介觀化學(xué)體系中的動力學(xué)尺度效應(yīng)

1、介觀化學(xué)體系中的動力學(xué)尺度效應(yīng)侯中懷 辛厚文 通訊聯(lián)系人 Email:hxin中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)化學(xué)物理系 安徽合肥 230026摘要：以生命和表面催化體系為對象，研究了介觀化學(xué)體系中，內(nèi)漲落對體系非線性動力學(xué)行為的調(diào)控作用。發(fā)現(xiàn)內(nèi)漲落可以誘導(dǎo)隨機振蕩，其強度在體系處于最佳尺度時會出現(xiàn)一個甚至多個極大值，并且在耦合體系中會得到進(jìn)一步增強，表現(xiàn)為尺度共振效應(yīng)，尺度選擇效應(yīng)和雙重尺度效應(yīng)，揭示了介觀化學(xué)體系中尺度效應(yīng)的新機制。一 引言近年來，隨著化學(xué)研究的對象向生命和納米體系的深入，介觀化學(xué)體系動力學(xué)規(guī)律的研究，已成為受到廣泛關(guān)注的前沿課題。按照傳統(tǒng)的宏觀反應(yīng)動力學(xué)理論，體系的狀態(tài)隨著時間的演化規(guī)律

2、，可以用如下的確定性方程來描述1,2： (1.1)，其中表示第i種物質(zhì)在t時刻的分子數(shù)目。但是當(dāng)體系的尺度V小到介觀尺度時，體系的內(nèi)漲落顯著增長，此時已成為離散的隨機變量，宏觀確定性方程(1.1)不再有效，體系狀態(tài)的演化需要用隨機動力學(xué)方程來描述3,4。化學(xué)體系在遠(yuǎn)離平衡的條件下，由體系中非線性過程的作用,可以形成化學(xué)振蕩，化學(xué)波，化學(xué)混沌等多種非線性動力學(xué)行為。在生命體系和表面催化等復(fù)雜化學(xué)體系中，實驗上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了大量的非線性動力學(xué)行為的例子，如CO在單晶催化劑表面的反應(yīng)速率振蕩5，合成基因網(wǎng)絡(luò)中的蛋白質(zhì)濃度振蕩6，細(xì)胞內(nèi)及細(xì)胞間鈣離子濃度的振蕩7，納米粒子催化劑表面的反應(yīng)速率振蕩等8。這些

3、非線性化學(xué)現(xiàn)象，對于表面催化和生命體系的實際功能，如基因表達(dá)、鈣信號的傳遞、催化活性和選擇性等，有著重要的調(diào)控作用。傳統(tǒng)上，對這些化學(xué)振蕩行為都是用形如(1.1)的宏觀確定性方程來描述。但是如前所述，對于亞細(xì)胞水平以及納米粒子表面進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)，宏觀確定性方程不再適用，而應(yīng)當(dāng)代之以介觀層次的隨機動力學(xué)方法。最近，生命和表面催化體系中內(nèi)漲落效應(yīng)的研究已開始受到越來越多的關(guān)注，并且已經(jīng)取得了一些重要的成果。在生命體系，特別是基因表達(dá)過程中，由于參與反應(yīng)的分子數(shù)目非常少，內(nèi)漲落的效應(yīng)尤其受到重視9-17。正如Mcadams等指出，基因表達(dá)過程“由噪聲說了算(Its a noisy business)

4、”9。這種“噪聲”既有內(nèi)在根源，即來自于基因自身轉(zhuǎn)錄和翻譯過程的化學(xué)反應(yīng)內(nèi)漲落，也有外在原因，即由細(xì)胞中其他組分的濃度或狀態(tài)的漲落所引起10。目前，人們主要是通過實驗11和理論12的方法，研究基因表達(dá)過程中內(nèi)漲落的起源，表征及其效應(yīng)13。例如，研究表明原核生物基因表達(dá)產(chǎn)物的內(nèi)漲落主要由翻譯過程決定16，而真核生物的表達(dá)過程中翻譯和轉(zhuǎn)錄過程都有貢獻(xiàn)17。另外，由于生理時鐘振蕩在分子水平上是由基因表達(dá)過程調(diào)控的18，因此內(nèi)漲落對生理振蕩的影響同樣受到關(guān)注。例如人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，一旦體系的內(nèi)漲落太大，則生理振蕩已經(jīng)失去意義19，從而為了抵制內(nèi)漲落，對生理振蕩的機制提出了更高的要求20；但同時人們又發(fā)現(xiàn)，

5、某些情況下內(nèi)漲落又有可能誘導(dǎo)產(chǎn)生生理振蕩，使得內(nèi)漲落的效應(yīng)更加復(fù)雜21。在表面催化體系中，當(dāng)涉及到非常小的尺度時，參與反應(yīng)的分子數(shù)目較少，內(nèi)漲落也可能起到重要的影響。如在鉑電極的場發(fā)射針尖區(qū)域，人們發(fā)現(xiàn)內(nèi)漲落可以誘導(dǎo)CO的氧化過程在活性和非活性兩種狀態(tài)間的轉(zhuǎn)變22；在Pt(111)表面H2催化氧化體系中時空自組織現(xiàn)象的研究中，Ertl等指出必須考慮到內(nèi)漲落的影響，才可能定量地解釋實驗上觀測到的結(jié)果23；而在納米粒子表面催化過程的研究中，Peskov等指出4納米和10納米粒子表面反應(yīng)速率振蕩表現(xiàn)出的明顯差別，正是內(nèi)漲落對體系作用的結(jié)果24,25，等等。在最近的工作中，我們利用化學(xué)主方程和化學(xué)朗之

6、萬方程等隨機動力學(xué)理論和方法，系統(tǒng)地研究了表面和生命等介觀化學(xué)體系中化學(xué)振蕩等非線性動力學(xué)行為與體系尺度之間的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)，由于內(nèi)漲落與體系非線性動力學(xué)機制的相互耦合作用，可導(dǎo)致三種類型的動力學(xué)尺度效應(yīng)：尺度共振效應(yīng)26-33，尺度選擇效應(yīng)34,35和雙重尺度效應(yīng)36，這些發(fā)現(xiàn)給出了介觀尺度效應(yīng)的一種新機制。本文首先對于我們所使用的隨機動力學(xué)理論和方法作簡要的綜述，然后結(jié)合具體的介觀化學(xué)體系，系統(tǒng)地闡述我們所得到的各類介觀體系的動力學(xué)尺度效應(yīng)。二 介觀隨機動力學(xué)理論和方法1 化學(xué)主方程(Chemical Master Equations：CME)若用表示當(dāng)初始時刻時，反應(yīng)體系t時刻的概率，則

