數(shù)學(xué)建模部分概念 期末復(fù)習(xí).

1、數(shù)學(xué)建模部分定義概念第一章實踐、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)模型一、相關(guān)概念（特定對象 特定目的 特有內(nèi)在規(guī)律）1.原型：客觀存在的各種研究對象。既包括有形的對象，也包括無形的、思維中的對象，還包括各種系統(tǒng)和過程等2.模型：為了某個特定的目的，將原型的某一部分信息簡縮，提煉而構(gòu)造的整個原型或其部分或其某一層面的替代物。3.原型與模型的關(guān)系：原型是模型的前提與基礎(chǔ)，模型是原型的提煉與升華。原型有各個方面和各個層次的特征，而模型只要求反映與某些目的有關(guān)的那些方面和層次。二、什么是數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model 對于現(xiàn)實世界中的一個特定對象，為了一個特定的目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假

2、設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 廣義上講，數(shù)學(xué)模型是指凡是以相應(yīng)的客觀原型作為背景，加以一級抽象或多級抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)理論等都叫數(shù)學(xué)模型。 狹義上講，數(shù)學(xué)模型是指那些反映特定問題或特定事物的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。（我們所指的數(shù)學(xué)模型是指狹義上的數(shù)學(xué)模型） 數(shù)學(xué)模型不是原型的復(fù)制品，而是為了一定的目的，對原型所作的一種抽象模擬。它用數(shù)學(xué)算式、數(shù)學(xué)符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在關(guān)系，是對現(xiàn)實世界的抽象、簡化而有本質(zhì)的描述，它源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實。 三、什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是指應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決某一實際問題的全過程。包括： （1）對實際問題的較詳細(xì)的了解、分析和判

3、斷; （2）為解決問題所需相關(guān)數(shù)學(xué)方法的選擇; （3）針對實際問題的數(shù)學(xué)描述,建立數(shù)學(xué)模型; （4）對數(shù)學(xué)模型的求解和必要的計算; （5）數(shù)學(xué)結(jié)果在實際問題中的驗證; （6）將合理的數(shù)學(xué)結(jié)果應(yīng)用于實際問題之中,從而解決問題。 四 數(shù)學(xué)建模流程圖（參見教材上冊P14）1實際問題2抽象、簡化、假設(shè)，確定變量和參數(shù)3 根據(jù)某種“定律”或“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間的一個明確 的數(shù)學(xué)關(guān)系，即在此簡化階段上構(gòu)造數(shù)學(xué)模型4解析地或近似地求解該數(shù)學(xué)模型5用實際問題的實測數(shù)據(jù)等來解釋、驗證該數(shù)學(xué)模型（若不通過，返回第2步）6投入使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟、社會效益完美的圖畫-黃金分割 黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分

4、間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為或1.618:1，即長段為全段的。 所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。 計算黃金分割最簡單的方法: 計算斐波那契數(shù)列 1,1,2,3,5,8,13,21,. 從第二位起相鄰兩數(shù)之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,.的近似值。1.2 八步建模法1. 問題提出2.量的分析3. 模型假設(shè)4. 模型建立5. 模型求解6. 模型分析7. 模型檢驗8. 模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模采用的方法（詳見教材P11）1. 機理分析法: 在對研究

5、對象內(nèi)部機理分析的基礎(chǔ)上, 利用建模假設(shè)所給出的建模信息或前提條件及相關(guān)領(lǐng)域知識、相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具來構(gòu)造模型。 2. 系統(tǒng)識別建模法: 對系統(tǒng)內(nèi)部機理不清楚的情況下, 利用建模假設(shè)或?qū)嶋H對系統(tǒng)的測試數(shù)據(jù)所給的系統(tǒng)的輸入輸出信息及數(shù)據(jù), 用純粹的數(shù)學(xué)方法確定模型形式，借助于概率論和數(shù)理統(tǒng)計來辨識參數(shù)構(gòu)造模型。3. 仿真建模法: 利用各種仿真方法建立數(shù)學(xué)模型。4. 相似類比建模法: 借助于相似原理和事物之間的類比關(guān)系進行建模的方法，是根據(jù)不同研究對象之間的某些相似性（數(shù)學(xué)相似、物理相似和其他相似）借用移植領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型老構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的方法。 1.3 數(shù)學(xué)模型的分類（參見教材上冊P15） 1、按建模的

