數(shù)學(xué)分析考試課件3[1]4

1、 2011年4月12日第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第十二講 1. Laplace算子與共軛調(diào)和函數(shù)算子與共軛調(diào)和函數(shù) 2. 解析函數(shù)的等價(jià)刻畫(huà)3. 調(diào)和函數(shù)的平均值定理與極值原理 ( ), wf zuivD設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析. , xvyuyvxu 那那末末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , uv與具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 從而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故. 0 2222yvxv同理偏微分方程偏微分方程 22220HHHxy稱(chēng)為稱(chēng)為L(zhǎng)aplace方程方程其中其中2222xy 稱(chēng)為稱(chēng)為L(zhǎng)aplace算子算子從以上分析知從以上

2、分析知:( ), f zuivD若在區(qū)域內(nèi)解析Laplace 0,0.uvDuv 則 與 在 內(nèi)滿(mǎn)足方程:1. Laplace算子算子一一. Laplace算子與共軛調(diào)和函數(shù)算子與共軛調(diào)和函數(shù) 2. 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)( , ) , 0,( , ).H x yDHH x yD如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且滿(mǎn)足拉普拉斯方程則稱(chēng)為區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)( ),f zuivDuv若在區(qū)域內(nèi)解析 則 與 為注注1- DC R在區(qū)域 內(nèi)滿(mǎn)足方程3. 共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)定義定義3.63.6 , uvuvxyyx D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。定義定義3.5注注2 2,u vvuD的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中 稱(chēng)為

3、在區(qū)域 內(nèi)的vu不能交換順序， “ 稱(chēng)為 的共軛調(diào)和函數(shù)”中的定理定理3.18( )( , )( , )f zu x yiv x yD若在區(qū)域內(nèi)解注注3 3如果沒(méi)有條件“共軛”定理3.18的逆未必成立。C.-R.xyyxuvuvuv 由于方程,中， 與,.u v不能交換, u vDuivD也就是說(shuō)即使均是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù),在區(qū)域內(nèi)也不一定解析。共軛調(diào)和函數(shù)。,( , )( , ).Dv x yu x y析 則在 內(nèi)必為的共軛調(diào)和函數(shù)4. 解析函數(shù)的構(gòu)造解析函數(shù)的構(gòu)造D假設(shè) 是單連通區(qū)域(1)( , ),( , ),u x yDv x y已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找2222 0,uuxy由于,uuDy

4、x即與在 內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),uuuuPQyyxxyx 且記方法一方法一: 應(yīng)用曲線積分應(yīng)用曲線積分,yxPQ則由數(shù)學(xué)分析中格林公式的等價(jià)命題知,.uivD使在 內(nèi)解析uudxdyPdxQdyyx是全微分,令( , ),(3.21)uudxdydv x yyx則00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注注4(3.22),x y對(duì)分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù) 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 內(nèi)解析注注5 (3.21)可由下式簡(jiǎn)便記憶( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx方法二方法二: 應(yīng)用不定積分應(yīng)用不定積分-,

5、vuC Ryx由方程有( , )( ),uv x ydyxx-vuC Rxy再由方程另一條件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找(2)( , ),( , ),v x yDu x y已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找( , )uudu x ydxdyxy類(lèi)似有C R方程vvdxdyyx故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注注600(0,0),(,)(0,0),Dxy若則定點(diǎn)可取,(3.22).D若 非單連通 則積分可能為多值函數(shù).uivD使在 內(nèi)解析定理定理3.19( , )u x yD設(shè)是在單連通區(qū)域 內(nèi)的調(diào)( , ),( )v x yf zu

6、ivD所確定的函數(shù)使是 內(nèi)的00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx解析函數(shù).( )f zuivD使得是 內(nèi)的解析函數(shù).( , ),( , )v x yu x y類(lèi)似地，已知調(diào)和函數(shù)也可確定二二. 解析函數(shù)的等價(jià)刻劃解析函數(shù)的等價(jià)刻劃,(3.22)和函數(shù) 則存在由式1. 調(diào)和函數(shù)生成解析函數(shù)調(diào)和函數(shù)生成解析函數(shù)注注72. 刻劃解析函數(shù)又一等價(jià)條件刻劃解析函數(shù)又一等價(jià)條件( )f zuivD在區(qū)域 內(nèi)解析3.18 定理.Dvu在區(qū)域 內(nèi), 是 的共軛調(diào)和函數(shù)3.19 定理注注8 由于任一二元調(diào)和函數(shù)都可作解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部),由解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)仍

