第2章-穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

1、第第2 2章章 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)2-1 2-1 導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律2-2 2-2 導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫2-3 2-3 典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解2-4 2-4 通過肋片的導(dǎo)熱通過肋片的導(dǎo)熱2-52-5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題2-62-6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解1 1 、重點(diǎn)內(nèi)容：、重點(diǎn)內(nèi)容： 傅立葉定律及其應(yīng)用；傅立葉定律及其應(yīng)用； 導(dǎo)熱系數(shù)及其影響因素；導(dǎo)熱系數(shù)及其影響因素； 導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型。導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型。2 2 、掌握內(nèi)容：、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解法、一維穩(wěn)

2、態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解法、肋片的導(dǎo)熱、一維有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題肋片的導(dǎo)熱、一維有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題 3 3 、了解內(nèi)容：、了解內(nèi)容：多維導(dǎo)熱問題多維導(dǎo)熱問題氣體氣體：導(dǎo)熱是氣體：導(dǎo)熱是氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果，時(shí)相互碰撞的結(jié)果，溫度升高，動(dòng)能增溫度升高，動(dòng)能增大，不同能量水平大，不同能量水平的分子相互碰撞，的分子相互碰撞，使熱能從高溫傳到使熱能從高溫傳到低溫處低溫處2.1 2.1 導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律2.1.1 各類物體的導(dǎo)熱機(jī)理各類物體的導(dǎo)熱機(jī)理 導(dǎo)電固體導(dǎo)電固體：其中有許多自由電子，它們?cè)谄渲杏性S多自由電子，它們?cè)诰Ц裰g像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)。自由

3、電子晶格之間像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)。自由電子的運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱中起主導(dǎo)作用的運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱中起主導(dǎo)作用。 非導(dǎo)電固體非導(dǎo)電固體：導(dǎo)熱是通過晶格結(jié)構(gòu)的振導(dǎo)熱是通過晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)所產(chǎn)生的彈性波來實(shí)現(xiàn)的，即原子、動(dòng)所產(chǎn)生的彈性波來實(shí)現(xiàn)的，即原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的分子在其平衡位置附近的振動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。液體的導(dǎo)熱機(jī)理液體的導(dǎo)熱機(jī)理：存在兩種不同的觀點(diǎn)存在兩種不同的觀點(diǎn)v第一種觀點(diǎn)類似于氣體，只是復(fù)雜些，因第一種觀點(diǎn)類似于氣體，只是復(fù)雜些，因液體分子的間距較近，分子間的作用力對(duì)碰液體分子的間距較近，分子間的作用力對(duì)碰撞的影響比氣體大；撞的影響比氣體大；v第二種觀點(diǎn)類似于非導(dǎo)電固體，主

4、要依靠第二種觀點(diǎn)類似于非導(dǎo)電固體，主要依靠彈性波（晶格的振動(dòng)，原子、分子在其平衡彈性波（晶格的振動(dòng)，原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)產(chǎn)生的）的作用。位置附近的振動(dòng)產(chǎn)生的）的作用。 說明：只研究導(dǎo)熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。說明：只研究導(dǎo)熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。 1 1 、概念、概念 溫度場是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分溫度場是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分布的總稱。布的總稱。 一般地講，一般地講，物體的溫度分布是坐標(biāo)和時(shí)間物體的溫度分布是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)的函數(shù)： ,zyxft 其中其中 為空間坐標(biāo)，為空間坐標(biāo)， 為時(shí)間坐標(biāo)。為時(shí)間坐標(biāo)。 , ,x y z2.1.2、溫度場、溫度場 （Temperature fi

5、eld）2 2、溫度場分類、溫度場分類 1 1）按照時(shí)間坐標(biāo)分類）按照時(shí)間坐標(biāo)分類穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場）穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場） （Steady-state conductionSteady-state conduction） 是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度分布不隨是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度分布不隨時(shí)間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，時(shí)間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達(dá)式：其表達(dá)式：( , , )tf x y z非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場）非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場） （Transient conductionTransient conduction） 是指在變動(dòng)工作條件下，物

6、體中各點(diǎn)的溫是指在變動(dòng)工作條件下，物體中各點(diǎn)的溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達(dá)式：度場，其表達(dá)式：( , , , )tf x y z),(zyxft ( , , )tf x y( , )tf x2 2）按照空間坐標(biāo)分類）按照空間坐標(biāo)分類 一維溫度場一維溫度場若物體溫度僅一個(gè)方向有變化，這種情況若物體溫度僅一個(gè)方向有變化，這種情況下的溫度場稱一維溫度場。下的溫度場稱一維溫度場。 二維溫度場二維溫度場 三維溫度場三維溫度場 根據(jù)溫度場表達(dá)式，可分析出導(dǎo)熱過程根據(jù)溫度場表達(dá)式，可分析出導(dǎo)熱過程是幾維、穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象，溫度場是幾維、穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)

7、的現(xiàn)象，溫度場是幾維的、穩(wěn)態(tài)的或非穩(wěn)態(tài)的。是幾維的、穩(wěn)態(tài)的或非穩(wěn)態(tài)的。( , )tf x y( , )tf x二維，穩(wěn)態(tài)二維，穩(wěn)態(tài)一維，非穩(wěn)態(tài)一維，非穩(wěn)態(tài)0t穩(wěn)態(tài)溫度場穩(wěn)態(tài)溫度場 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（Steady-state conduction）0t非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（Transient conduction）三維穩(wěn)態(tài)溫度場：三維穩(wěn)態(tài)溫度場： ),(zyxft 一維穩(wěn)態(tài)溫度場一維穩(wěn)態(tài)溫度場: : )(xft 3 3、等溫面與等溫線、等溫面與等溫線等溫線等溫線（isotherms） 用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等

