通信原理第2章隨機過程

1、通通 信信 原原 理理 電電 子子 教教 案案第第2 2章章 隨機過程隨機過程西西 北北 工工 業(yè)業(yè) 大大 學(xué)學(xué)2008.3第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-262第二章第二章 隨機過程隨機過程 本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 2.1 引言引言 2.2 隨機過程的一般表述隨機過程的一般表述 2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 2.4 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 2.5 高斯過程高斯過程 2.6 窄帶隨機過程窄帶隨機過程 2.7 正弦波加正弦波加窄帶隨機過程窄帶隨機過程 2.8 隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng)第第

2、2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2632.1 引言引言 通信過程是通信過程是信號和噪聲信號和噪聲通過通過通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)的過程，分析與研究的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。 隨機信號：隨機信號：通信系統(tǒng)中的信號通?？値撤N隨機性。不通信系統(tǒng)中的信號通?？値撤N隨機性。不可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號?？深A(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號。 隨機噪聲：隨機噪聲：通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪聲）。簡稱噪聲。聲）。簡稱噪聲。 隨機過程：隨機過程：從統(tǒng)計學(xué)的觀點看，隨機信號和從統(tǒng)

3、計學(xué)的觀點看，隨機信號和 隨機噪聲統(tǒng)隨機噪聲統(tǒng)稱為隨機過程。稱為隨機過程。 統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)隨機過程的理論隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪可以運用到隨機信號和噪聲分析中來。聲分析中來。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2642.2 2.2 隨機過程的一般表述隨機過程的一般表述2.2.1 2.2.1 概念及定義概念及定義考察：考察： 假設(shè)假設(shè)有無數(shù)臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測有無數(shù)臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測試其輸出。試其輸出。 得到得到一系列噪聲波形一系列噪聲波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)、.。理想時，。理想時，波

4、形應(yīng)一致，但實際不然波形應(yīng)一致，但實際不然找不到兩個完全相找不到兩個完全相同的波形。同的波形。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-265討論：討論：每一條曲線每一條曲線i(t)都是一個隨都是一個隨機起伏的時間函數(shù)機起伏的時間函數(shù)隨機隨機函數(shù)函數(shù)。無窮多個隨機函數(shù)的總體無窮多個隨機函數(shù)的總體在統(tǒng)計學(xué)中稱作隨機函數(shù)的在統(tǒng)計學(xué)中稱作隨機函數(shù)的總集總集隨機過程隨機過程(t) 。每一條曲線每一條曲線i(t)都是隨機過都是隨機過程的程的一個實現(xiàn)一個實現(xiàn)/樣本樣本。在某一特定時刻在某一特定時刻t1觀察各臺接收機的輸出噪聲值觀察各臺接收機的輸出噪聲值(t1) ，發(fā)，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的現(xiàn)他們

5、的值是不同的 是一個隨機量（是一個隨機量（隨機變量隨機變量）。）。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-266概括：概括： 隨機過程隨機過程(t)的含義屬性的含義屬性有兩點：有兩點： （1）(t)是是t 的函數(shù)；的函數(shù)； （2）(t)在任一時刻在任一時刻 t1上的取值上的取值(t1)不是確定的，是一個不是確定的，是一個隨機變量隨機變量。即每個時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布。即每個時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。的。概率論：隨機變量分析概率論：隨機變量分析分布函數(shù)分布函數(shù)和和概率密度概率密度第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2672.2.2 2.2.

