固體物理教程思考題

1、1.    以堆積模型計算由同種原子構成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之比.設原子的半徑為R, 體心立方晶胞的空間對角線為4R, 晶胞的邊長為 , 晶胞的體積為 , 一個晶胞包含兩個原子, 一個原子占的體積為 ,單位體積晶體中的原子數(shù)為 ; 面心立方晶胞的邊長為 , 晶胞的體積為 ,  一個晶胞包含四個原子, 一個原子占的體積為 , 單位體積晶體中的原子數(shù)為 . 因此, 同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之比為 =0.272.2.    解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？ 晶體容易沿解理面劈裂，說明平

2、行于解理面的原子層之間的結合力弱，即平行解理面的原子層的間距大. 因為面間距大的晶面族的指數(shù)低, 所以解理面是面指數(shù)低的晶面.3.    基矢為 , , 的晶體為何種結構? 若 + , 又為何種結構? 為什么? 有已知條件, 可計算出晶體的原胞的體積.由原胞的體積推斷, 晶體結構為體心立方. 按照本章習題14, 我們可以構造新的矢量,  , . 對應體心立方結構. 根據(jù)14題可以驗證, 滿足選作基矢的充分條件.可見基矢為 , , 的晶體為體心立方結構.    若+ ,則晶體的原胞的體積,該晶體仍為體心立方結構. &

3、#160;4.  若 與 平行, 是否是 的整數(shù)倍? 以體心立方和面心立方結構證明之. 若 與 平行, 一定是 的整數(shù)倍. 對體心立方結構, 由(1.2)式可知, , ,=h +k +l =(k+l) (l+h) (h+k) =p =p(l1 +l2 +l3 ), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公約(整)數(shù). 對于面心立方結構, 由(1.3)式可知, , , ,=h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +(h+k-l) =p = p(l1 +l2 +l3 ),其中p是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公約(整)數(shù).5. 晶面指數(shù)為（123

4、）的晶面ABC是離原點O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基矢 、 和 重合，除O點外,OA、OB和OC上是否有格點？ 若ABC面的指數(shù)為（234），情況又如何？晶面族（123）截 、 和 分別為1、2、3等份，ABC面是離原點O最近的晶面，OA的長度等于 的長度，OB的長度等于 的長度的1/2，OC的長度等于 的長度的1/3，所以只有A點是格點. 若ABC面的指數(shù)為(234)的晶面族, 則A、B和C都不是格點.6.  驗證晶面（ ），（ ）和（012）是否屬于同一晶帶. 若是同一晶帶, 其帶軸方向的晶列指數(shù)是什么?由習題12可知,若（ ），（ ）和（012）屬于同一晶帶,

5、 則由它們構成的行列式的值必定為0.可以驗證         =0,說明( ），（ ）和（012）屬于同一晶帶.晶帶中任兩晶面的交線的方向即是帶軸的方向. 由習題13可知, 帶軸方向晶列l(wèi)1l2l3的取值為        l1= =1, l2= =2, l3= =1.7帶軸為001的晶帶各晶面，其面指數(shù)有何特點？ 帶軸為001的晶帶各晶面平行于001方向，即各晶面平行于晶胞坐標系的 軸或原胞坐標系的 軸，各晶面的面指數(shù)形為（h

6、k0）或（h1h20）, 即第三個數(shù)字一定為0.8.    與晶列l(wèi)1l2l3垂直的倒格面的面指數(shù)是什么? 正格子與倒格子互為倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)與倒格式 h1 +h2 +h3 垂直, 則倒格晶面(l1l2l3)與正格矢 l1 + l2 + l3 正交. 即晶列l(wèi)1l2l3與倒格面(l1l2l3) 垂直.9.    在結晶學中, 晶胞是按晶體的什么特性選取的? 在結晶學中, 晶胞選取的原則是既要考慮晶體結構的周期性又要考慮晶體的宏觀對稱性.10. 六角密積屬何種晶系? 一個晶胞包含幾個原子? 

7、60;  六角密積屬六角晶系, 一個晶胞(平行六面體)包含兩個原子.11. 體心立方元素晶體, 111方向上的結晶學周期為多大? 實際周期為多大?結晶學的晶胞,其基矢為 ,只考慮由格矢 h +k +l 構成的格點. 因此, 體心立方元素晶體111方向上的結晶學周期為 , 但實際周期為 /2.12. 面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大? 該晶列在哪些晶面內(nèi)?周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面內(nèi). 若以密堆積模型, 則原子面密度最大的晶面就是密排面. 由圖1.9可知密勒指數(shù)(111)可以證明原胞坐標系中的面指數(shù)也為(111)是一個密排面晶面族, 最小的晶列周期為 . 根據(jù)同族晶

8、面族的性質(zhì), 周期最小的晶列處于111面內(nèi).13. 在晶體衍射中，為什么不能用可見光？晶體中原子間距的數(shù)量級為 米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應小于 米. 但可見光的波長為7.6¾4.0 米, 是晶體中原子間距的1000倍. 因此, 在晶體衍射中，不能用可見光.14. 高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比, 對于同級衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 為什么?對于同級衍射, 高指數(shù)的晶面族衍射光弱, 低指數(shù)的晶面族衍射光強. 低指數(shù)的晶面族面間距大, 晶面上的原子密度大, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作用強. 相反, 高指數(shù)的晶面族面間距小, 晶面上的原子密度小, 這樣的晶

