第八章控制系統(tǒng)的分析方法

1、控制系統(tǒng)的分析方法MATLAB技術(shù)應(yīng)用控制系統(tǒng)的分析方法 早期的控制系統(tǒng)分析過(guò)程復(fù)雜而耗時(shí)，如想得到一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)曲線，首先需要編寫(xiě)一個(gè)求解微分方程的子程序，然后將已經(jīng)獲得的系統(tǒng)模型輸入計(jì)算機(jī)，通過(guò)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算獲得沖激響應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后再編寫(xiě)一個(gè)繪圖程序，將數(shù)據(jù)繪制成可供工程分析的響應(yīng)曲線。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱和SIMULINK輔助環(huán)境的出現(xiàn)，給控制系統(tǒng)分析帶來(lái)了福音。控制系統(tǒng)的分析包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、時(shí)域分析、頻域分析及根軌跡分析。q對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點(diǎn)全部在S平面左半平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。q對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點(diǎn)都位于Z平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。q

2、若連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全部零極點(diǎn)都位于S左半平面；或若離散時(shí)間系統(tǒng)的全部零極點(diǎn)都位于Z平面單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)判據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2、直接判別MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)進(jìn)行判斷。系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)的判別方法1、間接判別（工程方法）勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。胡爾維茨判據(jù)：當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)分母多項(xiàng)式構(gòu)成的胡爾維茨矩陣為正定矩陣時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。ii=find(條件式)用來(lái)求取滿足條件的向量的下標(biāo)向量，以列向量表

3、示。例如 條件式real(p0)，其含義就是找出極點(diǎn)向量p中滿足實(shí)部的值大于0的所有元素下標(biāo)，并將結(jié)果返回到ii向量中去。這樣如果找到了實(shí)部大于0的極點(diǎn)，則會(huì)將該極點(diǎn)的序號(hào)返回到ii下。如果最終的結(jié)果里ii的元素個(gè)數(shù)大于0，則認(rèn)為找到了不穩(wěn)定極點(diǎn)，因而給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的提示，若產(chǎn)生的ii向量的元素個(gè)數(shù)為0，則認(rèn)為沒(méi)有找到不穩(wěn)定的極點(diǎn)，因而得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。pzmap(p,z)根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn)p和z繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能常用典型輸入作用下的響應(yīng)來(lái)描述。響應(yīng)是指零初始值條件下某種典型的輸入函數(shù)作用下對(duì)象的響應(yīng)，控制系統(tǒng)常用的輸入函數(shù)為單位階躍函數(shù)和脈沖激勵(lì)函數(shù)（即沖激函數(shù)）。在

4、MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)。時(shí)域分析的一般方法q求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：step()q求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：impulse()控制系統(tǒng)的時(shí)域分析qy=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)，t為選定的仿真時(shí)間向量，一般可以由t=0:step:end等步長(zhǎng)地產(chǎn)生出來(lái)。該函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在仿真時(shí)刻各個(gè)輸出所組成的矩陣。qy,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述矩陣，iu用來(lái)指明輸入變量的序號(hào)。x為系統(tǒng)返回的狀態(tài)軌跡。q如果對(duì)具體的響應(yīng)值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)

5、的階躍響應(yīng)曲線，可調(diào)用以下的格式：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以通過(guò)函數(shù)dcgain()來(lái)求取，其調(diào)用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)qy,x,t=step(num,den)：此時(shí)時(shí)間向量t由系統(tǒng)模型的特性自動(dòng)生成, 狀態(tài)變量x返回為空矩陣。step()函數(shù)的用法求取脈沖激勵(lì)響應(yīng)的調(diào)用方法與step()函數(shù)基本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impu

6、lse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse()函數(shù)的用法p對(duì)于典型二階系統(tǒng)根據(jù)其響應(yīng)時(shí)間的估算公式 可以確定。q對(duì)于高階系統(tǒng)往往其響應(yīng)時(shí)間很難估計(jì)，一般采用試探的方法，把t選大一些，看看響應(yīng)曲線的結(jié)果，最后再確定其合適的仿真時(shí)間。q一般來(lái)說(shuō)，先不指定仿真時(shí)間，由MATLAB自己確定，然后根據(jù)結(jié)果，最后確定合適的仿真時(shí)間。q在指定仿真時(shí)間時(shí)，步長(zhǎng)的不同會(huì)影響到輸出曲線的光滑程度，一般不易取太大。nswt43仿真時(shí)間t的選擇 時(shí)間響應(yīng)探究系統(tǒng)

