材料力學(xué)-彎曲內(nèi)力

1、第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力4.1 平面彎曲平面彎曲4.2 剪力與彎矩剪力與彎矩4.3 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 剪力圖剪力圖 彎矩圖彎矩圖4.4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的關(guān)系4.5 剛架的彎曲內(nèi)力剛架的彎曲內(nèi)力4.1 一、工程實例一、工程實例1 1、受力特點、受力特點 橫向外力作用在與桿件的縱向?qū)ΨQ面（形心主橫向外力作用在與桿件的縱向?qū)ΨQ面（形心主慣性平面）內(nèi)。慣性平面）內(nèi)。2 2、變形特點、變形特點 桿件的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，桿件的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，變形后的梁軸線與力的作用線在同一平面內(nèi)，故這類彎曲變形后

2、的梁軸線與力的作用線在同一平面內(nèi)，故這類彎曲叫叫平面彎曲平面彎曲。二、基本概念二、基本概念對稱軸對稱軸軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面以彎曲為主要變形形式的桿件稱為以彎曲為主要變形形式的桿件稱為梁梁。lABF試問各梁是否產(chǎn)生平面彎曲？試問各梁是否產(chǎn)生平面彎曲？2 2、可活動的鉸支座、可活動的鉸支座1 1、固定鉸支座、固定鉸支座3、固定端、固定端三、支座分類三、支座分類限制沿支承面水平和限制沿支承面水平和垂直方向的移動垂直方向的移動。限制桿件沿垂直于支承面限制桿件沿垂直于支承面方向的移動。方向的移動。 限制桿件沿支承限制桿件沿支承面水平和垂直方向面水平和垂直方向的移動和繞固定端的移動和繞固定端點的轉(zhuǎn)

3、動。點的轉(zhuǎn)動。四、載荷分類四、載荷分類1 1、集中載荷、集中載荷載荷的作用范圍遠小于桿件軸向尺寸。載荷的作用范圍遠小于桿件軸向尺寸。2 2、分布載荷、分布載荷沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用q q表示單位長表示單位長 度上的載荷度上的載荷, ,稱為載荷集度稱為載荷集度. . 如風(fēng)力如風(fēng)力, ,靜水壓力靜水壓力, ,重力重力. .3 3、集中力偶、集中力偶M（Nm）, ,一般由力系簡化可得，如圓錐齒輪。一般由力系簡化可得，如圓錐齒輪。特例：均布載荷，線性分布載荷，如水對壩的壓力特例：均布載荷，線性分布載荷，如水對壩的壓力軸線：桿件橫截面形心的連線。軸線：桿件橫

4、截面形心的連線。用軸線代替實際桿件用軸線代替實際桿件FF五、梁的計算簡圖五、梁的計算簡圖 靜定平衡梁的支反力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同靜定平衡梁的支反力數(shù)目與平衡方程式的數(shù)目相同則為靜定梁則為靜定梁. .1 1、簡支梁、簡支梁 一端為固定鉸支座一端為活動鉸支座。一端為固定鉸支座一端為活動鉸支座。2 2、外伸梁、外伸梁 一端或兩端向外伸出的簡支梁。一端或兩端向外伸出的簡支梁。注：注：組合梁組合梁，由上述三種簡單靜定梁彼此鉸接而成。，由上述三種簡單靜定梁彼此鉸接而成。3 3、懸臂梁、懸臂梁 一端固定支座一端自由。一端固定支座一端自由。六、靜定梁的基本形式六、靜定梁的基本形式注注: : 彎矩和扭矩的

5、比較彎矩和扭矩的比較共同點共同點: :力偶矩力偶矩不同點不同點: :作用面和所繞的軸不同作用面和所繞的軸不同; ;作用不同作用不同, ,抵抗扭轉(zhuǎn)還是彎曲抵抗扭轉(zhuǎn)還是彎曲. .一、梁的內(nèi)力的引入一、梁的內(nèi)力的引入F例：懸臂梁截面內(nèi)的內(nèi)力例：懸臂梁截面內(nèi)的內(nèi)力FFs (x) 剪力剪力Fs( (x): ): 抵抗剪切作用的內(nèi)抵抗剪切作用的內(nèi)力力, , 是與橫截面相切的分布內(nèi)力系是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力的合力. . 彎矩彎矩M( (x): ): 抵抗彎曲作用的矩抵抗彎曲作用的矩, , 是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩力偶矩.M(x)4.2 F1F2F3ABa步