7、隨著時間演化，可由如下形式的化學(xué)主方程來描述3： (2.1)式中右端方括號內(nèi)第1項表示體系經(jīng)過化學(xué)反應(yīng)到達(dá)狀態(tài)的概率，第2項表示體系處于狀態(tài)時發(fā)生反應(yīng)的概率。在(2.1)式中的表示反應(yīng)中分子數(shù)目的改變，表示在體積V內(nèi)反應(yīng)發(fā)生的概率，可稱之為趨勢函數(shù)(propensity function)，它的具體形式取決于反應(yīng)的表達(dá)式。若取反應(yīng)為，則有，其中為反應(yīng)概率速率常數(shù)，它與通常的確定性反應(yīng)速率常數(shù)之間滿足。一般地，對于形如() 的反應(yīng)，有37 (2.2)而與確定性反應(yīng)速率常數(shù)之間滿足如下關(guān)系式： (2.3)特別是當(dāng)反應(yīng)分子數(shù)都很大時，從(2.2)及(2.3)可得到 (2.4)在后面的敘述中，為方便起

8、見，我們有時也簡單地用反應(yīng)速率來代表趨勢函數(shù)。2 隨機模擬方法(Stochastic Simulation Algorithm: SSA)37由于化學(xué)主方程只有在極少數(shù)的情況下才能解析求解，Gillespie以此方程為理論基礎(chǔ)，建立起一種隨機模擬方法。這種方法在隨機化學(xué)動力學(xué)的研究中得到了廣泛應(yīng)用，特別是在近年來，在亞細(xì)胞水平反應(yīng)體系，如基因表達(dá)、鈣振蕩等體系的研究中備受關(guān)注。為了模擬化學(xué)反應(yīng)的進(jìn)行，必須要回答如下兩個問題：相繼發(fā)生的是哪一步反應(yīng)和該反應(yīng)在什么時候發(fā)生。為此，可以定義“下一步反應(yīng)密度函數(shù)” (next-reaction density function)，它表示在時，下一步反應(yīng)

9、在內(nèi)發(fā)生，且為反應(yīng)的概率。可以證明16，隨機數(shù)對滿足如下聯(lián)合概率分布： (2.5)其中為當(dāng)前時刻所有反應(yīng)的趨勢函數(shù)之和。為了產(chǎn)生滿足(2.5)式分布的隨機數(shù)對，Gillespie提出了如下算法：(1) 隨機產(chǎn)生兩個間均勻分布的隨機數(shù)及；(2) 計算，??；(3) 取j為滿足的最小整數(shù)。Gillespie所提出的上述算法很容易計算機編程實現(xiàn)：按此算法產(chǎn)生后，進(jìn)行第j步反應(yīng)，即，并更新時間；然后再按算法產(chǎn)生新的，如此往復(fù)進(jìn)行。3 化學(xué)朗之萬方程(Chemical Langevin Equation: CLE)38盡管SSA方法得到了廣泛應(yīng)用，但存在一個嚴(yán)重缺陷：太耗機時。尤其是當(dāng)參與反應(yīng)的分子數(shù)目很

10、多時，SSA方法非常慢，基本不可行。為了解決這個問題，Gillespie先后發(fā)展了一系列優(yōu)化的、快速的近似方法。他們證明，當(dāng)體系存在一個“宏觀無限小(Macro-infinitesimal)”的時間尺度時，體系動力學(xué)狀態(tài)的演化可以用如下的化學(xué)朗之萬方程來描述： ， (2.6)其中表示M個時間上獨立無關(guān)的正態(tài)分布的隨機數(shù)，其均值為0，方差為1；為前面提到的宏觀無限小的時間尺度：在時間間隔內(nèi)，一方面所有的反應(yīng)已經(jīng)發(fā)生多次，另一方面所有的趨勢函數(shù)均相對改變很小。當(dāng)體系的尺度V很大時，參與反應(yīng)的分子數(shù)目很多，這樣的條件常?？梢缘玫綕M足。因此CLE在體系尺度較大時是對SSA方法一個很好的近似。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的

11、Markov隨機過程理論，方程(2.6)等價于如下形式的標(biāo)準(zhǔn)朗之萬方程4： (2.7)其中，為時間無關(guān)的高斯白噪聲，滿足 (2.8)從(2.3)式及趨勢函數(shù)的定義我們可以看到，正比于體系的尺度V。將方程(2.7)兩邊同除以V，我們得到 (2.9)其中，即為第i種分子的濃度，而(2.9)式給出了濃度隨時間的隨機演化方程。(2.9)中右端第1項不含隨機數(shù)，它包含了濃度隨時間變化的確定性信息；而第2項是完全隨機的，它給出了化學(xué)反應(yīng)的內(nèi)漲落對體系動力學(xué)行為的影響，我們可稱之為“內(nèi)漲落項”。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)漲落項中不僅包含隨機數(shù)，而且是和每步反應(yīng)的特征相互耦合在一起的。因此，化學(xué)朗之萬方程清晰地給出

12、了化學(xué)反應(yīng)的內(nèi)漲落的特征。特別地，內(nèi)漲落項的大小與成正比，因此當(dāng)時，內(nèi)漲落項可以忽略，我們得到 (2.10)而這正是宏觀確定性方程(1.1)的具體形式。4 方法39當(dāng)體系尺度較大時，為了提高模擬的速度，還可以采用近似方法。與隨機模擬方法SSA不同，方法并不跟蹤每步反應(yīng)的發(fā)生，而是隨機地確定在接下來的時間間隔內(nèi)，每步反應(yīng)所發(fā)生的次數(shù)?？梢宰C明39，當(dāng)滿足所謂的“跳躍(leap)”條件,即足夠小使得所有的趨勢函數(shù)并不發(fā)生顯著的改變時，滿足泊松分布，即： （2.11）其中，表示均值與方差均為的泊松隨機數(shù)。方法的程序?qū)崿F(xiàn)并不困難：(1) 選擇合適的跳躍時間，計算，根據(jù)式(2.11) 隨機產(chǎn)生；(2)計

13、算每種分子數(shù)目的變化：；(3) 更新分子數(shù)目：；(4) 重復(fù)步驟(1)到(3)，當(dāng)然跳躍時間保持不變。顯然，在跳躍條件得到滿足的條件下，跳躍時間越大則模擬速度越快。在體系尺度很大從而參與反應(yīng)的分子數(shù)目很多時，方法可以很好地模擬體系的反應(yīng)動力學(xué)行為。還可以證明，對于大的體系，方法和化學(xué)朗之萬方程實際上是相互一致的。綜上所述，對于介觀化學(xué)反應(yīng)體系，由于內(nèi)漲落的作用不可忽視，體系的動力學(xué)行為必須用隨機過程的理論方法來研究。當(dāng)體系的尺度較小時，隨機模擬方法SSA可以給出精確的結(jié)果；而當(dāng)體系尺度較大時，SSA方法基本不可行，此時可以采用及CLE的近似方法來研究。與方法相比，CLE給出了內(nèi)漲落項的具體表達(dá)

