高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)計數(shù)原理——二項式定理PPT課件

1、返回目錄返回目錄 1. 1.二項式定理的內(nèi)容二項式定理的內(nèi)容 (a+b)n= . 右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做(a+b)n的的 ，其中的系，其中的系數(shù)數(shù) (r=0,1,n)叫做展開式的叫做展開式的 ，式中的第式中的第r+1項項 an-rbr叫做二項展開式的叫做二項展開式的 ，記，記作作Tr+1= (其中其中0rn,rN,nN*).r rn nC Cr rn nC CN *)N *)(n (nb bC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC Cn nn nn nk kk k- -n nk kn n1 1-1 -1n n1 1n nn n0 0n n+二項展開式二項展開式 二項式系數(shù)二

2、項式系數(shù) 通項通項 r rr r- -n nr rn nb ba aC C第1頁/共24頁 2.二項式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性與首末兩端）對稱性與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系的兩個二項式系數(shù)相等，即數(shù)相等，即 . （2）增減性與最大值由）增減性與最大值由 知，當知，當k 時，二項式系數(shù)是逐漸的時，二項式系數(shù)是逐漸的 ，由對稱性知它的，由對稱性知它的后半部分是逐漸的后半部分是逐漸的 ，且在中間取最大值，且在中間取最大值.當當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當n是奇數(shù)時，是奇數(shù)時，中間的兩項中間的兩項 相等，且同時取得最大值相等，且同時取得最大值. （

3、3）各二項式系數(shù)的和為）各二項式系數(shù)的和為2n，即，即 =2n. （4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式）奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即系數(shù)的和，即返回目錄返回目錄 k k1 1k k- -n nC CC C-1-1k kn nk kn n+=2 21 1n n +. .C CC CC CC C3 3n n4 4n n2 2n n0 0n n+=+m m- -n nn nm mn nC CC C=增大增大 減小減小 C C, ,C C2 21 1n n2 21 1 - -n nn nn n+n nn n1 1n n0 0n nC CC CC C+第2頁/共24頁（

4、1） 的展開式中的展開式中x5的系數(shù)為的系數(shù)為 .（2）若在）若在(1+ax)5的展開式中的展開式中x3的系數(shù)為的系數(shù)為-80,則則a= .返回目錄返回目錄 由通項公式列方程可得由通項公式列方程可得.8 8) )x x1 1- -( (x x第3頁/共24頁（1）二項展開式的通項為）二項展開式的通項為 令令8- =5,則則r=2, T3=(-1)2 x5=28x5, x5的系數(shù)為的系數(shù)為28. （2）在二項展開式中通項公式）在二項展開式中通項公式Tr+1= (ax)r= arxr, 令令r=3,得得x3的系數(shù)的系數(shù): a3=-80, a3=-8,a=-2.返回目錄返回目錄 2 23 3r r-

5、 -8 8r r8 8r rr r2 21 1- -r r- -8 8r r8 81 1r r x x C C( (- -1 1) ) ) ( (- -x xx xC CT T=+r r2 23 32 28 8C Cr r5 5C Cr r5 5C C3 35 5C C第4頁/共24頁（1）二項展開式的通項公式反映出展）二項展開式的通項公式反映出展開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項的系數(shù)運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項的系數(shù)或指數(shù)或指數(shù). （2）求指定項的系數(shù)主要通過二項式定理的通）求指定

6、項的系數(shù)主要通過二項式定理的通項公式列方程求得，考查計算能力項公式列方程求得，考查計算能力.返回目錄返回目錄 第5頁/共24頁若若(x+ )n展開式的二項式系數(shù)之和為展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的則展開式的常數(shù)項為常數(shù)項為( )A.10 B.20 C.30 D.120B(由展開式的二項式系數(shù)之和為由展開式的二項式系數(shù)之和為64,得得2n=64,得得n=6,則展開式中的第則展開式中的第r+1項項Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r, 令令6-2r=0,得得r=3.則展開式中的常數(shù)項為則展開式中的常數(shù)項為T4= =20.故應(yīng)選故應(yīng)選B.)返回目錄返回目錄 x x1 1r r6

