蒙特卡羅方法介紹及其建模應(yīng)用---視頻課程課件--03-31培訓(xùn)講學(xué)

1、 Monte-Carlo 方法(fngf)介紹及其建模應(yīng)用朱連華南京(nn jn)信息工程大學(xué)2021年10月27日第一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)主要(zhyo)內(nèi)容蒙特卡洛(mn t k lu)方法應(yīng)用實(shí)例22009-B 眼科病床安排應(yīng)用3蒙特卡洛方法介紹1第二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)蒙特卡洛(mn t k lu)方法介紹蒙特卡洛(mn t k lu)的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍2隨機(jī)數(shù)的生成3蒙特卡洛方法概述1第三頁(yè)，共141頁(yè)。Monte Carlo的起源(qyun)設(shè)總計(jì)投了M個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分N

2、個(gè)，則不規(guī)則圖形(txng)的面積為MNS 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法(fngf)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模的解有兩類建模的解有兩類精確解精確解近似解近似解自然現(xiàn)象有兩類自然現(xiàn)象有兩類確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象模糊現(xiàn)象模糊現(xiàn)象12022-6-28 6:18南京信息工程大學(xué)隨機(jī)投點(diǎn)試驗(yàn)求近似解隨機(jī)投點(diǎn)試驗(yàn)求近似解引引例例-計(jì)算面積計(jì)算面積在一定條件下在一定條件下必然發(fā)生現(xiàn)象必然發(fā)生現(xiàn)象第四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Monte Carlo的起源(qyun)Monte Carlo方法：又稱隨機(jī)模擬方法，對(duì)研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣,通

3、過對(duì)樣本值的統(tǒng)計(jì)分析，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)不同于一般數(shù)值計(jì)算方法，它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法，由于能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛它是在上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展(fzhn)而發(fā)展(fzhn)起來(lái)，“曼哈頓計(jì)劃”主持人之一、數(shù)學(xué)家：馮諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥最大的城市Monte Carlo來(lái)命名這種方法Monte-Carlo MonacoJohn Von Neumann (1903-1957) 第五頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Monte Ca

4、rlo方法(fngf)的應(yīng)用物理：核物理，熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，粒子輸運(yùn)問題等數(shù)學(xué)：多重積分、解微分方程、非線性方程組求解等工程領(lǐng)域：真空技術(shù)，水力學(xué)，激光技術(shù)等經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域：期權(quán)定價(jià)、項(xiàng)目管理、投資風(fēng)險(xiǎn)決策等其他領(lǐng)域：化學(xué)、醫(yī)學(xué)，生物，生產(chǎn)管理、系統(tǒng)科學(xué)、公用事業(yè)(gngyngshy)等方面，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，其應(yīng)用范圍將更加廣泛。第六頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Monte Carlo方法(fngf)的基本思想p 蒲豐（Buffon）投針實(shí)驗(yàn): p 為了求得圓周率將長(zhǎng)為2的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2的平行線相交的頻率替代概率(gil

5、)，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式： p 求出值: p 其中為投針次數(shù)， 為針與平行線相交次數(shù)，這就是古典概率(gil)論中著名的蒲豐氏問題！法國(guó)數(shù)學(xué)法國(guó)數(shù)學(xué)家家Comte de Buffon第七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Monte Carlo方法的基本(jbn)思想解：針投到地面解：針投到地面(dmin)上的位置用一組來(lái)刻畫，為針中心上的位置用一組來(lái)刻畫，為針中心坐標(biāo)，為針與平行線的夾角（如圖），坐標(biāo)，為針與平行線的夾角（如圖），sin00sin12lpP xldxdala 每次投針試驗(yàn)實(shí)際上變成從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣，從而針線相交的概率為:第八頁(yè)

6、，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算機(jī)模擬 程序?qū)崿F(xiàn)：程序?qū)崿F(xiàn)：function piguji=buffon(llength1,llength2,mm)%llength1,llength2分別表示分別表示1/2線的寬度和針的長(zhǎng)度線的寬度和針的長(zhǎng)度(chngd)%mm 是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;xrandnum = unifrnd(0,llength1,1,mm);theta= unifrnd(0,pi,1,mm);for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii) hist(poissrnd(3,1,1000),50)第

7、十五頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成(shn chn)函數(shù)random(name,A1,A2,A3,M,N)l name 的取值可以的取值可以(ky)是是norm or Normalunif or Uniformpoiss or Poissonbeta or Betaexp or Exponentialgam or Gammageo or Geometricunid or Discrete Uniform . .第十六頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)一般分布(fnb)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法基

8、本方法(fngf)有如下三種：逆變換法復(fù)合抽樣方法(fngf)篩選法定理 設(shè)隨機(jī)變量U服從(0,1)上的均勻分布，則X=F-1(U)的分布函數(shù)為F(x) 因此，要產(chǎn)生來(lái)自F(x)的隨機(jī)數(shù)，只要先產(chǎn)生來(lái)自U(0,1)的隨機(jī)數(shù)，然后計(jì)算F-1(u) 即可。其步驟為 uFxuU11 , 0計(jì)算，抽取由第十七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)連續(xù)(linx)分布對(duì)于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)F1(x)能夠(nnggu)解析表示，則直接抽樣方法是:1(2) ( )FxFu(1) 0,1Uu由抽取第十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(