8、溫線簇得到一個(gè)等溫線簇等溫面等溫面（isothermal surface） 同一時(shí)刻、溫度場中所有溫度相同的點(diǎn)連同一時(shí)刻、溫度場中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來所構(gòu)成的面接起來所構(gòu)成的面 物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示等溫面與等溫線的特點(diǎn)等溫面與等溫線的特點(diǎn)：溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會(huì)中在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會(huì)中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上線），或者就終止與物體的邊界上沿等溫面（線）無熱量

9、傳遞沿等溫面（線）無熱量傳遞 等溫線圖的物理意義：等溫線圖的物理意義： 若每條等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫線若每條等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇蟮氖杳芸煞从吵霾煌瑓^(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。小。t tt-tt-tt+tt+t2.1.3 導(dǎo)熱基本定律導(dǎo)熱基本定律在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面所在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即向與溫度升高的方向相反，即 xtA數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式： xtA（

10、負(fù)號(hào)表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反）（負(fù)號(hào)表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反） xtq用熱流密度表示：用熱流密度表示： 其中其中 熱流密度熱流密度( (單位時(shí)間內(nèi)通過單位單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱流量面積的熱流量) ) 物體溫度沿物體溫度沿 x x 軸方向的變化率軸方向的變化率 qxt當(dāng)物體的溫度是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，當(dāng)物體的溫度是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，其形其形式為式為: :tqgradtnx 是空間某點(diǎn)的溫度梯度；是空間某點(diǎn)的溫度梯度； 是通過該點(diǎn)等溫線上的是通過該點(diǎn)等溫線上的法向單位矢量，指向溫法向單位矢量，指向溫度升高的方向；度升高的方向； 是該處的熱流密度矢量。是該處的熱流密度矢量。 g

11、radtnq t1 t2 0 x n dt dn t t+dt t1 t2 0 x n dt dn t t+dt負(fù)號(hào)是因?yàn)闊崃髅芏蓉?fù)號(hào)是因?yàn)闊崃髅芏扰c溫度梯度的方向不與溫度梯度的方向不一致而加上一致而加上 傅里葉定律可表述為傅里葉定律可表述為: :系統(tǒng)中任一點(diǎn)的熱流系統(tǒng)中任一點(diǎn)的熱流密度與該點(diǎn)的溫度梯密度與該點(diǎn)的溫度梯度成正比而方向相反度成正比而方向相反 注：傅里葉定律只適用于各向同性材料注：傅里葉定律只適用于各向同性材料各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個(gè)方向是相同的各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個(gè)方向是相同的tqgradtnx 傅立葉定律的一般形傅立葉定律的一般形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式式的數(shù)學(xué)表達(dá)式 溫度梯度和熱

12、流密度的方向都是在等溫面的溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。 t+ttt-t.4、導(dǎo)熱系數(shù)、導(dǎo)熱系數(shù)1 1、定義、定義傅里葉定律給出了導(dǎo)熱系數(shù)的定義傅里葉定律給出了導(dǎo)熱系數(shù)的定義 : :txqnw/m 導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下單位導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下單位時(shí)間內(nèi)單位面積的熱量。時(shí)間內(nèi)單位面積的熱量。導(dǎo)熱系數(shù)是物性參數(shù)，它與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切導(dǎo)熱系數(shù)是物性參數(shù)，它與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切相關(guān)，例如

13、物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、相關(guān)，例如物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、 濕度、濕度、壓力、密度等，與物質(zhì)幾何形狀無關(guān)。壓力、密度等，與物質(zhì)幾何形狀無關(guān)。它反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。它反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。 不同物質(zhì)的導(dǎo)熱性能不同：不同物質(zhì)的導(dǎo)熱性能不同：非金屬金屬氣體液體固體Cmw/398純銅Cmw/7 . 2大理石0 0C C時(shí)：時(shí)：Cmw/22. 2冰Cmw/551. 0水Cmw/0183. 0蒸汽同一種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)也會(huì)同一種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)也會(huì)因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，因而導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)溫度和因而導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)溫度和壓力的函數(shù)。壓力的函數(shù)。 一般

14、把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系范圍還可以用一種線性關(guān)系來描述來描述 )1 (0bT273K273K時(shí)物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)的確定導(dǎo)熱系數(shù)的確定工程計(jì)算采用的各種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)的工程計(jì)算采用的各種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值都是用專門實(shí)驗(yàn)測定出來的。數(shù)值都是用專門實(shí)驗(yàn)測定出來的。測量方法包括穩(wěn)態(tài)測量方法和非穩(wěn)態(tài)測測量方法包括穩(wěn)態(tài)測量方法和非穩(wěn)態(tài)測量方法。量方法。物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)值可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)值可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)。2 2 、保溫材料（隔熱、絕熱材料）、保溫材料（隔熱、絕熱材料） 把導(dǎo)熱系數(shù)小

15、的材料稱保溫材料。把導(dǎo)熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國規(guī)定：我國規(guī)定：t350t350時(shí)，時(shí)， 0.12w/0.12w/mkmk 保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國家保保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高水平越高。 我國我國5050年代年代 0.23W/0.23W/mkmk 80 80年代年代 GB4272-84 0.14w/GB4272-84 0.14w/mkmk 90 90年代年代 GB427-92 0.12w/GB427-92 0.12w/mkmk 保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機(jī)理保溫材料熱量

