水文隨機分析學習教案

1、會計學1水文水文(shuwn)隨機分析隨機分析第一頁，共24頁。2022-6-202對（1）式取數學(shxu)期望得：smyxyyttt/4084177 . 8)417400(*514. 0514. 0311t1（預報(ybo)公式） 其實，這是一個(y )期望預報，把隨機變量取為0值（平均值）因此一步預報誤差： )23, 0() 1 () 1 (211NZxxetttt評價誤差作為區(qū)間預報,96. 1)1 (05. 0514. 0),/()1 (xt11txttttxuyuyyyEx已知水文序列作預報。建立水文隨機模型（假如無趨勢及周期）給出預報公式和預報方法。利用現在及過去觀測值作預測，

2、必要時作實時修正。區(qū)間預報，誤差分析，對模型作評定及檢驗。第2頁/共24頁第二頁，共24頁。2022-6-203第二節(jié) 平穩(wěn)線性最小方差(fn ch)預報 對正態(tài)平穩(wěn)(pngwn)系列作l步預報 問題(wnt)：當前時刻k和過去時刻 為已知，需對未來時刻隨機變量 ，可記為 。, 2, 121kkkyyykk序列值為)(, 2 , 1,正整數作出預報clylk)(lyk所謂平穩(wěn)線性最小方差預報定義為： min)(2lyyEklk已知且為條件由于期望值必須是,)(1kklkkyyyly),/()(1kklkkyyyEly水文變量 )()()(常數xkklylx第3頁/共24頁第三頁，共24頁。20

3、22-6-204一、ARMA（p、q）序列(xli)差分形式公式：離均化 ARMA（p、q）模型(mxng)qlkqlRlkplkplklklkqtqtttptptttyyyylktyyyy11221122112211把兩端取數學期望(qwng)（條件）),/(),/()/(),/()(22111kplkpklkklkkklkkyyEyyEyyEyyyEly)()()(11qlkqlklkEEE0)()2() 1(21plylylykpkk當MA(0,q)模型時，如 ( )0klqy l當為AR（p）模型時，將在后面作介紹。第4頁/共24頁第四頁，共24頁。2022-6-205二、ARMA（p

4、、q）序列傳遞(chund)形式預報公式：110(2)cotjtjpqjyZ G殘差為白噪聲1112112231221331122111OjjjjjjGGGGGGGGGGG把上式(2)式中t用 代替(dit)kl0kljkljjyG 0112211( )( )k lk lk llkkGGGGe l 11( )lklkkGGy l第5頁/共24頁第五頁，共24頁。2022-6-2061,0kk l未知 是隨機變量 故其數學期望為上式兩邊(lingbin)取條件數學期望11220(/)( ) ( )k lkklklklkkj lkjjE yyy lGGGy lZ G該公式(gngsh) 11( )

5、,( )()kkk lok llke ly lyGGl項第6頁/共24頁第六頁，共24頁。2022-6-207 三、ARMR（p、q）遞推預報公式（可用于實時(sh sh)修正）對（2）式作一些(yxi)變換，把k改為k+1110111( )(0)kj lkjjokj lkjjylZ GjGG 把這一項提取出來110(1)(1)lkRlik iiG yyGij (2)111(1)(2)1)(1)(1)kokklkkkyGylGyyyl式中第7頁/共24頁第七頁，共24頁。2022-6-208事實上以上(yshng)公式含義： 要做k+1時刻l步預報=在k時刻作l+1步預報值 + （k+1時刻實

6、測值與在k時刻對k+1時刻預測值之差）*權重(qun zhn)系數 。lG 相當于對 時刻作預測時，用誤差來校正 預測值，把這個稱為(chn wi)實時校正（現時校正）。1ky1k ly 1,kly 由1ky預測如2ky21111(1)()(1)(2)kkkkkyyyyy 顯然在 時刻預測 比用 預測 效果要好，用了誤差校正。 1k2kyky2ky第8頁/共24頁第八頁，共24頁。2022-6-209預報誤差（評定(pngdng)與檢驗）1221222221()01()110.900.70.90.69,0.5NiiiNiiiBxxBNMSExxNMSERSxRSR 平均偏移,要求為好是 方差為