6、2 隨機過程統(tǒng)計特征隨機過程統(tǒng)計特征. . 分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)和概率密度（1 1）一維描述）一維描述 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù) 隨機過程隨機過程(t)任一時刻任一時刻 t1 的取值是隨機變量的取值是隨機變量(t1)，則隨機變，則隨機變量量(t1)小于等于某一數(shù)小于等于某一數(shù) 值值 x1的概率的概率(t1) （2.2.1） 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-268 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 若一維分布函數(shù)對若一維分布函數(shù)對x1 1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的一維

7、概率密度。的一維概率密度。 （2 2）二維描述）二維描述隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 若隨機過程若隨機過程(t)在時刻在時刻 t1 的取值是隨機變量的取值是隨機變量(t1)，而在時，而在時刻刻t2的取值是隨機變量的取值是隨機變量(t2)，則，則(t2)與與(t2)構(gòu)成一個二元隨機構(gòu)成一個二元隨機變量變量(t1)，(t2)，稱，稱 F2（x1，x2；t1，t2）= P(t1)x1；(t2)x2 為隨機過程為隨機過程(t)的二維分布函的二維分布函數(shù)數(shù)111111,F x tfx tx第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-

8、6-269二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù) 若二維分布函數(shù)對若二維分布函數(shù)對x1和和x2二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則2212122121212,; ,; ,Fxxt tfxxt txx 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的二維概率密度。的二維概率密度。同理，可以定義隨機過程的同理，可以定義隨機過程的多維分布函數(shù)多維分布函數(shù)及多維概率密及多維概率密度分別為度分別為 nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf .,.,;,.,.,;,.,212121112112121122n,; , , ( )x , ( )x , , ( )x nnnnF x xx t ttPttt第第2 2章章 隨

9、機過程隨機過程通信原理2022-6-2610統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立 對于任何對于任何n個隨機變量個隨機變量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）則稱這些變量是則稱這些變量是統(tǒng)計獨立的統(tǒng)計獨立的，否則就是，否則就是不獨立的不獨立的或或相相關(guān)的。關(guān)的。意義：意義： 可以把隨機過程可以把隨機過程(t)當作一個多元的隨機變量來看待，當作一個多元的隨機變量來看待，而用這個多元隨機變量而用這個多元隨機變量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函數(shù)或概的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機

10、過程的統(tǒng)計特性。率密度來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。 顯然，顯然，n 越大，對隨機過程的描述越充分。越大，對隨機過程的描述越充分。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26112.數(shù)字特征引言引言 問題：問題：隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善 地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性。但地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性。但實際中：難；不必實際中：難；不必。 措施：措施：用隨機過程的用隨機過程的數(shù)字特征數(shù)字特征來描繪隨機過程的統(tǒng)計特性，來描繪隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單方便。更簡單方便。 方法：方法：求隨機過程數(shù)字特征的方法有求隨機過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計

11、平均統(tǒng)計平均”和和“時時間平均間平均”兩種。兩種。 統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均: 對隨機過程對隨機過程(t)某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能取值取值(ti)隨機變量隨機變量 ，用，用統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法得出的種種平均值叫統(tǒng)得出的種種平均值叫統(tǒng)計平均。計平均。 時間平均時間平均:對隨機過程對隨機過程(t)的某一的某一特定實現(xiàn)特定實現(xiàn)i(t) ，用數(shù)學(xué)分，用數(shù)學(xué)分析方法析方法對時間求平均對時間求平均得出的種種平均值叫時間平均。得出的種種平均值叫時間平均。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2612（一一）統(tǒng)計平均）統(tǒng)計平均1.均值均值 隨機過程在任意時刻隨機過程在任意時刻

12、t 的取值所組成隨機變量的取值所組成隨機變量(t)的均值的均值稱為隨機過程的均值，也稱為統(tǒng)計平均或數(shù)學(xué)期望。即稱為隨機過程的均值，也稱為統(tǒng)計平均或數(shù)學(xué)期望。即注：注：t1t，x1 x 物理意義：物理意義：均值代表隨機過程的均值代表隨機過程的擺動中心擺動中心。2.均方值均方值 隨機變量隨機變量(t)的二階原點矩的二階原點矩1 ( )()( )(2.2.2)Etxfxt dxa t 記為，221 ( ) ()(2.2.2 )Etx f xt dxa，稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的均方值。的均方值。相對于橫軸的振動程度相對于橫軸的振動程度 。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2