16、轉(zhuǎn)移機(jī)理 ( ( 高效保溫材料高效保溫材料 ) ) 高溫時(shí)：高溫時(shí)：（ 1 1 ）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱 （ 2 2 ）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱 更高溫度時(shí)：更高溫度時(shí)：（ 1 1 ）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱 （ 2 2 ）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射 超級(jí)保溫材料超級(jí)保溫材料 采取的方法：采取的方法：（ 1 1 ）夾層中抽真空夾層中抽真空（減少通過導(dǎo)熱而造成（減少通過導(dǎo)熱而造成熱損失）熱損失） （ 2 2 ）采用多層間隔結(jié)構(gòu)采用多層間隔結(jié)構(gòu)（ 1cm 1cm 達(dá)十幾層）達(dá)十幾層） 特點(diǎn)：特點(diǎn)：間隔材料的反射率很高，減少輻間隔材

17、料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)：射換熱，垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)： 1010-4-4w/mkw/mk .5、工程導(dǎo)熱材料的一般分類、工程導(dǎo)熱材料的一般分類 工程技術(shù)中采用的導(dǎo)熱材料與結(jié)構(gòu)可以分工程技術(shù)中采用的導(dǎo)熱材料與結(jié)構(gòu)可以分四類：（四類：（1 1）均勻、各向同性；（）均勻、各向同性；（2 2）均勻、）均勻、各向異性；（各向異性；（3 3）不均勻、各向同性；（）不均勻、各向同性；（4 4）不均勻、各向異性。不均勻、各向異性。2.2 2.2 導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫2.2.1 2.2.1 導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)傅里葉定律

18、：傅里葉定律：gradtq 建立導(dǎo)熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐建立導(dǎo)熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標(biāo)和時(shí)間變化的內(nèi)在聯(lián)系。標(biāo)和時(shí)間變化的內(nèi)在聯(lián)系。 理論基礎(chǔ)：傅里葉定律理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + + 能量守恒定律能量守恒定律 定義：定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為為導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程。假設(shè)：假設(shè)：(1) (1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)(2) (2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知(3

19、)(3)體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源；強(qiáng)度體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源；強(qiáng)度 W/mW/m3 3; ; ：單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量：單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量根據(jù)能量守恒定律，在根據(jù)能量守恒定律，在d時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量微元體熱力學(xué)的增加量微元體熱力學(xué)的增加 ddvdE 、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量 d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 x x 軸方向、軸方向、經(jīng)經(jīng) x+dx x+dx 表面表面導(dǎo)出導(dǎo)出的熱量：的熱量：x dxdxx dxxdddxx xd d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿

20、x x 軸方向、軸方向、經(jīng)經(jīng) x x 表面表面導(dǎo)入導(dǎo)入的熱量的熱量：泰勒展開泰勒展開xxx dxdddxx xxqdydz d d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 x x 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量()xx dxxxxx dxddq dydz ddxxqdddxdydzdx d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 y y 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量yyy dyqdddxdydzdy d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 z z 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量zzz dzqdddxdydzdz 同理同理 導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱

21、量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里葉定律：傅里葉定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 2 2、 d d 時(shí)間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量時(shí)間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量vdxdydz d 3 3、微元體在、微元體在d d 時(shí)間時(shí)間內(nèi)焓的增加量內(nèi)焓的增加量 dxdydzdtc()()()tttdxdydzddxdydzdxxyyzztcdxdydzddv 將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得： 這是笛卡爾坐標(biāo)系中這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式程的一般表達(dá)式。 其物理意義：其

22、物理意義：反映了物體的溫度隨時(shí)間和空反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。間的變化關(guān)系。 ()()()ttttcxxyyzz非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)源項(xiàng)源項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)上式化簡：上式化簡： 導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) cztytxtat222222)(式中，式中， ，稱為熱擴(kuò)散率。，稱為熱擴(kuò)散率。)/( ca導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、無內(nèi)熱源、無內(nèi)熱源 222222()ttttaxyz()()()ttttcxxyyzz導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài) 2222220tttxyz導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài) 、無內(nèi)熱源、無內(nèi)熱源 2222220tttxyz()()()t

23、tttcxxyyzz綜上說明：綜上說明： （ 1 1 ）導(dǎo)熱問題仍然服從能量守恒定律；）導(dǎo)熱問題仍然服從能量守恒定律； （ 2 2 ）等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的）等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）；增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）； （ 3 3 ）等號(hào)右邊前三項(xiàng)之和是通過界面的導(dǎo)熱使）等號(hào)右邊前三項(xiàng)之和是通過界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時(shí)間內(nèi)增加的能量微分元體在單位時(shí)間內(nèi)增加的能量 ( ( 擴(kuò)散項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng) ) ) ； （ 4 4 ）等號(hào)右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；）等號(hào)右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（ 5 5 ）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散

24、項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。失。 其他坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程其他坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程對(duì)于圓柱坐標(biāo)系對(duì)于圓柱坐標(biāo)系 211()()()ttttcrrrrrzz對(duì)于球坐標(biāo)系對(duì)于球坐標(biāo)系 22222111()()( sin)sinsinttttcrrrrrr2.2.2 2.2.2 定解條件定解條件導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+ +能能量守恒。它描寫物體的溫度隨時(shí)間和空間變化量守恒。它描寫物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通用表達(dá)式。用表達(dá)式。定解條

