第五確定信念納什均衡

1、第五章第五章 確定信念：納什均衡確定信念：納什均衡 本章重點(diǎn): 納什均衡定義納什均衡的條件和評(píng)價(jià) 納什均衡的運(yùn)用前言： 在此之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了嚴(yán)格占優(yōu)策略、IESDS和可理性化三種解概念，其中嚴(yán)格占優(yōu)策略的假設(shè)是理性，而IESDS和可理性化的假設(shè)除了理性外還需要理性的共同知識(shí)這樣假設(shè)。此外，只要存在嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)均衡，該均衡必然是IESDS和可理性化過程之后剩下的唯一結(jié)果。但我們應(yīng)該也已察覺到，這些解概念都存在不盡如意之處，在很多博弈中他們都無法取得很好的效果。因此，本章我們將信念和行動(dòng)結(jié)合在一起，并最終給出博弈論中最為核心、也最為著名的解概念納什均衡。本章主要內(nèi)容 一、純策略納什均衡 納什均衡定義

2、 納什均衡條件 用劃線法尋找納什均衡 納什均衡評(píng)價(jià) 二、納什均衡的運(yùn)用 獵鹿博弈 公地悲劇 古諾均衡 貝特蘭德雙寡頭一、純策略納什均衡 納什均衡是信念和行動(dòng)剖面的一個(gè)系統(tǒng)，其中每一個(gè)參與人都在針對(duì)其信念采取最優(yōu)反應(yīng)，而除此之外參與人具有的還要是正確的信念。定義納什均衡的另外一種常見的方式則并不涉及信念，而是將它就看成是一個(gè)策略剖面，這個(gè)策略剖面是每個(gè)參與人針對(duì)所有其他參與人的策略而選擇的最優(yōu)反應(yīng)。1、納什均衡定義：純策略剖面 是一個(gè)納什均衡納什均衡，如果對(duì)于所有的 ， 是 一個(gè)最優(yōu)反應(yīng)，也即對(duì)于所有的 和所有的 有： 在囚徒困境博弈中，唯一的納什均衡是（F，F(xiàn)）；在前面我們所討論過的古諾雙寡頭

3、博弈中唯一的納什均衡是（ ）=（30,30）。 2、嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)、IESDS、可理性化和納什均衡結(jié)果之間的關(guān)系 考慮一個(gè)策略剖面 。如果 具備以下三種情況之一， 一個(gè)嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略均衡， IESDS過程之后所剩下的唯一結(jié)果， 唯一的可理性化策略剖面， 那么 就是唯一的納什均衡。3、納什均衡的條件如下： 每個(gè)參與人都根據(jù)其信念采取最優(yōu)反應(yīng)。 參與人關(guān)于其對(duì)手的信念是正確的。 第一個(gè)條件是理性的直接結(jié)果。第二個(gè)條件是非常嚴(yán)格的，也是對(duì)我們到目前為止所討論條件的一個(gè)巨大的飛躍。4、用劃線法尋找矩陣中的純策略納什均衡我們來看以下這一兩人有限博弈的矩陣形式： 不難看出，這個(gè)博弈中沒有劣策略，所以嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)就不適

4、用于這個(gè)博弈。出于同樣的原因，IESDS和可理性化會(huì)給出一切皆可能發(fā)生的結(jié)論。 首先我們用劃線法來尋找均衡，整個(gè)過程可以由下面這三個(gè)步驟來極好的得到解釋： 步驟1：對(duì)于每一列而言，都是參與人2的策略，可以從中找到對(duì)參與人1來說最高的支付項(xiàng)，并在最高支付下畫一條橫線。由此我們可得： 我們可以看到有三個(gè)純策略對(duì)，其中參與人1都選擇了最優(yōu)反應(yīng)：（D,L）、（M，C）和（M,R）。步驟2：對(duì)于每一行而言，都是參與人1的策略，可以從中找到對(duì)參與人2來說最高的支付項(xiàng)。 參與人2在三個(gè)策略對(duì)中采取了最優(yōu)反應(yīng)：（D,C）、（M,C）和（U,R）。步驟3：如果任意矩陣項(xiàng)既有下劃線又有上劃線，那么它就是一個(gè)純策略