13、6133.3.方差方差 隨機變量隨機變量(t)的二階中心矩的二階中心矩2222212 ( ) ( ) ( ) ( )( )() ( )(2.2.4)DtEtEtEtEtx f xt dxa tt 記為，（）稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的方差。的方差。 相對于均值的振動程度相對于均值的振動程度 。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26144.4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)隨機過程不同時刻取值之間的相互隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系關(guān)系 衡量隨機過程衡量隨機過程(t)在任意在任意兩個時刻兩個時刻t1和和t2上獲得的隨機變量上獲得的隨機變量(t1)和和(t2)的統(tǒng)計相

14、關(guān)特性時，常用協(xié)方差函數(shù)的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1，t2)和相和相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)R(t1，t2)來表示。來表示。（1 1）相關(guān)函數(shù)）相關(guān)函數(shù) (t1)和和(t2)的二階原點混合矩的二階原點混合矩稱為隨機過程稱為隨機過程( (t) )的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)。（2）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)2121222121212() ( ) ( )()(2.2.4)R ttEttx x fxxttdx dx ， ； ，第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2615稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的協(xié)方差。的協(xié)方差。 顯然，有以上兩式可得顯然，有以上兩式可得 ） 若若E(t1)或或E(t2)

15、為零，則為零，則B(t1，t2)= R(t1，t2) 這里的這里的R(t1，t2)及及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，因此又常分別稱為因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和和自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)。 21211221222121212(2.2.() ( )( ) ( )( )( )( )()4)B ttEta tta txa txa tf xxtt dxdx ， ； ，（2）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)(t1)和和(t2)的二階中心混合矩的二階中心混合矩第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26165.5.互協(xié)方差與互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)互

16、相關(guān)函數(shù)不同隨機過程間的關(guān)系不同隨機過程間的關(guān)系（1）互相關(guān)函數(shù)）互相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)(t)與與(t)分別表示兩個隨機過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為分別表示兩個隨機過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為R(t1，t2)=E(t1)(t2) 如果兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立如果兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立R(t1，t2)= 0 則稱它們是不相關(guān)的則稱它們是不相關(guān)的-正交的隨機過程。統(tǒng)計獨立的兩正交的隨機過程。統(tǒng)計獨立的兩個隨機過程是不相關(guān)的。個隨機過程是不相關(guān)的。（2）互協(xié)方差）互協(xié)方差 互協(xié)方差定義為互協(xié)方差定義為 B(t1，t2)=E(t1)-a(t1)E(t2)-a(t2) 若若

17、B(t1，t2)= 0 則兩個過程是不相關(guān)的。則兩個過程是不相關(guān)的。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2617（二）時間平均（二）時間平均 非周期函數(shù)平均值非周期函數(shù)平均值1.1.平均值平均值（或（或直流分量直流分量） 設(shè)設(shè)i(t)是隨機過程是隨機過程(t)的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本函數(shù)的時間平均為函數(shù)的時間平均為注：注：結(jié)果與時間無關(guān)，為常數(shù)。結(jié)果與時間無關(guān)，為常數(shù)。2. 2. 均方值均方值（或（或總平均功率總平均功率） 221limTTTAdtT 221limTTiiTaAtt dtT 22221limTTiiTAttdtT 第第2 2章章

18、 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26183.3.方差方差（或交流功率）（或交流功率）4.4.自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 樣本函數(shù)樣本函數(shù)i(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為的自相關(guān)函數(shù)定義為 222221limiTTiTAtatadtT 221limiiTTiiTRtAttttdtT 第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2619自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：的性質(zhì)： 221limiiTTiiTRtAttttdtT 200RAtRRRR均方值（平均功率）均方值（平均功率）這是當然這是當然偶函數(shù)偶函數(shù)第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26202.3 2.3 平穩(wěn)隨機過程

19、平穩(wěn)隨機過程2.3.12.3.1定義定義1.1.狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程 假設(shè)一個隨機過程假設(shè)一個隨機過程(t)，如果它的任何，如果它的任何n維分布或概率密維分布或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任意的度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任意的t 和和，隨機過程，隨機過程(t)的的n 維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）（2.2.2）則稱則稱(t)是是嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程或或狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2621顯見，