9、nn jn)信息工程大學(xué)指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為： 則 (1) 由U(0,1)抽取u 因?yàn)?yn wi)1-u 也是(0,1)上均勻隨機(jī)數(shù)，可將上式簡(jiǎn)化為 0,1)(xexFx0,)(xexfx)1ln(1 uxF所以/lnuxF(2) ( ), 1 ln(1)FxFFF xueuxu令得，即 例. 指數(shù)分布第十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Randnum=（-2）*log(unifrnd(0,1,1,1000);cdfplot(Randnum)0,21)(21xexfx 例. 產(chǎn)生(chnshng)指數(shù)分布 的隨機(jī)數(shù))l

10、n(2uxF第二十頁(yè)，共141頁(yè)。q例：病人視網(wǎng)膜疾病術(shù)后觀察例：病人視網(wǎng)膜疾病術(shù)后觀察(gunch)時(shí)間一般為時(shí)間一般為5,15天，其人數(shù)分布如直方圖所示，求滿足該分布的天，其人數(shù)分布如直方圖所示，求滿足該分布的術(shù)后觀察術(shù)后觀察(gunch)天數(shù)序列。天數(shù)序列。離散(lsn)分布天數(shù)天數(shù)概率概率分布函數(shù)值分布函數(shù)值區(qū)間區(qū)間53/1013/101162/1015/101277/10112/1013816/10128/1014911/10139/10151018/10157/10161115/10172/10171211/10183/1018139/10192/1019145/10197/101

11、10154/1011112022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)第二十一頁(yè)，共141頁(yè)。離散(lsn)分布x=5:15;X=;y=3,2,7,16,11,18,15,11,9,5,4;yy=y(1);for i=2:length(y) yy=yy,y(i)+yy(i-1);endyy=yy/yy(end);for i=1:10000 r=rand(1); d=size(find(r=yy),2)+1; X(i)=x(d);Endhist(X,x)2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)第二十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息

12、工程大學(xué)蒙特卡洛(mn t k lu)方法應(yīng)用實(shí)例第二十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)定積分(jfn)的MC計(jì)算事實(shí)上，不少的統(tǒng)計(jì)問題最后(zuhu)都?xì)w結(jié)為定積分的近似計(jì)算問題! 相對(duì)于其它方法，用MC方法比一般的數(shù)值方法有優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在它的誤差與維數(shù)m無(wú)關(guān)！下面考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的定積分為了說明問題，這里介紹兩種求的簡(jiǎn)單的MC方法。 dxxfba第二十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué) 方法簡(jiǎn)述：設(shè)a，b有限，0f(x)=yrandnum(1,ii) frq=frq+1; end end result=fr

13、q*m*(b-a)/mm第二十八頁(yè)，共141頁(yè)。蒙特卡羅求解(qi ji)積分例例 計(jì)算計(jì)算(j sun)兩條拋物線兩條拋物線y = x2, x = y2所圍面所圍面積積.在正方形在正方形0,10,10,10,1區(qū)域投入?yún)^(qū)域投入20002000個(gè)均勻隨機(jī)點(diǎn)則隨機(jī)點(diǎn)落個(gè)均勻隨機(jī)點(diǎn)則隨機(jī)點(diǎn)落入拋物線所圍區(qū)域的概率入拋物線所圍區(qū)域的概率(gil)(gil)為所求面積與正方形面積之比為所求面積與正方形面積之比f(wàn)unction S=area1(N)if nargin=0,N=2000;endX=rand(N,1);Y=rand(N,1);II=find(Y=X.2);m=length(II);S=m/N

14、;x1=0:0.01:1;x2=1:-0.01:0;y1=sqrt(x1);y2=x2.2;fill(x1,x2,y1,y2,c)2022-6-28 6:18南京信息工程大學(xué)第二十九頁(yè)，共141頁(yè)。蒙特卡羅求解(qi ji)積分2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)例：冰淇淋錐的體積例：冰淇淋錐的體積(tj)計(jì)算計(jì)算22yxz 2211yxz &20 , 11, 11| ),( zyxzyx 冰淇淋錐含于體積冰淇淋錐含于體積 = 8 的正方體的正方體NmV 822N個(gè)點(diǎn)均勻分布于正方體中個(gè)點(diǎn)均勻分布于正方體中,錐體中占有錐體中占有m個(gè)個(gè),則錐體則錐體與正方體體積之比

15、近似為與正方體體積之比近似為 m : N第三十頁(yè)，共141頁(yè)。蒙特卡羅求解(qi ji)積分2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)function data=icecream(L)if nargin=0,L=7;endN=10000;for k=1:L P=rand(N,3); x=2*P(:,1)-1; y=2*P(:,2)-1; z=2*P(:,3); R2=x.2+y.2;R=sqrt(R2); II=find(z=R&zMAXK或PMAXP時(shí)停止迭代第三十六頁(yè)，共141頁(yè)。用蒙特卡洛法解非線性規(guī)劃(guhu)問題2022-6-28 6:18南京(nn jn)

