高二數(shù)學(xué)利用向量解決空間角問題

1、3.2利用向量解決 空間角問題 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向的熱點之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問題。量的辦法解決空間角問題。異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D, 與 的關(guān)系？CD AB思考

2、：思考：, 與 的關(guān)系？DC AB結(jié)論：結(jié)論：coscos, CD AB|題型一：線線角題型一：線線角例一：090 ,中，現(xiàn)將沿著Rt ABCBCAABC111平面的法向量平移到位置，已知ABCABC1，BCCACC111111取、的中點、 ，ABACDF11求與所成的角的余弦值.BDAFA1AB1BC1C1D1F題型一：線線角題型一：線線角所以 與 所成角的余弦值為解：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2 A

3、F111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010題型一：線線角題型一：線線角練習(xí)：題型一：線線角題型一：線線角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,為上的一點,且MBCB M1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M題型二：線面角題型二：線面角直線與

4、平面所成角的范圍： 0,2ABO, 與 的關(guān)系？n BA思考：思考：n結(jié)論：結(jié)論：sincos, n AB|題型二：線面角題型二：線面角例二：題型二：線面角題型二：線面角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,為上的一點,且MBCB M1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55與平面所成角的正弦值是ADANM2 55練習(xí)： 1111ABCDAB

5、C D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角題型二：線面角題型二：線面角正方體ABCD1A1B1C1D題型三：二面角題型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2 n2 n1ncos12|cos,| n ncos12|cos,| n nABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍題型三：二面角題型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S

6、平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDSxyz解： 建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22 CDSDC ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量設(shè)平面2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： coscos, CD AB|2.直線與平面所成角： sincos, n AB|3.二面角：cos12

7、|cos,| n ncos12|cos,| n n關(guān)鍵：觀察二面角的范圍ABCD1DABOn1n2 n; http:/ 長沙整形醫(yī)院 hnq564dgk 發(fā)生在我們學(xué)校的事，當(dāng)時我就在現(xiàn)場?！笨吹酱蠹业淖⒁饬Χ季蹟n過來，江文軒接著大聲地說道，“有一段時間學(xué)校學(xué)生食堂大米中斷了供應(yīng)，那段時間，南方同學(xué)的飯吃得是沒滋沒味、生活過得缺少了一種情趣。突然有一天聽到通知說當(dāng)天有米飯供應(yīng)，許多同學(xué)立刻蜂擁至食堂，爭先恐后地擠向打飯的窗口，沒有一個人愿意耐心排隊，窗口前里三層外三層地亂成一團(tuán)。不一會兒，只見一個男同學(xué)從人群中費了吃奶的勁吃力地擠了出來，米飯沒有買到，他卻一點也不生氣，反而在那里捂著肚子、上氣

8、不接下氣地哈哈大笑。笑夠了才發(fā)現(xiàn)大家像看瘋子一樣盯著他，他趕緊把一只手舉起來，看著舉起的那只嚴(yán)重變形的搪瓷碗，同學(xué)們哄的一聲也大笑起來?！贝蠹叶夹Φ脷舛即贿^了，有的直喊肚子痛，有的人笑得直跺腳。馬啟明眼淚掉下來了、手拍著桌子、開玩笑道：“那個同學(xué)就是你吧！”大米里面的小沙子小石子就能引出這么多的話題，可見老鄉(xiāng)們在一起有談不完的話也就不奇怪了。要是研究地球爆炸，地球人應(yīng)該搬到哪里去的話還不要嘈嘈嚷嚷討論個三天三夜?！拔以谶@也鬧過一個笑話。有一天，我去食堂吃肉絲面，師傅沒有放辣椒。咱北方人沒有辣椒就覺面不香。我就到廚房對師傅說，怎么面條一點都不辣，他一聽立刻把胡椒面遞給我，我說我要的是辣椒不是胡

9、椒面，師傅說，你不是嫌不麻嗎？這個胡椒面很麻的。我指著辣椒對他來說，我要的是辣椒，不是胡椒面。原來他們這里麻辣不分，麻就是辣，辣就是麻，你根本無法解釋清楚。你說，吃米飯吃的時候感覺到飽了，但是時間不長又餓了，不抵餓，不像面食一樣抵餓，你是學(xué)醫(yī)學(xué)的，你說為什么？”馬啟明順帶給江文軒出了個難題。啤酒是激情的催化劑。馬啟明又一杯啤酒爽下去了，沒有一種酒比啤酒更有豪氣了，一大杯吞入口，啤酒在食管里像瀑布沖下，碰到胃壁濺出水花又噴上口來，打了一個呃，他又被花開啤酒爽了一回，就是爽得有點肚子發(fā)脹，還想從上面打嗝，也想從下面排氣。馬啟明恍然大悟，原來“屁酒”的氣是從上呼吸道噴出去的，也有從直腸末端排出去的，那么就夾雜著各種各樣的響聲?？峙氯藗冏钕冉凶鳌捌ň啤保髞硐印捌ň啤苯衅饋聿晃难?，所以現(xiàn)在就叫啤酒。他為這個發(fā)現(xiàn)而沾沾自喜，又獎勵了自己一杯啤酒。“咚”突然一聲驚雷震天響，馬啟明一不小心，直腸里面的氣體直接噴了出來，但一