20、平穩(wěn)隨機過程具有如下顯見，平穩(wěn)隨機過程具有如下特點：特點：統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的一維分布與一維分布與t無無關(guān)關(guān)，二維分布僅與時間間隔二維分布僅與時間間隔有關(guān)有關(guān)。數(shù)字特征變得數(shù)字特征變得“平穩(wěn)平穩(wěn)”、簡單：、簡單：數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望與 t 無關(guān)無關(guān)：a(t)= a ；自相關(guān)函數(shù)只與自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)：有關(guān)：R(t1，t1+)=R().fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26222.2.廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程

21、一隨機過程一隨機過程(t)，如果它滿足：，如果它滿足： （1）數(shù)學(xué)期望與）數(shù)學(xué)期望與 t 無關(guān)，即：無關(guān)，即：a(t)=a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，即：有關(guān)，即： R(t1，t1+)=R()。 則則稱稱(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。是廣義平穩(wěn)的隨機過程。意義：意義：平穩(wěn)隨機過程具有平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。機過程。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2623 則說則說(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)

22、性為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）（遍歷性）的平穩(wěn)隨機過程的平穩(wěn)隨機過程.。 2.各態(tài)歷經(jīng)的含義各態(tài)歷經(jīng)的含義 隨機過程的任一實現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機過程的隨機過程的任一實現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機過程的所有的可能狀態(tài)。所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的特點各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的特點好處好處 任何一個實現(xiàn)都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析任何一個實現(xiàn)都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析計算帶來極大方便。計算帶來極大方便。 aaRR2.3.2 2.3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性1.1.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程各態(tài)歷經(jīng)隨機過程 假設(shè)假設(shè)(t)是一個平穩(wěn)隨機過程，如果有下列

23、式子成立是一個平穩(wěn)隨機過程，如果有下列式子成立第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26242.3.3 2.3.3 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù) 特別重要，特別重要，因為：因為： （1 1）平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)）平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；函數(shù)來描述； （2 2）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機過程的頻譜特性。）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機過程的頻譜特性。1.1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè)(t)為實平穩(wěn)隨機過程，相關(guān)函數(shù)為實平穩(wěn)隨機過程，相關(guān)函數(shù)R()=E(t)(t+)具有如下具有如下性質(zhì)：性質(zhì)：（1） R(0)=

24、E2 (t)= s -(t)的的平均功率平均功率。（2） R()=R(-) -R()是是偶函數(shù)偶函數(shù)。 （3） | R()|R(0) - R() 的的上界上界。（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。（5） R(0)R()=2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2625（3） | R()|R(0) - R() 的的上界。上界。證：證：由于由于 E(t)(t+)2 0 從而從而 E(t)(t+)2 = E2(t)+2(t+)2(t)(t+) = E2(t)+ E2(t+)2E(t)(t+); -平穩(wěn)平穩(wěn) = 2

25、R(0)2R()0 所以，得所以，得 R(0)R() 即即 |R()|R(0)第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2626（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。證：證：注：注：這里利用了當這里利用了當時時(t)與與(t+)變得變得沒有沒有依賴關(guān)系，依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨立，且認為即統(tǒng)計獨立，且認為(t)不不含有周期分量。含有周期分量。2()lim( )lim ( ) () ( ) () ( )RREttEtEtEt 平 穩(wěn)，（5） R(0)- R()= 2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。證：證： 由由 D(t)= E(t)-E(t)2 =E2

26、(t) -2(t)E(t)+ E2(t) = E2(t) -E2(t)=R(0)- a2 得得 2= R(0)- R()第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26272.3.4 2.3.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)R()與與功率譜密度功率譜密度P()的關(guān)系的關(guān)系 -相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()的又一重要性質(zhì)。的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：設(shè)：(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，R()絕對可積絕對可積Rd 則則簡記為：簡記為：P()R()意義：意義：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。傅里葉關(guān)系。 2.4.912.4.1

