更高更妙的物理：專(zhuān)題21說(shuō)磁

1、專(zhuān)題21 說(shuō) 磁 “在觀察的領(lǐng)域里，機(jī)遇只偏愛(ài)那種有準(zhǔn)備的頭腦”，這句名言，最先是對(duì)丹麥科學(xué)家?jiàn)W斯特開(kāi)創(chuàng)性地發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)所發(fā)的感慨。世紀(jì)初，在人們對(duì)電與磁的認(rèn)識(shí)尚是孤立隔絕的時(shí)候，奧斯特卻有了一個(gè)不同凡響的信念，他認(rèn)為自然力是統(tǒng)一的，并且是可以互相轉(zhuǎn)化的，電與磁之間也應(yīng)該有聯(lián)系。奧斯特致力于電與磁統(tǒng)一性的研究十多年，終于在年冬日的一次講課中得到了機(jī)遇的惠顧：奧斯特將一根與伽伐尼電池相連接的導(dǎo)線(xiàn)垂直跨放在一枚磁針上方，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)磁針運(yùn)動(dòng)，然后再換另一個(gè)更強(qiáng)的伽伐尼電池重復(fù)同樣的實(shí)驗(yàn)，還是不行。在準(zhǔn)備結(jié)束演講時(shí)，他忽然說(shuō)“讓我們把導(dǎo)線(xiàn)同磁針平行地放置試試看”，于是出現(xiàn)了永垂青史的一幕小磁針幾乎和

2、磁子午線(xiàn)成直角地大幅度擺動(dòng)著!奧斯特實(shí)驗(yàn)的旋風(fēng)沖破了長(zhǎng)期以來(lái)人們所信奉的電和磁沒(méi)有聯(lián)系的觀念，開(kāi)啟了電磁研究的新紀(jì)元。 現(xiàn)在我們知道，一切磁現(xiàn)象的根源是電流，都是運(yùn)動(dòng)電荷之間通過(guò)磁場(chǎng)而發(fā)生的；電磁場(chǎng)是一個(gè)不可分割的統(tǒng)一體，從不同的參考系去考察電磁場(chǎng)時(shí)就有不同的描述，表現(xiàn)出電場(chǎng)或磁場(chǎng)的特征。 靜磁場(chǎng)與靜電場(chǎng)之間有著眾多的物理相似，也存在明顯的相異。 與電場(chǎng)一樣，磁場(chǎng)具有物質(zhì)的基本屬性，會(huì)對(duì)引入磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)電荷或?qū)w產(chǎn)生力的作用，描述磁場(chǎng)的線(xiàn)稱(chēng)磁感線(xiàn)，其與電場(chǎng)線(xiàn)的比較如表所示。 由表我們看到，電場(chǎng)線(xiàn)是從正電荷出發(fā)，到負(fù)電荷終止，說(shuō)明正電荷是電場(chǎng)的源頭、負(fù)電荷是電場(chǎng)的尾閭，靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；磁感線(xiàn)都是

3、封閉曲線(xiàn)，我們把磁場(chǎng)稱(chēng)為“渦旋場(chǎng)”，這種差異是與正負(fù)電荷可以分離而、磁極不可分離的事實(shí)相聯(lián)系的。將通過(guò)某一曲面的總磁感線(xiàn)條數(shù)稱(chēng)為磁通量，式中是在面法向的分量，由于磁感線(xiàn)總是閉合的，因此穿人閉合曲面的磁感線(xiàn)數(shù)必然與穿出閉合曲面的磁感線(xiàn)數(shù)相等，通過(guò)任何閉合曲面的磁通量一定為零，這就是磁場(chǎng)中的高斯定理。 在電場(chǎng)中，人們從實(shí)驗(yàn)中得到關(guān)于點(diǎn)電荷間相互作用的庫(kù)侖定律，由庫(kù)侖定律得出點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)，然后根據(jù)電場(chǎng)疊加原理，得到電荷系形成的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。磁場(chǎng)是由電流產(chǎn)生的，根據(jù)磁場(chǎng)與電場(chǎng)的相似性，人們做了同樣的工作。安培設(shè)計(jì)精巧的實(shí)驗(yàn)定量研究了電流與電流間的相互作用，他把電流看作無(wú)窮多小段電流電流元的集合，每一電流