16、信息工程大學(xué)初始化:給定MAXK,MAXP;k=0,p=0,Q:大整數(shù)xj=aj+R(bj-aj) j=1,2,nj=0j=j+1,p=p+1PMAXP?YNxj=aj+R(bj-aj)gi(X)0?i=1,2nYNjMAXK?YN輸出X,Q,停止YN第三十七頁(yè)，共141頁(yè)。用蒙特卡洛(mn t k lu)法解非線性規(guī)劃問題% mylp.m% mylp.mfunction z=mylp(x) function z=mylp(x) % %目標(biāo)目標(biāo)(mbio)(mbio)函數(shù)函數(shù)z=2z=2* *x(1)2+x(2)2-x(1)x(1)2+x(2)2-x(1)* *x(2)-8x(2)-8* *x

17、(1)-3x(1)-3* *x(2);x(2); % %轉(zhuǎn)化為求最小值問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題 在Matlab軟件包中編程，共需三個(gè)文件(wnjin):randlp.m, mylp.m, lpconst.m.主程序?yàn)閞andlp.m.2022-6-28 6:18南京信息工程大學(xué)第三十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)% randlp.m % randlp.m function sol,r1,r2=randlp(a,b,n)function sol,r1,r2=randlp(a,b,n) % %隨機(jī)模擬解非線性規(guī)劃隨機(jī)模擬解非線性規(guī)劃(guhu)(guhu

18、)debug=1;debug=1;a=0;a=0; % %試驗(yàn)點(diǎn)下界試驗(yàn)點(diǎn)下界b=10;b=10; % %試驗(yàn)點(diǎn)上界試驗(yàn)點(diǎn)上界n=1000;n=1000; % %試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)r1=unifrnd(a,b,n,1);r1=unifrnd(a,b,n,1);%n%n1 1階的階的a,ba,b均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣r2=unifrnd(a,b,n,1);r2=unifrnd(a,b,n,1);sol=r1(1) r2(1);sol=r1(1) r2(1);z0=inf;z0=inf;for i=1:nfor i=1:n x1=r1(i); x1=r1(i); x2=r2(i);

19、 x2=r2(i); lpc=lpconst(x1 x2) lpc=lpconst(x1 x2)； if lpc=1 if lpc=1 z=mylp(x1 x2) z=mylp(x1 x2)； if zz0 if zz0 z0=z z0=z； sol=x1 x2 sol=x1 x2； end end end endendend第三十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜概率(gil)模擬例: 在我方某前沿防守地域(dy)，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對(duì)我方進(jìn)行干擾和破壞為躲避我方打擊，敵方對(duì)其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn) 經(jīng)過長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)，我

20、方指揮所對(duì)敵方目標(biāo)的指示有50是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的概率能毀傷敵人一門火炮，有1/6的概率能全部消滅敵人 現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對(duì)敵人實(shí)施的1次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來(lái)，利用頻率穩(wěn)定性，確定有效射擊(毀傷一門炮或全部消滅)的概率.第四十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜(fz)概率模擬分析：這是一個(gè)復(fù)雜概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率. 為了直觀地顯示我方射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。1.問題分析 需要模擬出以下(yxi)兩件事： 1觀察所對(duì)目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2因此，

21、可用投擲一枚硬幣的方式予以確定,當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確 第四十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜概率(gil)模擬 2 當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況模擬(mn)試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷一門火炮的可能性為1/3(即2/6)毀傷兩門的可能性為1/6沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)這時(shí)可用投擲骰子的方法來(lái)確定：如果出現(xiàn)的是、三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是、點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮第四十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜(fz

22、)概率模擬2. 符號(hào)假設(shè)i：要模擬(mn)的打擊次數(shù)； k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)； k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)E：有效射擊(毀傷一門炮或兩門炮)的概率第四十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜概率(gil)模擬3. 3. 模擬模擬(mn)(mn)框圖框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1imm?E=(k2+k3)/mm 停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56第四十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn

23、 jn)信息工程大學(xué)復(fù)雜概率(gil)模擬function liti26(p,mm)efreq=zeros(1,mm);randnum1 = binornd(1,p,1,mm);randnum2 = unidrnd(6,1,mm);k1=0;k2=0;k3=0;for i=1:mm if randnum1(i)=0 k1=k1+1; else if randnum2(i) b(購(gòu)進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)退回價(jià))售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分分析析購(gòu)進(jìn)太多購(gòu)進(jìn)太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠錢購(gòu)進(jìn)太少購(gòu)進(jìn)太少

24、不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量適的購(gòu)進(jìn)量等于等于每天收入的期望每天收入的期望第四十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)報(bào)童(botng)的訣竅建建模模 設(shè)每天購(gòu)進(jìn)設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律(gul)每天需求量為每天需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)準(zhǔn)備備

25、)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c第五十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)報(bào)童(botng)的訣竅nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解(qi ji)將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(nd

26、rrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(第五十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)報(bào)童(botng)的訣竅cbbadrrpdrrpnn)()(0結(jié)果結(jié)果(ji gu)解釋解釋nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp第五十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)報(bào)童(botng)的訣竅 然而，我們(w men)仍然難以應(yīng)用，且不直觀。鑒于報(bào)童問題

27、的隨機(jī)性特點(diǎn)，用仿真是非常有效的方法。為此，我們(w men)舉一個(gè)具體例子，設(shè)a=0.5, b=0.3, c=0.15,且每天的報(bào)紙需求服從P(50)的分布，模擬見程序。由模擬可知每天宜訂購(gòu)51份報(bào)紙。第五十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)系統(tǒng)(xtng)的可靠性計(jì)算問題一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常(zhngchng)工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式：串聯(lián)并聯(lián)1221第五十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)例13 設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作的概率為 p