27、02jjPRedRPed第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2628證：分三步來考慮：證：分三步來考慮：(1) 對于任一確知能量信號對于任一確知能量信號f(t)，根據(jù)瑞利能量定理，有，根據(jù)瑞利能量定理，有dFdttfE22)(21)(第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2629(2) 假設(shè)假設(shè)f(t)為時間無限信號（功率信號），若用為時間無限信號（功率信號），若用 fT(t)代表代表f(t)在在-T/2tT/2區(qū)間上的區(qū)間上的短截函數(shù)短截函數(shù)， 即即其 它，02)()(TttftfTf(t)fT(t)-T/2 0 T/2 t-T/2 0 T/2 t只要只要T

28、為有限值為有限值fT(t)就具有就具有有限的能量有限的能量，即，即dttfE)(2第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2630若若FT ()fT(t)，則根據(jù)，則根據(jù)瑞利定理瑞利定理：dFdttfETT22)(21)(根據(jù)根據(jù)平均功率平均功率的定義：的定義：2222)(lim21)(1limTTTTTTdTFdttfTs 當當T時，時，F(xiàn) FT T( () )2/T/T趨于一個極限，趨于一個極限，并將其定義為功率譜密度，用符號并將其定義為功率譜密度，用符號Ps()表示，即表示，即第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2631) 6 . 4 . 2()(lim)

29、(2TFPTTs單位為單位為瓦瓦/赫。赫。因此信號的平均功率可寫成因此信號的平均功率可寫成dPss)(21（）（）某一某一實現(xiàn)實現(xiàn)的功率譜密度，的功率譜密度，不能不能作為作為過程過程的功率譜密度。應(yīng)：過程的功的功率譜密度。應(yīng)：過程的功率譜密度應(yīng)看作是每一可能實現(xiàn)的率譜密度應(yīng)看作是每一可能實現(xiàn)的功率譜功率譜Ps()的的統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均，即，即第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2632其中：其中：P()-為為(t)的的功率譜密度功率譜密度； (t)的某一實現(xiàn)的短截函數(shù)為的某一實現(xiàn)的短截函數(shù)為(t)且且(t)F ()。(t)的平均功率：的平均功率：).()(lim)()(7422

30、TFEPEPTTs ).()(lim)(84221221 TFEdPsTT 第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2633考察：考察： 22222222222()221( )( )1( )( )1()TTTjwtjwtTTTTTTjwtjwtTTTTjw t tTTE FwEt edtt edtTTEt edtt edtTR tt edt dtT第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2634利用二重積分換元法利用二重積分換元法(略略)化簡上式化簡上式所以所以 deRTdeRTwFEjwTTjwTTT 2).)()()(lim)(lim)(94202 RdeRde

31、RTFEPjTTjTTT 第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2635利用付氏對稱性，可得利用付氏對稱性，可得：所以：所以：P()R() （2.4.10）歸納：歸納：驗證驗證平穩(wěn)平穩(wěn)具有具有隨機過程隨機過程 各態(tài)歷經(jīng)性：各態(tài)歷經(jīng)性： 時間平均時間平均統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均P P(w) R()(w) R() 121021平平均均功功率率 sdwwPRdwewPRjwt 第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2636歸納：歸納：時間平均時間平均驗證驗證平穩(wěn)平穩(wěn)具有具有隨機過程隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性：各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均P() R()例例2.4.1 某隨機相位信號某隨

32、機相位信號(t)=sin(0t+)，其中：，其中：0為常數(shù)，隨為常數(shù)，隨機相位機相位在（在（0，2）內(nèi)均勻分布。求）內(nèi)均勻分布。求(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。譜密度和平均功率。（1） R(0)=E2 (t)= s -平均功率平均功率（2） R()=E2(t)=a2 -直流功率直流功率/均值均值（3） R(0)R()=2 -方差，方差，交流功率交流功率第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2637解：解：（1）驗證）驗證(t)的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性200021)sin()()()()(dtdfttEta-與與t無關(guān)。無關(guān)。)(cos21)()(),(0R

