同濟大學高等數(shù)學上D重積分的應用學習教案

1、同濟大學同濟大學 高等數(shù)學上高等數(shù)學上D重積分重積分(jfn)的應的應用用第一頁，共31頁。所求量是 對區(qū)域(qy)具有可加性 從定積分定義(dngy)出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共31頁第二頁，共31頁。 曲頂柱體的頂為連續(xù)(linx)曲面),(yxfz 則其體積(tj)為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

2、第2頁/共31頁第三頁，共31頁。1:221yxzS任一點(y din)的切平面與曲面222:yxzS所圍立體(lt)的體積 V . 解解: 曲面曲面(qmin)1S的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xoy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記所圍域為D ),(000zyx在點Drrrdd2rr dd10320機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共31頁第四頁，共31頁。xoyza2內(nèi)接錐面所圍成的立體(lt)的體積

3、.解解: 在球坐標系下空間立體在球坐標系下空間立體(lt)所占區(qū)域為所占區(qū)域為:則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共31頁第五頁，共31頁。MAdzdnxyzSo設光滑(gung hu)曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積(min j) A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22

4、yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共31頁第六頁，共31頁。故有曲面面積(min j)公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑(gung hu)曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共31頁第七頁，共31頁。xzxyzyAdd)()(122若光滑(gung hu)曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面(qmin)方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFy

5、zFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共31頁第八頁，共31頁。yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上面上(min shn)投影為投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積(min j) A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共31頁第九頁，共31頁。解解:設球面(qimin)方程為 ar球面(qimin)面積元素為ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法

6、2 利用直角坐標方程. (見書 P109)方法方法1 利用球坐標方程.axyzoddsina機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共31頁第十頁，共31頁。設空間(kngjin)有n個質(zhì)點, ),(kkkzyx其質(zhì)量(zhling)分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質(zhì)心 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共31頁第十一頁，共31頁。將 分成(

7、fn chn) n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作(kn zu)質(zhì)量集中于點),(kkk例如(lr),nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標.的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第 k 塊上任取一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共31頁第十二頁，共31頁。zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVdd

8、d機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共31頁第十三頁，共31頁。若物體為占有(zhnyu)xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積(min j)得D 的形心坐標:則它的質(zhì)心(zh xn)坐標為MMyMMx其面密度 xMyM 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共31頁第十四頁，共31頁。4sin2rsin4r和的質(zhì)心(zh xn). 2D解解: 利用利用(lyng)對

9、稱性可知對稱性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共31頁第十五頁，共31頁。Vzyxzzddd的方程(fngchng)為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解解: 利用利用(lyng)對稱性可知質(zhì)心在對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標, 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的質(zhì)心.oxzh若爐不計爐體

10、的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共31頁第十六頁，共31頁。hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共31頁第十七頁，共31頁。設物體(wt)占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體(wt)位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣

11、量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共31頁第十八頁，共31頁。zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共31頁第十九頁，共31頁。面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機動(jdng) 目

12、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共31頁第二十頁，共31頁。rraddsin0302解解: 建立建立(jinl)坐標系如圖坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片(bo pin)的質(zhì)量221aM 2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共31頁第二十一頁，共31頁。)sinsincossin(222222rr解解: 取球心取球心(qixn)為原點為原點, z 軸為軸為 l 軸軸,:2222azyx則zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體(

13、qit)的質(zhì)量334aM dsin03rrad04設球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共31頁第二十二頁，共31頁。222zyxr G 為引力(ynl)常數(shù)設物體占有(zhnyu)空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)rzxvdyFd引力元素在三坐標軸上的投影分別為),(zyxFFFF 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共31頁第二十三頁，共31頁。vrxzyxGFxd),(3vryz

14、yxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3對 xoy 面上(min shn)的平面薄片D ,它對原點處的單位質(zhì)量(zhling)質(zhì)點的引力(ynl)分量為,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共31頁第二十四頁，共31頁。aaR1122xyzoR設面密度為 ,半徑(bnjng)為R的圓形薄片求它對位于(wiy)點解解: 由對稱性知引力由對稱性知引力(ynl)zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF

15、23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共31頁第二十五頁，共31頁。Rxyzo2222Rzyx對位于(wiy)(), 0 , 0(0RaaM的單位(dnwi)質(zhì)量質(zhì)點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr點zDazyxyx23222)(dd0MazD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共31頁第二十六頁，共31頁。RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRa

16、zrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質(zhì)量機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共31頁第二十七頁，共31頁。P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14習題課 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第27頁/共31頁第二十八頁，共31頁。)(th( t 為時間) 的雪堆在融化(rnghu)過程中,其側(cè)面(cmin)滿足方程,)()(2)(22thyxthz設長度單位(dnwi)為厘米, 時間單位為小時, 設有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2001考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁/共31頁第二十九頁，共31頁。yxzo記雪堆(xu du)體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(1