7、好為甲等方案乙等丙等方案合格率（允許(ynx)相對誤差范圍內如20%）合格率85%，甲等； 70%-84%，乙等；60%-69%，丙等（枯季徑流允許(ynx)誤差30%，每日徑流20%）第9頁/共24頁第九頁，共24頁。2022-6-20102222121( )(1)klVar eeGGG222/2121 ( )1klylUGGG如 區(qū)間(q jin)估計。/21(1)klyU第10頁/共24頁第十頁，共24頁。2022-6-2011第三節(jié) AR（p）序列(xli)預報12( )(1)(2)()kkkpkylylylylp()(0)kk lylyl（一般ARMA(p,q)模型(mxng)有此結

8、果）1211(1)kkkpkpyyyy一步(y b)預報公式 12312(2)(1)kkkkpkpyyyyy(2)l ()lp121( )(1)(2)(1)kkkpkpkypypypyy()lp12( )(1)(2)()kkkpkylylylylp()lp先估計模型參數 p,21第11頁/共24頁第十一頁，共24頁。2022-6-2012 再作一步預報 ，又由 預報 如此遞推可以作l步預測，當然(dngrn)還可以作實時校正預報。) 1 (ky1),1(kkyy)2(kx實例：某站中心化 模型(mxng)已建立（正態(tài)分布假定）(2)AR212120.490.10(0,41.1 )46746.7

9、0.440.11ttttttttxyyyNXyrr384291982594081981ttttyxyx求預測1983-1985平均(pngjn)流量。第12頁/共24頁第十二頁，共24頁。2022-6-2013以1982年為k時刻進行(jnxng)預報1211983,(1)0.49*( 38)0.10( 58)12.8 (1)467( 12.8)454(1983429)kkkkyyyx 年 由年實測值偏大121984121984(2)(1)0.49*( 12.8)( 0.10)( 38)2.5 (2)464416)1985(3)(2)(1)()0.1 (3)466.9467(410)kkkkk

10、kkkyyyxxyyylpx 年(實測值年實測值22221210112122221 12 2( )(1)10.490.14(1)41.1arklxVe lGGGGGGGrr區(qū)間(q jin)預報 第13頁/共24頁第十三頁，共24頁。2022-6-20142122121983(1)1.96*41.1(535,373)4295.8%1984(2)1.96*41.1 1(554,374)41611.8%1985(3)1.9641.1 1(557 377)41013.9%kkkxxGxGG實測值實測值，實測值實時(sh sh)校正：以1983年為k+1進行實時(sh sh)校正預報113111984

11、( )(1)(1) (1)( 38( 12.8) (1)25.2(1983429/ ,1982)1984(1),(1)( 2.5)25.214.84528.6%kklkklkklkyly lG yyylGy lGmslyGx 實測值也是與年相同年相對誤差1219851985(2)(3)25.2( 0.1)25.20.143.6463(410)12.9%1984,1985kkyyGx 實測性相對誤差顯然年利用實時校正后和相對誤差較連續(xù)預報要少。第14頁/共24頁第十四頁，共24頁。2022-6-2015門限自回歸(hugu)模型1978年提出H.Tong）（Threshold Autoregre

12、ssive Model） 觀察(gunch)： 10.50.9(1)tttxxAR對這樣生成系列，平穩(wěn)過程，模型生成。其他ttttttNxxx0.3)1 , 0(5.35.39.05.011 這樣生成 不是線性模型生成隨機過程，若生成數據(shj)100年，用線性模型擬合效果較差即殘差相關比較大，不一定獨立，正態(tài)。tx第15頁/共24頁第十五頁，共24頁。2022-6-2016模型(mxng)形成（一般）111222(1)(1)(1)(1)112201(2)(2)(2)(2)112212( )( )( )( )011221,lllottkt ktt dottkt ktt dtllllttkt