33、ttEttR -僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。 故故(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。是廣義平穩(wěn)的隨機過程。例例2.4.1 某隨機相位信號某隨機相位信號(t)=sin(0t+)，其中：，其中：0為常數(shù)，為常數(shù)，隨機相位隨機相位在（在（0，2）內(nèi)均勻分布。求）內(nèi)均勻分布。求(t)的自相關(guān)函數(shù)、功的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。率譜密度和平均功率。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2638（2 2）根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)）根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)，得，得01( )cos2R 0011(0)cos22SR 00()( )()()()2PRP 第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6

34、-26392.4 2.4 高斯過程高斯過程2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 1.1.定義定義 一隨機過程一隨機過程(t)，若它的任意，若它的任意n維概率密度呈正態(tài)分布，則維概率密度呈正態(tài)分布，則稱其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機過程。稱其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機過程。 數(shù)學(xué)表達式數(shù)學(xué)表達式見式見式（2.5.1） 一維時：一維時：21111211()1( , )exp22xaf x t第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26402.2.性質(zhì)性質(zhì)由定義可分析出由定義可分析出（1）高斯過程）高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2）高斯過程中的隨機變量）高

35、斯過程中的隨機變量(t1)、(t2)、(t3)、之間之間若不相若不相關(guān)關(guān)，則它們也是，則它們也是統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立的。的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn） （2.5.3）（3）若干個高斯過程之和仍是高斯過程若干個高斯過程之和仍是高斯過程。從信號角度。從信號角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。從系統(tǒng)（線從系統(tǒng)（線性系統(tǒng)）角度。性系統(tǒng)）角度。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2641221()( )exp(2.5.4)22xafx 則稱則稱為服從正態(tài)分布的

36、隨機變量則稱為服從正態(tài)分布的隨機變量則稱為服從正態(tài)分為服從正態(tài)分布的隨機變量布的隨機變量 2.4.2 2.4.2 高斯過程中的一維分布高斯過程中的一維分布隨機變量研究隨機變量研究1.1.一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)（1）高斯隨機變量）高斯隨機變量 若隨機變量若隨機變量的概率密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2642（2 2）性質(zhì)）性質(zhì)1）對稱于直線）對稱于直線x=a; 2）在）在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點處達到極大值點處達到極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf

37、 x dxf x dx，3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定時一定時，。5）當）當a0 ， 時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標準化正態(tài)分時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標準化正態(tài)分布：布： 121( )exp()22xf x第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26432.2.正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（1 1）一般表示式）一般表示式已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為： 22222/ 21()exp221()exp( )( )221(2.5.8 )2xxxatxzadzzazadFx

38、ztdtdzedtfzadz ， 令， 則這個積分不易計算，常引入這個積分不易計算，常引入概率積分函數(shù)概率積分函數(shù)或或誤差函數(shù)誤差函數(shù)（可查（可查表）表）來表述。來表述。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2644（2 2）用概率積分函數(shù)表示）用概率積分函數(shù)表示 定義概率積分函數(shù)定義概率積分函數(shù)( (簡稱簡稱概率積分概率積分) )為為2/ 21( )(2.5.9)2xzxedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt則正態(tài)分布函數(shù)可表示為 ( )(2.5.8)xaF x （）第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2

39、645（3) 3) 用誤差函數(shù)表示用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1 1）誤差函數(shù)定義）誤差函數(shù)定義20( )2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：22/221()1exp( )( )222xx axtzadzeF xf z dzdt第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26462 2）誤差函數(shù)的性質(zhì)）誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)： )()(xerfxerf1)(erf)(

40、1)(xerfcxerfc0)(erfc11)(2xexxerfcx，互補誤差函數(shù)是遞減函數(shù)互補誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26473 3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù) xa 時：時：22220( )( )( )( )11()exp22211211()2.5.12222xaxaxaxatFxfz dzfz dzfz dzzadzedtxaerf 20,222( )xzzat dzdterf xedz202( )xze

41、rf xedz第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2648 xa( )( )( )( )11()2.5.1322xxF xf z dzf z dzf z dzxaerfc22( )zxerfc xedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt綜上：綜上：2211221()2( )exp122122xxaerfxazaF xdzxaerfcxa，第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2649ffS()-fc 0 fc f (a)s(t)緩慢變化的包絡(luò)a(t)頻率近似為fc(b)t圖2-4 窄帶波形的頻譜及示意波形2.