9、面對射線的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式                 可知, 面間距 大的晶面, 對應一個小的光的掠射角 . 面間距 小的晶面, 對應一個大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越強, 反射能力就越弱.15. 溫度升高時, 衍射角如何變化? X光波長變化時, 衍射角如何變化? 溫度升高時, 由于熱膨脹, 面間距 逐漸變大. 由布拉格反射公式   &#

10、160;          可知, 對應同一級衍射, 當X光波長不變時, 面間距 逐漸變大, 衍射角 逐漸變小.所以溫度升高, 衍射角變小. 當溫度不變, X光波長變大時, 對于同一晶面族, 衍射角 隨之變大.16. 面心立方元素晶體, 密勒指數(shù)(100)和(110)面, 原胞坐標系中的一級衍射, 分別對應晶胞坐標系中的幾級衍射? 對于面心立方元素晶體, 對應密勒指數(shù)(100)的原胞坐標系的面指數(shù)可由(1.34)式求得為( ), p=1. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(

11、1.18)兩式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)兩式可知, n=2n. 即對于面心立方元素晶體, 對應密勒指數(shù)(100)晶面族的原胞坐標系中的一級衍射, 對應晶胞坐標系中的二級衍射.對于面心立方元素晶體, 對應密勒指數(shù)(110)的原胞坐標系的面指數(shù)可由(1.34)式求得為(001), p=2. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)兩式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)兩式可知, n=n, 即對于面心立方元素晶體, 對應密勒指數(shù)(110)晶面族的原胞坐標系中的一級衍射, 對應晶胞坐標系中的一級衍射.17. 由KCl的衍射強度與衍射面的關系, 說明KCl的衍射條

12、件與簡立方元素晶體的衍射條件等效.Cl 與K是原子序數(shù)相鄰的兩個元素, 當Cl原子俘獲K原子最外層的一個電子結合成典型的離子晶體后, 與   的最外殼層都為滿殼層, 原子核外的電子數(shù)和殼層數(shù)都相同, 它們的離子散射因子都相同. 因此, 對X光衍射來說, 可把 與 看成同一種原子. KCl與NaCl結構相同, 因此, 對X光衍射來說, KCl的衍射條件與簡立方元素晶體等效.由KCl的衍射強度與衍射面的關系也能說明KCl的衍射條件與簡立方元素晶體的衍射條件等效. 一個KCl晶胞包含4個 離子和4個 離子，它們的坐標：（000）（ ）（ ）（ ）：（ ）（ ）（ ）（ ）由（1.45）式可

13、求得衍射強度Ihkl與衍射面(hkl)的關系Ihkl = 1+cos                由于 等于 , 所以由上式可得出衍射面指數(shù) 全為偶數(shù)時, 衍射強度才極大. 衍射面指數(shù)的平方和 : 4, 8, 12, 16, 20, 24. 以上諸式中的n由           決定. 如果從X光衍射的角度把KCl看成簡立方元素晶體, 則其晶格常數(shù)為 ,

14、布拉格反射公式化為           顯然 , 衍射面指數(shù)平方和 : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 這正是簡立方元素晶體的衍射規(guī)律.18. 金剛石和硅、鍺的幾何結構因子有何異同?    取幾何結構因子的(1.44)表達式  ,    其中uj,vj,wj是任一個晶胞內(nèi),第j個原子的位置矢量在 軸上投影的系數(shù). 金剛石和硅、鍺具有相同的結構, 盡管它們的 大小不相同, 但第j個原子的位置矢量在 軸上投影的系數(shù)相同. 如果

15、認為晶胞內(nèi)各個原子的散射因子 都一樣, 則幾何結構因子化為 .在這種情況下金剛石和硅、鍺的幾何結構因子的求和部分相同. 由于金剛石和硅、鍺原子中的電子數(shù)和分布不同, 幾何結構因子中的原子散射因子 不會相同. 19. 旋轉(zhuǎn)單晶法中, 將膠片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒, 膠片上的感光線是否等間距?旋轉(zhuǎn)單晶法中, 將膠片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒, 衍射線構成了一個個圓錐面. 如果膠片上的感光線如圖所示是等間距, 則應有關系式  tg .其中R是圓筒半徑, d是假設等間距的感光線間距, 是各個圓錐面與垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的夾角. 由該關系式可得sin ,即 與整數(shù)m不成正比. 但可以證明.即 與整數(shù)m成正

16、比(參見本章習題23).  也就是說, 旋轉(zhuǎn)單晶法中, 將膠片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒, 膠片上的感光線不是等間距的. 20. 如圖1.33所示, 哪一個衍射環(huán)感光最重? 為什么?  最小衍射環(huán)感光最重. 由布拉格反射公式可知, 對應掠射角 最小的晶面族具有最大的面間距. 面間距最大的晶面上的原子密度最大, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作用最強. 最小衍射環(huán)對應最小的掠射角,它的感光最重.1. 是否有與庫侖力無關的晶體結合類型? 共價結合中, 電子雖然不能脫離電負性大的原子, 但靠近的兩個電負性大的原子可以各出一個電子, 形成電子共享的形式, 即這一對電子的主要活動

17、范圍處于兩個原子之間, 通過庫侖力, 把兩個原子連接起來. 離子晶體中, 正離子與負離子的吸引力就是庫侖力. 金屬結合中, 原子實依靠原子實與電子云間的庫侖力緊緊地吸引著. 分子結合中, 是電偶極矩把原本分離的原子結合成了晶體. 電偶極矩的作用力實際就是庫侖力. 氫鍵結合中, 氫先與電負性大的原子形成共價結合后, 氫核與負電中心不在重合, 迫使它通過庫侖力再與另一個電負性大的原子結合. 可見, 所有晶體結合類型都與庫侖力有關.2.如何理解庫侖力是原子結合的動力?晶體結合中, 原子間的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的過程中, 把原本分離的原子拉近的動力只能是長程力, 這個長程吸引力就是庫侖力.