6、驟：步驟：FAyFByx , 0yFAySFFF10SAyFFF1 , 0OM()AyF xF xaM10()AyMF xF xa1xyF1Am mxFAyaxF2F3m mFBm mx二、梁的內(nèi)力計算二、梁的內(nèi)力計算Fs MFs M1.剪力：剪力：2.彎矩：彎矩：左上右下為正左上右下為正左順右逆左順右逆 (上凹下凸上凹下凸) 為正為正+m mF1AFAyxF2F3m mFB+Fs MFs MFAFBSF1M1FAFFAFm1m2S2FM2m1m2FBS1FM1取左段梁取左段梁-50SAFFFN1取右段梁取右段梁-50SBFFN 1-50SABFFFFN 21yF 0ASFFF10yF 0BS

7、FF1012=100 N,= 20 N m, =10 N m=100 mm, =150 mm, = 50mmFmmaxx12Bm11122x2aFm2Ax1aaa50ABFFN取左段梁取左段梁() = 2.5AMF xF xaN m111取右段梁取右段梁()=2.5BMmmFa xN m11214OM0()AF xF xaM1110OM0()BMmmFa x112140()()=2.5AB 2MFa xFa xmmF xN m2221243FAFBSF1M1FAFFAFm1m2S2FM2m1m2FBS1FM11122x2aFm2Ax1aaam1B注注: :當(dāng)取截面較多時，可以當(dāng)取截面較多時，可

8、以“總結(jié)規(guī)律，加以提煉總結(jié)規(guī)律，加以提煉”。從 = -F知：FS 在數(shù)值上等于一側(cè)外力的代數(shù)和。由M1 = x-F(x-a)知: M在數(shù)值上等于一側(cè)外力對該截面形心力矩的代數(shù)和. 關(guān)鍵在于確定外力符號。 橫截面上的剪力橫截面上的剪力= =此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力的代數(shù)和此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力的代數(shù)和. .左側(cè)梁：向上的外力取正值，向下取負值左側(cè)梁：向上的外力取正值，向下取負值右側(cè)梁：向下的外力取正值，向上取負值右側(cè)梁：向下的外力取正值，向上取負值橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩= =此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對 該截面形心的力矩的代數(shù)和該截

9、面形心的力矩的代數(shù)和左側(cè)梁：外力對左側(cè)梁：外力對 截面形心的力矩順時針取正值截面形心的力矩順時針取正值右側(cè)梁：外力對右側(cè)梁：外力對 截面形心的力矩逆時針取正值截面形心的力矩逆時針取正值 SF1M1FAF外力對剪力的影響：左上右下外力對剪力的影響：左上右下為正為正力偶對彎矩的影響：左順右逆力偶對彎矩的影響：左順右逆為正為正外力對彎矩的影響：只要向上的外力便產(chǎn)生外力對彎矩的影響：只要向上的外力便產(chǎn)生正正的彎矩。的彎矩。外力、外力偶對彎曲內(nèi)力符號的影響外力、外力偶對彎曲內(nèi)力符號的影響FSM左左側(cè)側(cè)右右側(cè)側(cè)+-RBRD11223344 , 0BMqaRD45 , 0yFqaRB41qaFS1qaFS2

10、BR)41(qaqaqa45BSRqaF3qa45BSRqaF4DRqa45aqaM211221qaaqaM2120BR221qaaqaM233aRBaqaqa)41(232247qaaRDmM322453qaqa 247qaaRMD4aqa45245qam=3qa2ADBCqaaa4.3 )(xFFSS)(xMM 表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規(guī)律的代數(shù)方程。表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規(guī)律的代數(shù)方程。要將剪力圖和彎矩圖畫在梁受力圖的正下方，而不要畫在要將剪力圖和彎矩圖畫在梁受力圖的正下方，而不要畫在其它地方。這樣就可以很方便地了解梁中內(nèi)力的變化規(guī)律，其它地方。這樣就可以很方便地了解梁中內(nèi)力的變化