42、5 2.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程窄帶過程窄帶過程2.5.12.5.1窄帶隨機過程的概念窄帶隨機過程的概念1.1.什么叫窄帶隨機過程？ 頻譜頻譜: 所占頻帶較窄，滿足所占頻帶較窄，滿足f fc的隨機過程叫。的隨機過程叫。 時域：時域：用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)的波形幅度和相用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)的波形幅度和相位隨機緩慢變化的近似正弦。位隨機緩慢變化的近似正弦。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2650221( )=a ( ) cos( )(t)(t)=a ( )sin( )(t)( )( )( )(t)( )(t)cscssctttttatttttg 同 相 分 量正

43、 交的的分 量隨 機 包 絡(luò)的的 隨 機 相 位問：問：窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的的? ( )( )cos(t),0( )cos(t)sin(2.6.1/2) cccsctattattt2. 2. 表達式表達式兩種！兩種！第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26512.5.2 已知已知(t)的統(tǒng)計特性，求的統(tǒng)計特性，求c(t)、s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性結(jié)論結(jié)論1 1若若(t)：均值為：均值為0 0、方差為、方差為2 2、窄帶、平穩(wěn)、高斯、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機過程。隨機過程。則：則：（1）c(t)、s(t)同樣

44、是同樣是平穩(wěn)高斯平穩(wěn)高斯隨機過程；隨機過程；（2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都為都為0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t) ；（4）在同一時刻（即在同一時刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為0，即，即c與與s互不相關(guān)，或說互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立。(0)=0,(,)= ()()cscscsRfff( )( )cos(t)sinccsctttt第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26522.5.3 已知已知(t)的統(tǒng)計特性，求的統(tǒng)計特性，求 a(t)、(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性 結(jié)論結(jié)論2

45、2若若(t)：均值為：均值為0、方差為、方差為2、窄帶平穩(wěn)高斯、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程。隨機過程。則：則： （1）其）其包絡(luò)包絡(luò)a(t)的一維的一維pdf 呈呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一維的一維pdf呈呈均勻分布均勻分布；（3） a(t)與與(t)統(tǒng)計獨立。統(tǒng)計獨立。222222()=exp,02.6.201(),(, )(2.6.21) 21(,)=exp()() ()2aaf aafaaf af a f ( )( )cos(t),0cta tta第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26532.6 寬帶隨機過程寬帶隨機過程2.6.1 2.6.1 白噪聲白

46、噪聲 1.1.定義：定義：凡功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，凡功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱為白噪聲。即：稱為白噪聲。即： 雙邊譜密度：雙邊譜密度： 單邊譜密度：單邊譜密度：( )()2onnP ( )(0)noPn其中：其中：n0為常數(shù)，為常數(shù)，W/Hz。一般一般默認白噪聲為平穩(wěn)默認白噪聲為平穩(wěn)的。的。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26542.2.自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)據(jù)據(jù)：功率信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏變換對。功率信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏變換對。 2)(2)(00nRnPnn圖圖2-5 白噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)白

47、噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù) 結(jié)論：結(jié)論：對白噪聲而言，只有當對白噪聲而言，只有當=0時（同一時刻）才相關(guān)，而時（同一時刻）才相關(guān)，而在在0的任何兩個時刻上的隨機變量，皆不相關(guān)。的任何兩個時刻上的隨機變量，皆不相關(guān)。問：問：高斯白高斯白噪聲？噪聲？第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2655000,(,)( )20,nffP其它2.6.2 2.6.2 帶限帶限白白噪聲噪聲1.1.定義定義 白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器(-f0，f0) )后而形成的噪聲，被后而形成的噪聲，被稱為稱為帶限白帶限白噪聲，即其功率譜密度為：噪聲，即其功率譜密度為：第第2 2章章 隨機過