4、元用表示，得到兩個(gè)電流元間相互作用所遵從的“安培力公式”。與萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力一樣，兩個(gè)電流元之間的作用力也是平方反比力（場(chǎng)力），方向與元電流方向垂直，如圖所示（不遵守牛頓第三定律？）。公式中比例系數(shù)，其中稱(chēng)為真空磁導(dǎo)率，其值為，量綱為。與電場(chǎng)類(lèi)比，將磁感應(yīng)強(qiáng)度定義為檢驗(yàn)電流元在該點(diǎn)所受的安培力，即，則電流元在空間某點(diǎn)引起的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，式中是點(diǎn)對(duì)電流元矢徑的大小（距離），是電流元與矢徑之間小于的夾角；的方向遵守右手螺旋定則，即垂直于電流元與矢徑所構(gòu)成的平面，四指從電流經(jīng)角轉(zhuǎn)向矢徑時(shí)拇指所指方向，如圖所示。這就是電流元在空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度所遵從的規(guī)律，是由畢奧和薩伐爾通過(guò)直線(xiàn)電流磁場(chǎng)的

5、實(shí)驗(yàn)并由拉普拉斯做了數(shù)學(xué)處理而推廣到一般的，故被稱(chēng)為畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律。根據(jù)磁場(chǎng)的疊加原理，從畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律出發(fā)，就可以計(jì)算電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)。比如無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。如圖所示，直線(xiàn)電流方向向下，距直線(xiàn)電流的一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是直線(xiàn)電流上各電流元在點(diǎn)引起的的疊加。因?yàn)閷?dǎo)線(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)，各電流元與矢徑之間的夾角從，取第個(gè)電流元，點(diǎn)對(duì)它的張角為，其長(zhǎng)度表示為，由畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律，該元電流在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，方向由右手螺旋定則判斷為垂直于紙面向外；由疊加原理及對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)電流在點(diǎn)引起的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為再比如環(huán)形電流中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。如圖所示，環(huán)形電流半徑設(shè)為，元

6、電流長(zhǎng)度，其在點(diǎn)處引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度，方向垂直紙面向里，則環(huán)形電流在點(diǎn)的合磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為。 利用畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律可計(jì)算出“無(wú)限長(zhǎng)”通電螺線(xiàn)管內(nèi)部是一個(gè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中為單位長(zhǎng)度線(xiàn)圈匝數(shù)，外部磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。繞得很緊密的細(xì)長(zhǎng)的螺線(xiàn)管可以理想化為“無(wú)限長(zhǎng)”螺線(xiàn)管?！纠齦】?jī)筛L(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)沿半徑方向引到鐵環(huán)上、兩點(diǎn)，并與很遠(yuǎn)的電源相連，如圖所示。求環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。【分析與解】電流從結(jié)點(diǎn)分流，通過(guò)劣弧與優(yōu)弧后從點(diǎn)流出，設(shè)兩弧上電流分別為和，兩電流與兩弧長(zhǎng)度成反比；再來(lái)看兩電流在點(diǎn)引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度，由畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律可知，顯然，；由右手螺旋定則可判斷方向垂直紙面向里，方向垂直紙面向外

7、，故環(huán)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零?！纠?】如圖所示，一恒定電流沿著一長(zhǎng)為、半徑為（）的螺線(xiàn)管流過(guò)，在螺線(xiàn)管內(nèi)部產(chǎn)生了磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的磁場(chǎng)，試求線(xiàn)圈末端即圖中點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及以為中心的半徑為的圓上的磁通量。【分析與解】設(shè)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，設(shè)想在此螺線(xiàn)管左端再加一個(gè)完全相同的通電螺線(xiàn)管，則點(diǎn)成螺線(xiàn)管內(nèi)部，其磁感應(yīng)強(qiáng)度，可知；在線(xiàn)圈的端面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的水平分量為，而豎直分量之合成為零，故以為中心的半徑為的圓上的磁通量?！纠?】由相同導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成的立方形框架如圖所示，讓電流從頂點(diǎn)流入、流出，求立方形框架的幾何中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度?！痉治雠c解】如同我們?cè)趯?zhuān)題中做過(guò)的，正方形框架各邊上的電流分布情況是、導(dǎo)線(xiàn)上電流