7、對(duì)輸入和擾動(dòng)在時(shí)域內(nèi)的瞬態(tài)行為，系統(tǒng)特征如：上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都能從時(shí)間響應(yīng)上反映出來(lái)。MATLAB除了提供前面介紹的對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)等進(jìn)行仿真的函數(shù)外，還提供了大量對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的函數(shù)，如：covar：連續(xù)系統(tǒng)對(duì)白噪聲的方差響應(yīng)initial：連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)lsim：連續(xù)系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)對(duì)于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)函數(shù)前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它們的調(diào)用格式與step、impulse類似，可以通過(guò)help命令來(lái)察看自學(xué)。常用時(shí)域分析函數(shù)控制系統(tǒng)的頻域分析q頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從頻率響應(yīng)中可以得出帶寬、增

8、益、轉(zhuǎn)折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。q頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對(duì)頻率的關(guān)系特性。頻率特性函數(shù)與傳遞函數(shù)有直接的關(guān)系，記為：頻域分析的一般方法q求取系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性圖（波特圖）：bode()q求取系統(tǒng)奈奎斯特圖（幅相曲線圖或極坐標(biāo)圖）：nyquist()為相頻特性為幅頻特性其中)()()()()()()()()()()(wwwwXwXwAewAjwXjwXjwGioiowjioq頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種典型方法。采用這種方法可直觀地表達(dá)出系統(tǒng)的頻率特性，分析方法比較簡(jiǎn)單，物理概念比較明確，對(duì)于諸如防止結(jié)構(gòu)諧振、抑制噪聲、改善系統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能等問(wèn)題

9、，都可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確地看出其物理實(shí)質(zhì)和解決途經(jīng)。通常將頻率特性用曲線的形式進(jìn)行表示，包括對(duì)數(shù)頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡(jiǎn)稱幅相曲線，MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數(shù)。1、對(duì)數(shù)頻率特性圖（波特圖）q對(duì)數(shù)頻率特性圖包括了對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖。橫坐標(biāo)為頻率w，采用對(duì)數(shù)分度，單位為弧度/秒；縱坐標(biāo)均勻分度，分別為幅值函數(shù)20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函數(shù)bode()來(lái)繪制系統(tǒng)的波特圖，其用法如下：qbode(a,b,c,d)：自動(dòng)繪制出系統(tǒng)的一組Bode圖，它們是針對(duì)連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的每個(gè)輸入的Bode圖。其中頻率范圍由函數(shù)

10、自動(dòng)選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多取樣點(diǎn)。qbode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個(gè)輸入到所有輸出的波特圖。qbode(num,den)：可繪制出以連續(xù)時(shí)間多項(xiàng)式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的波特圖。qbode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的波特圖。q當(dāng)帶輸出變量mag,pha,w或mag,pha引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng)波特圖相應(yīng)的幅值mag、相角pha及角頻率點(diǎn)w矢量或只是返回幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換為分貝單位：magdb=20log10(mag)2、奈奎斯特圖（幅相頻率特性圖）q對(duì)于頻率特性函數(shù)G

11、(jw)，給出w從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的一系列數(shù)值，分別求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 為橫坐標(biāo)， Im(G(jw) 為縱坐標(biāo)繪制成為極坐標(biāo)頻率特性圖。MATLAB提供了函數(shù)nyquist()來(lái)繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，其用法如下：qnyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組Nyquist曲線，每條曲線相應(yīng)于連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的輸入/輸出組合對(duì)。其中頻率范圍由函數(shù)自動(dòng)選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多取樣點(diǎn)。qnyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個(gè)輸入到所有輸出的極坐標(biāo)圖。qnyquist(num,den)：可繪制出以連續(xù)時(shí)間

12、多項(xiàng)式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。qnyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。q當(dāng)不帶返回參數(shù)時(shí)，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（圖上用箭頭表示w的變化方向，負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮） 。當(dāng)帶輸出變量re,im,w引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實(shí)部re和虛部im及角頻率點(diǎn)w矢量（為正的部分）。可以用plot(re,im)繪制出對(duì)應(yīng)w從負(fù)無(wú)窮到零變化的部分。MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數(shù)外，還提供了大量在工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用的庫(kù)函數(shù)，由這些函數(shù)可以求得系統(tǒng)的各種頻率響應(yīng)曲線和 特征值。如：margi