5、納什均衡的結(jié)果。我們發(fā)現(xiàn)（M,C）是唯一一個(gè)純策略納什均衡它是唯一一個(gè)兩個(gè)參與人都選擇了最優(yōu)行為的純策略對(duì)。5、對(duì)納什均衡的評(píng)價(jià)、對(duì)納什均衡的評(píng)價(jià) 具有廣泛的應(yīng)用范圍，但唯一性得不到很好的保障，也不能保證帕累托最優(yōu)性。五、納五、納什均衡的經(jīng)典運(yùn)用什均衡的經(jīng)典運(yùn)用 1、獵人博弈 有兩個(gè)獵人，即參與人1和參與人2，他們每人都可以選擇獵鹿（S），這可以提供一頓豐盛而且美味的鹿肉享用，或者選擇打野兔（H）也很美味，但是就不是那么豐盛了。獵鹿是一件很有挑戰(zhàn)性而且也需要相互合作的活動(dòng)。如果只有一個(gè)人獵鹿，勝算幾乎可以忽略，而打野兔是一個(gè)人就可以完成的事情，不需要兩個(gè)人合作來完成。因此獵鹿對(duì)整個(gè)社會(huì)更有益，

6、但是需要獵人之間彼此“信任”，彼此相信其他人會(huì)和自己一起戮力以赴。這個(gè)博弈常被稱為是獵鹿博弈獵鹿博弈，可以由下面這個(gè)矩陣來描述：容易看到，這個(gè)博弈有兩個(gè)純策略均衡：（S，S）和（H，H）。不過，從（S，S）中得到的支付帕累托優(yōu)于從（H，H）中得到的支付。那么，為什么（H，H）也會(huì)成為一個(gè)合理的預(yù)測(cè)呢？這的確是納什均衡概念的優(yōu)長(zhǎng)所在。如果每一個(gè)參與人都預(yù)期到其他人不會(huì)一起努力，那么他知道單獨(dú)一人出去獵鹿幾乎不可能成事，所以打野兔就會(huì)更好。這一信念最終導(dǎo)致個(gè)人主義的社會(huì)無法通過合作來取得更好的結(jié)果。與之相對(duì)照的是，如果參與人期待其他人和他一起合作去獵鹿，那么這一預(yù)期是自實(shí)施的，而且會(huì)得到一個(gè)可稱之

7、為合作社會(huì)的結(jié)果。2、公地悲劇公地悲劇 公地悲劇指的是稀缺資源方面的沖突，源自個(gè)體自利和公共利益之間的緊張關(guān)系。哈丁舉了一個(gè)假想的例子，一群牧民共有一塊牧場(chǎng)，每個(gè)牧民都想最大化其收益，盡可能的擴(kuò)大其牲畜規(guī)模。而多增加一頭牲口在給其主人帶來正的效應(yīng)的同時(shí)，也會(huì)帶來成本，因?yàn)槎嘣黾拥纳髸?huì)降低牧場(chǎng)的整體質(zhì)量，而這一成本卻是由所有其他牧民一起承擔(dān)的。結(jié)果，對(duì)于每個(gè)牧民來說，個(gè)體的激勵(lì)是不斷擴(kuò)大其牲畜規(guī)模，最終這一結(jié)局是為每個(gè)人都帶來了重大的損失。對(duì)于那些受過經(jīng)濟(jì)學(xué)訓(xùn)練的讀者來說，這不過是“搭便車”問題導(dǎo)致扭曲的另一個(gè)例子罷了。它也會(huì)讓你聯(lián)想起囚徒困境博弈，在其中，由自利動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的個(gè)體會(huì)為整個(gè)群體帶來

8、傷害。 假設(shè)這個(gè)世界上有n個(gè)參與人，比如說企業(yè)，它們每一個(gè)都在選擇生產(chǎn)多少產(chǎn)量。其生產(chǎn)活動(dòng)反過來也會(huì)消耗我們這個(gè)星球上的一部分清潔空氣。清潔空氣的總量等于K，對(duì)清潔空氣的任何消耗都會(huì)從這一公共資源中得到。每一個(gè)參與人i選擇其為生產(chǎn)而必須消耗的清潔空氣的量， ，因此剩下的清潔空氣量為 。消費(fèi) 給參與人i帶來的收益等于 ，沒有其他人從i的選擇中受益。每一個(gè)參與人也都要享受對(duì)剩余清潔空氣的消費(fèi)，這為每個(gè)人帶來收益 。因此，從選擇 中參與人i得到的支付等于：這意味著如果我們推導(dǎo)出了所有n個(gè)最優(yōu)反應(yīng)對(duì)應(yīng)，而且它們是函數(shù)（唯一的最優(yōu)反應(yīng)），那么我們就有了一個(gè)n個(gè)方程的方程組，每一個(gè)都表示一個(gè)參與人的最優(yōu)反

