高中數(shù)學(xué)數(shù)列PPT課件

1、數(shù)列求和介紹求一個數(shù)列的前 n 項和的幾種方法：1 運 用 公 式 法3 錯 位 相 減 法4 裂 項 相 消 法2 通 項 分 析 法（分組求和法）1.公式法公式法：等差數(shù)列的前n項和公式：等比數(shù)列的前n項和公式 了解 了解n即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq1123(1)2nn n 22221123(1)(21)6nn nn23333(1)1232n nn例1：若實數(shù)a,b滿足： 求：分析分析：通過觀察，看出所求得數(shù)列實際上就是等通過觀察，看出所求得數(shù)列實際上就是等比數(shù)列其首項為比數(shù)列

2、其首項為a，公比為，公比為ab，因此由題設(shè)求出，因此由題設(shè)求出a,b，再用等比數(shù)列前，再用等比數(shù)列前n項和公式求和項和公式求和2249462 0abab 23 2100 99a a b a ba b22(441)(961)0aabb解：由已知有1.3b 1解得a= ，222(31)0b即：（2a-1）2321 0 09 9aababab1 0 01()1aa ba b1 0 0111()261161 0 031(1) .56例2 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：1，1/a,1/a21/an是首項為1，公比為1/a的等比數(shù)列，原式=原因：上述解法錯誤在于，當(dāng)公比1/a=1即

3、a=1時，前n 項和公式不再成立。111111naa111nnnaaa例2 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：當(dāng)a=1時，S 當(dāng)a1時，111111naSa1n ；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS在求等比數(shù)列前n項和時，要特別注意公比q是否為1。當(dāng)q不確定時要對q分q=1和q1兩種情況討論求解。對策：2.分組求和法分組求和法：若數(shù)列 的通項可轉(zhuǎn)化為 的形式，且數(shù)列 可求出前n項和 則1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc nc nbbscs na例3.求下列數(shù)列的前n項和（1） 1

4、11112,4,6,248162nn 222221112 () ,() ,()nnxxxxxx解（1）：該數(shù)列的通項公式為 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x 當(dāng)時，1nx當(dāng)時 ， S242242111()()2nnxxxnxxx242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx222224 (1)(1)(1)2

5、(1)(1)nnnnn xSxxn xxx 2112nnSaaan練習(xí)： （）求 2112nnSaaan解：212naaann當(dāng)a=1時S，12n nn21122nn0,n當(dāng)a1S時，1112naan nan當(dāng)a=0時S，12n n 12223 543 523 5nnSn 解：122423 555nn111( 22)5531215nnnn51143) 1n(n 12223 543 523 5nnSn 求nnaAnBqCnnnaApBqC規(guī)律概括：如果一個數(shù)列的通項可分成兩項之和（或三項之和）則可用分組求和法：在本章我們主要遇到如下兩種形式的數(shù)列.其一：通項公式為：其二：通項公式為：例5、Sn

6、= + +1131351(2n-1)(2n+1)分析：觀察數(shù)列的前幾項：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11這時我們就能把數(shù)列的每一項裂成兩項再求和，這種方法叫什么呢？裂項相消法113= （ -213111）1111()35235例5、Sn = + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通項an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （ - + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=評：裂項相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項使數(shù)列中的項出現(xiàn)

7、有規(guī)律的抵消項，進而達(dá)到求和的目的。4.拆項相消法拆項相消法（或裂項法）：若數(shù)列 的通項公式拆分為某數(shù)列相鄰兩項之差的形式即：或（ ）則可用如下方法求前n項和 .111()nnnambb111()nnnambbnsnannaaaas32112321111111()()()nnmmmbbbbbbnb例6、設(shè) 是公差d 不為零的等差數(shù)列 ， 滿足 求： 的前n項和na11nnnaab解:11nnnba a11nnnnaada a1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa

8、11.nna a它的拆項方法你掌握了嗎？ nb常見的拆項公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa1123nan解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn1123nann練習(xí)：求的前 項和例4、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析這是一個等差數(shù)列n與一個等比數(shù)列xn-1的對應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 +

9、 +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn n項這時等式的右邊是一個等比數(shù)列的前n項和與一個式子的和，這樣我們就可以化簡求值。錯位相減法相減例4、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=- nxn3.錯位相減法錯位相減法：

10、設(shè)數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列（d不等于零），數(shù)列 是公比為q的等比數(shù)列(q不等于1），數(shù)列 滿足： 則 的前n項和為：na nbnnnca b nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b練習(xí)：求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n答案：Sn =3-2n+32n求和Sn= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n111113523214822nnnn n1解：設(shè)S =12111132321822nnnn n11S =124相減得，111122221822nnn n111S =1224111122221422nnn n1S =12111212422nnn 1=121111212221212nnn =1232nn=3本課小結(jié)：數(shù)列求和的一般步驟：等差、等比數(shù)列直接應(yīng)用求和公式求和。非等差、等比的數(shù)列，通過通項化歸的思想設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，常用方法有倒序相加法、錯位相減法、拆項并組法不能轉(zhuǎn)化為等差、等比的數(shù)列，往往通過裂項相消法求和。作業(yè)：1111(1).147(32)2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx 114313212114nnSn ,11,321,211 )5(nnSn11