8、均為；其余各邊上電流均為；點(diǎn)磁場(chǎng)是條直線(xiàn)電流在點(diǎn)引起的合磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度由各電流在點(diǎn)的分量疊加而成。注意到載流導(dǎo)線(xiàn)和、和、和、和、和、和都各是同向平行等值電流，在點(diǎn)引起等值而反向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，各各對(duì)消，故點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零?！纠?】一匝密繞的螺線(xiàn)管長(zhǎng)為，半徑為，且。當(dāng)通有恒定電流時(shí)，試求作用在長(zhǎng)螺線(xiàn)管側(cè)面上的壓強(qiáng)?！痉治雠c解】作用在電流強(qiáng)度為、長(zhǎng)的電流元上的安培力大小為，是受力電流元所在外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。在如圖所示的長(zhǎng)螺線(xiàn)管上處取一電流元，電流元處在除自身外的螺線(xiàn)管其余部分電流在該處產(chǎn)生的磁場(chǎng)中，設(shè)這個(gè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為。考察處長(zhǎng)螺線(xiàn)管外側(cè)面，電流元在長(zhǎng)螺線(xiàn)管外側(cè)面的點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)為，由

9、于長(zhǎng)螺線(xiàn)管外側(cè)面磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，則有；而在處長(zhǎng)螺線(xiàn)管內(nèi)側(cè)面，電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仍為，但方向相反，螺線(xiàn)管其余部分電流在該處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為，而無(wú)限長(zhǎng)通電螺線(xiàn)管內(nèi)部磁場(chǎng)由全部電流產(chǎn)生，則有，故有，于是可得電流元所受其余部分電流的力為，而作用在長(zhǎng)螺線(xiàn)管側(cè)面上的壓強(qiáng)。磁場(chǎng)是一個(gè)渦旋場(chǎng)，這使磁場(chǎng)與電場(chǎng)在力與能的屬性上有諸多不同之處。同樣的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)也與在電場(chǎng)中不一樣。如表所示是帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)照?！纠?】如圖所示，經(jīng)電壓加速的電子（加速前靜止）從電子槍射出，其初速度沿直線(xiàn)方向。若要求電子能擊中在方向，與槍口相距的靶，試求以下兩種情況下，所需的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

10、的大小。磁場(chǎng)垂直于直線(xiàn)與靶所確定的平面；磁場(chǎng)平行于槍口向靶所引的直線(xiàn)。【分析與解】磁場(chǎng)垂直于直線(xiàn)。與靶所確定的平面時(shí)，電子將在此平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為擊中靶，應(yīng)令其軌道過(guò)點(diǎn)，由圖甲所示幾何關(guān)系，可求出軌道圓的半徑為；由，其中電子從電子槍射出時(shí)速度可由加速電場(chǎng)中求出，則此種情況下所需的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為。 若磁場(chǎng)平行于槍口向靶所引的直線(xiàn)，電子將在與此平面垂直的平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)沿直線(xiàn)方向勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其軌跡為以的平行線(xiàn)為軸的等距螺旋線(xiàn)，為擊中靶，應(yīng)令電子的螺旋線(xiàn)軌道過(guò)點(diǎn)，如圖乙所示。為此，在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)完成位移的時(shí)間內(nèi)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)完成整周期運(yùn)動(dòng)，即有，則。（為正整數(shù)）代入

11、數(shù)據(jù)計(jì)算得?！纠?】如圖所示，一簇質(zhì)量均為、電量均為的離子在點(diǎn)以同一速率沿上半平面中的各個(gè)方向射出，垂直于平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)將這些離子聚焦在點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)相距為，離子軌道應(yīng)是軸對(duì)稱(chēng)的。試確定磁場(chǎng)區(qū)的邊界。討論當(dāng)情況下可聚焦的離子發(fā)射角范圍?！痉治雠c解】我們?cè)陔妶?chǎng)中研究過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題（遞進(jìn)測(cè)試第題），在那里，我們確定了滿(mǎn)足條件的電場(chǎng)的邊界是拋物線(xiàn)。這里，我們也考慮到離子的運(yùn)動(dòng)有明顯的軸對(duì)稱(chēng)性，設(shè)離子在進(jìn)入磁場(chǎng)前做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)后，在洛倫茲力作用下沿一段圓弧運(yùn)動(dòng)，而后離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)至。對(duì)不同的離子射出角，以適當(dāng)?shù)膱A弧與之銜接，如圖所示，各軌道直線(xiàn)與圓弧對(duì)接點(diǎn)，即離子出、入磁場(chǎng)的點(diǎn)的集合為所求