7、解析知,任一二元調(diào)和函數(shù)的任意階偏導(dǎo)數(shù)也是調(diào)和函數(shù).證明證明2( , ),u x yxy設(shè)由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故當(dāng)( , )u x y 不是調(diào)和函數(shù),0Laplace,x 雖然在直線上滿(mǎn)足方程但直線不是區(qū)域, 即在z-平面的任意區(qū)域，2.xy 不能作為解析函數(shù)的實(shí)部2 .xy證明不能作為解析函數(shù)的實(shí)部22222 ,uuxxy例例1 12222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y證明都是調(diào)和函數(shù) 但不是解析函數(shù)證明證明由于2 ,uxx222,ux2 ,uyy 222,uy

8、2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222362,()vx yyyxy從而22220,uuxy22220;vvxy例例2 2( , ),u x yz即是 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )0,v x yC 是上的調(diào)和函數(shù)2222222, ,()uvxyyyxxyxxy 0Cuv從而在的任何區(qū)域上 與 不滿(mǎn)足-,.C Rvu方程 故 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函數(shù)22,uvyxxyx 這說(shuō)明僅在曲線上成立2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解法一

9、解法一,z因?yàn)樵?平面上, 0 2222 yuxu于于是是( , ).u x yz故為 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y32( , )3, u x yxxyz驗(yàn)證是 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )( ),(0).u x yf zfi并求以為實(shí)部的解析函數(shù)使例例3( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)

10、ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故oXYxy(x,y)解法二解法二( , ).u x y同方法一可證為調(diào)和函數(shù)yxCRvu由方程中一個(gè)得( , )v x y( )xu dyx22(33)( )xydyx233( )x yyxxyCRvu 再由方程中另一個(gè)得6( )6,xvxyxxy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic1,c 如法一可求3( ).f zzi故例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函數(shù)解解22,yx

11、y 2211vxyyx在右半z平面上2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ()vxyyxy2222 0,vvxy( , ) v x y 為調(diào)和函數(shù).z-C R由方程中的一個(gè)uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-C R再由方程中的另一個(gè)uvyx 得2212( )2yyxy22yxyuvyx ( )0,y從而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是故所求的解析函數(shù)為( )f zuivargtanyixln,zc221ln()2xycargtanyix22l

12、nxycargtanyixln zc3 平均值公式定理9.100 ( ), u zzzRzzR如果函數(shù)在圓內(nèi)是一個(gè)調(diào)和函數(shù) 在閉圓上連續(xù),則20001()()d .2iu zu zR e即u(z) 在圓心處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.證明證明3.19( )( )u zv z由定理，存在的共軛調(diào)和函數(shù)0( )( )( )u ziv zf zzzR使得在圓內(nèi)解析，10 RR設(shè)，20101()2if zR ed000()()()u ziv zf z則由定理3.12（復(fù)變函數(shù)的平均值定理）得2201010011()()22iiu zR ediv zR ed1,RR比較兩端的實(shí)部和虛部，且令則22

13、00000011(),()().2(2)iiu zRedv zv zReudz.僅證最大值情況達(dá)到最大值或最小值。( ),u zD如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函數(shù) 極值原理定理9.2 ( )u zD且不恒為常數(shù)，則在 的內(nèi)點(diǎn)處不能證明證明( )( )u zu z且與的調(diào)和性是相同的。min ( )max( ),z Dz Du zu z因?yàn)?0max ( ),(z DzDu zu z如果使得DD若區(qū)域 是單連通的，我們?cè)趨^(qū)域 內(nèi)( )( ).f zu zee且其模( )0( )f zezu z但在點(diǎn) 與同時(shí)達(dá)到最大值,即00()()( )0ma,xf zu zu zz DeeezD( )( )( )( ),f zf zu ziv zeD記則在 內(nèi)單值解析，( )( ), u zv z作與共軛的調(diào)和函數(shù)