25、件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件，包定解條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件，包括四項(xiàng)：幾何、物理、初始、邊界括四項(xiàng)：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程 + + 定解條件定解條件1 1、幾何條件：、幾何條件：說明導(dǎo)熱體的幾何形說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等度、直徑等2 2、物理?xiàng)l件：、物理?xiàng)l件：說明導(dǎo)熱體的物理說明導(dǎo)熱體的物理特征如：物性參數(shù)特征如：物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；大小和分布；3 3、初始條件：、初始條件：

26、又稱時(shí)間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的又稱時(shí)間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)初始狀態(tài) )0 ,(zyxft 、邊界條件、邊界條件: :反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。 說明：說明： 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)初始條件；邊界條件初始條件；邊界條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件只有邊界條件，無初始條件。只有邊界條件，無初始條件。邊界條件常見的有三類邊界條件常見的有三類 （）第一類邊界條件（）第一類邊界條件: :該條件該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時(shí)間和

27、空間的函數(shù)，也它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值?？梢詾榻o定不變的常數(shù)值。 t=f(y,z,) 0 x1 x （2 2）第二類邊界條件）第二類邊界條件: :該條件是該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當(dāng)于給定邊界上的熱流密度，相當(dāng)于給定邊界上的熱流密度，它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值可以為給定不變的常數(shù)值0 x1 x ),(zyfxt 0wtf時(shí)20()( )wtfn時(shí)（3 3）第三類邊界條件）第三類邊界條件: :該條件該條件是第一類和第二類邊界條件的是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊

28、界線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個(gè)量可以是時(shí)間的溫度，這兩個(gè)量可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值不變的常數(shù)值 0 x1 x )th ttx（()()wwfth ttn輻射邊界條件輻射邊界條件導(dǎo)熱物體表面與溫度為導(dǎo)熱物體表面與溫度為TeTe的外界環(huán)境只發(fā)生輻射的外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱換熱導(dǎo)熱微分方程定解條件求解方法導(dǎo)熱微分方程定解條件求解方法 溫度場溫度場44()()wwetTTn界面連續(xù)條件界面連續(xù)條件不均勻材料中的導(dǎo)熱，常采用分區(qū)計(jì)算的方法。不均勻材料中的導(dǎo)熱，常采用分區(qū)計(jì)算的方法。, ()(

29、)ttttnn由熱擴(kuò)散率的定義可知：由熱擴(kuò)散率的定義可知： 1 1 ） 分子是物體的導(dǎo)熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同分子是物體的導(dǎo)熱系數(shù)，其數(shù)值越大，在相同溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。 2 2 ）分母是單位體積的物體溫度升高）分母是單位體積的物體溫度升高 1 1 所需的熱所需的熱量。其數(shù)值越小，溫度升高量。其數(shù)值越小，溫度升高11所吸收的熱量越少，所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。度更快的隨界面溫度升高而升高。a a 反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（反映了導(dǎo)熱過

30、程中材料的導(dǎo)熱能力（ ）與沿途）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（ c c ）之間的關(guān)系）之間的關(guān)系. .()ac2.2.3 2.2.3 熱擴(kuò)散率的物理意義熱擴(kuò)散率的物理意義由此可見由此可見物理意義物理意義： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，說明物體的某一值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。散，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。 越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)也是材料傳播溫度變化能力大

31、小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫系數(shù)。溫系數(shù)。熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力，所以溫度趨向于均勻一致的能力，所以反映導(dǎo)熱過程反映導(dǎo)熱過程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。2.2.4 2.2.4 傅里葉定律及導(dǎo)熱微分方程的適用范圍傅里葉定律及導(dǎo)熱微分方程的適用范圍 適用于適用于 q q 不很高，而作用時(shí)間長，同時(shí)傅立葉定律不很高，而作用時(shí)間長，同時(shí)傅立葉定律也適用該條件。也適用該條件。 1 1 ）若屬極底溫度（）若屬極底溫度（ -273 -273 ）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。2 2

32、）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。3 3 ）過程發(fā)生的空間尺度與微觀粒子的平均自由行）過程發(fā)生的空間尺度與微觀粒子的平均自由行程相接近時(shí)，不適用。程相接近時(shí)，不適用。 導(dǎo)熱理論分析方法的基本思路導(dǎo)熱理論分析方法的基本思路 導(dǎo)熱理論的任務(wù)就是要找出任何時(shí)刻物體中各處導(dǎo)熱理論的任務(wù)就是要找出任何時(shí)刻物體中各處的溫度，進(jìn)而確定熱量傳遞規(guī)律。的溫度，進(jìn)而確定熱量傳遞規(guī)律。 、簡化分析導(dǎo)熱現(xiàn)象。根據(jù)幾何條件、物理?xiàng)l、簡化分析導(dǎo)熱現(xiàn)象。根據(jù)幾何條件、物理?xiàng)l件簡化導(dǎo)熱微分方程式。件簡化導(dǎo)熱微分方程式。 、確定初始條件及各物體各邊界處的邊界條件。、確定初始

33、條件及各物體各邊界處的邊界條件。每一維導(dǎo)熱至少有兩個(gè)邊界條件。每一維導(dǎo)熱至少有兩個(gè)邊界條件。 、分析求解，得出導(dǎo)熱物體的溫度場。、分析求解，得出導(dǎo)熱物體的溫度場。 、利用傅立葉定律和已有的溫度場最終確定熱、利用傅立葉定律和已有的溫度場最終確定熱流量或熱流密度。流量或熱流密度。22220ttxy導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程單值性條件單值性條件0 ()0 y owy by bfxx bwttth ttyttqxx；【例例】某一矩形薄板，具有均勻內(nèi)熱源某一矩形薄板，具有均勻內(nèi)熱源q qv vW/mW/m3 3，導(dǎo)，導(dǎo)熱系數(shù)熱系數(shù)為常數(shù)，邊界條件如圖所示，試寫出該物為常數(shù)，邊界條件如圖所示，試寫出該物體穩(wěn)