12、磁場(chǎng)的邊界。如圖所示，以角從點(diǎn)射出的粒子，先做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在坐標(biāo)為（，）處進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑，由幾何關(guān)系，而，得，此即磁場(chǎng)的邊界方程或。由于磁場(chǎng)區(qū)域受到條件的限制，可聚焦的粒子的出射角范圍也有限制，在題給條件下，磁場(chǎng)邊界方程如圖所示，當(dāng)離子射出角為時(shí)，沿半徑為的半圓運(yùn)動(dòng)至；當(dāng)離子射出角為零時(shí)，沿軸運(yùn)動(dòng)至；而當(dāng)射出角時(shí)無(wú)法聚焦到處。 在及時(shí)可聚焦的粒子的出射角范圍留給有興趣的讀者自行探討。 帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中，既受電場(chǎng)力，又受洛倫茲力的作用，運(yùn)動(dòng)情況將較為復(fù)雜。我們介紹幾種簡(jiǎn)單而重要的有應(yīng)用背景的情況。 速度選擇器 正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域被稱(chēng)為速度選擇器，它因只可以

13、讓各種速度垂直于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的帶電粒子中具有一定速率的帶電粒子直線(xiàn)通過(guò)而得名。帶電粒子在正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域同時(shí)受到電場(chǎng)力及洛倫茲力的作用，若該二力大小相等、方向相反，即，粒子在該區(qū)域所受合力為零，則會(huì)沿直線(xiàn)通過(guò)而不因發(fā)生偏轉(zhuǎn)落到電極板上，可見(jiàn)能通過(guò)“速度選擇器”的帶電粒子其速度大小須滿(mǎn)足。 當(dāng)帶電粒子的速度大于或小于“選擇速度”時(shí)，其運(yùn)動(dòng)情況如何呢？不妨設(shè)帶正電粒子的初速度為零，處于如圖所示的互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，釋放后受電場(chǎng)力的作用，粒子將會(huì)加速，一旦有了速度又將受到洛倫茲力的作用而改變速度的方向，故粒子將做較為復(fù)雜的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在我們運(yùn)用分解運(yùn)動(dòng)的法寶將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成較為

14、簡(jiǎn)單的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)試試：將初速度為零等效為與勻強(qiáng)電場(chǎng)及勻強(qiáng)磁場(chǎng)均垂直的大小的速度和方向相反、大小為的速度的合成，在這樣的初狀態(tài)下，帶電粒子受到三個(gè)力的作用，電場(chǎng)力；洛倫茲力和洛倫茲力，方向如圖所示，則粒子將同時(shí)完成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是以做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；一個(gè)是在這個(gè)向心力作用下以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，其軌跡為一滾輪線(xiàn)，相當(dāng)于半徑為的圓輪在水平面上作純滾動(dòng)時(shí)輪緣上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)?！纠?】如圖所示，質(zhì)量均為，電量為和的兩個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)相距。開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心靜止地位于坐標(biāo)原點(diǎn)處，且兩帶電質(zhì)點(diǎn)在平面上繞質(zhì)心沿順時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)。設(shè)當(dāng)系統(tǒng)處于圖所示位置時(shí)，規(guī)定為時(shí)刻，從該時(shí)刻起在所討論的

15、空間加上沿軸方向的弱勻強(qiáng)磁場(chǎng)。試求：質(zhì)心的速度分量和隨時(shí)間的變化關(guān)系及運(yùn)動(dòng)軌跡方程，定性畫(huà)出質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)兩帶電質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心的圓周運(yùn)動(dòng)保持不變，忽略一切萬(wàn)有引力。兩帶電質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力視作庫(kù)侖力?！痉治雠c解】?jī)蓭щ娰|(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的“雙星”系統(tǒng)質(zhì)心位于處，未加磁場(chǎng)時(shí)，系統(tǒng)不受外力，質(zhì)心速度為零，兩質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心做角速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)力學(xué)方程，得； 加沿軸方向的弱勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)心受到的磁場(chǎng)力是兩電荷所受洛倫茲力之合力：大小總是，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)連線(xiàn)而指向方向，是一個(gè)“有心力”，此力引起的質(zhì)心加速度為，角速度為。這使我們想到可以把質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：設(shè)質(zhì)心的一個(gè)初速度為（這是在磁場(chǎng)作用下，電荷沿