14、形式，明確了內(nèi)漲落與體系的尺度、狀態(tài)及控制參量間的關(guān)系，因此物理概念更加清晰。在我們的工作中，我們將主要采用CLE方法作為主要手段，而用SSA和方法來驗證CLE方法的可行性。三 尺度共振效應(yīng)化學(xué)振蕩是一種非常重要的非線性化學(xué)動力學(xué)行為。前面已經(jīng)提到，生命和表面催化等復(fù)雜化學(xué)體系中，實驗上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了大量的化學(xué)振蕩現(xiàn)象5-8，它們對實際體系功能的實現(xiàn)有重要作用。傳統(tǒng)上，對這些化學(xué)振蕩行為都是用形如(1.1)的宏觀確定性方程來描述。隨著控制參量，如溫度、壓強、流速等的變化，體系的動力學(xué)行為會發(fā)生分岔，而化學(xué)振蕩常常是Hopf分岔的結(jié)果。但對于亞細(xì)胞水平以及納米粒子表面進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)，方程(1.1)不

15、再適用，我們需要采用隨機模擬、化學(xué)朗之萬方程等隨機方法。1 一般化學(xué)振蕩體系中的尺度共振效應(yīng)27由于化學(xué)振蕩是一種時間規(guī)則的行為，因此一個重要的問題是：內(nèi)漲落如何影響介觀化學(xué)振蕩行為呢？由于內(nèi)漲落的大小依賴于體系的尺度V，內(nèi)漲落的影響同時也反映了體系尺度對振蕩行為的影響。為了研究這個問題，我們首先選擇了一個一般的化學(xué)振蕩模型：布魯塞爾子(Brusselator)。布魯塞爾子最早是由普里高津提出的假想的化學(xué)反應(yīng)模型，用以闡述他所提出的耗散結(jié)構(gòu)理論1。布魯塞爾子包含如下的基元反應(yīng)過程： (3.1)相應(yīng)的宏觀確定性方程如下： (3.2)其中，x和y分別表示X和Y分子的濃度。方程(3.1)的穩(wěn)態(tài)解給出

16、。定義，則在時，由(3.2)定義的動力學(xué)方程發(fā)生Hopf分岔；當(dāng)時出現(xiàn)化學(xué)振蕩，而當(dāng)時體系最終會穩(wěn)定在圖1：布魯塞爾子體系的分岔圖。曲線表示的是狀態(tài)參量x的最大最小值，。Figure 1：Bifurcation diagram of the Brusselator system. The curves give the maximum and minimum values of x， .狀態(tài)上（圖1）。為了研究內(nèi)漲落的效應(yīng)，需要采用隨機動力學(xué)的方法。根據(jù)(2.1)列出的基元反應(yīng)過程，由(2.3)可以寫出相應(yīng)的趨勢函數(shù)如下： (3.3)相應(yīng)的，根據(jù)(2.9)可以得到體系的化學(xué)朗之萬方程如下： (

17、3.4)研究表明，體系動力學(xué)行為對V的依賴關(guān)系取決于控制參量的大小。當(dāng)處于振蕩區(qū)以內(nèi)時，根據(jù)Gaspard的理論結(jié)果40，存在一個V的臨界值，使得當(dāng)時體系的振蕩行為被徹底破壞，從而“振蕩”失去意義。而當(dāng)處于穩(wěn)定點區(qū)域時，體系的行為不明顯地依賴于V的大小。我們的數(shù)值計算也得到了同樣的結(jié)果。但是，正如Gaspard所指出，這兩個結(jié)論在時并不成立。實際上，正是在這些分岔點附近，漲落可能會起到非常重要的調(diào)控作用。因此，我們將主要研究時體系的行為。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且靠近，即體系處于確定性方程預(yù)言的Hopf分岔點右端附近的穩(wěn)定點區(qū)域時，隨機模擬方法、方法和化學(xué)朗之萬方程均能產(chǎn)生振蕩，從而這種振蕩是由內(nèi)漲落所誘

18、導(dǎo)的隨機振蕩。與完全隨機的噪聲不同，這些隨機振蕩包含了體系的內(nèi)信號信息：對這些隨機振蕩的時間序列作功率譜分析，在體系Hopf分岔點的特征振蕩頻率附近，可以看到明顯的信號峰。內(nèi)漲落誘導(dǎo)的隨機振蕩的出現(xiàn)，意味著此時體系的動力學(xué)行為對尺度V有非單調(diào)的依賴關(guān)系。當(dāng)V很大時，如，確定性方程(3.2)有效，此時體系處于穩(wěn)定點狀態(tài)，不會出現(xiàn)振蕩；當(dāng)V很小時，內(nèi)漲落非常大，任何振蕩信息都被淹沒到噪聲背景之中。而當(dāng)V處于某個中間值時，內(nèi)漲落強度適中，此時內(nèi)漲落誘導(dǎo)的隨機振蕩會最為規(guī)則。因此，體系的隨機振蕩的強度隨著V的改變出現(xiàn)了極大值。為了描述這種現(xiàn)象，我們?nèi)　Ｓ捎?，此時體系處于確定性方程所定義的穩(wěn)定點區(qū)域。圖

19、2中給出了時隨機振蕩的功率譜密度（Power Spectrum Density: PSD）曲線。其中，V=100 的結(jié)果由隨機模擬方法SSA得到，其他兩條曲線由方法得到。3條曲線上都由明顯的峰，隨著體積V的增大，相應(yīng)的噪聲背景值降低，而峰的寬度和高度也發(fā)生變化?？梢悦黠@地看出，V=105時信號峰相對而言更為尖銳，即振蕩信號最強，時間序列最為規(guī)整。為定量地表征隨機振蕩的規(guī)則程度，我們定義了有效信噪比， (3.5)其中為尖峰所對應(yīng)的頻率，表征了尖峰的相對寬度，定義為與其右側(cè)PSD值下降到時所對應(yīng)的頻率之間的距離：即，這里表示頻率處對應(yīng)的PSD值；H表示尖峰的有效高度，定義為，是之間PSD值最小處對

20、應(yīng)的頻率值。在圖2中，A,B,C三點分別標(biāo)出了V=109時所對應(yīng)的曲線上的位置，于是。 (3.6)圖2：布魯塞爾子體系隨機振蕩時間序列的功率譜密度曲線Figure 2: Power spectrum for stochastic oscillations of the Brusselator. SNR值越大，則表明尖峰相對越高、越窄，振蕩信息越強，因此SNR的大小可以有效地表征隨機振蕩的強度。圖(3a)中，我們給出了SNR值隨體系尺度V的變化曲線?？梢悦黠@地看到，時有效信噪比SNR出現(xiàn)極大值。這種現(xiàn)象非常類似于著名的隨機共振（Stochastic Resonance：SR）41，因此我們將之命

