矢量場(chǎng)與標(biāo)量場(chǎng)以及計(jì)算方法

1、標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場(chǎng)的特殊形式電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波Vector Analysis（矢量分析）（矢量分析）1 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 01.矢性函數(shù)矢性函數(shù) 在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P， 它是一個(gè)既存在它是一個(gè)既存在大小大小(或稱(chēng)為?；蚍Q(chēng)為模)又有方向特性的量，故稱(chēng)為又有方向特性的量，故稱(chēng)為實(shí)數(shù)矢量實(shí)數(shù)矢量，一般用，一般用黑體黑體A表示。表示。 若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫(huà)一條帶有箭頭的若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫(huà)一條帶有箭頭的直線段，直線段的長(zhǎng)度表示矢量直線段

2、，直線段的長(zhǎng)度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢的模，箭頭的指向表示該矢量量A的方向。的方向。 矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量， 如電場(chǎng)強(qiáng)度如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、速度、速度v等等。等等。 而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱(chēng)為發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱(chēng)為變矢變矢，如沿著某一曲線，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。等。 )(tAA 若某一矢量的模和方向都保持不變，若某一矢量的模和方向都保持不變， 此矢量稱(chēng)為此

3、矢量稱(chēng)為常矢常矢，如某物體所受到的重力。如某物體所受到的重力。 設(shè)設(shè)t是一數(shù)性變量，是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間為變矢，對(duì)于某一區(qū)間Ga, b內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t, A都有一個(gè)確定的矢量都有一個(gè)確定的矢量A (t)與之對(duì)應(yīng)，則與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)稱(chēng)A為數(shù)性變量為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為的矢性函數(shù)。記為 而而G為為A的定義域。矢性函數(shù)的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函，則矢性函數(shù)數(shù)A (t)也可用其坐標(biāo)表示為也可用其坐標(biāo)表示為 zzyyxxetA

4、etAetAA)()()(其中其中ex、ey、ez為為x軸、軸、y軸、軸、z軸正向單位矢量。軸正向單位矢量。 終點(diǎn)一般稱(chēng)為矢性函數(shù)終點(diǎn)一般稱(chēng)為矢性函數(shù)A(t)的矢端曲線。的矢端曲線。圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影 P(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxayxAzAyABcosAB 1） 標(biāo)量積標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量任意兩個(gè)矢量A與與B的標(biāo)量積的標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量，是一個(gè)標(biāo)量， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，所示， 記為記為 圖圖1-2 標(biāo)量積標(biāo)量積02. 矢量的乘積矢量的乘積矢量的乘

5、積包括矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積和矢量積。AB=AB cos 任意兩個(gè)矢量任意兩個(gè)矢量A與與B的矢量積（的矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量其方向垂直于矢量A與與B組成的平面，組成的平面， 如圖如圖1-3所示，記為所示，記為 矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律AB= -BA 2） 矢量積矢量積 C=AB=enAB sin en=eAeB （右手螺旋）（右手螺旋）CBAanaBaAOC ABBA(a

6、)(b) 圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋AeneBe1. 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 場(chǎng)場(chǎng)： 如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱(chēng)在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。的一個(gè)確定的值，則稱(chēng)在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說(shuō)，換句話說(shuō)， 在某一空間區(qū)域中，物理量的無(wú)窮集合表示在某一空間區(qū)域中，物理量的無(wú)窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。（物理量的值可相等）位的分

7、布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。（物理量的值可相等）場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，域內(nèi)， 除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的的。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱(chēng)為若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)； 若該物理若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱(chēng)為量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱(chēng)為動(dòng)態(tài)場(chǎng)動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱(chēng)為或稱(chēng)為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。 場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如，在直角坐標(biāo)下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 標(biāo)量場(chǎng)在研究物理系統(tǒng)中溫度、在研究物理系

8、統(tǒng)中溫度、 壓力、壓力、 密度等在一定密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述，述， 這些代數(shù)變量這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù)即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)，所確定的場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)， 如溫度場(chǎng)如溫度場(chǎng)T(x, y, z)、電位場(chǎng)、電位場(chǎng)(x, y, z)、高度場(chǎng)等。、高度場(chǎng)等。zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量場(chǎng) 然而在許多物理系統(tǒng)中，然而在許多物理系統(tǒng)中， 其狀態(tài)不僅需要其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量場(chǎng)來(lái)描述。例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、需要用一個(gè)矢量場(chǎng)

