復(fù)變第二章2.3

1、第一節(jié) 解析函數(shù)條件（續(xù)）定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要內(nèi)解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)可微，且內(nèi)可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí), ,僅由其實(shí)部或虛部就可以僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來求出導(dǎo)數(shù)來. .A 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的. .使用時(shí)使用時(shí): i) 判別判別 u(x, y)，v (

2、x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R條件條件.iii) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的的, , 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, , 并不是兩個(gè)并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導(dǎo)簡單拼湊成的求導(dǎo)簡單拼湊成的. .推論 ：,( , )u vx yCR若在處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導(dǎo).典型例題例例 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析在何處解析:).Re()3()

3、;sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程, . ,處處不解析處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)故故zw )sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)均連續(xù) . ,)(處處解析處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)故故zf)(isinycosye(z)fx且指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))Re()3(

4、zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時(shí)時(shí)僅當(dāng)僅當(dāng) yx ,0 )Re(處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzzw .在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析例例6. )( , )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)區(qū)域區(qū)域在在則則內(nèi)處處為零內(nèi)處處為零在區(qū)域在區(qū)域如果如果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf思考題思考題? ),(),()( 解解析析時(shí)

5、時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼條條件件判判斷斷yxivyxuzf ; , :R-Cxvyuyvxu 條條件件其其次次再再看看是是否否滿滿足足 ; ),( ),( 內(nèi)是否可微內(nèi)是否可微在在和和首先判斷首先判斷Dyxvyxu思考題答案思考題答案 . )( 的解析性的解析性最后判定最后判定zf第二節(jié) 初等解析函數(shù)2.1 指數(shù)函數(shù)2.2 對數(shù)函數(shù)2.3 乘冪與冪函數(shù)2.4 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)2.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)2.1 2.1 指數(shù)函數(shù)1.復(fù)變量復(fù)變量z指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義: )( 個(gè)條件個(gè)條件在復(fù)平面內(nèi)滿足以下三在復(fù)平面內(nèi)滿足以下三當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)zf;)( (1)在在復(fù)復(fù)平

6、平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))sin(cosexp ,yiyezzx記為的指數(shù)函數(shù)此函數(shù)稱為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式: )(,2)(expArg,|exp|為為任任何何整整數(shù)數(shù)其其中中kkyzezx . exp 來表示來表示可以用可以用指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符號的符號只是代替只是代替沒有冪的意義沒有冪的意義注意注意zez , exp ,的的周周期期性性可可以以推推出出根根據(jù)據(jù)加加法法定定理理z,2expikz 的

7、周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所所沒沒有有的的該該性性質(zhì)質(zhì)是是實(shí)實(shí)變變指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xe2. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 例例7 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因?yàn)橐驗(yàn)?.cos)Re( , yeeeexzxz 實(shí)部實(shí)部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yx

8、yiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz .) e2; (e ) 1 (i433i2其其輻輻角角主主值值：例例8 8. .求求出出下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)及及 yiyeeexiyxz)sin(cos )(2Arg為整數(shù)輻角為：kkyez內(nèi)的一個(gè)輻角為區(qū)間輻角主值 ez,(- arg ) 3sin3(cos1232ieei3arg233232iiekArge解解: : ),4sin4(cos)2(343eei24arg ,24Arg4343iie ke 2.2 2.2 對數(shù)函數(shù). zLnw , z w )0z( ze .w記為：的對數(shù)稱為則復(fù)數(shù)即若數(shù)的反函數(shù)規(guī)定對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函1.1.

9、定義：定義：viuviuiwieeeree z ,ivu w,rez 則令k2 v,eruZk k2 v, rlnu 即zizzwArglnLn 無窮多值函數(shù)無窮多值函數(shù))0( zz ew取對數(shù)取對數(shù). Ln ,arg Arg ArglnLn 的主值的主值稱為稱為取主值取主值中中若將若將zzzzizz zizz arglnln 記為：記為：其余各支為：其余各支為：), 2, 1( k. Ln , , 的的一一個(gè)個(gè)分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)對對于于每每一一個(gè)個(gè)固固定定的的zk.lnln Ln , 0 是是實(shí)實(shí)變變量量對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x z zxy

10、ixz zarg kiz kiz iz kziz zizzw2ln2argln2arglnArglnLn 或稱主值支或稱主值支例例9 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 ,22ln2Ln ik 因?yàn)橐驗(yàn)?ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因?yàn)橐驗(yàn)?)()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在實(shí)變函數(shù)中在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對數(shù)負(fù)數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.例例10解解. 031 iez解方程解方程

11、,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例11解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln2. 性質(zhì)性質(zhì),LnLn)(Ln)1(2121zz

12、zz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 證明：證明： , iyxz 設(shè)設(shè),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,arglim0 zy zyarglim0處處處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)其其它它點(diǎn)點(diǎn)除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 ln ,z ln arg是單值的是單值的內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zw zezw wezzwdd1dlnd z1 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支和和其其它它的的復(fù)

13、復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點(diǎn)點(diǎn)在在除除去去負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸 , , ,)( )3(zz zz1)Ln(1)(ln 不存在不存在z yarglim0 在負(fù)實(shí)軸不連續(xù)在負(fù)實(shí)軸不連續(xù)z izz arglnln 2.3 2.3 冪函數(shù) .;0 Ln的冪函數(shù)的冪函數(shù)稱為稱為為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)z a zezwzaa 說明說明: :1.1.定義：定義： .;0 1ln中中的的推推廣廣在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)此此定定義義是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域中中等等式式 a xex xaa .,11 2 z z Znn na na nn根式函數(shù)根式函數(shù)及及即為已經(jīng)定義的冪函數(shù)即為已經(jīng)定義的冪函數(shù)時(shí)時(shí)且且或或當(dāng)當(dāng) 也也是是多多值值的的

