線性代數(shù)6.1特征值與特征向量

1、第第6章章 矩陣相似對角化矩陣相似對角化6.4 實(shí)對稱矩陣的對角化實(shí)對稱矩陣的對角化6.2 相似矩陣與矩陣的對角化相似矩陣與矩陣的對角化6.3 向量空間的正交性向量空間的正交性6.1 特征值與特征向量特征值與特征向量6.1 特征值與特征向量特征值與特征向量6.1.1 特征值與特征向量的定義特征值與特征向量的定義6.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)這一章主要討論：對一個這一章主要討論：對一個 ，如何求，如何求一個可逆的一個可逆的 具有盡可能簡具有盡可能簡單的形式。即矩陣相似化簡的問題，這是在矩單的形式。即矩陣相似化簡的問題，這是在矩陣?yán)碚摵凸こ碳夹g(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用的一個陣?yán)?/p>

2、論和工程技術(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用的一個問題。問題。An階階方方陣陣APPPn1 ，使使階階方方陣陣說明：說明：1.1.特征值針對方陣有意義，特征向量是非零向量；特征值針對方陣有意義，特征向量是非零向量；2.2.一個特征值對應(yīng)著無窮多個特征向量一個特征值對應(yīng)著無窮多個特征向量( (不唯一不唯一) )；3.3.一個向量最多是一個特征值的特征向量。一個向量最多是一個特征值的特征向量。6.1.1 特征值與特征向量的定義特征值與特征向量的定義定義定義6.1 設(shè)設(shè)A是是n階矩陣，如果存在數(shù)階矩陣，如果存在數(shù) 及非零列及非零列向量向量 ，使得，使得A =，則稱則稱 是矩陣是矩陣A的一個特征值，的一個特征值，

3、稱為稱為A的屬于特的屬于特征值征值 的特征向量。的特征向量。例例如如 設(shè)設(shè) ，由于，由于 ，故，故 300030003AIA3 任取任取 ，有，有3)0(RX XXIAX33 由定義由定義1，數(shù)，數(shù)3是是 的特征值，任意一個三維非的特征值，任意一個三維非零向量都是零向量都是 的對應(yīng)特征值的對應(yīng)特征值3的特征向量。的特征向量。滿足滿足A=kIn的矩陣的矩陣A稱為數(shù)量矩陣。稱為數(shù)量矩陣。AA例例 6.2 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A滿足滿足A2 =A 證明證明A的特征的特征值為值為1或或0。證明證明 設(shè)設(shè)A 的特征值為的特征值為 ，則存在非零向量則存在非零向量 ,使使A =,故故=A = A2 =A(A

4、)= A = 2 ,故故( 2- ) =0,由由0，故，故 2- =0，即，即 =0或者或者 =1. 對一般的方陣對一般的方陣A而言，而言，Ax= x 是絕大多數(shù)非零是絕大多數(shù)非零向量難以滿足的方程，僅從矩陣向量難以滿足的方程，僅從矩陣A不容易直接不容易直接看出它的特征值和特征向量。為此，將定義中看出它的特征值和特征向量。為此，將定義中的的A =變形為：變形為： ( I-A) =0則上述齊次線性方程組有非零解的充要條件是則上述齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即系數(shù)行列式為零，即特征值和特征向量的計(jì)算特征值和特征向量的計(jì)算若若A是一個是一個n階不可逆矩陣，則線性方程組階不可逆矩

5、陣，則線性方程組Ax=0有非零解有非零解x0 。 故不可逆矩陣必有零特征值故不可逆矩陣必有零特征值 。0 AI 記記nnnnnnnnnnbbbaaaaaaaaaAIf 111212222111211)(稱稱 的特征多項(xiàng)式。的特征多項(xiàng)式。 AAIf為矩陣為矩陣 )( )0fIA稱為矩陣稱為矩陣A的特征方程的特征方程定理定理6.1 設(shè)設(shè) 是是 階矩陣，則階矩陣，則 An（1） 0為為 的一個特征值當(dāng)且僅當(dāng)?shù)囊粋€特征值當(dāng)且僅當(dāng) 是是 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式A0 AAIf )(的一個根；的一個根；（2） 為為 的屬于特征值的屬于特征值 的一個特征向量當(dāng)且僅當(dāng)?shù)囊粋€特征向量當(dāng)且僅當(dāng) A0 為齊次線性方