34、態(tài)導(dǎo)熱現(xiàn)象完整的數(shù)學(xué)描述。體穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱現(xiàn)象完整的數(shù)學(xué)描述。2.3 2.3 典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解本節(jié)將針對(duì)本節(jié)將針對(duì)一維一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：ztzytyxtxtc)()()(2.3.1、通過平壁的導(dǎo)熱、通過平壁的導(dǎo)熱 平壁的長度和寬度都遠(yuǎn)大于其厚度，因而平板平壁的長度和寬度都遠(yuǎn)大于其厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。 平板可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁

35、等類型平板可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類型 。 a. a.單層壁導(dǎo)熱單層壁導(dǎo)熱 b.b.多層壁導(dǎo)熱多層壁導(dǎo)熱 c. c. 復(fù)合壁導(dǎo)熱復(fù)合壁導(dǎo)熱1 1 單層平壁的導(dǎo)熱單層平壁的導(dǎo)熱a a 幾何條件：單層平板；幾何條件：單層平板； b b 物理?xiàng)l件：物理?xiàng)l件： 、c c、 已知；已知；無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源 c c 時(shí)間條件：時(shí)間條件：: 0 t 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 d d 邊界條件：第一類邊界條件：第一類ot1tt2xot1tt2120, , xttxtt根據(jù)上面的條件可得：根據(jù)上面的條件可得：第一類邊界條件：第一類邊界條件：0dd22xt0()txx控制控制方程方程邊界邊界條件條件ztzytyxtxtc)(

36、)()(直接積分，得：直接積分，得：211 cxctcdxdt帶入邊界條件：帶入邊界條件：12121tcttc2212d0d0, , txxttxtt完整的數(shù)學(xué)描寫完整的數(shù)學(xué)描寫211tttxt)(dd1212112Attttqttxttxttt帶入帶入Fourier 定律定律rRA熱阻分析法適用于一維、熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況線性線性分布分布熱阻的含義熱阻的含義 熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過程熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過程,與自然界與自然界的其他轉(zhuǎn)換過程類同的其他轉(zhuǎn)換過程類同,如如:電量的轉(zhuǎn)換電量的轉(zhuǎn)換,動(dòng)量、質(zhì)量等動(dòng)量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。的轉(zhuǎn)換。其共同規(guī)律

37、可表示為其共同規(guī)律可表示為:過程中的轉(zhuǎn)換量過程中的轉(zhuǎn)換量 = = 過程中的動(dòng)力過程中的動(dòng)力 / / 過程中的阻力。過程中的阻力。在電學(xué)中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即在電學(xué)中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即RUI 平板導(dǎo)熱中，與之相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可改寫為平板導(dǎo)熱中，與之相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可改寫為/tA 這種形式有助于更清楚地理解式中各項(xiàng)的物理意這種形式有助于更清楚地理解式中各項(xiàng)的物理意義。義。式中：式中：熱流量熱流量為導(dǎo)熱過程的轉(zhuǎn)移量；為導(dǎo)熱過程的轉(zhuǎn)移量； 溫壓溫壓 為轉(zhuǎn)移過程的動(dòng)力；為轉(zhuǎn)移過程的動(dòng)力； 分母分母 為轉(zhuǎn)移過程的阻力。為轉(zhuǎn)移過程的阻力。 t/A 由此引出熱阻的概念：由此引出熱阻的概念： 1

38、1 ）熱阻定義：）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過程的阻力稱為熱阻。熱轉(zhuǎn)移過程的阻力稱為熱阻。 2 2 ）熱阻分類：）熱阻分類：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：導(dǎo)熱阻、輻射熱阻、對(duì)流熱阻等。導(dǎo)熱阻、輻射熱阻、對(duì)流熱阻等。對(duì)平板導(dǎo)熱而言又分：對(duì)平板導(dǎo)熱而言又分： 面積熱阻面積熱阻R RA A ：單位面積的導(dǎo)熱熱阻稱面積熱阻。單位面積的導(dǎo)熱熱阻稱面積熱阻。 熱阻熱阻R R：整個(gè)平板導(dǎo)熱熱阻稱熱阻。整個(gè)平板導(dǎo)熱熱阻稱熱阻。3 3 ）熱阻的特點(diǎn)：）熱阻的特點(diǎn)： 串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個(gè)串聯(lián)的熱量串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個(gè)串聯(lián)的熱量傳遞過程中，若通過各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱

39、流量傳遞過程中，若通過各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量相同，則串聯(lián)過程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)相同，則串聯(lián)過程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。節(jié)的分熱阻之和。 2 2、通過多層平壁的導(dǎo)熱、通過多層平壁的導(dǎo)熱 多層平壁：由幾層不同材料組成多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁例：房屋的墻壁 白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成磚（青磚）主體層等組成假設(shè)各層之間接觸良好，假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等各處的溫度相等t2t3t4t1 qt2t3t4t1 q334322321121ttttttq由和分比關(guān)系由和分比關(guān)系 3322