18、 所以, 庫侖力是原子結合的動力. 3. 晶體的結合能, 晶體的內(nèi)能, 原子間的相互作用勢能有何區(qū)別? 自由粒子結合成晶體過程中釋放出的能量, 或者把晶體拆散成一個個自由粒子所需要的能量, 稱為晶體的結合能. 原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能.在0K時, 原子還存在零點振動能. 但零點振動能與原子間的相互作用勢能的絕對值相比小得多. 所以, 在0K時原子間的相互作用勢能的絕對值近似等于晶體的結合能. 4.原子間的排斥作用取決于什么原因?相鄰的原子靠得很近, 以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時, 相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力. 也就是說, 原子間的排斥作用來自相鄰原子內(nèi)層閉

19、合殼層電子云的重疊.   5. 原子間的排斥作用和吸引作用有何關系? 起主導的范圍是什么? 在原子由分散無規(guī)的中性原子結合成規(guī)則排列的晶體過程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子間的距離縮小到一定程度, 原子間才出現(xiàn)排斥力. 當排斥力與吸引力相等時, 晶體達到穩(wěn)定結合狀態(tài). 可見, 晶體要達到穩(wěn)定結合狀態(tài), 吸引力與排斥力缺一不可. 設此時相鄰原子間的距離為 , 當相鄰原子間的距離 > 時, 吸引力起主導作用; 當相鄰原子間的距離 < 時, 排斥力起主導作用.6.共價結合為什么有 “飽和性”和 “方向性”?設N為一個原子的價電子數(shù)目, 對于IV

20、A、VA、VIA、VIIA族元素，價電子殼層一共有8個量子態(tài), 最多能接納(8- N)個電子, 形成(8- N)個共價鍵. 這就是共價結合的 “飽和性”. 共價鍵的形成只在特定的方向上, 這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱軸方向, 在這個方向上交迭的電子云密度最大. 這就是共價結合的 “方向性”.7. 共價結合, 兩原子電子云交迭產(chǎn)生吸引, 而原子靠近時, 電子云交迭會產(chǎn)生巨大的排斥力, 如何解釋? 共價結合, 形成共價鍵的配對電子, 它們的自旋方向相反, 這兩個電子的電子云交迭使得體系的能量降低, 結構穩(wěn)定. 但當原子靠得很近時, 原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭, 量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的排斥

21、力, 使得系統(tǒng)的能量急劇增大. 8. 試解釋一個中性原子吸收一個電子一定要放出能量的現(xiàn)象. 當一個中性原子吸收一個電子變成負離子, 這個電子能穩(wěn)定的進入原子的殼層中, 這個電子與原子核的庫侖吸引能的絕對值一定大于它與其它電子的排斥能. 但這個電子與原子核的庫侖吸引能是一負值. 也就是說, 當中性原子吸收一個電子變成負離子后, 這個離子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一個中性原子吸收一個電子一定要放出能量. 9.如何理解電負性可用電離能加親和能來表征?使原子失去一個電子所需要的能量稱為原子的電離能, 電離能的大小可用來度量原子對價電子的束縛強弱. 一個中性原子獲得一個電子成為負離子所釋

22、放出來的能量稱為電子親和能. 放出來的能量越多, 這個負離子的能量越低, 說明中性原子與這個電子的結合越穩(wěn)定. 也就是說, 親和能的大小也可用來度量原子對電子的束縛強弱. 原子的電負性大小是原子吸引電子的能力大小的度量. 用電離能加親和能來表征原子的電負性是符合電負性的定義的.10.為什么許多金屬為密積結構? 金屬結合中, 受到最小能量原理的約束, 要求原子實與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低(絕對值盡可能的大). 原子實越緊湊, 原子實與共有電子電子云靠得就越緊密, 庫侖能就越低. 所以, 許多金屬的結構為密積結構. 11.何為雜化軌道?為了解釋金剛石中碳原子具有4個等同的共價鍵, 19

23、31年泡林(Pauling)和斯萊特(Slater)提出了雜化軌道理論. 碳原子有4個價電子, 它們分別對應 、 、 、 量子態(tài), 在構成共價鍵時, 它們組成了4個新的量子態(tài)，4個電子分別占據(jù) 、 、 、 新軌道， 在四面體頂角方向(參見圖1.18)形成4個共價鍵.12. 你認為固體的彈性強弱主要由排斥作用決定呢, 還是吸引作用決定? 如圖所示, 附近的力曲線越陡, 當施加一定外力, 固體的形變就越小. 附近力曲線的斜率決定了固體的彈性性質(zhì). 而 附近力曲線的斜率主要取決于排斥力. 因此, 固體的彈性強弱主要由排斥作用決定.13.固體呈現(xiàn)宏觀彈性的微觀本質(zhì)是什么?固體受到外力作用時發(fā)生形變,

24、外力撤消后形變消失的性質(zhì)稱為固體的彈性. 設無外力時相鄰原子間的距離為 , 當相鄰原子間的距離 > 時, 吸引力起主導作用; 當相鄰原子間的距離 < 時, 排斥力起主導作用. 當固體受擠壓時, < , 原子間的排斥力抗擊著這一形變. 當固體受拉伸時, > , 原子間的吸引力抗擊著這一形變. 因此, 固體呈現(xiàn)宏觀彈性的微觀本質(zhì)是原子間存在著相互作用力, 這種作用力既包含著吸引力, 又包含著排斥力.  14.你是如何理解彈性的, 當施加一定力, 形變大的彈性強呢, 還是形變小的強?對于彈性形變, 相鄰原子間的距離在 附近變化. 令 , 則有因為 是相對形變, 彈性

