E 。 E 由三部分組成：（ 1）桶的重力勢(shì)能增量：E1 = mgH（ 2 ）由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變量E2 ，可認(rèn)為在H 高度時(shí)桶本身體積所排開的水是去填充桶在池底時(shí)桶所占有的空間，這時(shí)水的重力勢(shì)能減少了。所以：E2 = gV0H（ 3 ）由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變E3 ，由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在H高度時(shí)桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時(shí)空氣所占空間，體積為

21、 lS 的水， 這部分水增加的重力勢(shì)能為：E3 = gHlS另一部分體積為(l l)S的水上升到水池表面，這部分水上升的平均高度為：llH0 H l 0 + l +2增加的重力勢(shì)能為：E32 = gS(l l) H0 H l 0 + l +l l 2由整個(gè)系統(tǒng)的功能關(guān)系得，繩子拉力所需做的最小功為：WT =E將、式代入式得：WT = gS (l l)( H 0 l 0) + l 2l 22將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式計(jì)算，并取三位有效數(shù)字，可得：WT = 1.3710 4 J例 14 ：如圖5 13 所示，勁度系數(shù)為k 的水平輕質(zhì)彈簧，左端固定，右端系一質(zhì)量為 m的物體，物體可在有摩擦的水平桌面上滑動(dòng)，彈

22、簧為原長(zhǎng)時(shí)位于O 點(diǎn)，現(xiàn)把物體拉到距O 為 A0 的 P 點(diǎn)按住，放手后彈簧把物體拉動(dòng)，設(shè)物體在第二次經(jīng)過O點(diǎn)前，在 O 點(diǎn)左方停住，求：（ 1）物體與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù) 的大小應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（ 2）物體停住點(diǎn)離 O點(diǎn)的距離的最大值， 并回答這是不是物體在運(yùn)動(dòng)過程中所能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值？為什么？（認(rèn)為動(dòng)摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)相等）解析 ：要想物體在第二次經(jīng)過O 點(diǎn)前，在O 點(diǎn)左方停住，則需克服摩擦力做功消耗掉全部彈性勢(shì)能，同時(shí)還需合外力為零即滿足平衡條件。（ 1）物體在距離O點(diǎn)為 l 處停住不動(dòng)的條件是：a物體的速度為零，彈性勢(shì)能的減小等于物體克服滑動(dòng)摩圖 513擦力所做的功。b彈簧彈力最大靜

23、摩擦力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)做如下分析：物體向左運(yùn)動(dòng)并正好停在O 點(diǎn)的條件是：1 k A 02 = mgA02得： =kA 02mg若 kA 0，則物體將滑過O點(diǎn)，設(shè)它到O 點(diǎn)左方 B 處（設(shè) OB = L 1）時(shí)速2mg度為零，則有：1 k A 02 1 k L21 = mg (A 0 + L 1)22若物體能停住，則kL 1 mg ，得：kA 03mg如果能滿足，但 kA 0，則物體不會(huì)停在B 處而要向右運(yùn)動(dòng)。值越小，3mg則往右滑動(dòng)的距離越遠(yuǎn)。設(shè)物體正好停在O處，則有：1 k L21 = mgL1 ，得： =kA 024mg要求物體停在O 點(diǎn)左方，則相應(yīng)地要求 kA 04mg綜合以上分析結(jié)果，物體停

24、在O點(diǎn)左方而不是第二次經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍為：kA0kA 04mg2mg（ 2）當(dāng) 在 kA 0 kA 0范圍內(nèi)時(shí)，物體向左滑動(dòng)直至停止而不返回，由3mg2mg式可求出最遠(yuǎn)停住點(diǎn)（設(shè)為B1 點(diǎn)）到 O 點(diǎn)的距離為：L=A 2 mg= A2mgkA 0) =A 00 ()(0kk3mg3當(dāng) kA 0 時(shí)，物體在B1 點(diǎn)（ OB1= A 0）的速度大于零，因此物體將繼續(xù)向左運(yùn)3mg3動(dòng)，但它不可能停在B 點(diǎn)的左方。因?yàn)榕cB 點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的=kA0， L1=A0，如果停113mg3留在 B1 點(diǎn)的左方，則物體在B1 點(diǎn)的彈力大于kA 0 ，而摩擦力 mgkA 0，小于彈力大33于摩擦力，所以物體不可