40、1141ttqt1 r1 t2 r2 t3 r3 t4推廣到推廣到n n層壁的情況層壁的情況: : niiinttq111層間分界面溫度層間分界面溫度 12113343ttqttqt2t3t4t1 q2322ttq334322321121ttttttq導(dǎo)熱系數(shù)與溫度有依變關(guān)系時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)與溫度有依變關(guān)系時(shí)當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時(shí)，只要當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時(shí)，只要取計(jì)算區(qū)域的平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值取計(jì)算區(qū)域的平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值帶入按帶入按等于常數(shù)時(shí)的計(jì)算公式，即可獲等于常數(shù)時(shí)的計(jì)算公式，即可獲得正確結(jié)果。得正確結(jié)果。P P5050例例2-12-1【例例】有一磚砌墻壁，厚為有一磚砌墻壁

41、，厚為0.25m0.25m。已知內(nèi)外壁面。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為的溫度分別為2525和和3030。試計(jì)算墻壁內(nèi)的溫度。試計(jì)算墻壁內(nèi)的溫度分布和通過的熱流密度。分布和通過的熱流密度。解：由平壁導(dǎo)熱的溫度分布解：由平壁導(dǎo)熱的溫度分布 代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)t=25+20 xt=25+20 x的溫度分布表達(dá)式的溫度分布表達(dá)式。 從附錄查得紅磚的從附錄查得紅磚的=0.87W/(m),=0.87W/(m),于是可以于是可以計(jì)算出通過墻壁的熱流密度計(jì)算出通過墻壁的熱流密度 221/4 .17)(mWttq211tttxt2212d0d0m, =25=0.25m, =30tx

42、xttxtttaxbxtq【例例】由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚 度 及 導(dǎo) 熱 系 數(shù) 分 別 為厚 度 及 導(dǎo) 熱 系 數(shù) 分 別 為 1 1 2 4 0 m m 2 4 0 m m ， 1 1=1.04W/(m=1.04W/(m )， 2 250mm, 50mm, 2 2=0.15W/(m=0.15W/(m )， 3 3115mm, 115mm, 3 3=0.63W/(m=0.63W/(m )。爐墻內(nèi)側(cè)耐火磚的。爐墻內(nèi)側(cè)耐火磚的表面溫度為表面溫度

43、為10001000。爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為。爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為6060。試計(jì)算硅藻土層的平均溫度及通過爐墻的導(dǎo)熱。試計(jì)算硅藻土層的平均溫度及通過爐墻的導(dǎo)熱熱流密度。熱流密度。解：解： 已知已知 1 10.24m, 0.24m, 1 1=1.04W/(m=1.04W/(m ) ) 2 20.05m, 0.05m, 2 2=0.15W/(m=0.15W/(m ) ) 3 30.115m, 0.115m, 3 3=0.63W/(m=0.63W/(m ) ) t t1 1=1000=1000 t t2 2=60=60 t2t3t4t1 qt1 r1 t2 r2 t3 r3 t421431212

44、3121123221259/700289ttqW mttqttq硅藻土層的平均溫度為硅藻土層的平均溫度為 499232 tt 【例例】一維無內(nèi)熱源、平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場如一維無內(nèi)熱源、平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場如圖所示。試說明它的導(dǎo)熱系數(shù)圖所示。試說明它的導(dǎo)熱系數(shù)是隨溫度增加而是隨溫度增加而增加，還是隨溫度增加而減小增加，還是隨溫度增加而減小? ? 解解 由博里葉定律，由博里葉定律，( )dt xqconstdx 圖中圖中dt/dxdt/dx隨著隨著x x的增加而減小，因而的增加而減小，因而隨隨x x增加增加而增加而增加；而溫度；而溫度t t隨隨x x增加而降低增加而降低，所以導(dǎo)熱系數(shù)所以導(dǎo)熱系數(shù)隨

45、溫度增加而減小。隨溫度增加而減小。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱0t 圓筒壁就是圓管的壁面。當(dāng)管子的壁面相對(duì)于管圓筒壁就是圓管的壁面。當(dāng)管子的壁面相對(duì)于管長而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度長而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度時(shí)，通過管壁的導(dǎo)熱就是圓柱坐標(biāo)系上的一維導(dǎo)熱問時(shí)，通過管壁的導(dǎo)熱就是圓柱坐標(biāo)系上的一維導(dǎo)熱問題。題。 2.3.2 2.3.2 通過圓筒壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱1 1、通過單層圓筒壁的導(dǎo)熱、通過單層圓筒壁的導(dǎo)熱211()()()ttttcrrrrrzz柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：第一類邊界條件：1122rrt

46、trrtt時(shí)時(shí)0)dd(ddrtrr(a)(a) t1 r1 t2 r r2對(duì)上述方程對(duì)上述方程(a)(a)積分兩次積分兩次: :211ln crctcdrdtr11122122ln; lntcrctcrc211121212121ln; ()ln()ln()ttrcctttr rr r第一次積分第一次積分第二次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)獲得兩個(gè)系數(shù) t1 r1 t2 r r2)ln()ln( 112121rrrrtttt將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況下面來看一

47、下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況21221dW mdln()tttqrrr r 12212()2 Wln()l ttrlqr r111221ln()()ln()r rttttr r12211ln()ttdtdrrrr 雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度熱流密度 q q 與半徑與半徑 r r 成反比！成反比！求導(dǎo)求導(dǎo)根據(jù)熱阻的定義，通過整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：根據(jù)熱阻的定義，通過整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：lddtR2)/ln(12單位長度圓筒壁的熱流量：單位長度圓筒壁的熱流量：mW ln21211221lwwwwlRttrrttqlWCm ln2112熱阻單位長度圓筒壁的導(dǎo)熱rrRl