25、力學稱為應變, 并計作S, 所以原子間的作用力再令,.可見, 當施加一定力, 形變S大的固體c小, 形變S小的固體c大. 固體的彈性是固體的屬性, 它與外力和形變無關. 彈性常數(shù)c是固體的屬性, 它的大小可作為固體彈性強弱的度量. 因此, 當施加一定力, 形變大的彈性弱, 形變小的強. 從這種意義上說, 金剛石的彈性最強.15. 拉伸一長棒, 任一橫截面上的應力是什么方向? 壓縮時, 又是什么方向? 如下圖所示, 在長棒中取一橫截面, 長棒被拉伸時, 從截面的右邊看, 應力向右, 但從截面的左邊看, 應力向左. 壓縮時, 如下圖所示, 應力方向與拉伸時正相反. 可見, 應力方向依賴于所取截面的

26、外法線矢量的方向. 16.固體中某一面積元兩邊的應力有何關系? 以上題為例, 在長棒中平行于橫截面取一很薄的體積元, 拉伸時體積元兩邊受的應力如圖所示. 壓縮時體積元兩邊受的應力如上圖所示. 當體積元無限薄, 體積元將變成面積元. 從以上兩圖可以看出, 面積元兩邊的應力大小相等方向相反. 17. 沿某立方晶體一晶軸取一細長棒做拉伸實驗, 忽略寬度和厚度的形變, 由此能否測出彈性勁度常數(shù) ? 立方晶體 軸是等價的, 設長棒方向為x( , 或 , 或 )軸方向, 做拉伸實驗時若忽略寬度和厚度的形變, 則只有應力 應變 不為0, 其它應力應變分量都為0. 由(2.55)可得 . 設長棒的橫截面積為A

27、, 長度為L, 拉伸力為F, 伸長量為 , 則有: . 于是, .18.若把上題等價成彈簧的形變, 彈簧受的力 , 與 有何關系? 上題中長棒受的力 長棒的伸長量 即是彈簧的伸長量x. 因此, 可見, 彈簧的彈性系數(shù) 與彈性勁度常數(shù)的量綱是不同的.19. 固體中的應力與理想流體中的壓強有何關系? 固體受擠壓時, 固體中的正應力 與理想流體中的壓強是等價的, 但 不同于理想流體中的壓強概念. 因為壓強的作用力與所考慮截面垂直, 而 與所考慮截面平行. 也就是說, 理想流體中不存在與所考慮截面平行的作用力. 這是因為理想流體分子間的距離比固體原子間距大得多, 流層與流層分子間不存在切向作用力.&#

28、160; 20.固體中的彈性波與理想流體中的傳播的波有何差異? 為什么?理想流體中只能傳播縱波. 固體中不僅能傳播縱波, 還能傳播切變波. 這是因為理想流體分子間距離大, 分子間不存在切向作用力, 只存在縱向作用力;而固體原子間距離小, 原子間不僅存在縱向作用力, 還存在切向作用力.1. 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個同種原子, 其最大振幅是否相同? 以同種原子構成的一維雙原子分子鏈為例, 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個同種原子,  設一個原子的振幅A, 另一個原子振幅B, 由本教科書的(3.16)可得兩原子振幅之比      

29、                                                   

30、;        (1)其中m 原子的質(zhì)量. 由本教科書的(3.20)和(3.21)兩式可得聲學波和光學波的頻率分別為,       (2).        (3)將(2)(3)兩式分別代入(1)式, 得聲學波和光學波的振幅之比分別為 (4)            &#

31、160;               ,         (5)                         

32、60;  .           由于                                     

33、0;    = ，則由(4)(5)兩式可得, . 即對于同種原子構成的一維雙原子分子鏈, 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個原子, 不論是聲學波還是光學波, 其最大振幅是相同的.2. 引入玻恩卡門條件的理由是什么? (1)    方便于求解原子運動方程.由本教科書的(3.4)式可知, 除了原子鏈兩端的兩個原子外, 其它任一個原子的運動都與相鄰的兩個原子的運動相關. 即除了原子鏈兩端的兩個原子外, 其它原子的運動方程構成了個聯(lián)立方程組. 但原子鏈兩端的兩個原子只有一個相鄰原子, 其運動方程僅與一個相鄰原子的運動相關, 運動方程與其它

34、原子的運動方程迥然不同. 與其它原子的運動方程不同的這兩個方程, 給整個聯(lián)立方程組的求解帶來了很大的困難.(2)    與實驗結果吻合得較好.對于原子的自由運動, 邊界上的原子與其它原子一樣, 無時無刻不在運動. 對于有N個原子構成的的原子鏈, 硬性假定 的邊界條件是不符合事實的. 其實不論什么邊界條件都與事實不符. 但為了求解近似解, 必須選取一個邊界條件. 晶格振動譜的實驗測定是對晶格振動理論的最有力驗證(參見本教科書§3.2與§3.4). 玻恩卡門條件是晶格振動理論的前提條件. 實驗測得的振動譜與理論相符的事實說明, 玻恩卡門周期性邊界條

35、件是目前較好的一個邊界條件.3. 什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？ 為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似. 在簡諧近似下, 由N個原子構成的晶體的晶格振動, 可等效成3N個獨立的諧振子的振動. 每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式, 它對應著所有的原子都以該模式的頻率做振動, 它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式. 原子的振動, 或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加. 簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事, 這個數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度