21、名為尺度共振（System Size Resonance: SSR），即在體系的尺度處于最佳大小時，最有利于隨機振蕩的形成。從圖(3a)中可以看出，SSA方法、方法以及CLE方法得到了定性上相當(dāng)一致的結(jié)果，特別是在V104時，方法和CLE方法幾乎定量一致，這種一致性說明盡管CLE在V較小時不能嚴(yán)格成立，但用它來研究體系內(nèi)漲落的效應(yīng)仍是一個方便可行的方法。因此，為方便起見，我們可以用CLE對體系中內(nèi)漲落的效應(yīng)作進(jìn)一步系統(tǒng)的研究。在圖(3b)中，我們給出了當(dāng)漸漸遠(yuǎn)離分叉點時曲線的變化，可以看到尺度的最佳值漸漸向小的方向移動，相應(yīng)的信噪比的最大值漸漸降低?？梢灶A(yù)見，當(dāng)進(jìn)一步遠(yuǎn)離時，信噪比的峰值將會消

22、失，因此體系的行為將不再依賴于尺度V。圖3：(a)有效信噪比SNR隨體系尺度V的變化，；(b)SNRV曲線隨控制參量的變化，從上到下，分別為1.1,1.2,1.3和1.4。Figure 3: (a) Dependence of the effective SNR on the system size V for . (b) Dependence of the SNRV curve on the control parameter . From top to down, reads 1.1, 1.2, 1.3, and 1.4, respectively.尺度共振效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)對介觀化學(xué)振蕩體系動力

23、學(xué)的研究有重要意義，它改變了人們對內(nèi)漲落的一直看法。例如，在目前對生理時鐘振蕩及合成基因網(wǎng)絡(luò)振蕩的研究中，人們大多假定內(nèi)漲落是起破壞作用的，因此主要研究生命體系是如何有效地抵制這些內(nèi)漲落以使得介觀化學(xué)振蕩具有穩(wěn)固性(Robustness)19,20。但我們的研究表明，實際上內(nèi)漲落是可以起到積極作用的：一方面內(nèi)漲落可以誘導(dǎo)隨機化學(xué)振蕩，實際上增大了振蕩出現(xiàn)的參數(shù)范圍，從而增加了介觀化學(xué)振蕩的穩(wěn)固性；另一方面，最佳尺度的存在，提供了介觀化學(xué)體系尺度效應(yīng)的一種新機制，它是化學(xué)體系內(nèi)稟的分子漲落和體系中的非線性動力學(xué)特性相互作用的結(jié)果。尺度共振效應(yīng)有可能在生命化學(xué)過程及表面催化過程中得到重要應(yīng)用。2

24、生命化學(xué)體系中的尺度共振效應(yīng)26,31,32我們相繼在合成基因網(wǎng)絡(luò)、生理時鐘、細(xì)胞鈣振蕩等生命化學(xué)體系中都發(fā)現(xiàn)了尺度共振現(xiàn)象。限于篇幅，我們僅在此對合成基因網(wǎng)絡(luò)體系的研究結(jié)果作一簡單概述31，更多的內(nèi)容請參閱有關(guān)文獻(xiàn)26,32。利用Collins等最近提出的合成基因振蕩網(wǎng)絡(luò)模型6，我們研究了內(nèi)漲落對其振蕩過程的影響，在該類體系中首次發(fā)現(xiàn)了內(nèi)漲落隨機共振效應(yīng)，即尺度共振效應(yīng)。合成基因網(wǎng)絡(luò)是從自然界真實的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中人工分離出來的模塊化的網(wǎng)絡(luò)單元，它可以實現(xiàn)特定的模塊化的功能，如雙態(tài)開關(guān)、振蕩器等，對合成基因網(wǎng)絡(luò)的研究有可能為揭示生物體內(nèi)復(fù)雜的調(diào)控機制提供幫助。我們所采用的合成振蕩網(wǎng)絡(luò)是由Col

25、lins小組2002年提出的，它包含兩個質(zhì)粒(Plasmid)，二者有相同的啟動子(Promotor)。質(zhì)粒1上，啟動子控制cI基因的表達(dá)生成CI蛋白質(zhì)；質(zhì)粒2上，啟動子控制lac基因生成Lac蛋白質(zhì)，CI蛋白和Lac蛋白都可以生成二聚物或四聚物。每個啟動子上各有3個位點OR1, OR2 及OR3，CI蛋白及其多聚物容易結(jié)合到OR1和OR2。當(dāng)OR3空出時，基因均處于打開狀態(tài)，從而加速轉(zhuǎn)錄及翻譯的表達(dá)過程，導(dǎo)致Lac及CI蛋白的增多；而當(dāng)OR3被Lac蛋白的四聚物占據(jù)時，基因均被關(guān)閉，從而表達(dá)過程受到抑制。負(fù)反饋過程的存在導(dǎo)致了CI及Lac蛋白質(zhì)濃度的振蕩。根據(jù)上述反應(yīng)機理，可以寫出體系中發(fā)生

26、的基元反應(yīng)過程及其反應(yīng)速率，見表1。注意CI或Lac蛋白的聚合及它們與啟動子結(jié)合的過程均為快過程，可以快速達(dá)到平衡，從而在表1的反應(yīng)速率的表達(dá)式中已經(jīng)引入了準(zhǔn)靜態(tài)近似。其中X和Y分別表示CI和Lac蛋白，X2及X2X2為CI蛋白的二聚物和四聚物，D1和D2分別為質(zhì)粒1和質(zhì)粒2的啟動子，M1和M2分別為質(zhì)粒1和質(zhì)粒2的拷貝數(shù)(Copy Number), 為基因表達(dá)生成蛋白質(zhì)的速率常數(shù)，和分別為CI和Lac蛋白的降解速率常數(shù)，為CI二聚物X2結(jié)合到OR2時轉(zhuǎn)錄速率的增強倍數(shù)，而為X2結(jié)合到OR2與結(jié)合到OR1的速率之比。有關(guān)此模型的更詳細(xì)的信息請參閱文獻(xiàn)6。Table 1: Stochastic

27、reaction steps and corresponding rates in the synthetic gene network.表1 合成基因網(wǎng)絡(luò)中的反應(yīng)步驟及相應(yīng)的反應(yīng)速率反應(yīng)步驟描述反應(yīng)速率D1 D1 + XcI基因表達(dá)生成CI蛋白質(zhì)； X表示CI蛋白質(zhì)，X2及X2X2為相應(yīng)的二聚物和四聚物，D1為質(zhì)粒1的啟動子D1X2 D1X2 + XD1X2X2 D1X2X2 + XX CI蛋白的降解D2 D2+ Ylac基因表達(dá)生成Lac蛋白質(zhì)； Y表示Lac蛋白質(zhì)， D2為質(zhì)粒2的啟動子D2X2 D2X2 + YD2X2X2 D2X2X2 + YY Lac蛋白的降解其它參數(shù)值為: kx=