48、2 2、通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱 由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等積灰的輸送管道等 由不同材料制作的圓筒同心緊密結(jié)合而構(gòu)成多層圓由不同材料制作的圓筒同心緊密結(jié)合而構(gòu)成多層圓筒壁筒壁 ，如果管子的壁厚遠(yuǎn)小于管子的長度，且管，如果管子的壁厚遠(yuǎn)小于管子的長度，且管壁內(nèi)外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向壁內(nèi)外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向構(gòu)成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。構(gòu)成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。 233412234113322111222ttttttdddnnnl

49、dldld)1112iiiiiiiittl ttddlnlnldd 【例例】某管道外經(jīng)為某管道外經(jīng)為2r2r，外壁溫度為，外壁溫度為t t1 1，如外包兩層，如外包兩層厚度均為厚度均為r r（即（即 2 2 3 3r r）、導(dǎo)熱系數(shù)分別為）、導(dǎo)熱系數(shù)分別為 2 2和和 3 3（ 2 2 / / 3 3=2=2）的保溫材料，外層外表面溫度為）的保溫材料，外層外表面溫度為t t2 2。如將兩層保溫材料的位置對(duì)調(diào)，其他條件不變，保如將兩層保溫材料的位置對(duì)調(diào)，其他條件不變，保溫情況變化如何？由此能得出什么結(jié)論？溫情況變化如何？由此能得出什么結(jié)論？解：解： 設(shè)兩層保溫層直徑分別

50、為設(shè)兩層保溫層直徑分別為d d2 2、d d3 3和和d d4 4，則，則d d3 3/d/d2 2=2=2，d d4 4/d/d3 3=3/2=3/2。導(dǎo)熱系數(shù)大的在里面：。導(dǎo)熱系數(shù)大的在里面： 31234332233;113110.11969ln2lnlnln222222Lttttqdddd導(dǎo)熱系數(shù)大的在外面：導(dǎo)熱系數(shù)大的在外面： 1426. 023ln2212ln2133321tttqL兩種情況散熱量之比為：兩種情況散熱量之比為： 84. 019. 111969. 01426. 01LLLqqqq或結(jié)論：導(dǎo)熱系數(shù)大的材料在外面，導(dǎo)熱系數(shù)小結(jié)論：導(dǎo)熱系數(shù)大的材料在外面，導(dǎo)熱系數(shù)小的材料放在

51、里層對(duì)保溫更有利。的材料放在里層對(duì)保溫更有利。 1234223311lnln22Lttqdddd對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，再球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問題。相導(dǎo)熱，再球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問題。相應(yīng)計(jì)算公式為：應(yīng)計(jì)算公式為：溫度分布：溫度分布：熱流量：熱流量：熱阻：熱阻：2.3.3 2.3.3 通過球殼的導(dǎo)熱通過球殼的導(dǎo)熱22121211()11rrttttrr12124()11ttrr121114Rrr2.3.4 2.3.4 帶有第二類、第三類邊界條件的一維帶有第二類、第三類邊界條件的一維導(dǎo)熱問題導(dǎo)熱問題在求解過程中，與第一

52、類邊界條件求解的區(qū)別在求解過程中，與第一類邊界條件求解的區(qū)別在于確定任意常熟在于確定任意常熟C1、C2所利用的條件不同。所利用的條件不同。見見P552.3.5 2.3.5 變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維問題變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維問題變導(dǎo)熱系數(shù)變導(dǎo)熱系數(shù)根據(jù)傅立葉定律求解而導(dǎo)熱系數(shù)為變數(shù)根據(jù)傅立葉定律求解而導(dǎo)熱系數(shù)為變數(shù)或沿導(dǎo)熱熱流密度矢量方向?qū)峤孛娣e或沿導(dǎo)熱熱流密度矢量方向?qū)峤孛娣e為變量時(shí)，此方法有效。為變量時(shí)，此方法有效。導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)(t) 根據(jù)傅立根據(jù)傅立葉定律得：葉定律得：= -A(t)(dt/dx)分離變數(shù)積分，而分離變數(shù)積分，而與與X無關(guān)系，則得：無關(guān)系，

53、則得： 方程右邊乘以方程右邊乘以 (t2-t1)/( t2-t1) 得：得： 顯然顯然 式中式中 項(xiàng)是在項(xiàng)是在t1 至至t2范圍內(nèi)，由范圍內(nèi)，由(t)積分平均值，可用積分平均值，可用 表示表示則：則： 2211( )xtxtdxt dtA 22112121( )()()txtxt dtdxttAtt2121( )()ttt dttt2112()1()xxttdxA 代替代替 不受到不受到A與與X關(guān)系的制約關(guān)系的制約 適于任何的適于任何的A,X在方程中若在方程中若=(t)，則：，則： =0(1+bt) 或或 =0+at由此可見：由此可見： 是算術(shù)平均溫度下是算術(shù)平均溫度下t=(t1+t2)/2的

54、值只需把前述公式的的值只需把前述公式的取平取平均溫度下的值即可。均溫度下的值即可。綜上所述四種情況的共同特點(diǎn)：通過熱量綜上所述四種情況的共同特點(diǎn)：通過熱量傳遞的方向上傳遞的方向上保持不變。保持不變。2121( )()ttt dttt2112()1()xxttdxA 由前可知：由前可知： 導(dǎo)熱分析的首要任務(wù)就是確定物體內(nèi)部的溫度導(dǎo)熱分析的首要任務(wù)就是確定物體內(nèi)部的溫度場。場。 根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立了導(dǎo)熱根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立了導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)導(dǎo)熱微分方程熱微分方程。()()()ttttcxxyyzz非穩(wěn)態(tài)