36、數(shù)之和, 即等于3N.4. 長光學支格波與長聲學支格波本質(zhì)上有何差別?長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動, 振動頻率較高, 它包含了晶格振動頻率最高的振動模式. 長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移, 原胞做整體運動, 振動頻率較低, 它包含了晶格振動頻率最低的振動模式, 波速是一常數(shù). 任何晶體都存在聲學支格波, 但簡單晶格(非復式格子)晶體不存在光學支格波.5. 晶體中聲子數(shù)目是否守恒?     頻率為 的格波的(平均) 聲子數(shù)為, 即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關, 因此, 晶體中聲子數(shù)目不守恒, 它是溫度的變

37、量.按照德拜模型, 晶體中的聲子數(shù)目N為.作變量代換，.其中 是德拜溫度. 高溫時, ,即高溫時, 晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.       低溫時, ,即低溫時, 晶體中的聲子數(shù)目與T 3成正比.6. 溫度一定，一個光學波的聲子數(shù)目多呢, 還是聲學波的聲子數(shù)目多?     頻率為 的格波的(平均) 聲子數(shù)為.因為光學波的頻率 比聲學波的頻率 高, ( )大于( ), 所以在溫度一定情況下, 一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目.7. 對同一個振動模式, 溫度高時的聲子數(shù)目多

38、呢, 還是溫度低時的聲子數(shù)目多?     設溫度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目.8. 高溫時, 頻率為 的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關系?    溫度很高時,  , 頻率為 的格波的(平均) 聲子數(shù)為. 可見高溫時, 格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.9. 從圖3.6所示實驗曲線, 你能否判斷哪一支格波的模式密度大? 是光學縱波呢, 還是聲學縱波?     從圖3.6所示實驗曲線可以看出, 在波矢空間內(nèi)

39、, 光學縱波振動譜線平緩, 聲學縱波振動譜線較陡. 單位頻率區(qū)間內(nèi)光學縱波對應的波矢空間大, 聲學縱波對應的波矢空間小. 格波數(shù)目與波矢空間成正比, 所以單位頻率區(qū)間內(nèi)光學縱波的格波數(shù)目大. 而模式密度是單位頻率區(qū)間內(nèi)的格波數(shù)目, 因此光學縱波的模式密度大于聲學縱波的模式密度.10. 喇曼散射方法中，光子會不會產(chǎn)生倒逆散射 晶格振動譜的測定中, 光波的波長與格波的波長越接近, 光波與聲波的相互作用才越顯著. 喇曼散射中所用的紅外光，對晶格振動譜來說, 該波長屬于長波長范圍. 因此, 喇曼散射是光子與長光學波聲子的相互作用. 長光學波聲子的波矢很小, 相應的動量 不大. 而能產(chǎn)生倒逆散射的條件是

40、光的入射波矢 與散射波矢 要大, 散射角 也要大. 與 大要求波長小, 散射角 大要求 大(參見圖), . 但對喇曼散射來說, 這兩點都不滿足. 即喇曼散射中，光子不會產(chǎn)生倒逆散射. 11. 長聲學格波能否導致離子晶體的宏觀極化?       長光學格波所以能導致離子晶體的宏觀極化, 其根源是長光學格波使得原胞內(nèi)不同的原子(正負離子)產(chǎn)生了相對位移. 長聲學格波的特點是, 原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移. 因此, 長聲學格波不能導致離子晶體的宏觀極化.12. 金剛石中的長光學縱波頻率與同波矢的長光學格橫波頻率是否相等? 對KCl晶體,

41、結論又是什么?   長光學縱波引起離子晶體中正負離子的相對位移, 離子的相對位移產(chǎn)生出宏觀極化電場, 電場的方向是阻滯離子的位移, 使得有效恢復力系數(shù)變大, 對應的格波的頻率變高. 長光學格橫波不引起離子的位移, 不產(chǎn)生極化電場, 格波的頻率不變. 金剛石不是離子晶體, 其長光學縱波頻率與同波矢的長光學格橫波頻率相等. 而KCl晶體是離子晶體, 它的長光學縱波頻率與同波矢的長光學格橫波頻率不相等, 長光學縱波頻率大于同波矢的長光學格橫波頻率.13. 何謂極化聲子? 何謂電磁聲子?長光學縱波引起離子晶體中正負離子的相對位移, 離子的相對位移產(chǎn)生出宏觀極化電場, 稱長光學縱波聲

42、子為極化聲子.由本教科書的(3.103)式可知, 長光學橫波與電磁場相耦合, 使得它具有電磁性質(zhì), 人們稱長光學橫波聲子為電磁聲子.14. 你認為簡單晶格存在強烈的紅外吸收嗎？      實驗已經(jīng)證實, 離子晶體能強烈吸收遠紅外光波. 這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根源是離子晶體中的長光學橫波能與遠紅外電磁場發(fā)生強烈耦合. 簡單晶格中不存在光學波, 所以簡單晶格不會吸收遠紅外光波.15. 對于光學橫波, 對應什么物理圖象?       格波的頻率 與 成正比. 說明該光學橫波對應的恢復力系數(shù)

43、 . 時, 恢復力消失, 發(fā)生了位移的離子再也回不到原來的平衡位置, 而到達另一平衡位置, 即離子晶體結構發(fā)生了改變(稱為相變). 在這一新的結構中, 正負離子存在固定的位16. 愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源是什么? 按照愛因斯坦溫度的定義, 愛因斯坦模型的格波的頻率大約為 , 屬于光學支頻率. 但光學格波在低溫時對熱容的貢獻非常小, 低溫下對熱容貢獻大的主要是長聲學格波. 也就是說愛因斯坦沒考慮聲學波對熱容的貢獻是愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源.17. 在甚低溫下, 不考慮光學波對熱容的貢獻合理嗎?      

