控制系統(tǒng)的根軌跡分析法

1、Monday, June 20, 20221第五節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法Monday, June 20, 20222 利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正v 由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點的位置；v 分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；v 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；v 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；v 對系統(tǒng)進(jìn)行校正。Monday, June 20, 20223一、 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 例4-11：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：) 14 . 1)(6)(4()42()(22sssssssksGgk試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時 的取值范圍。gk 開環(huán)極點：0，-4，-6， ，零點：714.

2、 07 . 0j732. 11j 實軸上根軌跡區(qū)間： 0 , 4),6,( 漸進(jìn)線：與實軸的交點：13. 3324 . 164mnzpii,3) 12(mnk傾角：解根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：046Monday, June 20, 20224 分離角（點）：2d22)(, 42)(2ssNsssNssssssD246 .43394 .11)(2345242 .871176 .455)(234sssssD3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50 sgdk 的最大值為9.375，這時s=-2.5，是近似分離點。gdk由：

3、dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(可以求得分離點。近似求法：分離點在-4，0之間。Monday, June 20, 20225 入射角：1032 與虛軸的交點（略）。這時的增益值：195,64,14gpk64gk64gk14gk14gk195gk195gk由圖可知：當(dāng) 和 時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什？）；當(dāng) 時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。140gk19564gk6414195ggkk和左圖是用Matlab工具繪制的。Monday, June 20, 20226條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。v 具有正反饋的環(huán)節(jié)。 下面的系統(tǒng)就是條件

4、穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：v 開環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；Monday, June 20, 20227例非最小相位系統(tǒng)： ，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的增益值。)2)(1()(ssksGgk解：根軌跡如右：有閉環(huán)極點在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點在原點。該點的增益臨界值為 。gpk閉環(huán)特征方程為： ，當(dāng)s=0時， ，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：022gkss2gpk2gkMonday, June 20, 20228二、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定 利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為

5、例：開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2sssGnk閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222)(nnnsss共軛極點為：nnjs22, 11在s平面上的分布如右圖：nnj21閉環(huán)極點的張角 為：1222cos,)()1(cosnnn所以 稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。Monday, June 20, 20229 我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點的關(guān)系如下：%100%100%21ctgee)(33為極點實部nst若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：3%sctgte和nnj21 的關(guān)系如下圖和%0306090020406080100%Monday, June 20, 202

6、210上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)中。如下例：例4-12單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量 ，試確定開環(huán)放大系數(shù)。)6)(4()(sssksGgk%18% 解：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點為+j5,-j5，這時的臨界增益 當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 240gpk240gkABMonday, June 20, 202211下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：%,100%1ctge當(dāng) 時解得： %18% 60 這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著 的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計算。gk在根軌跡圖上畫兩條與

7、實軸夾角為 的直線，與根軌跡交與A、B兩點。 則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點，這時系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過求A、B兩點的坐標(biāo)，可以確定這時的根軌跡增益 ，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。60gk046A123j設(shè)A點坐標(biāo)為： ，則：j360 tg（1）相角條件為：3216412011tgtg（2）Monday, June 20, 202212由(1)，(2)式解得：08. 2, 2 . 1共軛主導(dǎo)極點： 。08. 22 . 12, 1js計算對應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：1)6)(4(08. 22 . 1jsgsssk解得：44gknjjmiiksTsksG11) 1() 1()(開環(huán)傳遞函數(shù)以

8、的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然 的關(guān)系為： ，式中 不計0極點。gkk與jigpzkkjp所以，開環(huán)放大系數(shù)：83. 16444k 由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：6 . 73 pMonday, June 20, 202213例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為22)4() 1()(ssKsGgk畫出根軌跡;能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量%5%的要求？能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts2秒的要求？能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp10的要求？解：畫根軌跡實軸無根軌跡漸近線 2.5，=45, 135與虛軸交點=2，Kgp=100Monday, June 20, 202