9、來(lái)描述。例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。流速場(chǎng)等等。 ( , )cx y z其方程為:圖0.1.1 等高線(1) 標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具場(chǎng)線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？2.標(biāo)量場(chǎng)的等值面該曲面上任一點(diǎn)的函數(shù)值相等該曲面上任一點(diǎn)的函數(shù)值相等等值面充滿了場(chǎng)所在的空間等值面充滿了場(chǎng)所在的空間是單值函數(shù)，因此等值面不相交是單值函數(shù)，因此等值面不相交zAyAxAzyxddd三維場(chǎng)三維場(chǎng)二維場(chǎng)二維場(chǎng)yAxAyxdd圖圖0.1.2 矢量線矢量線3 3矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)-矢量線（力線）矢量線（力線）0d lA其方程為：其方程為：在直角坐標(biāo)下：在直角坐標(biāo)下：目的：形象地描繪矢量場(chǎng)目的：形象地

10、描繪矢量場(chǎng)A A的分布的分布特點(diǎn)特點(diǎn)：(1)(1)它上面每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的它上面每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相同方向相同(2)(2)矢量場(chǎng)中的矢量線也充滿了整個(gè)場(chǎng)域，但它們互矢量場(chǎng)中的矢量線也充滿了整個(gè)場(chǎng)域，但它們互不相交不相交圖圖 1-4 矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)的矢量線 物理意義：矢量線和場(chǎng)量的變化方向一致物理意義：矢量線和場(chǎng)量的變化方向一致矢量管：矢量管：通過(guò)場(chǎng)域某一曲面通過(guò)場(chǎng)域某一曲面s上的所有點(diǎn)的矢量上的所有點(diǎn)的矢量線的全體構(gòu)成的管狀區(qū)域。線的全體構(gòu)成的管狀區(qū)域。圖圖 1-5 矢量管矢量管 0.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 Gradient of Scalar Fiel

11、d1.1.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) (x，y，z)，若函數(shù) 在點(diǎn) P 可微，則 在點(diǎn)P 沿任意方向 l l 的變化率稱(chēng)為方向?qū)?shù)，即coscoscoscoscoscosxyzxyzlxyzxyz（） （）eeeeee,xyzxyzgeeecoscoscoslxyzeeee設(shè) 式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角l),cos(|llleggeg則有：當(dāng) ， 最大0) , (lg el標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 沿沿l方向的方向?qū)?shù)就是矢量方向的方向?qū)?shù)就是矢量g在在l上的投影。上的投影。表明：表明：也就是只有當(dāng)也就是只有當(dāng)l的方向和的方向和g的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)才取得最的方

12、向一致時(shí)，方向?qū)?shù)才取得最大值。大值。l的方向和的方向和g的方向垂直時(shí)，方向?qū)?shù)為零的方向垂直時(shí)，方向?qū)?shù)為零l的方向和的方向和g的方向相反時(shí)，方向?qū)?shù)為的方向相反時(shí)，方向?qū)?shù)為-1，取得最小值，此，取得最小值，此時(shí)時(shí) 減小的最快減小的最快gradxyzgxyz eee梯度(gradient)哈密頓算子xyzeeexyz 式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義2. 梯度讀作“del(代爾)”或“nabla(那勃拉)”) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的梯度函數(shù)建立了標(biāo)

13、量場(chǎng)與矢建立了標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)的聯(lián)系，這一量場(chǎng)的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類(lèi)矢聯(lián)系使得某一類(lèi)矢量場(chǎng)可以通過(guò)標(biāo)量量場(chǎng)可以通過(guò)標(biāo)量函數(shù)來(lái)研究，或者函數(shù)來(lái)研究，或者說(shuō)標(biāo)量場(chǎng)可以通過(guò)說(shuō)標(biāo)量場(chǎng)可以通過(guò)矢量場(chǎng)的來(lái)研究。矢量場(chǎng)的來(lái)研究。 標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直 于通過(guò)該點(diǎn)的等值于通過(guò)該點(diǎn)的等值 面（或切平面）面（或切平面）例 0.2.1 電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。 解：點(diǎn)解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。