11、規(guī)律，以及得到梁中任意截面上的剪力和彎矩值。以及得到梁中任意截面上的剪力和彎矩值。有集中載荷（力和力偶）或外力不連續(xù)處，則要分段。有集中載荷（力和力偶）或外力不連續(xù)處，則要分段。作圖時請注意：作圖時請注意：xy 已知已知:P 、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。求：梁的剪力圖和彎矩圖。1.剪力方程和彎矩方程：剪力方程和彎矩方程：PxFS)(0MlABPSFxMxPl)0(lx PxxM)()0(lx PPlMFS(x)為一常量為一常量2.繪出剪力圖和彎矩圖繪出剪力圖和彎矩圖xx 0時xl 時PFSmaxPlMmaxxy1.先求約束反力：先求約束反力：2qlFFBAlABq 已知已知:q 、l 求：梁的

12、求：梁的FS圖和圖和M圖。圖。x2.列剪力方程和彎矩方程：列剪力方程和彎矩方程：( )SAqlF xFqxqx2)0(lx ( )AxqlxqxM xFxqx 2222)0(lx SFxMx3.畫剪力、彎矩圖畫剪力、彎矩圖2| )(0qlxFxS2| )(qlxFlxS0| )(0 xxM0| )(lxxM222)(xqqlxdxddxxdMqxql20時時 求得求得2lx ( )|lxqlM x228maxMql2ql2ql28l /2BFAF+xy畫出圖示梁的畫出圖示梁的FS 圖和圖和M圖。圖。1.列剪力方程和彎矩方程：列剪力方程和彎矩方程：SFxMxqlql22qxxFS)(2)(xqx

13、xMlx 0221qxlx 02.畫剪力、彎矩圖畫剪力、彎矩圖0|0 xSFqlFlxS|0|0 xM221|qlMlxqlFSmax22maxqlMqxlABxyBFAFABPlbCa（1）先求出約束反力：）先求出約束反力：lPbFAlPaFBSFx（2）剪力方程和彎矩方程：）剪力方程和彎矩方程：1( )SAPbFxFl)0(ax 1( )APbxMxF xl)0(ax（3）畫剪力圖和彎矩圖）畫剪力圖和彎矩圖CB段：段：2( )SABPaFxFPFl )(lxa2( )()()()ABPaM xF xP xaF lxlxl)(lxaMxxx畫出圖示梁的畫出圖示梁的FS 圖和圖和M圖。圖。AC

14、段：段：PblPalPabllPbFSmaxlPabMmax+SFxxxABMlbCalMFAlMFB1( )SAMFxFl)0(ax 1( )AMxM xF xl)0(ax 2( )SAMFxFl)(lxa2( )AMMxF xMxMl)(lxaMx畫出圖示梁的畫出圖示梁的FS 圖和圖和M圖。圖。（1）先求出約束反力：）先求出約束反力：（2）剪力方程和彎矩方程：）剪力方程和彎矩方程：AC段：段：CB段：段：（3）畫出剪力、彎矩圖）畫出剪力、彎矩圖0|0 xMlmaMax|lmbMax|0|lxMMlMallMbBFAF+lABqSFxMxql2ql2ql28l /2lABPSFxMxPlPA

15、BPlbCaMxPblPalPablSFxSFxMxqlql22qlABABMlbCaMxMlMalSFx結(jié)論：結(jié)論： 凡是集中力（包括支反力）作凡是集中力（包括支反力）作用處，剪力圖有突變，突變值即為用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小；該處集中力的大?。?在集中力偶作用處，彎矩圖有在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變值即為該處集中力偶矩突變，突變值即為該處集中力偶矩的大??；的大小； 剪力圖為剪力圖為0次曲線時，彎矩圖次曲線時，彎矩圖為為1次曲線；剪力圖為次曲線；剪力圖為1次時，彎次時，彎矩圖為矩圖為2次曲線；次曲線；SFxxyABCPq3m1m（1）求約束反力；）求約束反力；FA