48、程隨機過程通信原理2022-6-26562.2.自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)000000000()( )1( )2212fjfPRnRednSanf Sa 據(jù) ：（）（）N-噪聲平均功率，噪聲平均功率，取決于取決于n 0 f0 -P()的的面積。面積。 00(0)Rn fN特別：第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2657結(jié)論：結(jié)論：按抽樣定理對帶限白噪聲抽樣的話，各抽樣值是互按抽樣定理對帶限白噪聲抽樣的話，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量不相關(guān)的隨機變量( (各抽樣點處的隨機變量是互不相關(guān)的各抽樣點處的隨機變量是互不相關(guān)的) )。問：問：窄帶、高斯、白噪聲的含義。窄帶、高斯、白噪聲的含

49、義。第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26582.7 2.7 正弦信號加窄帶高斯噪聲正弦信號加窄帶高斯噪聲2.7.1 2.7.1 合成信號表達式合成信號表達式正弦信號加窄帶高斯噪聲后的正弦信號加窄帶高斯噪聲后的合成信號合成信號可表示為：可表示為：cos()cAt其中：其中：( )cos()( )(2.7.1)cr tAtn t( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt-正弦載波正弦載波: :假定假定A、c為常數(shù)為常數(shù);為隨機變量，其一維為隨機變量，其一維pdf 均勻分布，即：均勻分布，即： f()=1/(2)， 02-窄帶隨機過程窄帶隨機過程: nc(t)

50、-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。( )( )cos( )sinccscttttt第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2659代入，整理：代入，整理： cos()( )coscossinsin( )cos( )sincos( )( )co( ) cos sin( )ss( )sincosincccccscccsccscccAtn tAtAtn ttn ttAn ttAr tz ttz ttz tttn tt221( )( )(, )( )( )(2)csscz tztztztttgzt ，z0,合成波包絡(luò)-合成波相位，0其中：其中

51、：-r(t)-r( )c(os( )( )s n( )t)icccsz tAn tz tAn t合成同相分量波的；合成波的正交分量；第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-26602.7.2 統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性（1 1）同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性）同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性( )cos( )( )sin( )cccsz tAn tz tAn t結(jié)論結(jié)論1若：若：n(t) 均值為均值為0、方差為、方差為2、窄帶平穩(wěn)高斯、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程隨機過程; 給定。給定。則：則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是同樣是窄帶平穩(wěn)高斯窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程；隨機過程；（2）且）且zc2=zs2

52、=n2=2方差相同，同于方差相同，同于n(t) ；（3）但：）但：Ezc(t)= Ezs(t)=（4）在同一時刻（即）在同一時刻（即=0）上得到的）上得到的zc及及zs互相關(guān)函數(shù)為互相關(guān)函數(shù)為0，即，即zc與與zs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立?；ゲ幌嚓P(guān)，或說統(tǒng)計獨立。 ( )( )cos( )sincosccsccr tz ttz ttz ttt第第2 2章章 隨機過程隨機過程通信原理2022-6-2661（2 2）合成信號振幅合成信號振幅z(t)和相位和相位 (t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性可以證明，正弦信號加窄帶高斯噪聲所形成的合成信號具可以證明，正弦信號加窄帶高斯噪聲所形成的合成信號具有如下統(tǒng)計特性：有如下統(tǒng)計特性： 1）隨機包絡(luò)服從廣義瑞利分布隨機包絡(luò)服從廣義瑞利分布（也稱萊斯（也稱萊斯（Rice）分布）分布）-(2.7-3)(2.7-3)。 2）隨機相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，）隨機相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分不再是均勻分布了布了。當。當信噪比很小時，它接近于均勻分布信噪比很