14、其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或或 例例1-1 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2- z 通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。例例 ：試證明在點(diǎn)電荷：試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，電位函數(shù)的負(fù)梯度產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度等于電場(chǎng)強(qiáng)度E.0111( )( )( )()4xyzqrrrGeeexyz222 3/2222 3/2222 3/202004()()()44yxzryexezeqGxyzxyzxyzqeqrrr解：電荷解：電荷q所產(chǎn)生的電位為所產(chǎn)生的電位為04qr22222222231121()( )2()xxyzxyzxrxxxyz

15、r 0.3 矢量場(chǎng)的通量與散度1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面積分dSnSA dS =AS若 S 為閉合曲面 dS ASFlux and Divergence of Vector圖0.3.1 矢量場(chǎng)的通量 （設(shè)曲面（設(shè)曲面S的單位法向矢量的單位法向矢量en），），An為為A在在en上的投影上的投影下 外側(cè)外側(cè)所研究所研究的一側(cè)的一側(cè) 0 0 (有正源有正源) 0 0 (有負(fù)源有負(fù)源) = = 0 0 (無(wú)源無(wú)源)圖圖0.3.2 矢量場(chǎng)通量的性質(zhì)矢量場(chǎng)通量的性質(zhì) 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ，可以根據(jù)，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)凈通量的大小判斷閉合面中源的

16、性質(zhì): :sdsE2 散度 ( Divergence ) 如果包圍點(diǎn) P 的閉合面 S 所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小到點(diǎn) P 時(shí)：100dlimdlim=divVVVVdVASA散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv通量可看成通量可看成V內(nèi)各點(diǎn)處的發(fā)散強(qiáng)度的體積分內(nèi)各點(diǎn)處的發(fā)散強(qiáng)度的體積分根據(jù)奧式公式根據(jù)奧式公式d()()yxzxyzSSVAAAA dydzA dzdxA dxdydVxyzAS散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若 A= 0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)， 稱(chēng)為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0 ，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通

17、量源的分布特性。 (無(wú)源）0 A (正源) A (負(fù)源) A圖0.3.3 散度的物理意義 0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )10limdVVSAAS圖0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯定理 VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。0.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量dcosLlAdlAl 環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。Circulation and Rotation of Vector Field圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算P水流沿平行于

18、水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。圖0.4.2 流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。例：流速場(chǎng)力場(chǎng)中，環(huán)量力場(chǎng)中，環(huán)量LF dl表示力表示力F沿閉合路徑所做的功沿閉合路徑所做的功1. 環(huán)量密度 過(guò)點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限LSSSl d1limdd0環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。注意：環(huán)量密度與所選曲面元的法線方向有關(guān)！2 旋度 ( Rotation )2. 旋度xxyyzzAAAAeeexyzddxdydzleee設(shè)d()()()()xyzLLyyxxzzsA dxA dyA dzAAAAA

19、Adydzdzdxdxdyyzzxxy Al得 ()()()yyxxzzxyzAAAAAArotAyzzxxyeee稱(chēng)為A的旋度旋度記作rotAA 上式右面的積分可以看成是矢量上式右面的積分可以看成是矢量 穿過(guò)曲面穿過(guò)曲面s的通量，的通量，s是以曲線是以曲線l為周界的曲面。為周界的曲面。()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxyeee 設(shè)設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元點(diǎn)的微小面元S，其周，其周界為界為l，它的正向與面元，它的正向與面元S的法向的法向矢量矢量n成右手螺旋關(guān)系成右手螺旋關(guān)系(如圖所示如圖所示)。則矢量則矢量A沿沿l方向的環(huán)

