數(shù)學(xué)建模-微分方程

1、3.1 微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例 在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題，為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題， 本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。用的數(shù)學(xué)工具之一。 例例1 （理想單擺運(yùn)動(dòng)

2、）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1）這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程滿足的運(yùn)動(dòng)方程 （3.13.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)易求解。當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)，sin，此時(shí)，此時(shí)，可考察（可考察（3.13.1）的近似線性方程：

3、）的近似線性方程： 00(0)0, (0)gl（3.2）由此即可得出由此即可得出2gTl （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost gl其中其中 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似方程例例2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為6060哩，潛水艇最哩，潛水艇最大航速為大航速為3030節(jié)而巡邏艇最大航速為節(jié)而巡邏艇最大航速為6060節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛

4、節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。水艇。 這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形：這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形： 敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設(shè)巡邏艇在設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為程為r=r()，見(jiàn)圖，見(jiàn)圖3-2。BAA1drdsd圖3-2由題意，由題意， ，故，故ds=2dr

5、2dsdrdtdt圖圖3-2可看出，可看出， 222()()()dsdrrd故有故有:2223()()drrd即即:3rdrd（3.3）解為：解為：3rAe（3.4）先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離然后按先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離然后按（3.4）對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：追趕方法如下：例例3 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在的小孔在t=0時(shí)刻時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：

6、容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？需要多少時(shí)間？ 解解: 以容器的底部以容器的底部O點(diǎn)為點(diǎn)為 原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。所示。令令h(t)為為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分滿足的微分方程。方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：( )0.6 2tgh因體積守衡，又可得：因體積守衡，又可得： 2dVr dhs dt 易見(jiàn)：易見(jiàn)： 22()rRRh故有：故有： 2() 0.62RRhdhSghdt22

7、0.62() ShgdhdtRRh 即：即： 這是可分離變量的一階微分方程，得這是可分離變量的一階微分方程，得 220() 0.62RRRhTdhSgh302(2)0.62RR hhdhSg53520224214350.6292RRRhhSgSgRxySO圖圖3-3hr例例4 一根長(zhǎng)度為一根長(zhǎng)度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為的溫度恒為T(mén)1，另一端溫度恒為，另一端溫度恒為T(mén)2，（，（T1、T2為常數(shù)，為常數(shù)，T1 T2）。）。金屬桿橫截面積為金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長(zhǎng)度為，截面的邊界長(zhǎng)度為B，它完全暴露在空氣中，它完全暴露

8、在空氣中，空氣溫度為空氣溫度為T(mén)3，（，（T30，即，即x(t)單調(diào)增加。單調(diào)增加。由由x(t0)=0，可以得出，可以得出 =1，此時(shí)，此時(shí)， 。0RKtCe2)(0Ktx當(dāng)當(dāng)t0，x(t)單調(diào)增加，而當(dāng)單調(diào)增加，而當(dāng)tt0時(shí)，時(shí)，x(t) k k（藥物未吸收完前，輸入速率通常總大于分解（藥物未吸收完前，輸入速率通?？偞笥诜纸馀c排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機(jī)體對(duì)該藥物的吸收、分與排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機(jī)體對(duì)該藥物的吸收、分解能力有關(guān)）。當(dāng)解能力有關(guān)）。當(dāng)k k1 1 k k時(shí)，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱(chēng)為觸時(shí)，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱(chēng)

9、為觸發(fā)翻轉(zhuǎn)（發(fā)翻轉(zhuǎn)（flip-flopflip-flop）。當(dāng)）。當(dāng)k k1 1= =k k時(shí)時(shí)，對(duì)固定的，對(duì)固定的t t，令，令k kk k1 1取極限（應(yīng)用羅比取極限（應(yīng)用羅比達(dá)法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為：達(dá)法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為： 11( )k tk DC tteV 圖圖3-93-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴

10、也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同，（注：為達(dá)到治療目的，血藥濃度應(yīng)達(dá)到某時(shí)間也不盡相同，（注：為達(dá)到治療目的，血藥濃度應(yīng)達(dá)到某一有效濃度，并使之維持一特定的時(shí)間長(zhǎng)度）。一有效濃度，并使之維持一特定的時(shí)間長(zhǎng)度）。圖3-9 我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度C C( (t t) )，當(dāng)然也，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。據(jù)不同

11、疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫量試制、中間試驗(yàn)、專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃

12、度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門(mén)能趕快拿出（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門(mén)能趕快拿出一種能治療一種能治療SARSSARS的良藥或預(yù)防的良藥或預(yù)防SARSSARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。想。SARSSARS的突如其來(lái)，形成了的突如其來(lái)，形成了“

13、外行不懂、內(nèi)行陌生外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類(lèi)藥物對(duì)和治療。但事實(shí)上，抗生素類(lèi)藥物對(duì)SARSSARS的控制與治療絲毫不起作用。的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專(zhuān)家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為以鐘南山院士為首的廣東省專(zhuān)家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4 4月月1616日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARSSARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起

14、的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。 上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱(chēng)單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血被稱(chēng)單房室模型，但機(jī)體事

15、實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10 圖圖3-103-10表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，其間的其間的k k1212表示由室表示由室I I滲透到室滲透到室IIII的變化率前的變化率前的系數(shù)，而

16、的系數(shù)，而k k2121則表示由室則表示由室IIII返回室返回室I I的變化的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。際情況。 當(dāng)差異較大的部分較多當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類(lèi)似建立多房時(shí)，可以類(lèi)似建立多房室系統(tǒng)室系統(tǒng)，即，即N N房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)3.53.5 傳染病模型傳染病模型 傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究

17、傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。 醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾病）的波及人數(shù)不會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)

18、相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)某地區(qū)共有設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有人，最初時(shí)刻共有i人得病，人得病，t時(shí)刻已時(shí)刻已感染（感染（infective）的病人數(shù)為）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（個(gè)人（k稱(chēng)為該疾病的傳染強(qiáng)度），且稱(chēng)為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，

19、它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類(lèi)中的個(gè)體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類(lèi)中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。 ( )odikidti oi則可導(dǎo)出：則可導(dǎo)出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 模型模型2 記記t時(shí)刻的

20、病人數(shù)與易感染人數(shù)時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為分別為i(t)與與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為，初始時(shí)刻的病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，( (3.173.17) )預(yù)報(bào)結(jié)果比預(yù)報(bào)結(jié)果比( (3.153.15) )更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱(chēng)曲線更接近實(shí)際

21、情況。醫(yī)學(xué)上稱(chēng)曲線 為傳染病為傳染病曲線，并稱(chēng)曲線，并稱(chēng) 最大值時(shí)刻最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行為此傳染病的流行高峰。高峰。ditdtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。 模型模型2 2仍有不足之處，它仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。病，與實(shí)際情況不符。 為了使模型更精為了使模型更精確，有必要再將確，有必要再將人群細(xì)分，建立人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)多房室系統(tǒng)infec

22、tiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdrlidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 稱(chēng)為傳染病恢復(fù)系數(shù) 求解過(guò)程如下：求解過(guò)程如下： 對(duì)（對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（）式求導(dǎo)，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：記：記： lk則：則：1( )( )r tos ts e 將人群劃分為三類(lèi)（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染將人群劃分為三類(lèi)（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記）。分

23、別記t時(shí)刻的三類(lèi)人數(shù)為時(shí)刻的三類(lèi)人數(shù)為s(t)、i(t)和和r(t)，則可建立下面的三房室模型：，則可建立下面的三房室模型： 模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 從而解得：從而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss ts er tni ts t 積分得：積分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不難驗(yàn)證，當(dāng)t+時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象

24、的原因（為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改寫(xiě)成：）式改寫(xiě)成： ()diki sdt 其中其中 通常是一個(gè)與疾病種類(lèi)有關(guān)的通常是一個(gè)與疾病種類(lèi)有關(guān)的較大的常數(shù)。較大的常數(shù)。kl下面對(duì)下面對(duì) 進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖0didt如果如果 ，則有則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。os如果如果 ，則開(kāi)始時(shí)，則開(kāi)始時(shí) ，i(t)單增。但在單增。但在i(t)增加的同時(shí)，增加的同時(shí)，伴隨地有伴隨地有s(t)單減。當(dāng)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于減少到小于等于 時(shí)，時(shí)， i(t)開(kāi)始減開(kāi)始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。小

25、，直至此疾病在該地區(qū)消失。os0didt鑒于在本模型中的作用，鑒于在本模型中的作用， 被被醫(yī)生們稱(chēng)為此疾病在該地區(qū)醫(yī)生們稱(chēng)為此疾病在該地區(qū)的閥值。的閥值。 的引入解釋了為什的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。的所有人。圖3-14 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)椋┘膊〔⒎且蛉鄙僖赘腥菊叨Ｖ箓鞑?，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否則將導(dǎo)致所有人得病。缺少傳播者才停止傳