7、6C Cr r6 6C C3 36 6C CB第6頁/共24頁（1+2x）n的展開式中第的展開式中第6項與第項與第7項的系數(shù)相等，求項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.根據(jù)條件可求出根據(jù)條件可求出n；再根據(jù)；再根據(jù)n的奇偶性，的奇偶性，確定二項式系數(shù)最大的項；系數(shù)最大的項則由不等式確定二項式系數(shù)最大的項；系數(shù)最大的項則由不等式組確定組確定.返回目錄返回目錄 第7頁/共24頁T6= (2x)5,T7= (2x)6,依題意有依題意有 25= 26 n=8.(1+2x)8的展開式中二項式系數(shù)最大的項為的展開式中二項式系數(shù)最大的項為T5=

8、(2x)4=1 120 x4,設(shè)第設(shè)第r+1項系數(shù)最大項系數(shù)最大,則有則有 2r 2r-1 2r 2r+1 返回目錄返回目錄 6 6n nC C5 5n nC C5 5n nC C6 6n nC C4 48 8C Cr r8 8C Cr r8 8C C-1-1r r8 8C C1 1r r8 8C C+1)1)- -r r- -( 8( 81) !1) !( r( r8! 28! 2r) !r) !- -( 8( 8r!r!8!8! 1) !1) !r r- -( 8( 81) !1) !- -( r( r8!8!r)r)- -( 8( 8r!r!8! 28! 2+第8頁/共24頁 2(8-r

9、+1)r r6 r+12(8-r) r5 又又rN，r=5或或r=6,系數(shù)最大的項為系數(shù)最大的項為T6=1 792x5，T7=1 792x6.返回目錄返回目錄 5r6.第9頁/共24頁求二項式系數(shù)最大的項，要根據(jù)二項求二項式系數(shù)最大的項，要根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大.求展開式中求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式組、各項系數(shù)的正、負變化情況，一

10、般采用列不等式組、解不等式組的方法解不等式組的方法.返回目錄返回目錄 第10頁/共24頁在在(3x-2y)20的展開式中的展開式中,求求:(1) 二項式系數(shù)最大的項二項式系數(shù)最大的項;(2) 系數(shù)絕對值最大的項系數(shù)絕對值最大的項;(3) 系數(shù)最大的項系數(shù)最大的項.返回目錄返回目錄 第11頁/共24頁(1)二項式系數(shù)最大的項是第二項式系數(shù)最大的項是第11項項,T11= 310(-2)10 x10y10= 610 x10y10.(2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項項, 320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1, 3(r+1)2(20-r) 2

11、(21-r)3r,解得解得 r .所以所以r=8.即即T9= 31228x12y8是系數(shù)絕對值最大的項是系數(shù)絕對值最大的項.返回目錄返回目錄 1 10 02 20 0C C1 10 02 20 0C Cr r2 20 0C Cr r2 20 0C C1 1r r2 20 0C C+1 1r r2 20 0C C+于是于是化簡得化簡得5 52 27 75 52 28 88 82 20 0C C第12頁/共24頁 (3)由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項,故可設(shè)第故可設(shè)第2r-1項系數(shù)項系數(shù)最大最大,于是于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 3

12、20-2r22r, 10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240. 解之得解之得r=5,即即25-1=9項系數(shù)最大項系數(shù)最大. T9= 31228x12y8. 返回目錄返回目錄 2 2- -2 2r r2 20 0C C2 2- -2r2rC C4 4- -2 2r r2 20 0C C2 2r r2 20 0C C8 82 20 0C C 化簡得化簡得 第13頁/共24頁設(shè)（設(shè)（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（）（a0+a2+a10