28、 , 每個(gè)元件是否(sh fu)正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()()()(2121212121211BBAAPBBPAAPBBAAPSP)2 (22242pppp第五十五頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)A1A2B2B1例例14 S2:212)()(iiiBAPSP)()(12SPSP22)2(pp)2 (22pp222pp第五十六頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)例例1314 設(shè)兩系統(tǒng)都是由設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成個(gè)元件組成,每個(gè)元件的壽

29、命服從平均每個(gè)元件的壽命服從平均壽命壽命(pn jn shu mn)為為a1, a2, b1, b2的指數(shù)分布，每的指數(shù)分布，每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，求兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，求兩系統(tǒng)壽命大于兩系統(tǒng)壽命大于T=100的概率的概率.function Rguji=liti213(t,thetaa1,thetaa2,thetab1,thetab2,mm)%t 是要求系統(tǒng)生存的壽命%thetaa1 是元件A1的數(shù)學(xué)期望%thetaa2 是元件A2的數(shù)學(xué)期望%thetab1 是元件B1的數(shù)學(xué)期望 %thetab2 是元件B2的數(shù)學(xué)期望%mm

30、 是隨機(jī)(su j)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnuma1 = exprnd(thetaa1,1,mm);randnuma2 = exprnd(thetaa2,1,mm);randnumb1 = exprnd(thetab1,1,mm);randnumb2 = exprnd(thetab2,1,mm);for ii=1:mm if (randnuma1(1,ii)t)&(randnuma2(1,ii)t) pass1=1; else pass1=0; end if (randnumb1(1,ii)t)&(randnumb2(1,ii)t) pass2=1; else pass2

31、=0; end if (pass1+pass2)=1 frq=frq+1; end end,Rguji=frq/mm系統(tǒng)系統(tǒng)1：第五十七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)function Rguji=liti214(t,thetaa1,thetaa2,thetab1,thetab2,mm)%t 是要求系統(tǒng)生存的壽命%thetaa1 是元件A1的數(shù)學(xué)期望(qwng)%thetaa2 是元件A2的數(shù)學(xué)期望(qwng)%thetab1 是元件B1的數(shù)學(xué)期望(qwng) %thetab2 是元件B2的數(shù)學(xué)期望(qwng)%mm 是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;rand

32、numa1 = exprnd(thetaa1,1,mm);randnuma2 = exprnd(thetaa2,1,mm);randnumb1 = exprnd(thetab1,1,mm);randnumb2 = exprnd(thetab2,1,mm);for ii=1:mm if (randnuma1(1,ii)t)|(randnumb1(1,ii)t) pass1=1; else pass1=0; end if (randnuma2(1,ii)t)|(randnumb2(1,ii)t) pass2=1; else pass2=0; end if (pass1*pass2)=1 frq=f

33、rq+1; end endRguji=frq/mm系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)2：第五十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)坎雷漁業(yè)公司(n s)問題第五十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)0.坎雷漁業(yè)(yy)公司問題 克林特坎雷經(jīng)營(yíng)著Massachusetts一家擁有50條鱈魚捕捉船的漁業(yè)公司，每個(gè)工作日，漁船早上離港，中午作業(yè)完畢，每次每條船能捕魚3500單位。有許多港口都可以?？坎⒊鍪埙L魚。每個(gè)港口每條的價(jià)格是不確定的，并且變化很大；而且港口之間價(jià)格也不一樣，另外(ln wi)，每個(gè)港口的需求量是有限的，如果一條船

34、比別的船晚到一個(gè)港口，那么它的魚就賣不出去，要倒進(jìn)海洋中。第六十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)1.坎雷漁業(yè)公司(n s)問題簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化問題假設(shè)漁業(yè)公司只有一條船，每次出海的成本為10,000美元，每次出海捕魚3500單位，兩個(gè)港口格洛斯特，巖石港可以?？浚焊衤逅固厥趋L魚的集散地，價(jià)格一直穩(wěn)定在每單位3.25美元，需求幾乎是無(wú)限的巖石港比較小，價(jià)格較高但波動(dòng)比較大；巖石港的價(jià)格服從均值為3.65標(biāo)準(zhǔn)差為0.20的正態(tài)分布, 需求量服從表1的離散(lsn)分布；并且我們假設(shè)兩個(gè)港口之間的價(jià)格，需求量之間是相互獨(dú)立的，每天漁船只能在一個(gè)港口停靠并出售它的鱈魚

35、。而巖石港每天的價(jià)格事先并不知道。坎雷想掙得盡可能大的利潤(rùn)，哪一個(gè)港口停靠更好？日需求單位01,0002,0003,0004,0005,0006,000概率0.020.030.050.080.330.290.2表1 巖石港鱈魚日需求分布表 第六十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)1.坎雷漁業(yè)公司問題(wnt)簡(jiǎn)化漁船在格洛斯特港?？康睦麧?rùn)G為：但是，停靠在巖石港的利潤(rùn)計(jì)算出P沒這簡(jiǎn)單，因?yàn)閮r(jià)格和需求量都是不確定的，每天的利潤(rùn)是一個(gè)隨機(jī)變量，為了決定選擇哪個(gè)港口，下面的問題(wnt)將是很有幫助的：(a) 使用巖石港日利潤(rùn)的概率分布大概是什么形狀？(b)