9、應(yīng)函數(shù)，有n個(gè)未知數(shù)，這正是每一個(gè)參與人的選擇。求解這個(gè)方程組可以得到一個(gè)納什均衡。為了得到參與人i的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)（而且你可以證明它確實(shí)是一個(gè)函數(shù)），我們可以將參與人支付函數(shù)的一階條件寫下來：這給了我們參與人i的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：因此我們有n個(gè)這樣的方程，每個(gè)參與人一個(gè)方程，如果我們代之以 而不是 ，我們可以得到有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程，然后需要對(duì)這個(gè)方程組進(jìn)行求解。 我們只對(duì)兩參與人情況進(jìn)行求解，令 表示參與人i的最優(yōu)反應(yīng)，我們有兩個(gè)最優(yōu)反應(yīng)方程： 和 這兩個(gè)方程我們把它們畫這兩個(gè)方程我們把它們畫在圖在圖5.1中中正如該圖所示，參與人j消費(fèi)的越多，參與人i打算消費(fèi)的就越少。特別的，如果參與人2什么

10、都不消費(fèi)（符合效率的不存在），那么參與人1就會(huì)消費(fèi) ，而隨著參與人2的消費(fèi)量朝著K不斷增加，那么參與人1的消費(fèi)量則會(huì)朝向0不斷減少。如果我們對(duì)這兩個(gè)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立求解，那么我們會(huì)找到唯一的一個(gè)納什均衡，這個(gè)均衡有兩個(gè)參與人，選擇的量為 現(xiàn)在我們可以問這個(gè)兩人社會(huì)是否可以變得更好這個(gè)問題了。每個(gè)參與人消費(fèi)k/2 是太多了還是太少了呢？回答這些問題的正確方式是使用帕累托標(biāo)準(zhǔn)：我們能否找到另外一個(gè)可以讓每個(gè)人都變得更好的消費(fèi)剖面呢？如果可以，我們就能將那個(gè)更好的消費(fèi)剖面和這個(gè)納什均衡相比較。為了找到這樣的剖面，我們可以使用一點(diǎn)小技巧：將所有支付函數(shù)的加和進(jìn)行最大化，這我們可以視為“世界的支付函數(shù)”

11、 。我們不打算就這個(gè)方法的使用進(jìn)行道德上的辯護(hù)，但這樣做的確是很有用的。 (一般而言，最大化效用函數(shù)之和，或最大化總福利，會(huì)帶來帕累托最優(yōu)結(jié)果，但是它并非是唯一的一種方法。) 因此，我們要最大化的函數(shù)是： 這個(gè)問題的一階條件是： 和 聯(lián)立求解這兩個(gè)方程，可以得到 和 的帕累托最優(yōu)選擇。這兩個(gè)方程的唯一解是 ，它的意思是從社會(huì)的角度來看，納什均衡中兩個(gè)參與人每個(gè)人都消耗了過多的清潔空氣。事實(shí)上，如果每一個(gè)人消耗 而不是 那么對(duì)兩個(gè)人來說都會(huì)更好一些。 這樣，正如哈丁所給出的，讓人們自由選擇可能會(huì)使得他們?nèi)巳司硾r更差，而如果這些選擇受到些管制會(huì)比較好。當(dāng)然，我們是否能夠相信一個(gè)管制者可以掌控局勢(shì)是

12、一種反對(duì)的理由；如果管制者無法控制局勢(shì)，問題就變成了我們?nèi)绾蝺珊ο鄼?quán)取其輕了，而這個(gè)問題的答案則非博弈論所能給出。3、古諾雙寡頭讓我們?cè)賮砘仡櫼幌鹿胖Z博弈，其中需求函數(shù)為 ，成本函數(shù)為 ，其中企業(yè)i 。當(dāng)企業(yè)i相信其對(duì)手選擇了產(chǎn)量 時(shí)，它所面對(duì)的最大化問題是：回憶下每個(gè)企業(yè)的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，它可以由一階條件給出，因此有：這意味著每個(gè)企業(yè)都像下面這樣選擇產(chǎn)量： 和 產(chǎn)量對(duì) 是互為最優(yōu)反應(yīng)，它必然是一個(gè)古諾-納什均衡，當(dāng)我們聯(lián)立求解兩個(gè)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)（5.2）時(shí)它這個(gè)結(jié)果就會(huì)給出。圖5.2中給出的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)描述了我們前面求解的那種特殊情況，其中a=100，b=1，而 ，在這種情況下唯一的納什均衡是