14、其其中中是是多多值值的的 z Zkkzizza , )2arg(lnLn 為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)a zez wzaa;0 Ln aikzakzizazaaeeeezw2ln)2arg(lnLn , )1(為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)a Lnzaaezw :的的如如下下三三種種特特殊殊情情形形下下面面討討論論 a zakaizaeeeln2ln 是是單單值值函函數(shù)數(shù)az ,0) ,( )2(時(shí)時(shí)為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)與與是是有有理理數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) pqppqa Lnzaaezw kizpqpqee 2ln 個(gè)個(gè)值值有有 p za . 1, 2 , 1 , 0212個(gè)不同值個(gè)不同值有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) p

15、eepk p qkipq ki , )3(是是無無理理數(shù)數(shù)或或虛虛數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a 有有無無窮窮多多個(gè)個(gè)值值az,2的的所所有有的的值值各各不不相相同同iake 例例1212 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí).3)( 5 計(jì)算計(jì)算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie

16、242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 2.2.冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 ; zw ) 1 (n內(nèi)處處解析是單值函數(shù)，在復(fù)平面1)( aazaz;n , zw )2(n1個(gè)分支具有是多值函數(shù).) n1 na ( zw (3)a也是一個(gè)多值函數(shù)兩種情況外與除去冪函數(shù)它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析.解析的復(fù)平面內(nèi)包括原點(diǎn)在除去負(fù)實(shí)軸的各分支 zLn,e zwzLnn1n1它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析

17、.2.4 2.4 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義,sincos yiyeiy 因?yàn)橐驗(yàn)?sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把上面余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的自變量取實(shí)現(xiàn)在把上面余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的自變量取實(shí)值推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況值推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況. .2cos,2sin 的的正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)并并分分別別稱稱為為規(guī)規(guī)定定z eez ieez iziziziz ;cos , sin 1是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zzzzzzcos)cos(,sin)sin(

18、 zzzzcos)2cos(,sin)2sin( 2.2.正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)：正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)： ;2cos sin 2為周期的為周期的都是以都是以和和 zz 且且在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析和和 zz,cos sin 3zzzzsin)(cos,cos)(sin 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz yixyixyixyixyixyixsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 即即三角公式仍然成立三角公式仍然成立積化和差、和差化積等積化和差、和差化積等, 5

19、 .,cossin 6與實(shí)三角函數(shù)不同與實(shí)三角函數(shù)不同是無界的是無界的和和在復(fù)數(shù)域內(nèi)在復(fù)數(shù)域內(nèi) z z .cos ,sin , yiyiy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)( (注意：與實(shí)變函數(shù)不同注意：與實(shí)變函數(shù)不同) ) Zn nz z Zn nz z z 21 cos0sin sin 4的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為為為的根的根即即的零點(diǎn)的零點(diǎn),cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù)3.3.其他復(fù)三角函數(shù)的其他復(fù)三角函數(shù)的定義定義： ; 1解析解析上使分母不為零的點(diǎn)處上使分母不為零的點(diǎn)處這四個(gè)函數(shù)

20、都在復(fù)平面這四個(gè)函數(shù)都在復(fù)平面4.4.正切、余切、正割與余割函數(shù)的性質(zhì)：正切、余切、正割與余割函數(shù)的性質(zhì)： .2, 2 正割及余割的周期為正割及余割的周期為正切和余切的周期為正切和余切的周期為5. 雙曲函數(shù)的定義雙曲函數(shù)的定義 .2cosh,2sinh 余余弦弦函函數(shù)數(shù)的的雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和雙雙曲曲并并分分別別稱稱為為規(guī)規(guī)定定z eez eez zzzz 6.6.雙曲正弦雙曲正弦( (余弦余弦) )函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)： .實(shí)實(shí)雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)的的定定義義一一致致為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，定定義義與與通通常常的的若若 z ;cosh , sinh 1是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz ;2c

21、osh sinh 2為周期的為周期的都是以都是以和和izz 且且在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析和和 zz,cosh sinh 3zzzzsinh)(cosh,cosh)(sinh sinh2sincosh2cos , 4yiieeyi yeeyi yiz yyyy 時(shí)時(shí)為純虛數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)當(dāng) .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos(yxiyxyixyxiyxyix 再結(jié)合再結(jié)合1sinhcosh 22 yy得得zzzzzzzzeeeezzzeeeezzz sinhcoshcoth coshsinhtanh 雙雙曲曲余余切切函函數(shù)數(shù)雙雙曲曲正正切切函函數(shù)數(shù)1.1.反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz 記記作作的的反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱設(shè)設(shè)2cos iwiweewz 由由012 2 iwiwzee即即1 2 zzeiw方程的根為方程的根為 1LncosArc,2 zziz i 得得再再同同乘乘兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)無窮多值函數(shù)無窮多值函數(shù)為二值函數(shù)為二值函數(shù) z12 02 iwiweze 得得2.5 2.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù) 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), ,表達(dá)式為表達(dá)式為: : 21LnArcsinziziz iziziz 11Ln2Arcta