6、數(shù)學(xué)方法劃分：初等模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、概率統(tǒng)計模型、圖論模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中變量特點劃分：確定性模型與隨機性模型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續(xù)模型；3、按應(yīng)用領(lǐng)域劃分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、規(guī)劃模型、生態(tài)模型、資源模型等；4、按建模的目的劃分：描述模型、預(yù)測模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等； 5、按對問題的了解程度劃分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分類5的具體解釋：（1）白箱模型(White Box) 對系統(tǒng)相當(dāng)了解，利用系統(tǒng)的機理方程建立起來的數(shù)學(xué)模型，通常采用機理建模。（2）黑箱(Black Box

7、)模型 對系統(tǒng)并不了解，利用實驗得到的輸入輸出數(shù)據(jù)來構(gòu)建系統(tǒng)的等價模型，通常采用統(tǒng)計建模。（3）灰箱(Gray Box)模型介于白箱模型和黑箱模型之間的模型。1.4 數(shù)學(xué)模型特點與建模能力培養(yǎng) 一、數(shù)學(xué)模型的特點1、逼真性和可行性：模型越逼真就越復(fù)雜,應(yīng)用起來費用越高,常與取得的效益不成正比。所以需要對逼真性與可行性進行折衷。2、漸進性：數(shù)學(xué)模型通常不會是一次就成功的,往往需要反復(fù)修正,逐漸完善。3、強健性： 對于已建好的數(shù)學(xué)模型,當(dāng)觀測數(shù)據(jù)有微小的改變或者模型結(jié)構(gòu)及參數(shù)發(fā)生微小變化時,模型求解的結(jié)果也隨之發(fā)生微小的變化。 4、可轉(zhuǎn)移(移植)性：數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實對象抽象化產(chǎn)物，它可能與其它領(lǐng)域其

8、它事物有共性。常常好多領(lǐng)域不同事物卻共有幾乎相同數(shù)學(xué)模型。5、非預(yù)制性：大千世界變化莫測,千姿百態(tài),不能要求把所有的模型做成預(yù)制品供我們使用。建鏌時遇到的問題往往事先沒有答案, 因此必須創(chuàng)新,產(chǎn)生新方法、新概念。 6、條理性：從建模角度出發(fā),人們對現(xiàn)實對象分析應(yīng)該全面、深入,更具有條理性。即使建模失敗，對解決研究實際問題也是有利的7、技藝性: 建模與其說使一門技術(shù),不如說是一種技藝很強的技巧藝術(shù)。期間經(jīng)驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺靈感起的作用往往比數(shù)學(xué)知識更大。人的知識是有限的,想象力是無限的。 8、局限性: 由于建模時往往會把現(xiàn)實對象簡化、近似、假設(shè),因此當(dāng)模型應(yīng)用到實際時就必須考慮被

9、忽略的簡化因素。于是結(jié)論往往是相對的、近似的。另外，由于人類認(rèn)識能力受科學(xué)技術(shù)以及數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，至今還有不少實際問題沒有建立出有價值的實用的數(shù)學(xué)模型，如中醫(yī)診斷等。 二、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)（教材上冊P16）（1）數(shù)學(xué)知識的積累； （2）學(xué)好數(shù)學(xué)模型課，多看、多學(xué)數(shù)學(xué)建模案例； （3）留心各樣事物，培養(yǎng)觀察能力和用數(shù)學(xué)解決問題的思想； （4）需要豐富的想象力與敏銳、深刻的洞察力； （5）興趣是學(xué)習(xí)的動力，努力培養(yǎng)建模興趣； （6）與計算機的緊密關(guān)聯(lián)，學(xué)會使用相關(guān)軟件； （7）虛心學(xué)習(xí)，注重團隊意識和團結(jié)協(xié)作； （8）學(xué)會類比，做到“由此及彼和由彼及此”，培養(yǎng)發(fā)散思維能力； （9）培養(yǎng)自

10、學(xué)能力，能快速獲取新知識，并能學(xué)以致用； （10）學(xué)會從雜亂無章的各種信息中快速挑選收集有用信息，利用圖書館、網(wǎng)絡(luò)查找相關(guān)資料。第二章 初等數(shù)學(xué)模型 2.1 比例分析法建模比例是一個總體中各個部分的數(shù)量占總體數(shù)量的比重，用于反映總體的構(gòu)成或者結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)上表示兩個比值相等的式子叫做比例。在一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，叫做比例的基本性質(zhì)。求比例的未知項的過程，叫做解比例。 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（商）一定，兩種量就叫做正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例的關(guān)系。如果兩種量中，相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，他們的