28、2.625, M1=50, M2=1, =11, =2根據(jù)表1所列反應(yīng)過程，可以寫出相應(yīng)的化學(xué)朗之萬方程如下：(3.7)其中x和y分別為CI和Lac蛋白的濃度，V為體系的體積，由表1給出，仍為如(2.8)式所示的高斯白噪聲。若不計內(nèi)漲落的作用，或令,則方程(3.7)描述了體系的確定性動力學(xué)行為。選擇ky為控制參量，則體系在=0.0038及=0.1778時分別發(fā)生超臨界和次臨界的Hopf分岔，在二者之間是穩(wěn)定的振蕩區(qū)。為了研究內(nèi)漲落的效應(yīng)，我們?nèi)?，并用隨機模擬、和CLE方法研究了體系的隨機動力學(xué)行為。與布魯塞爾子體系類似，我們也發(fā)現(xiàn)了隨機振蕩行為。對這些隨機振蕩行為作功率譜分析，并采用圖2中定義

29、的SNR，我們研究了隨機基因振蕩的信噪比SNR隨體系體積V的變化，如圖4a所示。由圖中同樣可以看到，三種隨機動力學(xué)方法得到了相當(dāng)一致的結(jié)果。在體積V104附近，SNR達(dá)到明顯的極大值，表明發(fā)生了尺度共振效應(yīng)，也是一種內(nèi)噪聲隨機共振效應(yīng)。在圖(4b)中，我們給出了SNRV曲線隨控制參量位置的變化：隨著控制參量離Hopf分岔點越來越遠(yuǎn)，SNR的最大值降低，而尺度的最佳值向減小的方向移動；當(dāng)控制參量進(jìn)入確定性振蕩區(qū)以內(nèi)時，隨著體系尺度的減小，即內(nèi)漲落強度的增大，基因振蕩的規(guī)則性逐漸被破壞，SNR單調(diào)降低。 圖4：(a) 合成基因振蕩網(wǎng)絡(luò)的信噪比隨體系尺度V的變化（對數(shù)坐標(biāo)）；(b)SNRV曲線隨控制

30、參量的變化趨勢。Figure 4: (a) The dependence of SNR (in logarithmic scale) on the system size in the synthetic gene oscillatory network. (b) Dependence of the SNRV curve on the control parameter.合成基因網(wǎng)絡(luò)體系中尺度共振效應(yīng)的存在意味著人們需要用嶄新的觀點來理解基因表達(dá)過程中內(nèi)漲落的作用。一方面，內(nèi)漲落不再只是需要被抵制的因素，而是在一定條件下，內(nèi)噪聲可以誘導(dǎo)產(chǎn)生振蕩行為，使得振蕩可以在更大的參數(shù)范圍內(nèi)發(fā)生；從這個意

31、義上說，內(nèi)漲落實際上增加了基因網(wǎng)絡(luò)體系中振蕩的穩(wěn)固性。另一方面，體系的尺度處于一定的最佳值時，基因振蕩最為規(guī)則這一事實，有可能揭示了生命體系在自然進(jìn)化過程中的一種選擇性機制，以使得體系盡可能工作在一個最佳尺度。3 表面催化體系中的尺度共振效應(yīng)28,29 在表面催化過程中，人們從實驗上觀測到了大量的非線性化學(xué)現(xiàn)象，包括化學(xué)振蕩、化學(xué)波及化學(xué)混沌等5,8,42,43，特別是在單晶表面催化過程和納米粒子表面催化過程中都發(fā)現(xiàn)了反應(yīng)速率振蕩現(xiàn)象。我們研究了鈀納米粒子表面CO催化氧化過程中，內(nèi)漲落對反應(yīng)速率振蕩的影響。由于內(nèi)漲落的大小直接決定于納米粒子的直徑，因此反應(yīng)速率振蕩對內(nèi)漲落強度的依賴關(guān)系直接反映

32、了粒子大小的作用。我們研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子的大小處于最佳值時，反應(yīng)速率振蕩的強度會達(dá)到極大值，表明該體系中存在尺度共振效應(yīng)。我們的結(jié)果實際上提出了催化反應(yīng)體系中介觀尺度效應(yīng)的一種新機制：它是化學(xué)反應(yīng)體系中內(nèi)稟的分子漲落和非線性動力學(xué)行為相互作用的結(jié)果。鈀納米粒子表面CO的催化反應(yīng)過程遵循LH（Langmuir-Hinshelwood）機理，包括CO和O2分子的吸附，CO的脫附，吸附態(tài)的CO分子和O原子之間的反應(yīng)，吸附態(tài)的O原子向亞表面層的擴散及其逆過程。體系的狀態(tài)可以用吸附態(tài)的CO分子數(shù)NCO, 表面上吸附態(tài)的O原子數(shù)NO，以及亞表面層上吸附的O原子數(shù)來描述。根據(jù)LH反應(yīng)機理，體系的動力學(xué)狀態(tài)的演

33、化涉及到的基元反應(yīng)過程及相應(yīng)的反應(yīng)速率如表2所示。其中，,及 分別表示三種物質(zhì)對應(yīng)的百分?jǐn)?shù)濃度；Ns是Pd粒子中表面原子的數(shù)目，Nb 是Pd粒子中總的原子數(shù)目，從而表示了Pd粒子中表面原子所占的比例；為簡單起見，視Pd粒子為規(guī)則的八面體，則有以及，這里表示粒子對角線上原子的數(shù)目，d為粒子的對角線直徑，而納米為Pd的晶格常數(shù)。參量表征了粒子的整體氧化的程度，PCO和PO分別為CO和O2的氣相分壓。有關(guān)此體系反應(yīng)過程的更多細(xì)節(jié)，請參閱文獻(xiàn)25。Table 2: Reaction steps and rates for CO catalytic oxidation on the surface of

34、 Pd nanoparticles 表2: Pd納米粒子表面CO催化氧化過程中的隨機反應(yīng)過程及速率Stochastic Reaction StepsDescriptionReaction RatesCO吸附CO脫附O2分解吸附反應(yīng)生成CO2O向亞層擴散O*向表面層擴散參數(shù)值為： T=503K, =10, =10, =2311.2, k1=250 s-1Torr-1, k-2=6s-1, k3=350s-1Torr-1, k4=2000 s-1, k5=0.003 s-1, k6=0.01s-1, 1=2.5, 4=2.5, PO=160Torr.見文獻(xiàn)25。根據(jù)表2中所列的反應(yīng)過程及速率，可以

35、容易地寫出體系的化學(xué)朗之萬方程： (3.8)圖5: 不同大小的鈀納米粒子表面CO催化氧化反應(yīng)的速率振蕩.Table 5: Reaction rate oscillations during CO catalytic oxidation on the surface of Pd nanoparticles of different sizes.利用(3.8), 我們可以方便地研究粒子大小對體系動力學(xué)行為的影響。由于Ns與粒子直徑d有確定的對應(yīng)關(guān)系，我們下面將用d來表示粒子的大小。取PCO=5 Torr, 我們用顯式歐拉法對方程(3.8)進(jìn)行了數(shù)值積分。由于體系具有一定的剛性，為保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，