44、參考本教科書（3.119）式, 可得到光學波對熱容貢獻的表達式.在甚低溫下, 對于光學波, , 上式簡化為.以上兩式中 是光學波的模式密度, 在簡諧近似下, 它與溫度無關. 在甚低溫下, , 即光學波對熱容的貢獻可以忽略. 也就是說, 在甚低溫下, 不考慮光學波對熱容的貢獻是合理的.       從聲子能量來說, 光學波聲子的能量 很大(大于短聲學波聲子的能量), 它對應振幅很大的格波的振動, 這種振動只有溫度很高時才能得到激發(fā). 因此, 在甚低溫下, 晶體中不存在光學波.18. 在甚低溫下, 德拜模型為什么與實驗相符? &

45、#160;     在甚低溫下, 不僅光學波得不到激發(fā), 而且聲子能量較大的短聲學格波也未被激發(fā), 得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學格波. 長聲學格波即彈性波. 德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻. 因此, 在甚低溫下, 德拜模型與事實相符, 自然與實驗相符.19. 在絕對零度時還有格波存在嗎? 若存在, 格波間還有能量交換嗎?      頻率為 的格波的振動能為,其中 是由 個聲子攜帶的熱振動能, ( )是零點振動能, 聲子數(shù).絕對零度時, =0. 頻率為 的格波的振動能只剩下零點振動能. &

46、#160;      格波間交換能量是靠聲子的碰撞實現(xiàn)的. 絕對零度時, 聲子消失, 格波間不再交換能量.20. 溫度很低時, 聲子的自由程很大, 當 時, , 問 時, 對于無限長的晶體, 是否成為熱超導材料?      對于電絕緣體, 熱傳導的載流子是聲子. 當 時, 聲子數(shù)n . 因此, 時, 不論晶體是長還是短, 都自動成為熱絕緣材料.21. 石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小, 問它的格林愛森常數(shù)有何特點?       由本教

47、科書(3.158)式可知, 熱膨脹系數(shù) 與格林愛森常數(shù) 成正比. 石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小, 它的格林愛森常數(shù)也很小. 格林愛森常數(shù) 大小可作為晶格非簡諧效應大小的尺度. 石英晶體的格林愛森常數(shù)很小, 說明它的非簡諧效應很小.移偶極矩, 即產(chǎn)生了自發(fā)極化, 產(chǎn)生了一個穩(wěn)定的極化電場.1.設晶體只有弗侖克爾缺陷, 填隙原子的振動頻率、空位附近原子的振動頻率與無缺陷時原子的振動頻率有什么差異？ 正常格點的原子脫離晶格位置變成填隙原子, 同時原格點成為空位, 這種產(chǎn)生一個填隙原子將伴隨產(chǎn)生一個空位的缺陷稱為弗侖克爾缺陷. 填隙原子與相鄰原子的距離要比正常格點原子間的距離小，填隙原子與相鄰原子的力系數(shù)

48、要比正常格點原子間的力系數(shù)大. 因為原子的振動頻率與原子間力系數(shù)的開根近似成正比, 所以填隙原子的振動頻率比正常格點原子的振動頻率要高. 空位附近原子與空位另一邊原子的距離, 比正常格點原子間的距離大得多, 它們之間的力系數(shù)比正常格點原子間的力系數(shù)小得多, 所以空位附近原子的振動頻率比正常格點原子的振動頻率要低.2.熱膨脹引起的晶體尺寸的相對變化量 與X射線衍射測定的晶格常數(shù)相對變化量 存在差異， 是何原因？ 肖特基缺陷指的是晶體內(nèi)產(chǎn)生空位缺陷但不伴隨出現(xiàn)填隙原子缺陷, 原空位處的原子跑到晶體表面層上去了. 也就是說, 肖特基缺陷將引起晶體體積的增大. 當溫度不是太高時, 肖特基缺陷的數(shù)目要比

49、弗侖克爾缺陷的數(shù)目大得多. X射線衍射測定的晶格常數(shù)相對變化量 , 只是熱膨脹引起的晶格常數(shù)相對變化量. 但晶體尺寸的相對變化量 不僅包括了熱膨脹引起的晶格常數(shù)相對變化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶體體積的增大. 因此, 當溫度不是太高時, 一般有關系式> .3.KCl晶體生長時，在KCl溶液中加入適量的CaCl2溶液，生長的KCl晶體的質(zhì)量密度比理論值小，是何原因？由于 離子的半徑(0.99 )比 離子的半徑(1.33 )小得不是太多, 所以 離子難以進入KCl晶體的間隙位置, 而只能取代 占據(jù) 離子的位置. 但 比 高一價, 為了保持電中性(最小能量的約束), 占據(jù) 離子的一個 將

50、引起相鄰的一個 變成空位. 也就是說, 加入的CaCl2越多, 空位就越多. 又因為 的原子量(40.08)與 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl溶液中加入適量的CaCl2溶液引起 空位, 將導致KCl晶體的質(zhì)量密度比理論值小.4. 為什么形成一個肖特基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所需能量低? 形成一個肖特基缺陷時，晶體內(nèi)留下一個空位，晶體表面多一個原子. 因此形成形成一個肖特基缺陷所需的能 量, 可以看成晶體表面一個原子與其它原子的相互作用能, 和晶體內(nèi)部一個原子與其它原子的相互作用能的差值. 形成一個弗侖克爾缺陷時，晶體內(nèi)留下一個空位，多一個填隙原子. 因此形成一個弗侖克爾