16、半徑為的軌道運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度），方向?yàn)椋瑒t質(zhì)心的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是線(xiàn)速度為、角速度為、向心加速度為、半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；質(zhì)心的另一個(gè)初速度是，方向?yàn)?，故質(zhì)心的另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。這樣，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)與勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合成，如圖所示，質(zhì)心速度的方向分量與方向分量分別是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡為滾輪線(xiàn)，如圖所示。磁聚焦 如圖所示，通過(guò)在一組平行金屬板上加交變電壓產(chǎn)生橫向電場(chǎng)，用載流長(zhǎng)螺線(xiàn)管得到其內(nèi)部的縱向（橫向）勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)加速電場(chǎng)加速、速度為的電子束通過(guò)橫向電場(chǎng)后，以各種發(fā)散角度進(jìn)入縱向勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線(xiàn)，每經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間，電子回旋一周并前進(jìn)一個(gè)螺距，若電子沿縱向磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

17、，可以調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度，使所有電子在路徑上完成整數(shù)個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，即比值為整數(shù)，這樣，被橫向交變電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)發(fā)散的電子束經(jīng)磁場(chǎng)作用，會(huì)聚到距入射點(diǎn)的同一處，這就是磁聚焦。若電子槍的加速電壓為，則由，可知，則，即，上式中，加速電壓及、可測(cè)得，調(diào)節(jié)縱向磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為時(shí)，電子束會(huì)聚（在熒光屏上有最細(xì)小的亮點(diǎn)），此時(shí)電子繞行周，將縱向磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸調(diào)大到時(shí)，電子束又一次會(huì)聚，此時(shí)電子繞行周，根據(jù)上式有，得，則利用磁聚焦還可以測(cè)得電子的荷質(zhì)比。【例8】如圖所示，在螺線(xiàn)環(huán)的平均半徑處有電子源，由點(diǎn)沿磁感線(xiàn)方向注入孔徑角（）的一電子束，其中的電子都是以電壓加速后從點(diǎn)發(fā)出的。假設(shè)螺線(xiàn)環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為常量

18、，設(shè)，。，并假設(shè)電子柬中各電子間的靜電相互作用可以忽略。為了使電子束沿環(huán)形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，需要另加一個(gè)使電子束偏轉(zhuǎn)的均勻磁場(chǎng)。對(duì)于在環(huán)內(nèi)沿半徑為只的圓形軌道運(yùn)動(dòng)的一個(gè)電子，試計(jì)算所需的大??；當(dāng)電子束沿環(huán)形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了使電子束每繞一圈有四個(gè)聚焦點(diǎn)，即如圖所示，每繞過(guò)的周長(zhǎng)聚焦一次，環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)應(yīng)有多大？（這里考慮電子軌道時(shí)，可忽略，忽略磁場(chǎng)的彎曲）【分析與解】繞在環(huán)形管上的一組圓形電流形成環(huán)形螺線(xiàn)管，也稱(chēng)羅蘭環(huán)，如圖所示。若環(huán)上線(xiàn)圈繞得緊密，則磁場(chǎng)幾乎全部集中在螺線(xiàn)環(huán)內(nèi)，環(huán)外磁場(chǎng)接近于零，磁感線(xiàn)為環(huán)的一系列同心圓，同一磁感線(xiàn)上各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值相等、方向沿環(huán)面。這樣的磁場(chǎng)不能對(duì)沿環(huán)形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的電子提

19、供向心力，故需另加一個(gè)使電子束偏轉(zhuǎn)的均勻磁場(chǎng)，對(duì)圖所示電子速度為，磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于電子圓運(yùn)動(dòng)軌道平面（紙面）向外。由，可得，代入題給數(shù)據(jù)得。 當(dāng)電子束沿環(huán)形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于電子速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向成角度，電子將沿螺旋線(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)即在垂直于的平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為，沿方向速度為，螺距為；為了使電子束每繞一圈有四個(gè)聚焦點(diǎn)，應(yīng)有，其中，則。在的條件下，。 霍耳效應(yīng) 把一載流導(dǎo)體放在磁場(chǎng)中時(shí)，若磁場(chǎng)方向與電流方向垂直，則在與磁場(chǎng)及電流二者均垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢(shì)差，這一現(xiàn)象是美國(guó)物理學(xué)家霍耳在年當(dāng)他還是一個(gè)年青學(xué)生時(shí)發(fā)現(xiàn)的，故被稱(chēng)為霍耳效應(yīng)，此電勢(shì)差叫霍耳電勢(shì)差。如圖所示，通電金屬導(dǎo)體中