36、我們采用了較小的時間步長為0.0001秒。由于內(nèi)漲落的作用，實際上體系的反應(yīng)速率振蕩是隨機振蕩，但對其做功率譜的分析，可以看到明顯的峰值。結(jié)果表明，當(dāng)粒子直徑在一定范圍內(nèi)時，可以觀察到較明顯的隨機速率振蕩。對于這里采取的參數(shù)值，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)粒子太小時(d12nm)，內(nèi)漲落不足以誘導(dǎo)振蕩的發(fā)生。于是隨著粒子大小的變化，存在最佳的粒子尺度，此時隨機速率振蕩的強度最大，意味著發(fā)生了尺度共振效應(yīng)。圖5中給出了粒子直徑分別為4，8和12納米時隨機振蕩的時間曲線，可以看到8納米時振蕩最為規(guī)則。同樣，我們也計算了相應(yīng)的有效信噪比SNR，發(fā)現(xiàn)隨d的變化，SNR經(jīng)過一個明顯的極大值，如圖6所示，進(jìn)一步證實了尺度共

37、振效應(yīng)。圖6中還給出了相應(yīng)的振蕩頻率圖6: 鈀納米粒子表面隨機反應(yīng)速率振蕩的信噪比隨粒子大小的變化(實線); 圖中還顯示了振蕩頻率隨粒子大小的變化(虛線)Figure 6: Variation of the SNR of the reaction rate oscillations on Pd nanoparticles with the particle size (left axis, solid line). Also shown is the corresponding frequency(right axis, dash line)隨粒子大小的變化，可以看到SNR經(jīng)歷顯著變化的時侯，

38、頻率并沒有顯著改變。圖7: 不同CO分壓時信噪比隨鈀粒子大小的變化,均有最佳尺度效應(yīng).Figure 7: For different partial pressure of CO, optimal size effect all exists. 為了檢驗尺度共振效應(yīng)的穩(wěn)固性，我們在不同的CO分壓時也作了類似的研究。結(jié)果表明，在一定的PCO范圍內(nèi)都會出現(xiàn)尺度共振效應(yīng)。隨著PCO的改變，最佳尺度值和它對應(yīng)的最大SNR值都有較明顯的改變，并且這種改變并不是單調(diào)的：在PCO5torr時，尺度共振效應(yīng)最為明顯，如圖7所示。最佳尺度效應(yīng)的存在，意味著內(nèi)漲落在納米粒子表面催化過程中可能起到重要的調(diào)控作用。實

39、際上，納米粒子催化過程中的尺度效應(yīng)一直以來受到學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注，它與納米科技的迅速發(fā)展緊密相連，而且人們也觀測到各種催化特性與粒子大小的非單一的依賴關(guān)系。例如，1998年Goodman等的文章中報道了3納米的金團簇對CO催化氧化過程具有最大的活性，并將這一最佳尺度效應(yīng)的出現(xiàn)歸因為電子能級的變化45；另外，空間結(jié)構(gòu)也是導(dǎo)致尺度效應(yīng)的另一主要原因。然而，我們的研究結(jié)果表明，這類體系中還存在一種新的“動力學(xué)尺度效應(yīng)”，它是化學(xué)反應(yīng)體系的統(tǒng)計內(nèi)漲落和非線性動力學(xué)相互作用的結(jié)果，本質(zhì)上完全不同于量子力學(xué)和結(jié)構(gòu)的因素。當(dāng)然，目前我們的工作還停留于理論的預(yù)測，期待著實驗工作對這種尺度效應(yīng)能早日加以驗證。四

40、尺度選擇效應(yīng)在單晶表面CO催化氧化體系和細(xì)胞鈣振蕩體系的研究中，我們還發(fā)現(xiàn)了一種新的有趣的尺度效應(yīng)：隨著體系尺度的變化，隨機振蕩的強度會出現(xiàn)兩個極大值；并且兩個極大值對用于不同的振蕩形式和頻率，表現(xiàn)了體系尺度對化學(xué)振蕩的一種選擇效應(yīng)。我們發(fā)現(xiàn)，這種效應(yīng)與體系的確定性方程的分岔特性有關(guān)。1 CO 單晶表面催化過程中的尺度選擇效應(yīng)34如前所述，在單晶表面的催化氧化過程中，人們也發(fā)現(xiàn)了大量的非線性化學(xué)現(xiàn)象，包括化學(xué)振蕩、螺旋波和時空混沌等。當(dāng)表面氣體壓強較低時，表面可以看成是由一個個混合均勻的均相小元胞組成，在每個小元胞內(nèi)反應(yīng)物分子的濃度是相同的，而相鄰的小元胞間存在著濃度梯度。此時，可以根據(jù)平均場

41、理論得到表面反應(yīng)物分子濃度所遵循的確定性反應(yīng)擴散方程，在許多情形下，這些確定性動力學(xué)方程都能成功地解釋實驗結(jié)果。但是，當(dāng)表面氣體壓力較大或其他特定情況時，表面吸附分子的擴散自由程減小，混合均勻的小元胞尺寸變小，而使得內(nèi)漲落的強度增大；此時，確定性的反應(yīng)擴散方程不再準(zhǔn)確，內(nèi)漲落的作用必須計入。根據(jù)我們前面的研究結(jié)果，可以預(yù)見，在體系的動力學(xué)分岔點附近時，內(nèi)漲落有可能起到十分重要的作用。我們研究了單晶Pt(110)表面CO催化氧化過程中，內(nèi)漲落對其反應(yīng)速率振蕩的影響。考慮單晶表面由許多均勻混合的小元胞組成，相鄰元胞間存在濃度梯度。由于元胞尺度較小，其內(nèi)部發(fā)生的反應(yīng)過程以及相鄰元胞間的物質(zhì)交換過程都

42、是隨機過程。一般說來，我們需要針對整個表面上的反應(yīng)及交換過程建立介觀的隨機動力學(xué)方程，但在此我們先研究內(nèi)漲落對一個元胞內(nèi)部催化反應(yīng)的影響。CO在Pt(110)單晶表面的催化氧化過程也遵循LH反應(yīng)機理。反應(yīng)過程包括CO的吸附，O2的分解吸附，吸附態(tài)CO和O之間的反應(yīng)，以及吸附誘導(dǎo)的表面結(jié)構(gòu)的相變。后者是指當(dāng)吸附態(tài)的CO濃度改變時，表面Pt原子的構(gòu)象會發(fā)生和兩相之間的改變。CO濃度大時，相會增多；而相又更有利于O2的吸附，從而與吸附態(tài)的CO反應(yīng)，使得CO濃度減??；CO濃度的減小使得增多，更有利于CO的吸附，又重新使得CO濃度增大；如此循環(huán)，產(chǎn)生了吸附態(tài)CO濃度的振蕩。根據(jù)這些機理，可以寫出單晶Pt