36、 使用巖石港利潤(rùn)高于使用格洛斯特港利潤(rùn)的概率是多少？(c) 使用巖石港虧本的概率是多少？(d) 使用巖石港日利潤(rùn)的期望值是多少？(e) 使用巖石港日利潤(rùn)的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？3.25*3,50010,000$1375.G 第六十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)2.坎雷漁業(yè)公司(n s)初步分析 定義兩個(gè)隨機(jī)變量：PR=巖石(ynsh)港的鱈魚價(jià)格：PRN(3.65, 0.202)D=停靠巖石(ynsh)港坎雷面臨的需求量：D的分布如表1記F為?？繋r石(ynsh)港的日利潤(rùn)，那么有：上面5個(gè)問題更簡(jiǎn)潔的表達(dá)為：(a) F的概率密度函數(shù)是什么形狀？(b) P（

37、F1375）是多少？(c) P（F1375)的估計(jì)值是多少？計(jì)算出F大于1375的頻率,它即為該估計(jì)值我們估計(jì)?？繋r石(ynsh)港利潤(rùn)更高的概率，這個(gè)結(jié)果將支持我們是否選擇巖石(ynsh)港(c) P(F0)的估計(jì)值是多少？計(jì)算出F小于0頻率，它為所求估計(jì)值(d) F的期望的估計(jì)值是多少？樣本均值即為F的期望的估計(jì)值第六十六頁(yè)，共141頁(yè)。2022年6月28日67歷年(lnin)賽題 隨機(jī)問題和排隊(duì)問題在數(shù)模競(jìng)賽中多次出現(xiàn)過。如：1997A題：零件的參數(shù)設(shè)計(jì)2009B題：眼科病床的合理安排2013A題：車道被占用對(duì)城市道路通行(tngxng)能力的影響2014年美賽題目：除非超車否則靠右行駛

38、第六十七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)問題隨機(jī)(su j)模擬第六十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)現(xiàn)象到達(dá)的顧客到達(dá)的顧客要求服務(wù)內(nèi)容要求服務(wù)內(nèi)容服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)1.不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器修理修理技工2.修理技工領(lǐng)取修配零件發(fā)放修配零件的管理員3.病人診斷或動(dòng)手術(shù)醫(yī)生(或包括手術(shù)臺(tái))4.電話呼喚通話交換臺(tái)5.文件稿打字打字員6.提貨單提取存貨倉(cāng)庫(kù)管理員7.到達(dá)機(jī)場(chǎng)上空的飛機(jī)降落跑道8.駛?cè)敫劭诘呢洿b(卸)貨裝(卸)貨碼頭(泊位)9.上游河水進(jìn)入水庫(kù)放水，調(diào)整水位水閘管理員10.進(jìn)入我方陣地

39、的敵機(jī)我方高射炮進(jìn)行射擊我方高射炮在日常生活中，人們會(huì)遇到(y do)各種各樣的排隊(duì)問題：第六十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)論排隊(duì)論(Queueing Theory)：通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)等待現(xiàn)象中的概率特征，從而解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制的一種理論，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支由于顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性，排隊(duì)過程通常是一個(gè)隨機(jī)過程，排隊(duì)論又稱“隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論”排隊(duì)論發(fā)源于上世紀(jì)初，1909年丹麥的哥本哈根電話公司A.K.埃爾浪(Erlang)在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡概念的啟發(fā)下予以解決了美國(guó)貝爾電話公司遇到的通話(tng hu)線

40、路與電話用戶呼叫的數(shù)量關(guān)系問題第七十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)排隊(duì)服務(wù)過程-三個(gè)基本部分(b fen)顧客輸入過程排隊(duì)結(jié)構(gòu)與排隊(duì)規(guī)則服務(wù)機(jī)構(gòu)與服務(wù)規(guī)則第七十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)顧客輸入過程：顧客源(總體)：有限/無(wú)限;顧客到達(dá)方式：逐個(gè)(zhg)/逐批;(僅研究逐個(gè)(zhg)情形)顧客到達(dá)間隔：隨機(jī)型/確定型;顧客前后到達(dá)是否獨(dú)立：相互獨(dú)立/相互關(guān)聯(lián)；輸入過程是否平穩(wěn)：平穩(wěn)/非平穩(wěn)；(僅研究平穩(wěn)性)第七十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:1

41、8南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)排隊(duì)結(jié)構(gòu)與排隊(duì)規(guī)則：顧客排隊(duì)方式：等待制/損失制/混合制排隊(duì)系統(tǒng)容量：有限制/無(wú)限制; 排隊(duì)隊(duì)列(duli)數(shù)目: 單列/多列;是否中途退出: 允許/禁止;是否列間轉(zhuǎn)移: 允許/禁止; (僅研究禁止退出和轉(zhuǎn)移的情形)第七十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)等待時(shí)間等待時(shí)間+ +服務(wù)服務(wù)(fw)(fw)時(shí)間時(shí)間無(wú)限排隊(duì)無(wú)限排隊(duì)損失制排隊(duì)損失制排隊(duì)混合制排隊(duì)系統(tǒng)混合制排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)排隊(duì)有限排隊(duì)有限排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)有限隊(duì)長(zhǎng)有限等待時(shí)間有限等待時(shí)間有限逗留時(shí)間有限逗留時(shí)間有限等待制系統(tǒng)等待制系統(tǒng)