20、的載流子定向運(yùn)動(dòng)（）的自由電子（）在磁場(chǎng)（）中受洛倫茲力的作用而發(fā)生橫向漂移，方向向上，這種橫向漂移運(yùn)動(dòng)使導(dǎo)體上側(cè)有多余的負(fù)電荷而下側(cè)因缺少電子而有多余的正電荷，于是在導(dǎo)體中形成一個(gè)方向向上的附加電場(chǎng)，它將阻礙載流子的橫向漂移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)載流子所受的洛倫茲力與附加電場(chǎng)力平衡即時(shí)，電子的橫向漂移運(yùn)動(dòng)停止，這時(shí)在導(dǎo)體的上下側(cè)所形成的電勢(shì)差就是霍耳電勢(shì)差。導(dǎo)體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為，電流，代入前式得，式中由金屬導(dǎo)體性質(zhì)決定，稱(chēng)霍耳系數(shù)，則金屬導(dǎo)體的霍耳電勢(shì)差。 不但固體中有霍耳效應(yīng)，在導(dǎo)電流體中也同樣會(huì)產(chǎn)生霍耳效應(yīng)，目前正在研究中的“磁流體發(fā)電”的基本原理就是利用等離子流體的霍耳電勢(shì)差。【例9】如圖所

21、示的一塊半導(dǎo)體樣品放在垂直于豎直面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，當(dāng)有恒定電流通過(guò)樣品時(shí)，產(chǎn)生的霍耳電勢(shì)差，極性如圖中標(biāo)示，這塊樣品是型半導(dǎo)體還是型半導(dǎo)體？載流子密度是多少，載流子定向運(yùn)動(dòng)的速度是多少？【分析與解】根據(jù)磁場(chǎng)方向與電流方向可知載流子所受洛倫茲力方向是向下的，而下板聚集負(fù)電荷，說(shuō)明這塊樣品中多數(shù)載流子是電子，是型半導(dǎo)體。載流子密度設(shè)為，由，得；載流子漂移速度由可得。 半導(dǎo)體中載流子密度比金屬小、霍耳系數(shù)比金屬大，所以半導(dǎo)體中的霍耳電勢(shì)差更大，用半導(dǎo)體晶片做成的四端霍耳元件在自動(dòng)控制和檢測(cè)技術(shù)中有廣泛應(yīng)用。 磁鏡 有一如圖所示的非均勻磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)兩端很強(qiáng)，中間較弱。帶電粒子在此非均勻

22、磁場(chǎng)中向磁場(chǎng)較強(qiáng)的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，可做螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，我們已經(jīng)知道，螺旋線(xiàn)半徑，帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中向磁場(chǎng)較強(qiáng)的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的螺旋線(xiàn)軌跡半徑隨的增大而減小；同時(shí)，帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中所受洛倫茲力總有一指向磁場(chǎng)較弱方向的分量，此分力的作用效果是阻礙粒子向磁場(chǎng)強(qiáng)的方向運(yùn)動(dòng)，最終使帶電粒子掉頭返轉(zhuǎn)，就像光線(xiàn)遇到鏡面反射一樣，非均勻磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的這種效應(yīng)稱(chēng)為磁鏡效應(yīng)。由于磁場(chǎng)兩端強(qiáng)、中間弱，磁鏡效應(yīng)使帶電粒子如同被兩平面鏡反射的光線(xiàn)，在兩端之間來(lái)回振蕩，被約束在一定范圍內(nèi)，形成磁約束。形成這種磁場(chǎng)效應(yīng)的裝置叫磁鏡。在受控?zé)岷朔磻?yīng)裝置中，一般都采用這種磁場(chǎng)來(lái)約束等離子體。 磁約束現(xiàn)象也展現(xiàn)在宇宙空間，例如地