43、表面的隨機反應(yīng)過程及其反應(yīng)速率，如表3所示。其中，分別為元胞內(nèi)吸附態(tài)的CO分子，O原子以及表面相的空位點的數(shù)目；N為元胞內(nèi)總的吸附位點數(shù)，代表體系的尺度大小；及分別表示相應(yīng)的無量綱濃度。有關(guān)此體系反應(yīng)過程的更多細(xì)節(jié)請參閱文獻(xiàn)44。Table 3: Stochastic reaction steps and reaction rates for CO catalytic oxidation on Pt(110) single crystal surface表3: 單晶Pt(110)表面CO催化氧化過程中的隨機反應(yīng)過程及其速率隨機過程速率描述CO 吸附 O2 吸附CO脫附反應(yīng), 其中 (12) 到

44、 (11),其中(11) 到(12)注：所有參數(shù)值請參閱文獻(xiàn)44根據(jù)表3所列，可以很容易寫出相應(yīng)的化學(xué)朗子萬方程如下： (4.1)為了更好地理解體系的隨機動力學(xué)行為，常常需要了解它的確定性分岔行為。在方程(4.1)中，如果忽略內(nèi)漲落項，我們得到如下的確定性動力學(xué)方程：. (4.2)圖8: 單晶表面CO催化氧化體系的分岔圖,可分為4個區(qū)域Figure 8: Bifurcation diagram for CO catalytic oxidation on Pt single crystal surface. The diagram can be divided in to 4 distinct

45、regimes方程(4.2)的動力學(xué)行為非常復(fù)雜，隨著控制參量的變化，體系可以出現(xiàn)豐富的動力學(xué)行為。我們固定溫度T=520K,O2分壓PO=9.610-5 mbar,而選擇CO分壓PCO為唯一的控制參量。利用BIFPACK分岔分析工具46，我們得到體系的分岔圖如圖8所示。隨著控制參量的變化，在時發(fā)生超臨界Hopf分岔（Hopf Bifurcation：HB），體系的狀態(tài)從穩(wěn)定焦點轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定極限環(huán)。在時，極限環(huán)和鞍點發(fā)生碰撞形成同宿軌道；由于此時極限環(huán)的周期趨向無窮大，因此也稱極限環(huán)發(fā)生了SNIPER分岔（SNIPER是SaddleNode Infinite Period的縮寫），在此之后極限環(huán)

46、消失。此外，該體系還有一種有趣的動力學(xué)行為：在時，體系會發(fā)生CANARD現(xiàn)象，即隨著控制參量的微小變化，極限環(huán)振蕩的振福突然增大47。CANARD現(xiàn)象最早是由法國科學(xué)家提出的，它因在CANARD點附近極限環(huán)的軌線很像水面匍匐的鴨子而得名(法文中Canard的意思是鴨子)。在HB和CANARD點之間，極限環(huán)是小幅的簡諧式振蕩（Harmonic Oscillation）；而在CANARD點和SNIPER之間，極限環(huán)是大幅的弛豫振蕩（Relaxation Oscillation）。根據(jù)圖8，我們可以將分岔圖分成4個區(qū)域：A區(qū)PCOHB, B區(qū) HB PCOCANARD, C區(qū) CANARD PCOS

47、NIPER. 下面我們可以看到，正是體系的這種特別的分岔行為導(dǎo)致了內(nèi)漲落的有趣效應(yīng)。圖9: Pt單晶表面CO催化氧化體系中的尺度選擇效應(yīng)Figure 9: Size-selecting effect during CO catalytic oxidation on Pt single crystal surface 為了研究內(nèi)漲落的作用，我們對朗之萬方程(2.9)進(jìn)行數(shù)值積分，時間步長為0.01秒。首先，我們?nèi)】刂茀⒘浚幱趨^(qū)域A。此時，由方程(2.10)給出的確定性動力學(xué)行為是穩(wěn)定焦點，并沒有振蕩；但正如我們已多次看到，考慮內(nèi)漲落時，體系可以出現(xiàn)隨機振蕩行為。與前面我們討論過的體系不同，我們

48、發(fā)現(xiàn)隨機振蕩的規(guī)則程度隨著表面單元尺度N的變化，會出現(xiàn)2個極大值，如圖9所示。進(jìn)一步分析表明，對應(yīng)于第一個極大值（N103，內(nèi)漲落大）的振蕩為大幅的弛豫振蕩，而對應(yīng)于第二個極大值（N106大，內(nèi)漲落小）的振蕩為小幅的簡諧振蕩，這一方面可以從對應(yīng)的振蕩頻率看出（圖9），另一方面也可以從振蕩的時間序列得到驗證。圖10中給出了幾個典型的N值時CO濃度的時間曲線，在兩個峰值對應(yīng)的位置，振蕩狀態(tài)有明顯的不同。由于兩個極大值位置對應(yīng)的振蕩有明顯的差異，因此這種尺度雙共振現(xiàn)象意味著不同強度的內(nèi)漲落對體系的隨機振蕩有選擇放大的作用，這是一種“尺度選擇效應(yīng)”。圖10: 不同元胞尺度時CO濃度的隨機振蕩Figur

49、e 10: Stochastic oscillations of CO concentration for different cell sizes 結(jié)合分岔圖8，我們可以對尺度選擇效應(yīng)做定性說明。當(dāng)控制參量處于區(qū)域A時，小的內(nèi)漲落強度可以誘導(dǎo)體系進(jìn)入?yún)^(qū)域B，從而產(chǎn)生小幅的簡諧振蕩；而當(dāng)內(nèi)漲落強度較大時，體系可以被誘導(dǎo)進(jìn)入?yún)^(qū)域C，從而有大幅的弛豫振蕩出現(xiàn)。對于兩種類型的振蕩，都存在相應(yīng)的最佳內(nèi)漲落強度或最佳尺度，從而使體系出現(xiàn)雙峰。需要指出，由于兩種類型的振蕩對內(nèi)漲落的敏感性有明顯差別，使得雙峰的位置間并沒有重疊。因此，正是由于CANARD現(xiàn)象的存在導(dǎo)致了尺度選擇效應(yīng)。雖然我們可以對尺度共振效

50、應(yīng)作出定性的說明，但這種效應(yīng)在非均相表面催化過程中到底會起到什么樣的作用，目前并不是十分清楚。前面已經(jīng)提到，宏觀的反應(yīng)擴散方程在單晶表面的非線性動力學(xué)的研究中已取得了很大的成功，并且許多研究證實，更多的時候環(huán)境的漲落與內(nèi)漲落相比對體系的影響更大。盡管如此，我們的研究仍表明，內(nèi)漲落可能有十分重要的效應(yīng)；尤其是在分岔點附近，內(nèi)漲落的效應(yīng)尤其不可忽視，它能選擇性地誘導(dǎo)振蕩過程的發(fā)生。另外，我們的工作也為進(jìn)一步研究內(nèi)漲落對表面時空有序結(jié)構(gòu)形成的影響提供了基礎(chǔ)。2 細(xì)胞鈣振蕩過程中的尺度選擇效應(yīng)35生命體系中，鈣作為第二信使，對生理功能的實現(xiàn)起著非常重要的作用。鈣離子振蕩信號既調(diào)節(jié)著細(xì)胞內(nèi)的生命過程，同