13、。值得注意的是，納什均衡與IESDS和可理性化過程后僅剩下的唯一策略是一致的。4、貝特蘭德雙寡頭貝特蘭德雙寡頭古諾模型假設(shè)企業(yè)選擇產(chǎn)量，而市場(chǎng)價(jià)格自動(dòng)調(diào)整以出清需求。然而，我們也可以認(rèn)為企業(yè)經(jīng)常是選擇價(jià)格水平，而讓消費(fèi)者從中做出購(gòu)買決策，而不是設(shè)定好產(chǎn)量，等待著市場(chǎng)價(jià)格來均衡需求。我們現(xiàn)在考慮這樣一個(gè)博弈，于其間每個(gè)企業(yè)都給為無差別的產(chǎn)品給出一個(gè)價(jià)格。這種情況曾被約瑟夫貝特蘭德（1883）予以模型化并進(jìn)行分析過。和之前一樣，我們假設(shè)需求由p=100-q給出，成本函數(shù)為 ，企業(yè)i 。顯然，我們可以預(yù)期所有的購(gòu)買者都會(huì)從那個(gè)出價(jià)最低的企業(yè)那里購(gòu)買產(chǎn)品。如果價(jià)格一樣，那該怎么辦？我們假定如果兩個(gè)企業(yè)

14、出價(jià)相等，則兩個(gè)企業(yè)平分整個(gè)市場(chǎng)。 這給出了以下這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式博弈： 參與人參與人：N=1,2。 策略集策略集： ，其中 ，而企業(yè)選擇價(jià)格 。 支付支付：為了計(jì)算支付，我們需要知道每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量是多少。給定我們對(duì)價(jià)格相等時(shí)的假設(shè)，產(chǎn)量由下式給出： 這反過來意味著支付函數(shù)可以由下式給出： 現(xiàn)在對(duì)這個(gè)博弈的描述已經(jīng)完成，我們可以嘗試這來計(jì)算每個(gè)企業(yè)的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。為了做到這一點(diǎn)，我們從現(xiàn)實(shí)角度入手來做一點(diǎn)小小的修正：假設(shè)價(jià)格不能是任意非負(fù)的實(shí)數(shù)，而應(yīng)該限制在某些較小的數(shù)值的增加上，譬如 ，這意味著策略集（價(jià)格集）是 。舉個(gè)例子，如果我們考慮一分錢為價(jià)格增量，那么 ，則策略集就是 。我們很快就會(huì)看到當(dāng)這

15、個(gè)較少的面值 變得非常小、近乎為零時(shí)會(huì)發(fā)生什么。 我們可以計(jì)算壟斷價(jià)格，這個(gè)假設(shè)是最大化沒有競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的單個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)時(shí)的價(jià)格。這可以通過最大化下式得到： ，其一階條件為 ，由此得到最優(yōu)價(jià)格p=55，其產(chǎn)量為q=45，利潤(rùn)等于2025美元。 我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)過來討論有兩個(gè)企業(yè)的雙寡頭情況 A、首先考慮 的情況。很容易可以看出，企業(yè)i可以表現(xiàn)的好像沒有競(jìng)爭(zhēng)一樣：只需要將價(jià)格設(shè)在壟斷價(jià)格55的水平上即可得到全部市場(chǎng)份額。至此，我們可以推斷，如果 ，那么企業(yè)i的最優(yōu)反應(yīng)就是將價(jià)格設(shè)定在 上。 B、也可以很輕松的看到，在 這種情況下，企業(yè)i的最優(yōu)反應(yīng)是將價(jià)格設(shè)得比企業(yè)j更高一點(diǎn)。如果它要價(jià) ，則它可以在低于其

16、成本的價(jià)格上賣出正的數(shù)量，反而會(huì)使得企業(yè)i損失貨幣。如果它要價(jià) ，則它什么都賣不出去，當(dāng)然也沒有任何損失。 C、現(xiàn)在考慮 。，企業(yè)i可以選擇以下三個(gè)選擇項(xiàng)之一：要么設(shè)定價(jià)格 而什么也得不到，要么設(shè)定 而平分市場(chǎng)，要么設(shè)定價(jià)格 而得到整個(gè)市場(chǎng)。并不難得出的結(jié)論是，企業(yè)i希望以低于企業(yè)j的價(jià)格來進(jìn)行銷售，從而得到整個(gè)市場(chǎng)，這個(gè)目標(biāo)可以通過將價(jià)格設(shè)定為 。 D、我們可以來探討兩種最終的情況： 和 。 需要考慮的這三個(gè)選項(xiàng)是： 或 。 當(dāng) 時(shí)，剛好低于企業(yè)j的價(jià)格意味著將價(jià)格設(shè)定在 上，這給企業(yè)i帶來零利潤(rùn)，和將價(jià)格設(shè)定 在任意的 上是一樣的。這樣一來，最優(yōu)反應(yīng)就是設(shè)定為 ，并以較低的利潤(rùn)平分市場(chǎng)。