51、缺陷所需的能量, 可以看成晶體內(nèi)部一個填隙原子與其它原子的相互作用能, 和晶體內(nèi)部一個原子與其它原子相互作用能的差值. 填隙原子與相鄰原子的距離非常小, 它與其它原子的排斥能比正常原子間的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是負值, 所以填隙原子與其它原子相互作用能的絕對值, 比晶體表面一個原子與其它原子相互作用能的絕對值要小. 也就是說, 形成一個肖特基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所需能量要低.5.金屬淬火后為什么變硬? 我們已經(jīng)知道 晶體的一部分相對于另一部分的滑移, 實際是位錯線的滑移, 位錯線的移動是逐步進行的, 使得滑移的切應力最小. 這就是金屬一

52、般較軟的原因之一. 顯然, 要提高金屬的強度和硬度, 似乎可以通過消除位錯的辦法來實現(xiàn). 但事實上位錯是很難消除的. 相反, 要提高金屬的強度和硬度, 通常采用增加位錯的辦法來實現(xiàn). 金屬淬火就是增加位錯的有效辦法. 將金屬加熱到一定高溫, 原子振動的幅度比常溫時的幅度大得多, 原子脫離正常格點的幾率比常溫時大得多, 晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺陷. 這些點缺陷容易形成位錯. 也就是說, 在高溫時, 晶體內(nèi)的位錯缺陷比常溫時多得多. 高溫的晶體在適宜的液體中急冷, 高溫時新產(chǎn)生的位錯來不及恢復和消退, 大部分被存留了下來. 數(shù)目眾多的位錯相互交織在一起, 某一方向的位錯的滑移, 會受到其它方向

53、位錯的牽制, 使位錯滑移的阻力大大增加, 使得金屬變硬.6.在位錯滑移時, 刃位錯上原子受的力和螺位錯上原子受的力各有什么特點?在位錯滑移時, 刃位錯上原子受力的方向就是位錯滑移的方向. 但螺位錯滑移時, 螺位錯上原子受力的方向與位錯滑移的方向相垂直.7.試指出立方密積和六角密積晶體滑移面的面指數(shù).滑移面一定是密積面, 因為密積面上的原子密度最大, 面與面的間距最大, 面與面之間原子的相互作用力最小. 對于立方密積, 111是密積面. 對于六角密積, (001)是密積面. 因此, 立方密積和六角密積晶體滑移面的面指數(shù)分別為111和(001). 8.離子晶體中正負離子空位數(shù)目、填隙原子數(shù)目都相等

54、, 在外電場作用下, 它們對導電的貢獻完全相同嗎? 由(4.48)式可知, 在正負離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等情況下, 離子晶體的熱缺陷對導電的貢獻只取決于它們的遷移率 . 設正離子空位附近的離子和填隙離子的振動頻率分別為 和 , 正離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢壘高度分別為 和 , 負離子空位附近的離子和填隙離子的振動頻率分別為 和 , 負離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢壘高度分別 為 , 則由(4.47)矢可得,.由空位附近的離子跳到空位上的幾率, 比填隙離子跳到相鄰間隙位置上的幾率大得多, 可以推斷出空位附近的離子跳過的勢壘高度, 比填隙離子跳過的勢壘高度要低, 即 <

55、; , < . 由問題1.已知, 所以有 < , < . 另外, 由于 和 的離子半徑不同, 質(zhì)量不同, 所以一般 , .也就是說, 一般 . 因此, 即使離子晶體中正負離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等, 在外電場作用下, 它們對導電的貢獻一般也不會相同. 9.晶體結構對缺陷擴散有何影響?擴散是自然界中普遍存在的現(xiàn)象, 它的本質(zhì)是離子作無規(guī)則的布郎運動. 通過擴散可實現(xiàn)質(zhì)量的輸運. 晶體中缺陷的擴散現(xiàn)象與氣體分子的擴散相似, 不同之處是缺陷在晶體中運動要受到晶格周期性的限制, 要克服勢壘的阻擋, 對于簡單晶格, 缺陷每跳一步的間距等于跳躍方向上的周期.10.填隙原子機構的自擴

56、散系數(shù)與空位機構自擴散系數(shù), 哪一個大? 為什么？ 填隙原子機構的自擴散系數(shù),空位機構自擴散系數(shù).自擴散系數(shù)主要決定于指數(shù)因子, 由問題4.和8.已知, < , < , 所以填隙原子機構的自擴散系數(shù)小于空位機構的自擴散系數(shù).11.一個填隙原子平均花費多長時間才被復合掉? 該時間與一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的時間相比, 哪個長? 與填隙原子相鄰的一個格點是空位的幾率是 , 平均來說, 填隙原子要跳 步才遇到一個空位并與之復合. 所以一個填隙原子平均花費的時間才被空位復合掉.    由(4.5)式可得一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的

57、時間.由以上兩式得 >>1.這說明, 一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的時間, 比一個填隙原子從出現(xiàn)到被空位復合掉所需要的時間要長得多.12. 一個空位花費多長時間才被復合掉？ 對于借助于空位進行擴散的正常晶格上的原子, 只有它相鄰的一個原子成為空位時, 它才擴散一步, 所需等待的時間是 . 但它相鄰的一個原子成為空位的幾率是 , 所以它等待到這個相鄰原子成為空位, 并跳到此空位上所花費的時間 13.自擴散系數(shù)的大小與哪些因素有關?填隙原子機構的自擴散系數(shù)與空位機構自擴散系數(shù)可統(tǒng)一寫成.可以看出, 自擴散系數(shù)與原子的振動頻率 , 晶體結構(晶格常數(shù) ), 激活能( )三因素