6、程組為齊次線性方程組 的一個非零解。的一個非零解。 0)(0 xAI 因?yàn)橐驗(yàn)閒( )是是n次多項(xiàng)式，它在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有次多項(xiàng)式，它在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有n個根，個根，它們就是矩陣它們就是矩陣A在復(fù)數(shù)域內(nèi)的在復(fù)數(shù)域內(nèi)的n個特征值，即有個特征值，即有求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;,0det . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AAIn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是對對應(yīng)應(yīng)于于的的非非零零解解求求齊齊次次方方程程組組對對于于特特征征值值iiixAI 1計(jì)算矩陣計(jì)算矩陣A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式例例6.16.1求

7、求 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 466353331A解解 )4()2(4663533312 AI由由 ，得，得0 AI 42321 ，當(dāng)當(dāng) ，即，即 0)2(221 XAI時，時， 000666333333X則則r(A)=1，同解方程為，同解方程為 ，分別以，分別以 0321 xxx代入得解代入得解TTTxx)1,0(,)0,1(),(32 TTkkX），），101(011(211 因此，上式在因此，上式在 關(guān)于關(guān)于 的全體特征向量。的全體特征向量。Akk時給出時給出不同時為不同時為與與0212 此時的此時的 二重根，基礎(chǔ)解系中有兩個二重根，基礎(chǔ)解系中有兩個解解A是是2 TT），

8、），101(011( 為為時，（時，（當(dāng)當(dāng)0)443 XAI 000066393333X同樣可求解得同樣可求解得 TkX）， 211( 440 的全體特征向量。的全體特征向量。關(guān)于關(guān)于給出給出Ak只對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量只對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量 。 T）， 211(例例6.2 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。110010002A解解2-110010( -1) (2)00-2IA12312，由由 ，得，得0IA當(dāng)當(dāng) ，即，即121()0IA X時，010000000010X 則則r(I-A)=2，求解得基礎(chǔ)解系為，求解得基礎(chǔ)解系為屬于特征值屬于特征值1的全部特征向量

9、為的全部特征向量為1 111(1 0 00Tkkk，）1=(1 0 0T，）從以上的例子可以看出從以上的例子可以看出，A 的一個特征值對應(yīng)的一個特征值對應(yīng)有無窮多個特征向量，那么，有無窮多個特征向量，那么，A的一個重特征的一個重特征值有多少個線性無關(guān)的特征向量值有多少個線性無關(guān)的特征向量 ？322)0IA X當(dāng)時，（為110001000000X 基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為 ，屬于特征值，屬于特征值2的全部特的全部特征向量為征向量為2=(0 0 1)T，222=(0 0 1) ,0Tkk，例例6.3 設(shè)設(shè)A為為n階矩陣，試證齊次線性方程組階矩陣，試證齊次線性方程組Ax=0有非有非零解的充分必要條件是零

10、解的充分必要條件是A有零特征值有零特征值.證證 設(shè)設(shè)Ax=0有非零解，故有非零解，故 A =0，從而，從而 0I-A =0，即，即0是是A的特征值。的特征值。 反之，設(shè)反之，設(shè)0是是A的特征值，則的特征值，則 0I-A =0，故，故 -A =0，所以所以 A =0，于是齊次線性方程組，于是齊次線性方程組Ax=0有非零解。有非零解。 0111aaaAIfnnnA .的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式求求AT解解 AIfTAT TAI ( )AIAf.有完全相同的特征值有完全相同的特征值與與從而從而AAT補(bǔ)充例補(bǔ)充例1 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，其特征多項(xiàng)式為階方陣，其特征多項(xiàng)式為定理定理6.2 設(shè)設(shè) 是是n階方

11、陣階方陣A的特征值，對應(yīng)的特征向的特征值，對應(yīng)的特征向量為量為 ，則則6.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)(4)若若 (x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0，則，則 ( )為為 (A)的特征值。的特征值。以上各矩陣特征值對應(yīng)的特征向量與以上各矩陣特征值對應(yīng)的特征向量與A對應(yīng)的特征對應(yīng)的特征向量向量 相同。相同。(1)對正整數(shù)對正整數(shù)m, m是是Am的的的特征值。的特征值。(2)對對非零常數(shù)非零常數(shù)k，k 是是kA 的特征值。的特征值。 (3)若若A可逆，則可逆，則0，且，且1/ 是是A-1 的特征值。的特征值。證明證明 1AA AAA 22A mmA 用數(shù)學(xué)歸納法