17、最后如果 ，那么任何 的價(jià)格選擇都只能使得企業(yè)i獲得零利潤(rùn)，而設(shè)定 則會(huì)帶來?yè)p失。因此，任何 的價(jià)格都是當(dāng) 時(shí)的最優(yōu)反應(yīng)?；?總之，我們可以計(jì)算得到： 現(xiàn)在，給定企業(yè)j的最優(yōu)反應(yīng)是對(duì)稱的，那么就不難看出存在兩個(gè)納什均衡，可以直接從下面這個(gè)最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)形式中得到：對(duì) 的最優(yōu)反應(yīng)是 ，而對(duì) 的最優(yōu)反應(yīng)則是 或 。這樣，這兩個(gè)納什均衡就是：這一分析所帶來的信息頗具震撼力：一個(gè)企業(yè)可能會(huì)有壟斷勢(shì)力，但是如果我們多加入一個(gè)企業(yè)進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，而且是在價(jià)格上進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，那么這個(gè)市場(chǎng)就會(huì)表現(xiàn)出競(jìng)爭(zhēng)性的特征如果兩個(gè)企業(yè)都選擇價(jià)格為10美元，那這個(gè)價(jià)格正好等于邊際成本！要注意，如果我們加上第三個(gè)、第四個(gè)企業(yè)進(jìn)去也不會(huì)改

18、變這一結(jié)果；價(jià)格將會(huì)是10美元不變（或者幾乎等同的10.01美元），對(duì)所有納什（貝特蘭德）均衡中的企業(yè)來說都是如此。這不和古諾競(jìng)爭(zhēng)大不一樣，在古諾競(jìng)爭(zhēng)中只要企業(yè)的數(shù)目不是最夠多，它們就可以獲得一定程度上的市場(chǎng)勢(shì)力。 注意：當(dāng) 時(shí)，參與人1對(duì)于任何他選擇的10和10以上的價(jià)格并無差異：如果 他平分市場(chǎng)而無利潤(rùn)，如果他令 則失去所有市場(chǎng)也沒有利潤(rùn)。如果參與人2選擇 ，那么 參與人1 任何選擇 和 一起構(gòu)成了一個(gè)納什均衡。這是不對(duì)的！因?yàn)槿绻?則 就不會(huì)是參與人2針對(duì) 的最優(yōu)反應(yīng)。則 貝特蘭德博弈的結(jié)果和古諾博弈的結(jié)果比較 在古諾博弈下（產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)），唯一的納什均衡是 。計(jì)算顯示總產(chǎn)量 ，我們可以得到

19、需求價(jià)格p=40，而每一個(gè)企業(yè)都可以得到利潤(rùn)900美元。在貝特蘭德博弈下(價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)），這兩個(gè)可能出現(xiàn)的納什均衡要么兩個(gè)人都選擇定價(jià)10美元從而得到零利潤(rùn)，要么選擇定價(jià)10.01美元得到微不足道的一點(diǎn)利潤(rùn)額（大約0.45美元）。在古諾博弈和貝特蘭德博弈之間存在一個(gè)有趣的差別。在古諾博弈中，每個(gè)參與人的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是向下傾斜的。也就是說，參與人j生產(chǎn)的越多，參與人i的最優(yōu)反應(yīng)數(shù)量就越低。然而，在貝特蘭德博弈中，對(duì)于邊際成本（在主體例子中是10）和壟斷價(jià)格（等于45）之間的價(jià)格而言，參與人j設(shè)定的價(jià)格越高，參與人i的最優(yōu)反應(yīng)價(jià)格越高。這些差異在文獻(xiàn)中業(yè)已受到不少關(guān)注。一個(gè)參與人的最優(yōu)反應(yīng)隨著其他人的選擇而遞減的博弈，像古諾博弈，被稱為是策略替代博弈策略替代博弈（games with strategic substitutes）。策略替代博弈的另一個(gè)例子是公地悲劇博弈。