13、n：求幅值裕度和相角裕度及對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率freqs：模擬濾波器特性nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應(yīng)曲線（即對(duì)數(shù)幅相曲線）ngrid：尼科爾斯方格圖常用頻域分析函數(shù)margin()函數(shù)qmargin函數(shù)可以從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計(jì)算出幅值裕度、相角裕度以及對(duì)應(yīng)的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對(duì)開(kāi)環(huán)SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)不帶輸出變量引用時(shí)，margin可在當(dāng)前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。q幅值裕度是在相角為-180度處使開(kāi)環(huán)增益為1的增益量，如在-180度相頻處的開(kāi)環(huán)增益為g，則幅值裕度為1/g；若用分貝值表示幅值

14、裕度，則等于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當(dāng)開(kāi)環(huán)增益為1.0時(shí)，相應(yīng)的相角與180度角的和。qmargin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB為單位） 、相角phase及角頻率w矢量繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的bode圖。qmargin(num,den) ：可計(jì)算出連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)波特圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計(jì)算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)波特圖。qgm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB為單位） 、相角phase

15、及角頻率w矢量計(jì)算出系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度及相應(yīng)的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，而不直接繪出Bode圖曲線。freqs()函數(shù)qfreqs用于計(jì)算由矢量a和b構(gòu)成的模擬濾波器H(s)=B(s)/A(s)的幅頻響應(yīng)。qh=freqs(b,a,w)用于計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng)，其中實(shí)矢量w用于指定頻率值，返回值h為一個(gè)復(fù)數(shù)行向量，要得到幅值必須對(duì)它取絕對(duì)值，即求模。qh,w=freqs(b,a)自動(dòng)設(shè)定200個(gè)頻率點(diǎn)來(lái)計(jì)算頻率響應(yīng)，這200個(gè)頻率值記錄在w中。qh,w=freqs(b,a,n)設(shè)定n個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算頻率響應(yīng)。q不帶輸出變量的freqs函數(shù)，將在當(dāng)前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，

16、其中幅相曲線對(duì)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)均為對(duì)數(shù)分度。)1(.)2(1)1(.)2()1()()()(11nasasmbsbsbsAsBsHnnmmq所謂根軌跡是指，當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來(lái)說(shuō)，這一參數(shù)選作開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。q根軌跡分析方法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡(jiǎn)便。利用它可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析根軌跡分析方法的概念控制系統(tǒng)的根軌跡分析（1）穩(wěn)定性當(dāng)開(kāi)環(huán)增益K從零到無(wú)窮大變化時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入右半s平面，因此這個(gè)系統(tǒng)對(duì)所有的K值都是穩(wěn)定的。如果根

17、軌跡越過(guò)虛軸進(jìn)入右半s平面，則其交點(diǎn)的K值就是臨界穩(wěn)定開(kāi)環(huán)增益。（2）穩(wěn)態(tài)性能開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，因此根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡確定閉環(huán)極點(diǎn)容許的范圍。（3）動(dòng)態(tài)性能當(dāng)0K0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程，且超調(diào)量與K成正比。 通常來(lái)說(shuō)，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書(shū)中介紹的是一種按照一定規(guī)則進(jìn)行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門(mén)提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。rlocfind：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。sgrid

18、：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點(diǎn)圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。根軌跡分析函數(shù)MATLAB提供了函數(shù)pzmap()來(lái)繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其用法如下：qp,z=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。qp,z=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。qpzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項(xiàng)，則直接在s復(fù)平面上繪制出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用表示，零點(diǎn)用o表示。qpzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn)列向量或行向量直接在s復(fù)平面上繪制出對(duì)應(yīng)

19、的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用表示，零點(diǎn)用o表示。零極點(diǎn)圖繪制MATLAB提供了函數(shù)rlocus()來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，其用法如下：qrlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據(jù)SISO開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開(kāi)環(huán)增益的值從零到無(wú)窮大變化。qrlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 通過(guò)指定開(kāi)環(huán)增益k的變化范圍來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。qr=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開(kāi)環(huán)增益變化矢量k ，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對(duì)應(yīng)某個(gè)k值時(shí)的所有閉環(huán)極點(diǎn)?；蛘咄瑫r(shí)返回k與r。q若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項(xiàng)num為負(fù)