51、時又在細(xì)胞間傳遞信息以控制細(xì)胞整體的行為。有關(guān)鈣振蕩的實驗工作很多，人們也提出了許多相應(yīng)的動力學(xué)模型，較好地解釋了實驗現(xiàn)象7。目前絕大多數(shù)的理論模型都是確定性的，并沒有考慮內(nèi)漲落的效應(yīng)。然而細(xì)胞是一個典型的介觀化學(xué)反應(yīng)體系，內(nèi)漲落的作用不可忽略；實驗上也觀察到鈣振蕩并不規(guī)則，其振幅和相位都有明顯的漲落，意味著漲落實際上的確存在。因此，從我們的角度出發(fā)，研究內(nèi)漲落對細(xì)胞內(nèi)鈣振蕩過程的影響是十分自然，而又有重要實際意義的問題。Table 4：Reaction steps and rates for intracellular calcium oscillation表4: 細(xì)胞內(nèi)鈣振蕩反應(yīng)過程及其速

52、率隨機過程反應(yīng)速率, 其中注: 參數(shù)值為 =2.0, =0.1, =0.02M-1, v0=0.2Ms-1, vc=4.0Ms-1, v3=9.0Ms-1, v4=3.6Ms-1, k0=4.0M, k3=0.12M, k4=0.12M, d1=0.3M, d2=0.4M, d3=0.2M, dp=0.2M, da=0.4M , k1=40.0s-1, k2=0.02s-1.更多信息請參閱文獻(xiàn)48。圖11: 肝細(xì)胞鈣振蕩體系的分岔圖Figure 11: Bifurcation diagram for the model of intracellular calcium oscillation

53、in hepatocytes鈣振蕩的模型有很多，不同的體系有不同的振蕩機制。這里我們選擇了Hfer等1999年提出的肝細(xì)胞中的鈣振蕩模型48。細(xì)胞內(nèi)的鈣離子可以在細(xì)胞質(zhì)、內(nèi)質(zhì)網(wǎng)、線粒體、及一些細(xì)胞內(nèi)的蛋白質(zhì)之間流動，還可以透過細(xì)胞膜和外界發(fā)生交換。根據(jù)Hfer的模型，鈣離子在細(xì)胞質(zhì)、內(nèi)質(zhì)網(wǎng)和細(xì)胞外的交換是關(guān)鍵的過程，可以忽略其他的物質(zhì)交換過程。實際上，細(xì)胞內(nèi)發(fā)生的生物化學(xué)反應(yīng)過程相當(dāng)復(fù)雜，例如鈣離子在內(nèi)質(zhì)網(wǎng)膜上的進(jìn)出就涉及到膜內(nèi)離子通道的開關(guān)等很多細(xì)節(jié)。但為了考察在整個細(xì)胞尺度內(nèi)化學(xué)反應(yīng)的隨機性帶來的影響，我們并不仔細(xì)地研究每步化學(xué)反應(yīng)的細(xì)節(jié)，而是采用準(zhǔn)靜態(tài)近似，將細(xì)胞內(nèi)發(fā)生的反應(yīng)過程加以整合

54、。記細(xì)胞質(zhì)內(nèi)的鈣離子數(shù)目為X，整個細(xì)胞（包括內(nèi)質(zhì)網(wǎng)）內(nèi)的鈣離子數(shù)目為Z，則細(xì)胞內(nèi)的反應(yīng)都將導(dǎo)致X和Z數(shù)目的變化。作為簡單但不失一般性的處理，可以將細(xì)胞內(nèi)的反應(yīng)分為4個過程，如表4所示。表中x和z分別表示細(xì)胞質(zhì)內(nèi)和整個細(xì)胞中鈣離子的自由鈣離子的濃度，V代表細(xì)胞質(zhì)部分的體積，相應(yīng)的反應(yīng)速率是整合后的結(jié)果。有關(guān)此模型的更多細(xì)節(jié)請參閱文獻(xiàn)48,49。根據(jù)表4，可以很容易寫出體系的化學(xué)朗之萬方程如下： (4.3)當(dāng)忽略方程右端的內(nèi)漲落項時，我們可以得到確定性動力學(xué)方程。取細(xì)胞內(nèi)IP3的濃度P為控制參量，則體系的分岔圖如圖11所示?？梢钥吹?，體系在P1.45M時發(fā)生Hopf分岔，而在P1.47M時發(fā)生類似

55、于圖8中的CANARD現(xiàn)象。由于我們只考慮Hopf分岔點附近的行為，因此可以將分岔圖分成相應(yīng)的3個區(qū)域?？梢灶A(yù)期，當(dāng)體系處于Hopf分岔點左端的區(qū)域時，我們也可以觀察到尺度選擇效應(yīng)。圖12顯示了P1.3時隨機鈣振蕩的有效SNR隨V的變化。可以明顯地看到，在V103和V106時SNR均出現(xiàn)極大值。圖12中也給出了隨機振蕩的頻率的信息，兩個峰所對應(yīng)的振蕩有明顯的不同：前者是大幅的弛豫振蕩，而后者是小幅的簡諧振蕩。因此，不同大小的內(nèi)漲落對鈣振蕩信號也表現(xiàn)出了選擇性。圖12: 細(xì)胞鈣振蕩體系中的尺度選擇效應(yīng)Figure 12: Size-selecting effect for intracellul

56、ar calcium signaling細(xì)胞鈣振蕩過程中尺度選擇效應(yīng)的存在，意味著內(nèi)漲落對細(xì)胞內(nèi)鈣信號的產(chǎn)生及傳遞有著重要的調(diào)控作用。然而，由于真實體系的細(xì)胞尺度并不能作為自由可調(diào)的參量，而是具有一定的范圍，因此這種效應(yīng)對生物體內(nèi)的生理過程有什么影響，目前并無定論。但很值得一提的是，第一個峰對應(yīng)的最佳尺度V103um3恰恰與真實細(xì)胞的大小處于同一個量級，而細(xì)胞內(nèi)許多功能的實現(xiàn)又常常是利用大幅的弛豫振蕩，因此似乎生物體可以通過調(diào)節(jié)自身的參數(shù)以工作在一個最佳的尺度上。進(jìn)一步研究還表明，第一個峰的位置對IP3的值并不敏感，意味著處于該尺度的細(xì)胞可以很好地響應(yīng)相當(dāng)寬范圍內(nèi)的外界刺激，有穩(wěn)固特性。五 雙重尺度效應(yīng)以上我們研究了單個動力學(xué)單元中由內(nèi)漲落所導(dǎo)致的尺度效應(yīng)。在實際體系中，這些動力學(xué)單元，如細(xì)胞、神經(jīng)元等，