傳染病動(dòng)力學(xué)研究

1、1傳染病動(dòng)力學(xué)模型研究文獻(xiàn)綜述報(bào)告人：儲(chǔ)菊芬2010.09.1821. 引 言醫(yī)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內(nèi)被消滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制。但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。有些傳染病傳染很快，導(dǎo)致很高的致殘率，危害極大，因而對(duì)傳染病在人群中傳染過(guò)程的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。3目前，傳染病的研究方法主要有四種：描述性研究、分析性研究、實(shí)驗(yàn)性研究和理論性研究。傳染病動(dòng)力學(xué)是進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法。在傳染病動(dòng)力學(xué)研究中數(shù)學(xué)模型起著極其重要的作用，它把傳染病的主要特征通過(guò)假設(shè)、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰的揭示出來(lái)。利用動(dòng)力學(xué)的方法

2、建立數(shù)學(xué)模型可以來(lái)研究某種傳染病在某一地區(qū)是否會(huì)蔓延持續(xù)下去而成為本地區(qū)的“地方病”或者這種傳染病終將消除。數(shù)學(xué)模型的分析結(jié)果能提供許多強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)和概念，用數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機(jī)理，預(yù)測(cè)傳染病的流行趨勢(shì)已成為共識(shí)。影響傳染病傳播的因素很多，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等，在建立模型時(shí)不可能考慮所有因素，只能抓住關(guān)鍵的因素，采用合理的假設(shè)，進(jìn)行簡(jiǎn)化。4傳染病若無(wú)潛伏期，我們把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者（Inf

3、ective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者（Removal），指被隔離，或因病愈而具有免疫力的人。在不存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動(dòng)力學(xué)模型：SI模型，患病后難以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢復(fù)者不具有免疫力在存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動(dòng)力學(xué)模型:SIR模型，患病者治愈后獲得終身免疫力；SIRS模型，病人康復(fù)后只有暫時(shí)免疫力。若傳染病有潛伏期，在三類人群中增加一類 ，感染而未發(fā)病者（Exposed),可在SIR或SIRS模型的基礎(chǔ)上得到更復(fù)雜的SEIS、SEIR或SEIRS模型?，F(xiàn)根據(jù)這三種劃分方式來(lái)進(jìn)行文獻(xiàn)綜述52.1 不存在免疫抗體情況下的傳染

4、病模型研究鄧麗麗等（2004） 1討論了一類具有非線性傳染力的階段結(jié)構(gòu)SI傳染病模型，確定了各類平衡點(diǎn)存在的閾值條件，得到了各類平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的條件。石磊等（2008）2對(duì)一種具有種群動(dòng)力和非線性傳染率的傳染病模型進(jìn)行了研究，建立了具有常數(shù)遷入率和非線性傳染率的SI模型。與以往的具有非線性傳染率的傳染病模型相比，這種模型引入了種群動(dòng)力，也就是種群的，總數(shù)不再為常數(shù)，因此，該類模型更精確地描述了傳染病傳播的規(guī)律。Pei Y Z等（2009）3在1的基礎(chǔ)上加入了脈沖延遲，并將傳染率系數(shù)設(shè)為隨時(shí)間改變的變量，演示了研究SI模型的新方法。2. 文獻(xiàn)綜述6勾清明（2007）4通過(guò)引入比例變量建

5、立了一個(gè)具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS流行病模型，得到了模型的闞值參數(shù)R。證明了模型的全局性態(tài)完全由 確定。在此基礎(chǔ)上，建立了模型的閾值參數(shù) 和 證明了種群總數(shù)與染病者總數(shù)的增減分別由參數(shù) 和 控制。成小偉，胡志興（2008）5研究了具有常數(shù)移民以及具有急性和慢性兩個(gè)階段的SIS傳染病模型。針對(duì)急慢性兩種情況分別得到了相應(yīng)模型的平衡點(diǎn)，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，運(yùn)用一種幾何方法給出了地方病平衡點(diǎn)的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件，最后進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證所得結(jié)論。Zhang T L(2009)6、7分別討論了具有延遲階段結(jié)構(gòu)的SIS模型以及具有非線性發(fā)生率的SIS模型無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性

6、和Hopf分叉點(diǎn)。Xue Z L（2009）8討論了應(yīng)急資源有限情況下，SIS模型無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔點(diǎn)。OR1R2R1R2R72.2 存在免疫抗體情況下的傳染病模型Kermack和McKendrick（1926）9為了研究1665-1666年黑死病在倫敦的流行規(guī)律以及1906年瘟疫在孟買的流行規(guī)律，他們把人口分為易感者、染病者和恢復(fù)者三大類，利用動(dòng)力學(xué)方法建立了著名的SIR倉(cāng)室模型。Zhou J（1994-1995）10-12, Zhang Juan等（2004）11， Gao L Q等（1992）13, LI JIANQUAN等（2004）14在SIR模型的基礎(chǔ)上考慮不同的感染