20、量為：方向的環(huán)量為： rotnA為旋度矢量為旋度矢量rotArotA在在n n方向的投影，利方向的投影，利用中值定理用中值定理 M為為 中的某一點(diǎn)，令中的某一點(diǎn)，令 向向p p點(diǎn)收縮，點(diǎn)收縮，則有旋度定義的極限形式則有旋度定義的極限形式：旋度的旋度的物理意義nd(rotd(rotSSl AlA)S =A)dsnn(rotrotSSMA)ds = (A)SSPlnrotA旋渦面旋度小結(jié)：矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。它的方向就是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值時(shí)曲面S的方向的方向其模等于環(huán)量密度的最大值。在矢量場(chǎng)中，若 A=J 0 稱(chēng)之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J 稱(chēng)為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處

21、 A= 0 ，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)， rotnA表示矢量場(chǎng)表示矢量場(chǎng)A在在P點(diǎn)的環(huán)量密度，它與該點(diǎn)的環(huán)量密度，它與該點(diǎn)的曲面元的法線方向有關(guān)。當(dāng)旋度點(diǎn)的曲面元的法線方向有關(guān)。當(dāng)旋度rotA與與n的方向相同時(shí)，的方向相同時(shí)，環(huán)量密度取得最大值。環(huán)量密度取得最大值。n00rotlimlimlSSA dldSSds A =AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeA在直角坐標(biāo)下:4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )SA)lAd(dSl矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。 在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個(gè)非常重要的公式。 例1-12

22、 求矢量場(chǎng)A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。 解： 矢量場(chǎng)A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度 zyxMeeeA2n方向的單位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM六、無(wú)源場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)六、無(wú)源場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng) 1、無(wú)源場(chǎng) 矢量場(chǎng)A中，在場(chǎng)域中的每一點(diǎn)處恒有：A =0性質(zhì)性質(zhì)1 1：無(wú)源場(chǎng)中穿過(guò)場(chǎng)域：無(wú)源場(chǎng)中穿

23、過(guò)場(chǎng)域V V中任一個(gè)矢量管的所有中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。（證明略）截面的通量都相等。（證明略）性質(zhì)性質(zhì)2 2：無(wú)源場(chǎng)存在矢勢(shì)：無(wú)源場(chǎng)存在矢勢(shì)由恒等式：0F（矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)）（矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)）可知存在一矢量場(chǎng)F滿足：AF F稱(chēng)為稱(chēng)為A的的矢勢(shì)矢勢(shì)=0A 2、無(wú)旋場(chǎng) 矢量場(chǎng)A中，在場(chǎng)域中的每一點(diǎn)處恒有：A =0性質(zhì)性質(zhì)1 1：無(wú)旋場(chǎng)中：無(wú)旋場(chǎng)中A A沿場(chǎng)域沿場(chǎng)域V V中任意閉合路徑中任意閉合路徑l l的的環(huán)量等于零。環(huán)量等于零。0LA dl性質(zhì)性質(zhì)2 2：無(wú)旋場(chǎng)必可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度無(wú)旋場(chǎng)必可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度由恒等式：由恒等式：可知存在一標(biāo)量場(chǎng)可知存在一

24、標(biāo)量場(chǎng) 滿足滿足：矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A稱(chēng)為位勢(shì)場(chǎng)，稱(chēng)為位勢(shì)場(chǎng)， 稱(chēng)為位函數(shù)稱(chēng)為位函數(shù)調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng)散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)。散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)。為調(diào)和場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)A的位函數(shù)，則有的位函數(shù)，則有22222220 xyz 上式稱(chēng)為拉普拉斯方程，滿足該方程的解且具有上式稱(chēng)為拉普拉斯方程，滿足該方程的解且具有兩階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)兩階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)如果矢量場(chǎng)僅為無(wú)旋場(chǎng)，則是兩場(chǎng)的位函數(shù)滿足如果矢量場(chǎng)僅為無(wú)旋場(chǎng)，則是兩場(chǎng)的位函數(shù)滿足泊松方程。泊松方程。如：2 0.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)F

25、 F在無(wú)限空在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和。數(shù)的旋度之和。Hymherze Theorem即在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及即在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。邊界條件惟一地確定。散度、旋度散度、旋度分別對(duì)應(yīng)通量分別對(duì)應(yīng)通量源密度和漩渦源密度源密度和漩渦源密度在無(wú)限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場(chǎng)，可表示為一

