固體物理第7課晶格振動(dòng)一維單原子鏈ppt課件

1、l晶體原子不是靜止形狀，而是在作熱運(yùn)動(dòng)。l晶體中的粒子在其平衡位置附近作微振動(dòng)，而且由于 晶體內(nèi)原子間存在相互作用力，因此各個(gè)原子的振動(dòng)不是孤立的，而是相互聯(lián)絡(luò)的。l整個(gè)晶格可以看作是一個(gè)相互耦合的振動(dòng)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)通常稱為晶格振動(dòng)。晶格振動(dòng)不僅對(duì)晶體的比熱、熱傳導(dǎo)、熱膨脹有影響，而且和晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、介電性質(zhì)也有親密聯(lián)絡(luò)。利用晶格振動(dòng)實(shí)際可對(duì)它們進(jìn)展一致描畫(huà)。能量守恒定律熱的本質(zhì)：大量微觀粒子無(wú)規(guī)那么運(yùn)動(dòng)的宏觀表現(xiàn)。氣體熱能量的定量計(jì)算氣體的內(nèi)能就是氣體分子無(wú)規(guī)那么運(yùn)動(dòng)表達(dá)的熱能量。固體熱能量：位置固定，晶格振動(dòng)。原子振動(dòng)對(duì)固體比熱容的奉獻(xiàn)是主要來(lái)源。其次金屬中的電子在接近0

2、k時(shí)有重要作用，鐵磁體中的自旋波對(duì)比熱容也有影響。F愛(ài)因斯坦：固體比熱容實(shí)際，將n個(gè)原子的振動(dòng)簡(jiǎn) 化為3n個(gè)諧振子，量子化假設(shè)，得到了比熱容溫度公式。F玻恩和卡門(mén)：原子振動(dòng)以晶格波的方式存在，創(chuàng)建 了晶格動(dòng)力學(xué)。F德拜：簡(jiǎn)化了上述實(shí)際。F晶格動(dòng)力學(xué)被運(yùn)用到熱力學(xué)性質(zhì)，熱傳導(dǎo)，電導(dǎo)、 介電、光學(xué)和X射線衍射等方面。F聲子：晶格振動(dòng)波的能量量子。原子振動(dòng)具有波料二象性，動(dòng)搖方式是晶格振動(dòng)波，是一種機(jī)械波。粒子方式是聲子，不是實(shí)踐粒子。晶格振動(dòng)波： 一是分析晶體中晶格振動(dòng)的方式數(shù)，二是計(jì)算振動(dòng)波的色散關(guān)系，即動(dòng)搖頻率波數(shù)的關(guān)系。聲子的種類和晶格振動(dòng)波的方式數(shù)一一對(duì)應(yīng)。聲子的能量動(dòng)量關(guān)系與晶格振動(dòng)波的

3、色散關(guān)系也是一一對(duì)應(yīng)。v波的數(shù)學(xué)方式可以表示為動(dòng)搖函數(shù)),(trfv動(dòng)搖函數(shù)方式復(fù)雜，某一種特殊的波，有一些根本的傳輸方式，對(duì)固體中的振動(dòng)模型，可以采用最簡(jiǎn)單的一維單原子鏈的振動(dòng)模型。v一維晶體中長(zhǎng)度為a的原胞中只含有一個(gè)質(zhì)量為m的球，它們被彈性系數(shù)為k的彈簧聯(lián)起來(lái)，某一個(gè)球隨時(shí)間作縱向振動(dòng)，一切球都會(huì)振動(dòng)。2222Y )(2q vvTq其中波矢其中l(wèi)上式是彈性波縱波的公式， 是圓頻率， v是波速， 是介質(zhì)密度，Y是揚(yáng)氏彈性模量。l假設(shè)介質(zhì)無(wú)窮長(zhǎng)，q可取恣意值，假設(shè)介質(zhì)有長(zhǎng)度為L(zhǎng)，那么將構(gòu)成駐波，L=n/2，即1/ = n / 2L。所以q只能取分立值，q=2/ = n / L。Yq 2q 其

4、中0 0 nnnxxxanm向左向右縱向位移：平衡間距：原子標(biāo)號(hào)：原子質(zhì)量：1. 運(yùn)動(dòng)方程:簡(jiǎn)諧近似下的振動(dòng) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)，排斥力：，吸引力：常系數(shù)0000ffaaf)()()()(111111nnnnnnnnnnnnxxfxxrrrrrrrr 右右左左右右左左右右左左方向相反方向相反與與號(hào)原子的受力：號(hào)原子的受力：fffffxxfxxfnnnnn11)2( )2(11222211nnnnnnnnxxxdtxdmdtxdmxxx在簡(jiǎn)諧近似下，一維單原子鏈中原子的振動(dòng)是頻率為在簡(jiǎn)諧近似下，一維單原子鏈中原子的振動(dòng)是頻率為的平面波，稱之為格波。的平面波，稱之為格波。因子第n個(gè)原子振動(dòng)的位相振動(dòng)的角頻率