42、第七十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)臺(tái)(員)數(shù)目：?jiǎn)蝹€(gè)/多個(gè)服務(wù)臺(tái)(員)排列(pili)形式：并列/串列/混合服務(wù)臺(tái)(員)服務(wù)方式：逐個(gè)/逐批服務(wù)時(shí)間分布：隨機(jī)型/確定型服務(wù)時(shí)間分布是否平穩(wěn):平穩(wěn)/非平穩(wěn)1 11 12 2c c 1 12 2c c 1 12 2c c 服務(wù)規(guī)則： 先到先服務(wù)(FCFS)； 后到先服務(wù)(LCFS)； 隨機(jī)服務(wù)(RS)； 優(yōu)先服務(wù)第七十五頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)模型1. 排隊(duì)模型表示方法：D.G.Kendall(1953)表示法：

43、X / Y / ZX 顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布Y 服務(wù)(fw)臺(tái)（員）服務(wù)(fw)時(shí)間分布Z 服務(wù)(fw)臺(tái)（員）個(gè)數(shù)（單個(gè)或多個(gè)并列）國(guó)際排隊(duì)論標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)議(1971)表示法： X / Y / Z / A / B / CA 系統(tǒng)容量限制B 顧客源（總體）數(shù)目C 服務(wù)(fw)規(guī)則（FCFS，LCFS等）約定：如略去后三項(xiàng)，即指X/Y/Z/FCFS的情形第七十六頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)模型2. 到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間典型分布(fnb)：M：負(fù)指數(shù)分布(fnb)(M是Markov的字頭，因?yàn)樨?fù)指數(shù)分布(fnb)具有無(wú)記憶性，即Markov性)D：確定型(

44、deterministic)Ek：k階愛爾朗(erlang)分布(fnb)GI：一般相互獨(dú)立(general independent)的時(shí)間間隔的分布(fnb)G： 一般(general)服務(wù)時(shí)間的分布(fnb)第七十七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)模型3. 排隊(duì)模型示例：M/M/S/ ：表示輸入過程是Poisson流, 服務(wù)時(shí)間服從(fcng)負(fù)指數(shù)分布, 系統(tǒng)有S個(gè)服務(wù)臺(tái)平行服務(wù), 系統(tǒng)容量為無(wú)窮的等待制排隊(duì)系統(tǒng).M/G/1/ ：表示輸入過程是Poisson流，顧客所需的服務(wù)時(shí)間為獨(dú)立、服從(fcng)一般概率分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，容量

45、為無(wú)窮的等待制系統(tǒng).GI/M/1/：表示輸入過程為顧客獨(dú)立到達(dá)且相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從(fcng)一船概率分布，服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立、服從(fcng)負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，容量為無(wú)窮的等待制系統(tǒng)D/M/S/K：表示相繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立、服從(fcng)定長(zhǎng)分布、服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立、服從(fcng)負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中有S個(gè)服務(wù)臺(tái)平行服務(wù)，容量為K的混合制系統(tǒng).第七十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)系統(tǒng)(xtng)參數(shù)-運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)系統(tǒng)狀態(tài) N(t)：指排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)在時(shí)刻t時(shí)的全部顧客數(shù) N(t)，包括“排隊(duì)(pi du)顧客數(shù)”和“

46、正被服務(wù)顧客數(shù)”系統(tǒng)狀態(tài)的可能值如下：系統(tǒng)容量無(wú)限制， N(t) =0，1，2，系統(tǒng)容量為N時(shí), N(t) =0,1,2,N服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為c/損失制, N(t) =0,1,2,c系統(tǒng)處于這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)間t變化的，所以在時(shí)刻t、系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率可以用Pn(t)表示。第七十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)系統(tǒng)參數(shù)(cnsh)-運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)(cnsh)系統(tǒng)狀態(tài)概率：瞬態(tài)概率Pn(t)Pn(t)：表示時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài) N(t)=n N(t)=n 的概率; ;穩(wěn)態(tài)概率PnPn：一般，排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行了一定長(zhǎng)的時(shí)間后，系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布不再隨時(shí)間t t變化(b

47、inhu)(binhu)，即初始時(shí)刻（t=0t=0）系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布(Pn(0)(Pn(0)，n0n0）的影響將消失求穩(wěn)態(tài)概率PnPn時(shí)，不需要求tt時(shí)Pn(t)Pn(t)的極限，而只需令導(dǎo)數(shù)P(t)=0P(t)=0即可。=lim (t)nntPP第八十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)系統(tǒng)(xtng)參數(shù)-運(yùn)行指標(biāo)參數(shù)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)參數(shù)-評(píng)價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)劣隊(duì)長(zhǎng)與等待隊(duì)長(zhǎng)：隊(duì)長(zhǎng):系統(tǒng)中的顧客(gk)數(shù)（n），期望值為：等待隊(duì)長(zhǎng): 系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客(gk)數(shù)，期望值為： 1=()qnncLnc P=1=snnLnP系統(tǒng)中在隊(duì)列中等待正在服務(wù)顧客數(shù)服