26、個(gè)無(wú)在無(wú)限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場(chǎng)，可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)旋場(chǎng)A1有散度有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)A2(有旋度有旋度)之和：之和： 12AAA其中：其中：120,0.AA121()AAAA122()JAAAA,J分為散度和旋度源，在電磁場(chǎng)中分別指電荷和電流分為散度和旋度源，在電磁場(chǎng)中分別指電荷和電流即散度和旋度源確定后，就相當(dāng)于確定了即散度和旋度源確定后，就相當(dāng)于確定了“源源”的分的分布布已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度 J 場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中確定一個(gè)場(chǎng)所須條件確定一個(gè)場(chǎng)所須條件0.6 特殊形式的電磁場(chǎng) 如果在垂直某

27、一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F= f（x，y），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1. 平行平面場(chǎng)Special Forms of Electromagnetic Field如無(wú)限長(zhǎng)帶均勻電荷直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。02. 球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng) 如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），場(chǎng) F 的分布都相同 ，即 F= f（r），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。 如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)；帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)。01.2 三種常用坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)三種常用坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置矢量的坐標(biāo)分量矢量的坐標(biāo)分量位置矢量位置矢量x

28、yzrxeyeze距離矢量距離矢量Rrrxx xyy yzz z()() ()Rrrxxyyzz()()()222( , , )( , , )( , , )x y zzr ),(),(),(rfzfzyxf)(rfPO1P2PO直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x,y,z),(z圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系020z柱坐標(biāo)系中任一點(diǎn)表示為 ，點(diǎn) 是三個(gè)坐標(biāo)曲面 ， ， 的交點(diǎn)。 ( , , )Mz 1111( , )Mz 111zz 直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系xyzzcossinxyyxzz22arctan),(r圓球坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系200

29、0 r直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓球坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓球坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系cossinsincossinrzryrxxyzyxzyxrarctanarctan22222z 垂直于垂直于Z軸及軸及 點(diǎn)組成的平面，沿點(diǎn)組成的平面，沿 增大一側(cè)的方向。增大一側(cè)的方向。),(z:z在在 點(diǎn)，平行與點(diǎn)，平行與Z軸的方向。軸的方向。),(zXYZ),(zPOr以以Z為軸，半徑為為軸，半徑為 的圓柱面在的圓柱面在 點(diǎn)的外法點(diǎn)的外法線方向。線方向。),(z:矢量場(chǎng)的圓柱坐標(biāo)系分量矢量場(chǎng)的圓柱坐標(biāo)系分量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量zxyzPz( , , ) o zxyoArA r()()ArA r(

30、)()ArA rzz()()cossinxysincosxy cossinxsincosy矢量場(chǎng)的圓柱坐標(biāo)系分量矢量場(chǎng)的圓柱坐標(biāo)系分量 矢量矢量 在在 點(diǎn)點(diǎn) 的直角坐標(biāo)分量與柱坐標(biāo)分量的轉(zhuǎn)換矩陣：的直角坐標(biāo)分量與柱坐標(biāo)分量的轉(zhuǎn)換矩陣：rAzyxzAAAAAA1000cossin0sincoszzyxAAAAAA1000cossin0sincos柱坐標(biāo)系的體積元ddd d dz 過(guò)空間任意點(diǎn)過(guò)空間任意點(diǎn) 的坐標(biāo)單位矢量的坐標(biāo)單位矢量為為 。它們相互正交，而且遵。它們相互正交，而且遵 循循 的右手螺旋法則。的右手螺旋法則。1111( , )Mz ,zaaazaaad 矢量場(chǎng)的圓球坐標(biāo)系分量矢量場(chǎng)的圓球坐標(biāo)系分量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量r 以以 半徑，原點(diǎn)為球心的球面在半徑，原點(diǎn)為球心的球面在 點(diǎn)的外法點(diǎn)的外法線方向。線方向。r),(r: r垂直于過(guò)垂直于過(guò)Z軸及軸及 點(diǎn)組成的平面，沿點(diǎn)組成的平面，沿 增大一側(cè)的方向。增大一側(cè)的方向。),(r:以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，Z為軸的圓錐在為軸的圓