25、能停住而一定返回，最后停留在O與 B1 之間。所以無論 值如何，物體停住與O點(diǎn)的最大距離為A 0，但這不是物體在運(yùn)動(dòng)過3程中所能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值。例 15 ：使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為 Q的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量 q 。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來的值Q 。求小球可能獲得的最大電量。解析 ：兩球接觸后電荷的分配比例是由兩球的半徑?jīng)Q定的，這個(gè)比例是恒定的。根據(jù)兩球帶電比例恒定，第一次接觸，電荷量之比為Qq ，最后接觸電荷之比為Q，有Qq = Q ，qq mqqm所以： qm =QqQq（此題也可以用遞推法求解。）例 16 ：

26、一系列相同的電阻R ，如圖 5 14 所示連接，求 AB 間的等效電阻 R。AB解析 ：無窮網(wǎng)絡(luò)，增加或減小網(wǎng)絡(luò)的格數(shù)，其等效電阻不變，所以RAB 跟從 CD 往右看的電阻是相等的。因此，有：圖 514RAB RRAB= 2R +，解得： RAB = (3+2)RRAB R例 17 ：如圖 5 15所示，一個(gè)U 形導(dǎo)體框架，寬度L = 1m，其所在平面與水平面的夾角 = 30，其電阻可以忽略不計(jì)，設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)為U 形框架的平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B = 1T，質(zhì)量 0.2kg的導(dǎo)體棒電阻 R = 0.1 ，跨放在 U 形框上，并且能無摩擦地滑動(dòng)。求：（ 1）導(dǎo)體棒ab 下滑的最大速度vm；（ 2）

27、在最大速度 vm時(shí)， ab 上釋放出來的電功率。解析 ：導(dǎo)體棒做變加速下滑， 當(dāng)合力為零時(shí)速度最大，以后保持勻速運(yùn)動(dòng)（ 1）棒 ab 勻速下滑時(shí)，有：mgsin = BIlBlv ，解得最大速度vm = mg sin R圖 515而 I = 0.1m/sRB 2l 2（ 2）速度最大時(shí)，ab 釋放的電功率P = mgsin v m = 0.1W針對(duì)訓(xùn)練1如圖 5 16 所示，原長(zhǎng)L0 為 100 厘米的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的O 端，另一端連接一小球，這一裝置可以從水平位置開始繞O 點(diǎn)緩緩地轉(zhuǎn)到豎直位置。設(shè)彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)。試在下述（a）、（ b）兩種情況

28、下，分別求出這種裝置從原來的水平位置開始緩緩地繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)小球離開原水平面的高度h。（ a ）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程0中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)極大值，且極大值hm為 40 厘米，（ b）在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的圖 516高度不斷增大。2如圖 5 17 所示，一滑雪運(yùn)動(dòng)員自H 為 50 米高處滑至O點(diǎn)，由于運(yùn)動(dòng)員的技巧（阻力不計(jì)） ，運(yùn)動(dòng)員在 O點(diǎn)保持速率v0 不變，并以仰角 起跳，落至 B 點(diǎn)，令 OB為 L ，試問 為 30 時(shí)， L 的最大值是多大？當(dāng)L 取極值時(shí)， 角為多大？3如圖 5 18 所示，質(zhì)量為M 的長(zhǎng)滑塊靜止放在光滑水平面上，左側(cè)固定一勁度系數(shù)為K 且足夠

29、長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長(zhǎng)的細(xì)輕繩連接于豎直墻上，細(xì)線所能承受的最大拉力為T 。使一質(zhì)量為m ，初速度為 v0的小物體，在滑塊上無摩擦地向左運(yùn)動(dòng)，而后壓縮彈簧。圖 517（ 1）求出細(xì)線被拉斷的條件；（ 2 ）滑塊在細(xì)線拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大的左向加速度為多大？（ 3 ）物體最后離開滑塊時(shí)相對(duì)于地面速度恰為零的條件是什么？圖 5184質(zhì)量 m= 2.0kg 的小鐵塊靜止于水平導(dǎo)軌AB的 A端，導(dǎo)軌及支架 ABCD形狀及尺寸如圖 5 19所示，它只能繞通過支架D 點(diǎn)的垂直于紙面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其重心在圖中的O 點(diǎn)，質(zhì)量 M = 4.0kg ，現(xiàn)用一細(xì)線沿軌拉鐵塊，拉力F =

