初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1初等初等(chdng)函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的冪級數(shù)展開式第一頁，共18頁。2在收斂在收斂(shulin)域內(nèi)域內(nèi)和函數(shù)和函數(shù))(xS求求 和和展展 開開第1頁/共17頁第二頁，共18頁。3其中其中(qzhng)( 在在 x 與與 x0 之間之間)稱為稱為(chn wi)拉格拉格朗日余項朗日余項 .則在則在若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 此式稱為此式稱為 f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有該鄰域內(nèi)有 :第2頁/共17頁第三頁，共18頁。4)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為為f (x) 的泰勒的泰勒(ti l)級級

2、數(shù)數(shù) . 則稱則稱當(dāng)當(dāng)x0 = 0 時時, 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)(j sh)又稱為麥克勞林級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)(j sh) .1) 對此級數(shù)對此級數(shù), 它的收斂它的收斂(shulin)域是什么域是什么 ？2) 在收斂域上在收斂域上 , 和函數(shù)是否為和函數(shù)是否為 f (x) ?若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 第3頁/共17頁第四頁，共18頁。5各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù)(do sh), 則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開在該鄰域內(nèi)能展開(zhn ki)成泰勒級數(shù)的充成泰勒級數(shù)的充要要條件條件是是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足的泰勒公式中的余項滿足:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x

3、) 在點在點 x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有定理定理2：若若 f (x) 能展成能展成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 則這種展開式是則這種展開式是唯一唯一的的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同且與它的麥克勞林級數(shù)相同.第4頁/共17頁第五頁，共18頁。61. 直接直接(zhji)展展開法開法由泰勒級數(shù)理論由泰勒級數(shù)理論(lln)可知可知, 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x0 = 0 處的值處的值 ;寫出麥克勞林級數(shù)寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑并求出其收斂半徑 R ; 判別在收斂區(qū)間判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)內(nèi)是否為是否為驟如下驟如下 :展開方法展開方法直接展開法直接展

4、開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式利用已知其級數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開的函數(shù)展開第5頁/共17頁第六頁，共18頁。7展開展開(zhn ki)成成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: 其收斂其收斂(shulin)半徑半徑為為 對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項滿足其余項滿足故故( 在在0與與x 之間之間)故得級數(shù)故得級數(shù) 第6頁/共17頁第七頁，共18頁。8類似類似(li s)可可推出推出:展開展開(zhn ki)成成 x 的的冪級數(shù)冪級數(shù).),(x第7頁/共17頁第八頁，共18頁。稱為稱為(chn wi)二項二項展開式展開式 .說明說明(shumng)：

5、(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 m 有關(guān)有關(guān)(yugun) .(2) 當(dāng)當(dāng) m 為正整數(shù)時為正整數(shù)時, 級數(shù)為級數(shù)為 x 的的 m 次多項式次多項式, 上式上式 就是代數(shù)學(xué)中的就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理二項式定理.例例3. 將將函數(shù)函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 第8頁/共17頁第九頁，共18頁。10對應(yīng)對應(yīng)(duyng)的二項展開式分別的二項展開式分別(fnbi)為為)11(x第9頁/共17頁第十頁，共18頁。11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)將

6、函數(shù)(hnsh)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因為因為把把 x 換成換成)11(x, 得得將所給函數(shù)展開成將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). 第10頁/共17頁第十一頁，共18頁。12展開展開(zhn ki)成成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 從從 0 到到 x 積分積分(jfn), 得得定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為利用此題可得利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,所以展開式對所以展開式對 x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂第11頁/共17頁第十二頁，共18頁。13第12頁/共17頁第十三頁，共18頁。14展成(zhn chn)

7、x1 的冪級數(shù). 解解: 第13頁/共17頁第十四頁，共18頁。151. 函數(shù)(hnsh)的冪級數(shù)展開法(1) 直接(zhji)展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開式的函數(shù) .第14頁/共17頁第十五頁，共18頁。162. 常用(chn yn)函數(shù)的冪級數(shù)展開式x2!21xx),(x第15頁/共17頁第十六頁，共18頁。1711nxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時),(x) 1, 1(x x11 1x第16頁/共17頁第十七頁，共18頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。第1頁/共17頁。為f (x) 的泰勒級數(shù) .。1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么。則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要。求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x0 = 0 處的值。寫出麥克勞林級數(shù) ,