48、務(wù)的顧客數(shù)的顧客數(shù)第八十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)系統(tǒng)參數(shù)-運(yùn)行(ynxng)指標(biāo)參數(shù)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)參數(shù)-評(píng)價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)劣逗留時(shí)間與等待時(shí)間逗留時(shí)間:指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中全部停留時(shí)間；期望值，記為Ws等待時(shí)間:指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間；期望值，記為Wq逗留時(shí)間等待時(shí)間服務(wù)時(shí)間其他相關(guān)指標(biāo):忙期: 指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑的時(shí)間長(zhǎng)度忙期服務(wù)量：指一個(gè)忙期內(nèi)系統(tǒng)平均(pngjn)完成服務(wù)的顧客數(shù)損失率: 指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，未接受服務(wù)而離去的概率服務(wù)強(qiáng)度： = /c 第八十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(

49、nn jn)信息工程大學(xué)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)間(shjin)參數(shù)分布規(guī)律到達(dá)間隔(jin g)的分布和服務(wù)時(shí)間的分布 經(jīng)驗(yàn)分布泊松流負(fù)指數(shù)分布愛爾朗分布第八十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)經(jīng)驗(yàn)(jngyn)分布例1. 大連港大港區(qū)載貨500噸以上(yshng)船舶到達(dá)(不包括定期到達(dá)的船舶)逐日記錄：將數(shù)據(jù)整理成船舶到達(dá)數(shù)的分布表：可以計(jì)算出：平均到達(dá)率=到達(dá)總數(shù)/總天數(shù)=1271/365=3.48(艘/天)船舶到達(dá)數(shù)船舶到達(dá)數(shù)n頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.1346260.0

50、717190.052840.011920.00510以上10.003合計(jì)3651.000第八十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)經(jīng)驗(yàn)(jngyn)分布實(shí)際中測(cè)定相繼到達(dá)時(shí)間間隔的方法實(shí)際中測(cè)定相繼到達(dá)時(shí)間間隔的方法以以i表示第表示第i號(hào)顧客到達(dá)的時(shí)刻，以號(hào)顧客到達(dá)的時(shí)刻，以si表示對(duì)它的服務(wù)時(shí)間，這樣可算出相繼表示對(duì)它的服務(wù)時(shí)間，這樣可算出相繼到達(dá)的間隔時(shí)間到達(dá)的間隔時(shí)間ti (ti=i+1-i)和排隊(duì)等待時(shí)間和排隊(duì)等待時(shí)間wi，它們的關(guān)系，它們的關(guān)系(gun x)如下：如下：相繼到達(dá)時(shí)間間隔相繼到達(dá)時(shí)間間隔等待時(shí)間：等待時(shí)間：iit1iw0,00,i

51、iiiiiiiitswtswtsw當(dāng)當(dāng)?shù)诎耸屙?yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)經(jīng)驗(yàn)(jngyn)分布例2 某服務(wù)機(jī)構(gòu)是單服務(wù)臺(tái)，先到先服務(wù)，對(duì)41個(gè)顧客記錄到達(dá)時(shí)刻和服務(wù)時(shí)間s(單位為分鐘)，在表中以第1號(hào)顧客到達(dá)時(shí)刻為0，對(duì)所有顧客的全部(qunb)服務(wù)時(shí)間為127分鐘。將原始記錄整理成下表。到達(dá)間隔到達(dá)間隔/分鐘分鐘次數(shù)次數(shù)162103846536272819110以上1合計(jì)40服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間/分鐘分鐘次數(shù)次數(shù)1102103745546271819以上1合計(jì)41第八十六頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)經(jīng)驗(yàn)

52、(jngyn)分布例2平均間隔時(shí)間=142/40=3.55(分鐘/人)平均到達(dá)(dod)率=41/142=0.28(人/分鐘)平均服務(wù)時(shí)間=127/41=3.12(分鐘/人)平均服務(wù)率=41/127=0.32(人/分鐘) 第八十七頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)泊松流設(shè) 表示在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù) ， 令 表示在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)有 個(gè)顧客到達(dá)的概率，即：當(dāng) 合于下列三個(gè)條件時(shí)，我們說顧客的到達(dá)形成泊松流： 1.無(wú)后效性(Markov性):在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立(dl)2.平穩(wěn)性:對(duì)充分小的 ，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無(wú)關(guān)

53、，而與區(qū)間長(zhǎng)度 成正比，即 是常數(shù)，表示單位時(shí)內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱為概率強(qiáng)度。3.普通性：對(duì)于充分小的 ，在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以至于可以忽略，即：0,t( )N t(0)t 12( , )nP t t1221,()t ttt(0)n 122121( , )( )( ) ( ,0)nP t tP N tN tntt n12( , )nP t ttt1( ,)()P t tttot t0, t tt2( ,)()nnP t ttot第八十八頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)泊松流 表示長(zhǎng)為t的時(shí)間(shjin)區(qū)間內(nèi)到達(dá)n

54、個(gè)顧客的概率，隨機(jī)變量 服從泊松分布，它的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：( )( )e!0 0,1,2,ntntP tntn( )nP t( )()( )N tN stN s( ) , Var( )E N ttN tt第八十九頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布的定義：負(fù)指數(shù)分布的定義：如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量(su j bin lin)T的概率密度是：的概率密度是：則稱則稱T服從負(fù)指數(shù)分布。它的分布函數(shù)是：服從負(fù)指數(shù)分布。它的分布函數(shù)是：數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望為 方差為方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 e, 0( )0, 0tTtftt1 e, 0( )