12、得用數(shù)學(xué)歸納法得 m是是Am的的的特征值，的特征值， 是是Am對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值 m的特征向量。的特征向量。可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,3 可逆時可逆時當(dāng)當(dāng)A., 1111的的特特征征向向量量對對應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA.), 00, 0(矛矛盾盾，可可得得由由若若 xAx AXX是21,當(dāng)當(dāng) 對應(yīng)于對應(yīng)于 的特征向量時，的特征向量時， 它們的它們的任何非零線性組合：任何非零線性組合： i 的特征向量。的特征向量。 iAXkXk 關(guān)于關(guān)于仍是仍是)0(2211 該性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法推廣為：該性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法推廣為：矩陣矩

13、陣 個特征向量個特征向量 的任何非零線性組合的任何非零線性組合 的特的特征向量。征向量。mAi的的關(guān)于特征值關(guān)于特征值 mXXX,21imiiiAXk 關(guān)于關(guān)于還是還是 10 在此，我們重點(diǎn)關(guān)注矩陣在此，我們重點(diǎn)關(guān)注矩陣 的特征向量的線性的特征向量的線性相相 關(guān)性。關(guān)性。A性質(zhì)性質(zhì)定理定理6.3 設(shè)設(shè) 個特征值為個特征值為 ，則，則naAnnnij的的階方陣階方陣 )(n ,21（1） An 21（2） nnnaaa 221121 證明證明 （1）當(dāng)）當(dāng) 的特征值時，的特征值時， Anii是是，, 2 , 1 的特征多項(xiàng)式可表示為：的特征多項(xiàng)式可表示為： AnnnnnnAI 2112121)1

14、()()()()( nnnnAAA 2121|)1(|)1(0 ，得，得令令（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)閚nnnnnaaaaaaaaaAI 212222111211的行列式展開式中，主對角線上元素的乘積是的行列式展開式中，主對角線上元素的乘積是其中一項(xiàng)：其中一項(xiàng)：)()(2211nnaaa 由行列式定義由行列式定義 ， 展開式中的其余項(xiàng)至多包含展開式中的其余項(xiàng)至多包含 個主對角線上的元素，因此特征多項(xiàng)式個主對角線上的元素，因此特征多項(xiàng)式中含中含 的項(xiàng)只能在主對角線元素乘積項(xiàng)的項(xiàng)只能在主對角線元素乘積項(xiàng)中出現(xiàn)，故可以有中出現(xiàn)，故可以有2 n1 nn 與與AaaaAInnnnn)1()(12211 將它與前面

15、一式比較，即得：將它與前面一式比較，即得： niiiniia11 這也稱為方陣這也稱為方陣 ，即，即 )(AtrA的跡，記為niiiniiaAtr11)(推論推論6.16.1 n n階方陣階方陣A A可逆的充要條件是可逆的充要條件是A A的的n n 個特征值個特征值 均非零均非零.證明證明定理定理6.4設(shè)設(shè) 1, 2, m是是n階矩陣階矩陣A的的m個互不相同的個互不相同的特征值，特征值， 1 , 2, m為與其對應(yīng)的特征向量，則為與其對應(yīng)的特征向量，則 1 , 2, m線性無關(guān)線性無關(guān). 注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向

16、量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值 即有即有的特征向量的特征向量的的的屬于特征值的屬于特征值同時是同時是如果設(shè)如果設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)?2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x則則.與與定定義義矛矛盾盾121212121212 ,.6.4ststA 設(shè)是方陣 的兩

17、個不同的特征值與分別對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量，則線推性無關(guān)論1(1,1,1) ,(1,1,2,1)1.TTAnAXA設(shè) 是 階方陣，各行元素之和都是 ，證明必有一組解，或必有特補(bǔ)征值充例.AXAX),(XxaxaxaxaxaxaxaxaxaTnnnnnnnnn1111111221122221211212111有特征值有特征值，則，則即即，所以有一組解所以有一組解證：證： ., 0det,2, 0A3Idet :4 2 的一個特征值的一個特征值求求滿足條件滿足條件階方陣階方陣設(shè)設(shè) AAIAAAT1 設(shè)三階方陣設(shè)三階方陣 的三個特征值分別為的三個特征值分別為2,3,7，求行列式求行列式 。AIA 563363616115 IA1.1.解解 當(dāng)當(dāng) 的特征值時，知的特征值時，知 )5()5()15(IAIAi 矩陣矩陣的特征值，即的特征值，即為