7、方式，對(duì)病人的隔離，因接種而獲得的免疫力以及免疫力的逐漸喪失，是否可以忽略因病死亡率，種群自身增長(zhǎng)規(guī)律，不同種群之間的交叉感染等因素，構(gòu)成了豐富多彩的傳染病動(dòng)力學(xué)模型。HWHethcote等（2004-2005）15-16對(duì)模型的理論研究主要集中在疾病的持續(xù)生存及平衡位置特別是導(dǎo)致地方病平衡點(diǎn)的平衡位置和周期解的存在性和穩(wěn)定性，再生數(shù)及分支點(diǎn)的尋找等動(dòng)力學(xué)性態(tài)。8BUSENBERG S，WANDEN DRIESSCHE P（1990）17研究了免疫力的逐漸喪失的問(wèn)題。該文研究了具有標(biāo)準(zhǔn)傳染率，種群指數(shù)增長(zhǎng)的SIRS模型，利用了穩(wěn)定性理論得到了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Hethcote，Mena-

8、Lorca（1992）18分別研究了具有常數(shù)輸入且具有指數(shù)出生和死亡，傳染率分別是雙線性的，標(biāo)準(zhǔn)的和飽和傳染率的五類SIRS模型。李健全等(2004)19研究了具有常數(shù)輸入和Logistic出生的一般形式接觸率的SIR模型，利用極限方程理論和構(gòu)造了Liapunov函數(shù)得到了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。陳軍杰（2004）20研究了一類具有常數(shù)遷入且總?cè)丝谧兓腟IRI模型，利用RouthHurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，并考慮傳染率分別是雙線性和標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。92.3. 疾病有潛

9、伏期的傳染病模型的發(fā)展Michael Y Li，Muldowney(1995)21研究了具有非線性傳染率的SEIR模型，構(gòu)造Liapunov函數(shù)及利用復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Michael Y Li(1999)22研究了具有指數(shù)出生、死亡和標(biāo)準(zhǔn)的傳染率SEIR模型，通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)及利用復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Fan MengWang Ke(2001)23研究了具有常數(shù)輸入和雙線性的傳染率SEIS模型，也用類似的方法證明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。MICHAEL Y LI（2001）24認(rèn)為潛伏者和染病者所生嬰兒都會(huì)攜帶病毒但不會(huì)立即發(fā)病，建立了具

10、常數(shù)輸入、雙線性傳染率且潛伏者和染病者有不同程度的垂直傳染力的SEIR模型，給出了所建模型的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)。10劉爍等（2007)25研究了一類帶有非線性傳染率的SEIR傳染病模型，通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。剛毅（2009）26根據(jù)流行病不同階段的特征,建立了易感者類具有常數(shù)輸入的SEIR和SEIS組合傳染病模型,然后采用Liapunov函數(shù) 和復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了具有常數(shù)輸入的SEIR和SEIS組合傳染病模型的平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.11對(duì)于有些疾病在流行期間，它不僅在染病期傳染，而且在潛伏期也傳染，也就是說(shuō)：一個(gè)易感者一旦被感染上病毒，在未發(fā)病之

11、前(即潛伏期)就對(duì)外具有傳染性。原三領(lǐng)等(2001)27研究了具有雙線性傳染率且潛伏期也具有傳染力，但不考慮因病死亡的傳染病模型，利用Routh-Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。徐文雄等(2004)28研究了具有飽和接觸率且潛伏期也具有傳染力，并考慮因病死亡的傳染病模型，利用RouthHurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。12張彤等(2006)29研究了具有非線性接觸率潛伏期也具有傳染力的傳染病模型，利用RouthHurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得

12、到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，以及隨著參數(shù)的變化，模型會(huì)發(fā)生Hopf分支，流行病會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期振蕩現(xiàn)象.Hethcote(1994-2000)30-31對(duì)傳染病系統(tǒng)研究目前已取得許多成果進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，詳細(xì)闡述了傳染病的建模思想。131 鄭麗麗，王豪，方勤華.一類具有非線性傳染率的階段結(jié)構(gòu)SI模型J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004,34（8）：128-135.2 石磊，俞軍，姚洪興.具有常數(shù)遷入率和非線性傳染率 的SI模型分析J.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯，2008,23（1），7-12.3 Pei Y Z, Liu S Y, Li C G, Chen L S. The dy

13、namics of an impulsive delay SI model with variable coefficientsJ. Applied Mathematical Modeling,2009,33(6):2766-2776.4 勾清明.一類具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS模型J.西南大學(xué)學(xué)報(bào)，2007,29（9）：6-13.5 成小偉，胡志興. 具有常數(shù)移民和急慢性階段的SIS模型的研究J.北京工商大學(xué)學(xué)報(bào)，2008,26（1）：75-79.3. 參考文獻(xiàn)146 Zhang T L, Liu J L, Teng Z D. Bifurcation analysis of a dela

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20、觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，18(4)：35936720陳軍杰一類具有常數(shù)遷入的且總?cè)丝谧兓腟IRI傳染病模型的穩(wěn)定性J生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19(3)：3lO3161821 MICHAEL Y LI，JAMES SGlobal Dynamic of SEIR Model in EpidemiologyJMathBiosci1995，16：15516422MICHAEL Y LI，JOHN RGlobal Dynamic of SEIR Model with Varying Total Populmion SizeJMathBiosci1999，160：19121323 FAN MENG MICHAEL Y LI，WANG KEGlobal Stability of an SEIS Epidemic Model with Recruitment a