23、球這個(gè)大磁體，其磁場(chǎng)分布就是兩極強(qiáng)而中間弱，成為一個(gè)天然的磁鏡。外層空間的帶電粒子進(jìn)入后，將繞地磁感線(xiàn)做螺旋運(yùn)動(dòng)，并被兩極來(lái)回反射，約束在地磁感線(xiàn)區(qū)域，形成所謂范·阿倫輻射帶，如圖所示。美麗的極光也是范·阿倫輻射帶中的粒子因空間磁場(chǎng)的變化而有機(jī)會(huì)進(jìn)入地極附近的大氣層而產(chǎn)生的?！纠?0】圍繞地球周?chē)拇艌?chǎng)是兩極強(qiáng)、中間弱的空間分布。年，范·阿倫通過(guò)人造衛(wèi)星搜集到的資料研究了帶電粒子在地球磁場(chǎng)空間中的運(yùn)動(dòng)情況后，得出了在距地面幾千公里到幾萬(wàn)公里的高空存在著電磁輻射帶（范·阿倫輻射帶）的結(jié)論。有人在實(shí)驗(yàn)室中通過(guò)實(shí)驗(yàn)裝置，形成了如圖所示的磁場(chǎng)分布區(qū)域，在該區(qū)域中

24、，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小沿軸從左到右，由強(qiáng)變?nèi)?，由弱變?qiáng)，對(duì)稱(chēng)面為。已知軸上點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為，兩端點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為。現(xiàn)有一束質(zhì)量均為、電量均為、速度大小均為的粒子，在點(diǎn)以與軸成不同的投射角向右半空間發(fā)射。設(shè)磁場(chǎng)足夠強(qiáng)，粒子只能在緊鄰軸的磁感線(xiàn)圍成的截面積很小的“磁力管”內(nèi)運(yùn)動(dòng)。試分析說(shuō)明具有不同的投射角的粒子在磁場(chǎng)區(qū)問(wèn)的運(yùn)動(dòng)情況。 提示：理論上可證明：在細(xì)“磁力管”的管壁上粒子垂直磁場(chǎng)方向的速度的平方與磁力管軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比為一常量?！痉治雠c解】通過(guò)本題我們半定量地了解磁鏡的作用。我們知道，題給磁力管是理想化的磁鏡，粒子在其中沿螺旋線(xiàn)在中心兩側(cè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，或從兩端飛出。在點(diǎn)，由題給條件，

25、比值；帶電粒子向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，洛倫茲力總與速度方向垂直，故合速度大小保持不變，但做圓運(yùn)動(dòng)的垂直于該處磁場(chǎng)方向的分速度，會(huì)隨的增大而增大；螺旋半徑隨的增大而減?。谎卮艌?chǎng)方向的分速度（管向速度），則會(huì)隨的增大而減小。下面討論粒子在端的管向速度情況。 在端，粒子沿磁場(chǎng)方向即管向速度，若這個(gè)速度大于零，即，具有這樣的投射角的粒子將從沖出磁力管；若粒子管向速度等于零，即，具有這樣的投射角的粒子在處做半徑為的圓運(yùn)動(dòng)；若粒子管向速度小于零，即，這種情況下，粒子在到達(dá)前，管向速度已然減為零，那么粒子在處在垂直于管的平面上以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這包括時(shí)，粒子在面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情況。 事實(shí)上在時(shí)粒子在非均勻磁場(chǎng)中某

26、處的勻速圓周運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，由于微擾，粒子會(huì)偏離原軌道平面，前面我們分析過(guò)，帶電粒子在非均勻磁場(chǎng)中所受洛倫茲力總有一指向磁場(chǎng)較弱方向的分量，因此，粒子會(huì)在兩側(cè)的位置之間振蕩，即約束在磁力管內(nèi)。 綜上，磁力管中投射角的粒子將沖出管區(qū)；投射角的粒子則被約束在管區(qū)內(nèi)。1、如圖所示，在半徑為的圓周上沿諸大圓繞有細(xì)導(dǎo)線(xiàn)，諸導(dǎo)線(xiàn)相交于同一直徑的兩端，共有六個(gè)線(xiàn)圈，每相鄰兩線(xiàn)圈平面的夾角均為，導(dǎo)線(xiàn)上流過(guò)電流，求在木球球心處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。2、有一個(gè)寬為、無(wú)限長(zhǎng)薄銅片，通有電流。求銅片中心線(xiàn)正上方（）處的點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。3、一個(gè)塑料圓盤(pán)，半徑為，帶電，均勻分布在盤(pán)表面上，圓盤(pán)繞通過(guò)圓心垂直于盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)