16、FBkNAF 2kNBF 7（2）列剪力和彎矩方程；）列剪力和彎矩方程；x( )SAF xFqxx2230 x1( )2AM xF xqxx22xx30 xPxFS)(xkN343 x)4()(xPxM)4(3x43 x（3）作剪力和彎矩圖；）作剪力和彎矩圖；kN2kN4kN3mkN3xdxxdM22)(0時時 當(dāng)當(dāng) m1xmkN1|m1xM1mmkN1Mx1( )( )( )( )( )02SF x dxM xq x dxdxM xdM x4.4 載荷集度、載荷集度、00yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS)()(xqdxxdFS0CM)()(xFdxxdMS)()()(22x

17、qdxxdFdxxMdS( )SF x( )( )SSF xdF x（1）FS圖上各點的斜率等于梁上對圖上各點的斜率等于梁上對應(yīng)位置處的分布載荷集度應(yīng)位置處的分布載荷集度（2）M圖上各點的斜率等于梁上對圖上各點的斜率等于梁上對應(yīng)截面上的剪力應(yīng)截面上的剪力（3）由）由q的正負判斷的正負判斷M圖的凹凸性。圖的凹凸性。)()(xqdxxdFS)()(xFdxxdMS)()()(22xqdxxdFdxxMdS1、當(dāng)、當(dāng) q=0 時時FS=常量常量0時，M圖0（M圖圖M圖圖圖圖當(dāng)當(dāng)q0（圖圖( )SdF xdx0( )SdMF xdxSdMFdx 03、若梁的某一截面上、若梁的某一截面上 即：即：彎矩的

18、極值發(fā)生在剪力為零的截面上彎矩的極值發(fā)生在剪力為零的截面上。記憶：記憶：彎矩圖的開口方向與彎矩圖的開口方向與q(x)指向一致指向一致。 從左向右畫：從左向右畫： PFFS左S左S右S右從左向右畫：從左向右畫： （1）先求約束反力；）先求約束反力；FAFB. kNAF 3 5. kNBF 14 5（2）從左到右作剪力圖；）從左到右作剪力圖；AC段：段：0AMmkN7左CMCB段：段：kN5 . 8SB左SB左F8.5kNBD段：段：0左左SDSDF6kNA點點AF圖向上圖向上ABCD3kN/m3kNm2m4m2mSFxB點點BF圖向上圖向上（3）從左到右作彎矩圖；）從左到右作彎矩圖；AC段：段：

19、7kNmMxm6130AMmkN7左CM（3）從左到右作彎矩圖；）從左到右作彎矩圖；AC段：段：C點點mM圖向下圖向下mkN43C左C左C右C右MMCB段：段：6kNm6.04kNm633 4 26BAMFkN m 由由圖確定圖確定=0的截面位置：的截面位置：xm136BD段：段：0DMD點為頂點點為頂點7kNmMx4kNmFAFB8.5kN6kNABCD3kN/m3kNm2m4m2mSFxABCDaaaqm1.先求約束反力：先求約束反力：FAFBkNAF 35kNBF 150kN2kN15mkN10mkN5mkN15從左到右作剪力圖；從左到右作剪力圖；從左到右作彎矩圖從左到右作彎矩圖MSFxMxFqa114Fqa274qa14qa74241qa245qa223qaa4123249qaSFxMxF1F2ABMqa2Caaaa2Pqaq1.求約束反力；求約束反力；AFBFDFD12AFqa= -qaFB25=qaFD=2.繪制剪力圖繪制剪力圖SFxqa21qa23qaqa3.繪制彎矩圖繪制彎矩圖MxqaFS23=max2qa2max2= qaM221qa22qa221qammFSxxMmFSxm/axMmm4.5 ABC2aaq 連結(jié)點連結(jié)點C C