11、關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 比例在日常生活中的重要應(yīng)用】 比例是最基本、最初等的數(shù)學(xué)概念之一，日常生活中的許多實際問題所指向的對象都蘊含著比例關(guān)系，運用比例關(guān)系可以建立數(shù)學(xué)模型，對實際問題進行描述與求解。 例如：若兩個物體的特征長度之比為1:，則其表面積的比例為1:2，其體積的比例是1: 3。這反映了一些實際對象中包含的變量之間滿足的內(nèi)在規(guī)律。（詳見教材上冊P18） 本節(jié)研究“商品包裝成本的確定問題”的數(shù)學(xué)建模問題。、2.6 圖論方法在數(shù)學(xué)模型中的運用一、圖論的起源 圖論是組合數(shù)學(xué)的一個分支，起源于1736年歐拉的第一篇關(guān)于圖論的論文, 這篇論文解決了著名的哥尼斯堡七橋問題，從而使歐拉成為圖論的創(chuàng)始

12、人。 在圖中，用點代表各個事物,用邊代表各個事物之間的二元關(guān)系。因此圖是研究集合上二元關(guān)系的工具,圖論給含有二元關(guān)系的系統(tǒng)提供了數(shù)學(xué)模型,是建立數(shù)學(xué)模型的重要手段。由于計算機的迅速發(fā)展, 有力推動了圖論的發(fā)展,使得圖論成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域里發(fā)展最快的分支之一。二、相關(guān)的圖論知識 定義(圖) 圖是一個有序二元組GV(G),E(G),其中V(G)vi為頂點集, E(G)ek為邊集, VV(G)中的元素vi稱為頂點,EE(G)中的元素ek叫做邊。頂點總數(shù)記為|V(G)|, 邊的總數(shù)記為|E(G)|。若|V(G)|=n,則稱G為n階圖若|V(G)|與|E(G)|均為有限數(shù)，,則稱G為有限圖三、最短軌道問題 給

13、定連接若干個城市的鐵路網(wǎng),尋找從指定的某城市到其余城市的最短路。解決該問題的數(shù)學(xué)模型如下 設(shè) w: E(G)R, w(e)叫做圖G中的邊e的權(quán)。對任意的AV(G), 尋找軌道P(A0 , A),使得 w(P(A0 , A)=minw(A), A, 其中是從A0到軌道的集合，w(A)是軌道A上各邊權(quán)之和。 求解該最短路問題的迪克斯 設(shè)d(A)表示A到A0的距離。 (1) 令d(A0)=0, d(A)=+, A0A ; S0=A0, i=0； (2) 對每個A Si , 用mind(A) , d(Ai)+w(AiA)代替d(A), 若 Ai+1是使d(A)取最小值的 中的頂點( 是Si 的補集),

14、 令Si+1=Sivi+1； (3) 若i=-1, 停止; 若i-1, 則由i+1代替i, 轉(zhuǎn)(2)。第四章非對稱形式的對偶線性規(guī)劃的對偶原則（1）如果在原規(guī)劃問題中，第k個約束條件為等式，則在其對偶問題中第k個對偶變量無非負(fù)限制；反之，如果原規(guī)劃問題的第k個決策變量無非負(fù)限制，則其對偶問題的第k個約束條件應(yīng)該為等式。（2）如果原規(guī)劃問題是求最大值，且第k個約束條件為“”形式，則在其對偶問題中，第k個對偶變量yk0；如果原規(guī)劃問題是求最大值，且第k個決策變量xk0，則其對偶問題中，第k個約束條件為“”形式（3）如果原規(guī)劃問題是求最小值，且第k個約束條件為“”形式，則在其對偶問題中，第k個對偶變

15、量yk0；如果原規(guī)劃問題是求最小值，且第k個決策變量xk0，則其對偶問題中，第k個約束條件為“”形式。 動態(tài)規(guī)劃模型動態(tài)規(guī)劃 是求解決策過程的一種最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初，美國數(shù)學(xué)家等人在研究多階段決策過程的優(yōu)化問題時，提出了著名的最佳原理 把多階段決策求解問題轉(zhuǎn)化為逐個求解一系列單階段決策問題, 這種求解最優(yōu)化問題的方法叫動態(tài)規(guī)劃方法 動態(tài)規(guī)劃方法主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)決策過程的優(yōu)化問題。但是對于某些與時間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃問題，如果可以人為地引入時間因素，把它視為多階段決策過程的問題，則也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。二、動態(tài)規(guī)劃方法的基本原理-最佳原理最佳原理 一個最優(yōu)