9、214-8-7-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234Monday, June 20, 202215能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量%5%的要求？當(dāng)取阻尼角為45的主導(dǎo)極點時， %5%的要求。由根軌跡可見阻尼角為45的線與根軌跡相交，可求得主導(dǎo)極點為s=0.8+0.8j，另一對極點為s=4.2+0.8j相差5.25倍，滿足主導(dǎo)極點的要求。能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts2秒的要求？能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp10的要求？要求ts2秒，即要求3/2， 1.5。由根軌跡可知主導(dǎo)極點的實部1，所以不能通過選擇Kg滿足ts2秒的要求。所以不能通過選擇Kg滿足Kp10的要求。25.

10、 616)(lim0gpkspKsGKMonday, June 20, 202216特別提示特別提示：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。q 一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時間。) 1()(ssksGgk)2)(1()(sssksGgkMonday, June 20, 202217)3)(2)(1()(ssssksGgMonday, June 20, 202218q 若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時間。) 1(2)(ssssGk) 1() 12)(12(

11、)(ssjsjssGkMonday, June 20, 202219Matlab參考書推薦：q 現(xiàn)代控制工程，美Katsuhiko Ogats,盧伯英譯， 電子工業(yè)出版社q MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計，歐陽黎明著， 國防工業(yè)出版社三、用Matlab繪制根軌跡Monday, June 20, 202220num=0 0 0 1;%開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降冪排列den=1 3 2 0; %開環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降冪排列r=rlocus(num,den);例子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試?yán)肕atlab畫出系統(tǒng)的根軌跡。)2)(1(1)(ssssGk解打開Matlab,創(chuàng)建一個m文件，輸入下列程序片段

12、：執(zhí)行之，可得到根軌跡。Monday, June 20, 202221例4-13已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。 331sssksG1365. 6732. 1 j732. 1 j解：（1）畫根軌跡：Monday, June 20, 202222q 求出射角： ，得 。 該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點 -1處；另兩條從原點以 的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。121801k180,60160q 會合分離點：由方程 得 解得 在根軌跡上，因此是會合點。 不在根軌跡上，舍去。 0sDsNs

13、DsN0982 ss65. 242, 1s65. 61s35. 12sMonday, June 20, 202223q 求與虛軸交點 系統(tǒng)特征方程為 勞斯表為當(dāng) 時，由輔助方程 ，可求出根軌跡與虛軸的交點為 。（2）由勞斯表可知當(dāng) 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬型系統(tǒng)，型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。03423kksksskskskksks3034341012343k032 kks3j43kMonday, June 20, 202224q 畫根軌跡 分離（會合）點分別為-2.93和-17.07，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-14已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)

14、傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當(dāng)增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點。 510sssksG21Monday, June 20, 202225q當(dāng) 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得由圖可知當(dāng) 時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155jMonday, June 20, 202226q 對于分離點 ，由幅值條件可知 對于會合點 ，有 由根軌跡圖可知

15、，當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.2945Monday, June 20, 202227q 由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為 。55jMonday, June 20, 20

16、2228例4-15：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個等于1的閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。Monday, June 20, 202229系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為： 211211211222sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB 212sssksG 122sksssD解：由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：Monday, June 20, 2

17、02230由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為： 。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為： ，反饋通路傳遞函數(shù)為： 。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為： ，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(a) A系統(tǒng)1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(b) B系統(tǒng) 根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點都相同，但閉環(huán)零點卻不一定相同。 Monday, June 20, 202231例4-16:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)

18、傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。 Monday, June 20, 202232解： 由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 62ssksG ksskkssks6622單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示：加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開環(huán)零點。在系統(tǒng)中加入零點后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 62ssasksG90026aa60 a 當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個零點，此時：這時漸近線與實軸的夾角為： ，只要漸近線與負(fù)實軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。Monday, June 20, 202233 從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。 a6時，根軌跡有一部分在s右半平面。clear all;num1=0 0 1 3;den1=1 6 0 0