55、0, 0tTtF tt 1E T 21VarT 1T第九十頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)（無(wú)記憶性或馬爾柯夫性）負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)（無(wú)記憶性或馬爾柯夫性）(1) 由條件概率公式容易證明由條件概率公式容易證明該性質(zhì)說明：一個(gè)顧客到來(lái)所需的時(shí)間與過去顧客到達(dá)該性質(zhì)說明：一個(gè)顧客到來(lái)所需的時(shí)間與過去顧客到達(dá)的時(shí)間無(wú)關(guān)，也就是說該顧客是隨機(jī)地到達(dá)。的時(shí)間無(wú)關(guān)，也就是說該顧客是隨機(jī)地到達(dá)。(2) 當(dāng)輸入過程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)當(dāng)輸入過程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間間T必然服從負(fù)指數(shù)分布。這是因?yàn)閷?duì)于泊松流，在區(qū)

56、間必然服從負(fù)指數(shù)分布。這是因?yàn)閷?duì)于泊松流，在區(qū)間(q jin) 內(nèi)至少有內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率是個(gè)顧客到達(dá)的概率是 又可表示為又可表示為 結(jié)合負(fù)指數(shù)分布函數(shù)即得所證。結(jié)合負(fù)指數(shù)分布函數(shù)即得所證。P Tts TsP Tt 0,t01( )1, 0tP tet ( )TP TtF t第九十一頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué) 令令 ，則，則稱為稱為(chn wi)(chn wi)服務(wù)強(qiáng)度。服務(wù)強(qiáng)度。負(fù)指數(shù)分布相繼到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布與到達(dá)為泊松流的等價(jià)性相繼到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布與到達(dá)為泊松流的等價(jià)性顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立且為同負(fù)指數(shù)分布顧客相

57、繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立且為同負(fù)指數(shù)分布(密度函數(shù)為密度函數(shù)為 )與輸入過程為泊松流與輸入過程為泊松流(參數(shù)為參數(shù)為)是等價(jià)的。是等價(jià)的。對(duì)于泊松流，對(duì)于泊松流，表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，1/ 表示相繼顧客表示相繼顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間。到達(dá)平均間隔時(shí)間。服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間v 的分布的分布對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間也就是在忙期相繼離開對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間也就是在忙期相繼離開(l ki)系統(tǒng)的兩顧客的間系統(tǒng)的兩顧客的間隔時(shí)間，有時(shí)也服從負(fù)指數(shù)分布。設(shè)它的分布函數(shù)和密度分別是隔時(shí)間，有時(shí)也服從負(fù)指數(shù)分布。設(shè)它的分布函數(shù)和密度分別是其中其中 表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)

58、率，表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)率， 表示對(duì)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。表示對(duì)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。0, tet ( )1 e, ( )ettvvF tf t 1()Ev第九十二頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué) 愛爾朗分布(fnb)愛爾朗分布的定義：設(shè) 是k個(gè)相互獨(dú)立(dl)的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù) 的負(fù)指數(shù)分布，那么 的概率密度是：稱T服從k階愛爾朗分布，其均值和方差分別為例子：串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立(dl)，服從相同的負(fù)指數(shù)分布(參數(shù)k)，那么一顧客走完這k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從k階愛爾朗分布。12,kv vvk1

59、2kTvvv1()( )e, 0(1)!kktkkktb ttk 211;VarE TTk第九十三頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué) 愛爾朗分布(fnb)愛爾朗分布的意義當(dāng)k=1時(shí)，愛爾朗分布化為負(fù)指數(shù)分布，可看成是一種完全隨機(jī)的分布；當(dāng)k增大時(shí)，愛爾朗分布的圖形(txng)逐漸變?yōu)閷?duì)稱的當(dāng)k30時(shí)愛爾朗分布近似于正態(tài)分布；k時(shí),VarT0，這時(shí)愛爾朗分布化為確定型分布。一般k階愛爾朗分布可看成完全隨機(jī)與完全確定的中間型，能對(duì)現(xiàn)實(shí)世界提供更為廣泛的適應(yīng)性。第九十四頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)Little（利特

60、爾）公式（利特爾）公式(gngsh)對(duì)一般(ybn)排隊(duì)系統(tǒng)，性能指標(biāo)之間均有下式成立：,qssqeeLLWWeqsqsLLWW,10nnneP其中有效到達(dá)率為：第九十五頁(yè)，共141頁(yè)。2022-6-28 6:18南京(nn jn)信息工程大學(xué)蒙特卡洛排隊(duì)(pi du)模擬1 系統(tǒng)的假設(shè)：系統(tǒng)的假設(shè)：（1） 顧客源是無(wú)窮的；顧客源是無(wú)窮的；（2） 排隊(duì)的長(zhǎng)度沒有限制；排隊(duì)的長(zhǎng)度沒有限制；（ 3）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次(yc)進(jìn)入服務(wù)，進(jìn)入服務(wù)， “先到先服務(wù)先到先服務(wù)”。 在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來(lái)到，售貨員逐個(gè)地接待顧客當(dāng)?shù)絹?lái)的在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來(lái)到，售貨員逐個(gè)地接待