58、有關.14.替位式雜質(zhì)原子擴散系數(shù)比晶體缺陷自擴散系數(shù)大的原因是什么?占據(jù)正常晶格位置的替位式雜質(zhì)原子, 它的原子半徑和電荷量都或多或少與母體原子半徑和電荷量不同. 這種不同就會引起雜質(zhì)原子附近的晶格發(fā)生畸變, 使得畸變區(qū)出現(xiàn)空位的幾率大大增加, 進而使得雜質(zhì)原子跳向空位的等待時間大為減少, 加大了雜質(zhì)原子的擴散速度. 15.填隙雜質(zhì)原子擴散系數(shù)比晶體缺陷自擴散系數(shù)大的原因是什么?正常晶格位置上的一個原子等待了時間 后變成填隙原子, 又平均花費時間 后被空位復合重新進入正常晶格位置, 其中 是填隙原子從一個間隙位置跳到相鄰間隙位置所要等待的平均時間. 填隙原子自擴散系數(shù)反比于時間.因為>

59、> ,所以填隙原子自擴散系數(shù)近似反比于 . 填隙雜質(zhì)原子不存在由正常晶格位置變成填隙原子的漫長等待時間 , 所以填隙雜質(zhì)原子的擴散系數(shù)比母體填隙原子自擴散系數(shù)要大得多.16. 你認為自擴散系數(shù)的理論值比實驗值小很多的主要原因是什么？ 目前固體物理教科書對自擴散的分析, 是基于點缺陷的模型, 這一模型過于簡單, 與晶體缺陷的實際情況可能有較大差別. 實際晶體中, 不僅存在點缺陷, 還存在線缺陷和面缺陷, 這些線度更大的缺陷可能對擴散起到重要影響. 也許沒有考慮線缺陷和面缺陷對自擴散系數(shù)的貢獻是理論值比實驗值小很多的主要原因.17. 離子晶體的導電機構有幾種? 離子晶體導電是離子晶

60、體中的熱缺陷在外電場中的定向飄移引起的. 離子晶體中有4種缺陷: 填隙離子, 填隙離子, 空位, 空位. 也就是說, 離子晶體的導電機構有4種. 空位的擴散實際是空位附近離子跳到空位位置, 原來離子的位置變成了空位. 離子晶體中, 空位附近都是負離子, 空位附近都是正離子. 由此可知, 空位的移動實際是負離子的移動, 空位的移動實際是正離子的移動. 因此, 在外電場作用下, 填隙離子和 空位的漂移方向與外電場方向一致, 而 填隙離子和 空位的漂移方向與外電場方向相反.1.    將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子 展成付里葉級數(shù), 對于近自由電子, 當電子波矢遠離和在布里淵

61、區(qū)邊界上兩種情況下, 此級數(shù)有何特點? 在緊束縛模型下, 此級數(shù)又有什么特點?  由布洛赫定理可知, 晶體中電子的波函數(shù), 對比本教科書(5.1)和(5.39)式可得= .對于近自由電子, 當電子波矢遠離布里淵區(qū)邊界時, 它的行為與自由電子近似, 近似一常數(shù). 因此, 的展開式中, 除了 外, 其它項可忽略.        當電子波矢落在與倒格矢Kn正交的布里淵區(qū)邊界時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對布洛赫波產(chǎn)生了強烈的反射, 展開式中, 除了 和 兩項外, 其它項可忽略.在緊束縛模型下, 電子在格點Rn

62、附近的幾率 2大, 偏離格點Rn的幾率 2小.  對于這樣的波函數(shù), 其付里葉級數(shù)的展式包含若干項. 也就是說, 緊束縛模型下的布洛赫波函數(shù)要由若干個平面波來構造.2.    布洛赫函數(shù)滿足 = ,  何以見得上式中 具有波矢的意義?       人們總可以把布洛赫函數(shù) 展成付里葉級數(shù),其中k是電子的波矢. 將 代入= ,得到= .其中利用了 ( 是整數(shù)), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意義.3.    波矢空間與倒格空間有何關系? 為

63、什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點是準連續(xù)的?       波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間, 倒格空間的基矢分別為 , 而波矢空間的基矢分別為 , N1、N2、N3分別是沿正格子基矢 方向晶體的原胞數(shù)目. 倒格空間中一個倒格點對應的體積為,波矢空間中一個波矢點對應的體積為, 即波矢空間中一個波矢點對應的體積, 是倒格空間中一個倒格點對應的體積的1/N. 由于N是晶體的原胞數(shù)目, 數(shù)目巨大, 所以一個波矢點對應的體積與一個倒格點對應的體積相比是極其微小的. 也就是說, 波矢點在倒格空間看是極其稠密的. 因此, 在波矢空間內(nèi)作求和處理時, 可把波矢

64、空間內(nèi)的狀態(tài)點看成是準連續(xù)的.4.    與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強烈的散射作用？       當電子的波矢k滿足關系式時, 與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于 的晶面族對波矢為k的電子具有強烈的散射作用. 此時, 電子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上, k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于 .5.     一維周期勢函數(shù)的付里葉級數(shù) 中, 指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的?       周期勢函數(shù)V(x) 付里葉級數(shù)的通式為上式必須滿足勢場的周期性, 即.顯然.要滿足上式, 必為倒格矢.可見周期勢函數(shù)V(x)的付里葉級數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周期性決定的.6.