55、項(xiàng)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)源項(xiàng)源項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)2-4 2-4 通過肋片的導(dǎo)熱通過肋片的導(dǎo)熱v 基本概念基本概念 1 1 、肋片、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。表面。工程上和自然界常見到一些帶有突出表工程上和自然界常見到一些帶有突出表面的物體。面的物體。其作用是其作用是增大對(duì)流換熱面積，以強(qiáng)化換熱。增大對(duì)流換熱面積，以強(qiáng)化換熱。、肋片的作用、肋片的作用 肋高肋高H 肋寬肋寬l 肋厚肋厚 截面積截面積A Ac c 肋基肋基 肋端肋端肋片的基本尺寸和術(shù)語肋片的基本尺寸和術(shù)語lAcAl3、常見肋片的結(jié)構(gòu)：、常見肋片的結(jié)構(gòu)：直肋直肋 環(huán)肋針肋環(huán)肋針肋 直肋直肋環(huán)肋環(huán)肋針肋針肋2.4.1 2

56、.4.1 通過等截面直肋的導(dǎo)熱通過等截面直肋的導(dǎo)熱已知：已知：(1)(1)矩形直肋，矩形直肋，A Ac c均保持不變均保持不變(2)(2)肋基溫度為肋基溫度為t t0 0，且，且t t0 0 (3)(3)肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯道咂c環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常量數(shù)為常量h h. .(4)(4)導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù) ，保持不變，保持不變求：求：溫度場溫度場 t t 和散熱量和散熱量 0 xdxxx+dxcHlttt分析：分析：肋寬方向：肋片寬度遠(yuǎn)大肋寬方向：肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度，不考慮溫于肋片的厚度，不考慮溫度沿該方向的變化；度沿該方向的變化； 于是我們可以把通過肋片的導(dǎo)熱問題于是我們可以把通過肋片的

57、導(dǎo)熱問題視為沿肋片方向上的視為沿肋片方向上的一維導(dǎo)熱一維導(dǎo)熱問題。問題。 肋厚（）方向：沿肋肋厚（）方向：沿肋厚方向的導(dǎo)熱熱阻一般厚方向的導(dǎo)熱熱阻一般遠(yuǎn)小于它與環(huán)境的換熱遠(yuǎn)小于它與環(huán)境的換熱熱阻。熱阻。把沿方向的散熱視為負(fù)的內(nèi)熱源。把沿方向的散熱視為負(fù)的內(nèi)熱源。0 xdxxx+dxcHl1/h/1/htt2t1t假設(shè)假設(shè)1 1 ）導(dǎo)熱系數(shù)）導(dǎo)熱系數(shù) 及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h h 均為常均為常數(shù)；數(shù)； 2 2 ）肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度，不考慮溫）肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度，不考慮溫度沿該方向的變化；度沿該方向的變化；3 3 ）表面上的換熱熱阻）表面上的換熱熱阻 1/h 1/h ，遠(yuǎn)大于肋

58、片的，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻導(dǎo)熱熱阻 / / ，即肋片上沿肋厚方向上的溫度，即肋片上沿肋厚方向上的溫度均勻不變；均勻不變； 220d tdx在上述假設(shè)條件下，把在上述假設(shè)條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱, ,并將沿程散并將沿程散熱量熱量q q視為負(fù)的內(nèi)熱源，則視為負(fù)的內(nèi)熱源，則導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱微分方程式簡化為簡化為4 4 ）肋端視為絕熱，即）肋端視為絕熱，即 dt/dx=0 dt/dx=0 ；0 xdxxx+dxcHl-sccch ttPdxhP ttA dxA dxA 內(nèi)熱源強(qiáng)度內(nèi)熱源強(qiáng)度單位時(shí)間肋片單位體積的對(duì)單位時(shí)間肋片單位體積的對(duì)流散熱

59、量流散熱量如圖，在距肋基處取一長如圖，在距肋基處取一長度為度為dxdx的微元段，該段的對(duì)的微元段，該段的對(duì)流換熱量為：流換熱量為：h ttPdx因此該微元段的內(nèi)熱源強(qiáng)度為：因此該微元段的內(nèi)熱源強(qiáng)度為：0 xdxxx+dxcHl22d()0dcthPttxA導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程：引入過余溫度引入過余溫度 。并令。并令tt constchPmA邊界條件：邊界條件：000d0dxttxHx時(shí) ，時(shí) ，222ddmx導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程：0 xdxxx+dxcHl二階齊次線性常微分方程二階齊次線性常微分方程特征方程特征方程mm 0 0mm- - 2 22 2方程的通解為：方程的通解為：mx

60、mxecec21應(yīng)用邊界條件可得：應(yīng)用邊界條件可得：12012;0mHmHccc mec memHmHmHmHmHmHeeeceeec0201得：得：00mHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeeee帶入：帶入：2002211mxmHmxmHmHeeeee00mHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeeee2021mxmHmxmHeeee分子分母同乘以分子分母同乘以mHe()()000+ ()22=()+22m x Hm x HmHmxmHmxmHmHmHmHeeeeeech m xHeeeech mH0ch ()ch()m xHmH肋片內(nèi)的肋片內(nèi)的溫度分布溫度分布xxxxxxxxeeeex