13、ktlt dlxxxrxrxxxrxrxxxxrxr 一般(ybn)l取23，不宜取太多了，否則太復雜。 這個模型實際說明了隨機序列是分段線性的，即每個 區(qū)間(q jin)內可用自回歸模型來描述，但這些模型序數在不同區(qū)間(q jin)是不一樣的。tx第16頁/共24頁第十六頁，共24頁。2022-6-2017建模：已知 )(,21年數據NxxxN 當用傳統(tǒng)線性模型建模時發(fā)現(fxin)，獨立性差，或預測精度較差，則可以考慮用門限自回歸模型來建模，（當然還應考慮是否在成因上做分段線性門限值？）據以上(yshng)模型 ),(21eRkkedSETAR 采用以上(yshng)已知數據 ，來辯認模型

14、參數步驟如下：nx1：令 。分成段，如確定各段自回歸階數 ，L為逐段自回歸允許最大階數，這里都認為各段有相同L值。 max( , )odlnd L與 固定,假定已知。記eRRR21第17頁/共24頁第十七頁，共24頁。2022-6-2018把實數軸分成(fn chn)l個區(qū)間0minrx3r2r1rmaxxrl1lr一般(ybn)是預報值取為 max30%,40%,50%,60%,70%mimxx 的上的點10minmaxmin234()0.3()0.40.50.6ooorr xxxrrrrrr如這樣(zhyng)可以把 取值區(qū)間分l成個。tx對于已知 觀察分析動態(tài)數據中在不同區(qū)間個數（以排在

15、 開始統(tǒng)計），如L=3，d=1，從 開始統(tǒng)計在不同區(qū)間個數。nxxx,2, 101ndx3x第18頁/共24頁第十八頁，共24頁。2022-6-2019記第一個區(qū)間(q jin)N1個第二個區(qū)間(q jin)N2個 1ljojNNn第l個區(qū)間(q jin)Nl個設動態(tài)數據中有：1112112122221201121, , , , lllNlno d ino d ino d i Nno d ino d ino d i Nno d ino d ino d illxxxr rxxxr rxxxrr 落在落在落在對于第一段線性自回歸模型具體形式已知：第19頁/共24頁第十九頁，共24頁。2022-6-

16、202011111(1)111111111110(1)12121212111211011112(1)122(1)(1)112nonononononononononoknoiNnoNnoNnNnoxixixixikixixixixikixixixixik 11Ni用最小二乘法(chngf)可求出 (1)(1)(1)011(,)k 不是連序 不好用矩法估計可以(ky)想象，給定以上一組系數則可求出一組殘差 及其殘差平方和 1(1)11,2,jno ijN112(1)(1)(1)011minjNkno ijRSS 使得參數，即可得第一段自回歸模型，其他 段求法一致。顯然(xinrn)不同 1l 1R

17、 則可求不同系數。第20頁/共24頁第二十頁，共24頁。2022-6-20212、對于(duy)固定 0121, , ,lld Lr r rrrAIC及用準則確定估計121111111,( )( )ln2(1)(,1,1,2,)lk kkRss kAIC kNkN KjjlN 改為即為一般情況RSS( k1 )為第1個模型殘差平方和（最小二乘法估計參數）顯然k1 愈大，則殘差愈小，但AIC考慮懲罰因子 則第二項大，故找到 。其他(qt)段的自回歸模型階數一樣估計。 ) 1(1KZ111()minAIC kkk對應的 即可估計第21頁/共24頁第二十一頁，共24頁。2022-6-20223、固定(gdng) 121 , ,ld L lr rr估計門限值1211( , , , )()lolljjAIC d l r r rrrAIC K11(, , ,)olAIC d l r rr能使得上式達到(d do)最少的即為門限值 12 , ,olr r rr4、估計值AIC（ ）121121 , , ,min( , , ,)lld l r rrAIC d l r rr,olrr忽略不寫2,3l