16、策略有這樣的特性，不論初始狀態(tài)和初始決策如何，相對于第一個決策所形成的狀態(tài)來說，余下的決策必定構(gòu)成一個最優(yōu)策略。即：每個最佳策略只能由最佳子策略組成三、動態(tài)規(guī)劃方法的重要性質(zhì)-無后效性原 所謂無后效性原則：指的是這樣一種性質(zhì)：某階段的狀態(tài)一旦確定，則在這個階段以后過程的發(fā)展與演變不再受此前各狀態(tài)及決策的影響。即“未來與過去無關(guān)”。這個性質(zhì)稱為無后效性，又稱為馬爾科夫性。 具體地說：如果一個問題被劃分為若干個階段，那么階段k+1中的狀態(tài)只能通過階段k中的狀態(tài)經(jīng)由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到，與其他狀態(tài)沒有關(guān)系，特別是與尚未發(fā)生的狀態(tài)沒有關(guān)系。四、動態(tài)規(guī)劃問題的研究內(nèi)容1. 最短路徑問題 2. 資源分配問題3

17、. 投資決策問題 4. 生產(chǎn)計劃與庫存問題5. 排序問題 6. 貨物裝載問題7. 生產(chǎn)過程中的最優(yōu)控制問題 五、動態(tài)規(guī)劃模型的種 按照決策過程的演變是確定的還是隨機的，動態(tài)規(guī)劃模型分為以下兩種類型：1、確定性動態(tài)規(guī)劃2、隨機性動態(tài)規(guī)劃 按照決策變量的取值是連續(xù)的還是離散的，動態(tài)規(guī)劃模型分為以下兩種類型： 1、連續(xù)性動態(tài)規(guī)劃2、離散性動態(tài)規(guī)劃六、動態(tài)規(guī)劃模型的基本概念1. 多階段決策問題 多階段決策問題，是指這樣的一類特殊的活動過程，它們可以按 照時間和空間依次劃分為若干個相互聯(lián)系的階段，在每一個階段中， 都需要做出一定的決策（備選方案），全部過程的決策集形成一個決 策序列，這種考慮整個決策過程

18、中各個階段決策的全體又稱為一個策 略，這類問題就是多階段決策問題。2. 動態(tài)規(guī)劃問題的基本概念 (1)階段 (2)狀態(tài) (3)決策 (4)策略 (5)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 (6)指標(biāo)函數(shù) 七、動態(tài)規(guī)劃的求解的兩種方法（1）逆序遞推法（2）順序遞推法第五章 對策模型 對策的分類：對策從不同的角度可分以下幾種類型（1）按局中人的數(shù)量多少：二人對策、多人對策。 （2）按策略的數(shù)目：有限對策、無限對策。 （3）按贏得函數(shù)的特點：零和對策、非零和對策。 （4）按局中人是否結(jié)盟：結(jié)盟對策、不結(jié)盟對策。決策的分類1、確定型決策：當(dāng)狀態(tài)只有一種時的決策問題是確定型決策。 2、風(fēng)險型決策：當(dāng)未來情況和條件不完全確定，但

19、這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率已知,這種條件下所作的決策具有一定的風(fēng)險性，所以此類決策稱為風(fēng)險型決策。 3、不確定型決策：在未來情況和條件不完全清楚、又無法估計其出現(xiàn)的概率，在此情況下所進行的決策為不確定型決策。 一般的決策問題具備的基本要素1、自然狀態(tài)：決策問題中不受決策者主觀影響的客觀情況，稱為自然狀態(tài)或客觀條件，簡稱狀態(tài)，記作kj。2、狀態(tài)概率：指各自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，記作pi=p(ki)。3、策略：可供決策者進行決策的各個行動方案稱為策略或方案，記作Ai(i=1,2, ,m)。4、益損值：每個行動方案Ai在各自的狀態(tài)ki下的經(jīng)濟收益或損失值稱為益損值，一般用Sij表示。5、益損矩陣：將益損值按原有次序構(gòu)成的矩陣稱為益損矩陣，記作M。 6、益損函數(shù)：決策的目標(biāo)要能夠度量判斷，度量決策目標(biāo)值的函數(shù)稱為益損函數(shù)S。它是決策變量Ai與概率