5、振幅 設(shè)方程的解為：方程原子鏈中有N個(gè)這樣的由N個(gè)原子組成的一維qna：A：Aex)xx(xdtxdmqnatinnnnn)(11222sincossincosieieii，波數(shù)令波：連續(xù)介質(zhì)中的簡(jiǎn)諧平面，其解為：令彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：2 2/2cos2cosAcoscos )cos(0 222222TTuxtAxtuxtAuxtAtAxxdtxdmKKxdtxdmKxF)(xtiAe簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：格格點(diǎn)點(diǎn)的的位位置置位位置置：連連續(xù)續(xù)介介質(zhì)質(zhì)中中任任意意點(diǎn)點(diǎn)的的，且且只只可可取取分分立立值值可可取取任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，方方向向沿沿波波的的傳傳播播方方向向大大小小為為：波波矢矢，：波波數(shù)數(shù)，

6、格格波波：波波：連連續(xù)續(xù)介介質(zhì)質(zhì)中中的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧平平面面naxaqaqAeAeqnatixti )3( )2(2 2 ) 1 ( )()(ZlmqlaqqlaqqamqqaqamxAexxxxdtxdmnqnatinnnnn 2)() 12(0)(2 .q 2sin2)(2sin4)cos(12 )2(maxmin22)(1122：當(dāng)系或色散曲線的這種關(guān)系稱為色散關(guān)和則滿足振動(dòng)方程下式成立代入上式若發(fā)現(xiàn)如果有將第一布里淵區(qū)，限制在將，若倒易原胞長(zhǎng)度周期函數(shù)，周期為aaqAexqxqxqqZllaqqaqamqqnatinnn)( )()()()()(22 2sin2)(彈性介質(zhì)波 qZ)個(gè)不同

7、的波長(zhǎng)。l(la2qq含著認(rèn)為頻率為的波中包無(wú)任何區(qū)別，或者可以時(shí)，原子的位移xa2可以看出當(dāng)q增加n波長(zhǎng)不同，但是位移情況一樣，即振動(dòng)方式是一樣的，常常數(shù)數(shù)即即波波速速常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)：，即即當(dāng)當(dāng)uamqqaqmqqqamq )()(02sin2)(：物質(zhì)的線密度：物質(zhì)的線密度：楊氏模量：楊氏模量常數(shù)常數(shù)固體中縱波的波速：固體中縱波的波速：YYu 此時(shí)波長(zhǎng)比原子間隔大很多此時(shí)波長(zhǎng)比原子間隔大很多,此時(shí)格波可看成是在延續(xù)此時(shí)格波可看成是在延續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波介質(zhì)中傳播的彈性波當(dāng)q值較大時(shí)，即對(duì)于短波來(lái)說(shuō)，晶體間隔相對(duì)于波長(zhǎng)已不具有延續(xù)性，晶體已不能作為延續(xù)介質(zhì)來(lái)處置，那么是q的正弦函數(shù)周期為/a

8、。個(gè)不同的整數(shù)只能取NlNlNaqaNlbNlalNaqZllqNaeAeAexxiqNaaNqtiqatiN 2222 21)1()(11波恩卡門(mén)波恩卡門(mén)周期性邊境周期性邊境條件條件在由N個(gè)原胞構(gòu)成的一維單原子鏈中，q只能取N個(gè)不同的分立值，這個(gè)數(shù)目等于鏈中含有的原胞數(shù)。晶格的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧波，其波長(zhǎng)由q確定，而q又取決于倒易矢量，每個(gè)倒易矢量都與晶格點(diǎn)陣中的一族晶面垂直，且代表這族晶面的面間距。故q的取值為lb/n，即l2/na時(shí)，意味著格波波長(zhǎng) 為na/l，na代表了某方向的晶體的長(zhǎng)度，且格波與晶面垂直?？梢?jiàn)晶體邊長(zhǎng)是格波的l倍，這里采用了波恩-卡門(mén)周期性邊境條件。駐波一定要求格波在邊境處為

9、0，相比之下，波恩-卡門(mén)周期性邊境條件比駐波的要求更加寬松。例題1：試證明由N個(gè)質(zhì)量為m的一樣原子組成的一維單原子晶格鏈，每單位頻率間隔的振動(dòng)方式數(shù)為例題2：由N個(gè)一樣原子組成的一維單原子鏈，晶格格波為 為格波的最高頻率，試證它的振動(dòng)方式總數(shù)是N。 提示：采用反證法，假設(shè)振動(dòng)方式總數(shù)為NmNmm2 2)(2/122式中2/1242)(mN2/1222/12412sin12cos4122cos22sin22sin2aa- 2sin22Na2 ， )( 2mqaqaqdmmaqdaqamdqamqamqqam，aNqNqaqZllNaq的線分布密度為個(gè)值只能取長(zhǎng)度內(nèi)空間在 42)(42411222241 22d )( 22 2sin22s