13、0）2-(a1+a3+a99)2.返回目錄返回目錄 利用二項式系數(shù)的性質(zhì)利用二項式系數(shù)的性質(zhì).3 3第14頁/共24頁（1）由）由(2- x)100展開式中的常數(shù)項展開式中的常數(shù)項為為 2100，即，即a0=2100,或令或令x=0，則展開式可化為，則展開式可化為a0=2100. （2）令）令x=1，可得，可得 a0+a1+a2+a100=(2- )100， a1+a2+a100=(2- )100-2100.返回目錄返回目錄 3 30 01 10 00 0C C3 33 3第15頁/共24頁（3）令）令x=-1,可得可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100， 與與x=1所得到的聯(lián)

14、立相減可得所得到的聯(lián)立相減可得a1+a3+a99= .（4）原式）原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2- )100(2+ )100=1.返回目錄返回目錄 3 32 2) ) 3 3(2 (2- -) ) 3 3 - -(2 (2100100100100+3 33 3第16頁/共24頁（1）求關(guān)于展開式中系數(shù)和的問題，）求關(guān)于展開式中系數(shù)和的問題，往往根據(jù)展開式的特點賦給其中字母一些特殊的數(shù)，往往根據(jù)展開式的特點賦給其中字母一些特殊的數(shù)，如如

15、1,-1,0,. （2）一般地，對于多項式）一般地，對于多項式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn. g(x)的各項的系數(shù)和為的各項的系數(shù)和為g(1), g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為的奇數(shù)項的系數(shù)和為 g(1)+g(-1), g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為的偶數(shù)項的系數(shù)和為 g(1)-g(-1).返回目錄返回目錄 2 21 12 21 1第17頁/共24頁設(shè)設(shè)(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,則則|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（ ）A.29 B.49 C.39 D.59 B(由通項公式可知，由通項公式可知，(1-3x)9的展開式中含的展開式中含x的奇

16、的奇次冪的項的符號均為次冪的項的符號均為“-”，即，即a1,a3,a9均小于零均小于零. |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令中令x=-1，便可求出其，便可求出其值值.即即 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49. 故應(yīng)選故應(yīng)選B.)返回目錄返回目錄 第18頁/共24頁求值：求值：（1）2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n;（2）2 + +2 + + +2 .返回目錄返回目錄 構(gòu)造二項式，通過賦值法求值構(gòu)造二項式，通過賦值法求值.1 1n nC C2 2n n

17、C Cn nn nC Cn n- -1 1n nC C0 0n n2 2C C1 1n n2 2C C2 2n n2 2C C3 3n n2 2C Cn-1n-12 2n n2 2C Cn n2 2n n2 2C C與組合數(shù)有關(guān)的求值問題，解答過程大體上用兩與組合數(shù)有關(guān)的求值問題，解答過程大體上用兩個知識點個知識點:二項展開式的逆用（從右往左用）；賦值法二項展開式的逆用（從右往左用）；賦值法.第19頁/共24頁（1）在二項展開式）在二項展開式(a+b)n= an+ an-1 b+ bn中，令中，令a=2,b=3,得得 2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n=(2+3)n=5n

18、. （2）原式）原式 =( )+( ) =(1+1)2n+ (1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.返回目錄返回目錄 2n2n2n2n2 22n2n1 12n2n0 02n2nC C+ + +C C+ +C C+ +C C2n2n2n2n2 22n2n0 02n2nC C+ + +C C+ +C C2 21 10 0n nC C1 1n nC Cn nn nC C1 1n nC C2 2n nC C- -1 1n nn nC Cn nn nC C第20頁/共24頁證明：證明：2(1+ )n1時，時， (1+ )n=1+ + + + =1+1+ + 2.當當n=1時等號成立時等號成立.(1+ )n2成立成立.返回目錄返回目錄 n n1 11 11 1n n1 11 1n nC C2 2n nC Cn n1 12 2n n1 13 3n nC C3 3n n1 1n nn nC C2 2n n1 12 2n nC C2 2n n1 1n nn nC Cn nn n1 1n n1 1第21頁/共24頁(1+ ) n=1+ + + 1+1+ 2+ =2+ =2+1-( )n-1=3-( )n-13.2(1+ )n3成立成立.返回目錄返回目錄 , ,k!k!1 1n nk!