30、12N ，鐵塊和導(dǎo)軌之間的摩擦系數(shù) = 0.50，重力加速度g = 10m/s 2 ，從鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)起，導(dǎo)軌（及支架）能保持靜止的最長(zhǎng)時(shí)間t 是多少？圖 519圖 520圖 5 215如圖 5 20 所示，在水平桌面上放一質(zhì)量為M 、截面為直角三角形的物體ABC 。AB 與 AC間的夾角為， B 點(diǎn)到桌面的高度為h 。在斜面AB 上的底部A 處放一質(zhì)量為 m的小物體。開始時(shí)兩者皆靜止?，F(xiàn)給小物體一沿斜面AB 方向的初速度v0 ，如果小物體與斜面間以及ABC與水平桌面間的摩擦都不考慮，則 v0 至少要大于何值才能使小物體經(jīng)B 點(diǎn)滑出？6如圖 5 21 所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 的光滑平臺(tái)固定在地面上，平臺(tái)中央

31、放有一小物體A和 B，兩者彼此接觸。物體A 的上表面是半徑為R（ RL ）的半圓形軌道，軌道頂端距臺(tái)面的高度為h 處，有一小物體C ，A 、B 、 C 的質(zhì)量均為m 。現(xiàn)物體C 從靜止?fàn)顟B(tài)沿軌道下滑，已知在運(yùn)動(dòng)過程中，A 、 C 始終保持接觸，試求：（ 1）物體A 和 B 剛分離時(shí)，物體B 的速度；（ 2）物體A 和 B 分離后，物體C 所能達(dá)到距臺(tái)面的最大高度；（ 3）判斷物體A 從平臺(tái)的左邊還是右邊落地，并粗略估算物體A 從 B 分離后到離開臺(tái)面所經(jīng)歷的時(shí)間。7電容器C1 、 C2 和可變電阻器R1 、 R2 以及電源 連接成如圖 5 22 所示的電路。當(dāng)R1 的滑動(dòng)觸頭在圖示位置時(shí)，C1

32、 、C2的電量相等。要使C1 的電量大于C2 的電量，應(yīng)當(dāng)（）A、增大R2B、減小R2C、將 R1 的滑動(dòng)觸頭向A 端移動(dòng)D、將 R1 的滑動(dòng)觸頭向B 端滑動(dòng)8如圖 5 23 所示的電路中，電源的電動(dòng)勢(shì)恒定，A、增大R1B、減小R2C、增大圖 522要想使燈泡變亮，可以（R2D、減小 R2）圖 523圖 524圖 5259電路如圖5 24 所示，求當(dāng)R為何值時(shí)，RAB的阻值與“網(wǎng)格”的數(shù)目無關(guān)？此時(shí) RAB 的阻值等于什么？10如圖5 25 所示， A 、 B 兩塊不帶電的金屬板，長(zhǎng)為5d ，相距為d ，水平放置， B 板接地，兩板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有寬度為d 的電子束從兩板左側(cè)水

33、平方向入射，每個(gè)電子的質(zhì)量為m ，電量為e ，速度為v ，要使電子不會(huì)從兩板間射出，求兩板間的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為多大？11圖 5 26 中 abcd 是一個(gè)固定的U 形金屬框架，ad 和 cd 邊都很長(zhǎng)，bc 邊長(zhǎng)為 L ，框架的電阻可不計(jì)，ef 是放置在框架上與bc 平行的導(dǎo)體桿，它可在框架上自由滑動(dòng)（摩擦可忽略），它的電阻R ，現(xiàn)沿垂直于框架的方向加一恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ，方向垂直于紙面向里，已知當(dāng)以恒定力F 向右拉導(dǎo)體桿ef 時(shí)，導(dǎo)體桿最后勻速滑動(dòng)，求勻速滑動(dòng)，求勻速滑動(dòng)時(shí)的速度？12如圖5 27 所示，導(dǎo)線框abcd 固定在豎直平面內(nèi)，bc 段的電阻為R ，其他電阻均可忽略。ef 是一電阻可忽略的水平放置的導(dǎo)體桿，桿長(zhǎng)為L(zhǎng) ，質(zhì)量為m ，桿的兩端分別與ab 和 cd 保持良好接觸，又能沿它們無摩擦地滑動(dòng)。整個(gè)裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與框面垂直?，F(xiàn)用一恒力F 豎直向上拉ef，當(dāng)ef 勻速上升時(shí)，其速度的大小為多大？圖 526圖 5 27圖 5 28圖 52913在傾角為 的足夠長(zhǎng)的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌上，放一質(zhì)量為m ，電阻為的金屬棒ab ，所在空間有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向