27、動(dòng)，角速度為，試求圓盤(pán)中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。4、試應(yīng)用畢奧一薩伐爾定律，求解方程為（，其中和均為已知量）的橢圓形閉合導(dǎo)線(xiàn)當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)中通以穩(wěn)恒電流時(shí)，橢圓導(dǎo)線(xiàn)焦點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。5、長(zhǎng)直圓柱形載流導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性，離軸處的磁感應(yīng)強(qiáng)度?，F(xiàn)有半徑為的金屬長(zhǎng)圓柱體內(nèi)挖去一半徑為的圓柱體，兩圓柱體的軸線(xiàn)平行，相距，如圖所示。電流沿軸線(xiàn)方向通過(guò)，且均勻分布在柱體的截面上，試求空心部分中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。6、如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的柔韌細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的一端懸掛質(zhì)量為的重物，給細(xì)線(xiàn)提供張力，另一端固定于天花板上。它的一段處于圖中所示勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并通有電流，求弧線(xiàn)的曲率半徑。若帶電量為、質(zhì)量為的粒子從點(diǎn)入射磁場(chǎng)，其動(dòng)量如何才

28、能使它沿弧線(xiàn)運(yùn)動(dòng)？7、帶電粒子進(jìn)入介質(zhì)中，受到的阻力跟它的速度成正比。在粒子完全停止前，所通過(guò)的位移為，如果在介質(zhì)中有一個(gè)跟粒子速度方向垂直的磁場(chǎng)，當(dāng)粒子以跟原來(lái)相同的初速度進(jìn)入這一帶有磁場(chǎng)的介質(zhì)時(shí)，它則停止在距入射點(diǎn)的距離為的位置上，如果磁場(chǎng)強(qiáng)度減少，那么該粒子應(yīng)停留在距入射點(diǎn)多遠(yuǎn)（）的位置上？8、如圖所示，為一離子源，它能機(jī)會(huì)均等地向各個(gè)方向持續(xù)發(fā)射大量質(zhì)量為、電量為、速率為的正離子，在離子源的右側(cè)有一半徑為的圓屏，離子源在其軸線(xiàn)上。在離子源與圓屏之間的空間有范圍足夠大的方向水平向右并垂直于圓屏的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，在發(fā)射的離子中有的離子不管距離如何改變，總能打在圓屏上。求這樣的離子數(shù)

29、目與總發(fā)射離子數(shù)目之比。9、如圖所示，在平面上有一束稀疏的電子（其間的相互作用可忽略），在范圍內(nèi)，從負(fù)半軸的遠(yuǎn)處以相同的速率沿著軸方向平行地向軸射來(lái)。試設(shè)計(jì)一磁場(chǎng)區(qū)域，使得所有電子都能在磁場(chǎng)力的作用下通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；這束電子最后擴(kuò)展到范圍內(nèi)繼續(xù)沿著軸方向向正半軸的遠(yuǎn)處平行地以相同速率射去。10、如圖所示，一窄束單能氬離子通過(guò)一扇形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此束射線(xiàn)的軸在進(jìn)、出磁場(chǎng)時(shí)離子束的軸線(xiàn)都與場(chǎng)的邊界垂直。求質(zhì)量數(shù)和的氬同位素的發(fā)散角。已知。11、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，軸為豎直方向，空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向沿軸正方向，一個(gè)質(zhì)量為、帶電量為的帶電微粒從原點(diǎn)處以速度射出，初速度方向?yàn)檩S正方向，試

30、確定各物理量間滿(mǎn)足什么條件，就能保證的大小不論取何值，帶電微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都能經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)。12、質(zhì)量為、電量為（）的小球，在離地面高度為處從靜止開(kāi)始下落，為使小球始終不會(huì)和地面相碰，可設(shè)想在它開(kāi)始下落時(shí)就加上一個(gè)足夠強(qiáng)的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)。試求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小可取值，并求出當(dāng)磁場(chǎng)取時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)軌道。13、如圖所示的磁動(dòng)力泵是高的矩形槽，槽相對(duì)的兩壁是導(dǎo)電的，距離為。兩導(dǎo)電壁加上電勢(shì)差，垂直于兩非導(dǎo)電壁加上磁感應(yīng)強(qiáng)度的均勻磁場(chǎng)。槽的下部與水銀面接觸，上部與豎直的非導(dǎo)電管相連。試問(wèn)水銀上升多高？（水銀的電阻率，水銀密度，重力加速度）14、一個(gè)初始時(shí)未充電的電容器的兩個(gè)極板之間的距離為。有一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁場(chǎng)，平行于電容器的極板，如圖所示。當(dāng)一電中性的相對(duì)介電常數(shù)為的液體以速度流過(guò)兩個(gè)極板之間時(shí)，連接在