第6章無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計A

1、第第6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計6.1 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者運算處

2、理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（低通濾波器（LP):Low pass filterLP):Low pass filter帶通濾波器帶通濾波器(BP):Bandpass filter(BP):Bandpass filter高通濾波器高通濾波器(HP):High pass filter(HP):High pass filter帶阻濾波器帶阻濾波器(BS):Bandstop filt

3、er(BS):Bandstop filter 1數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器總起來可以分成兩大類：總起來可以分成兩大類：6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻222222226 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖6.2.1 各種理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)

4、字濾波器的設計6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 10)()(NnnznhzH 1001)()()(NiiMiizazbzXzYzHiiFIRFIR濾波器濾波器IIRIIR濾波器濾波器數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應長度分兩類：數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應長度分兩類：6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計根據(jù)濾波器對信號的處理作用根據(jù)濾波器對信號的處理作用選頻濾波器選頻濾波器- -低通，帶通，高通，帶阻低通，帶通，高通，帶阻其他濾波器其他濾波器- -微分器，希爾伯特變換器，頻譜校正器微分器，希爾伯特變換

5、器，頻譜校正器 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻選頻濾波器。假濾波器。假設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示：用下式表示：()()()jjjH eH ee 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標數(shù)字濾波器的技術(shù)指標 式中，式中，|H(ej)|稱為稱為幅頻特性函數(shù)幅頻特性函數(shù); ()稱為稱為相頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)。幅頻特性幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而況，而相頻特性相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，延時情況。因此，即使

6、兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一樣的。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計對于圖對于圖6.1.2所示的各種理想濾波器，我們必須設所示的各種理想濾波器，我們必須設計一個計一個因果可實現(xiàn)的濾波器去近似實現(xiàn)因果可實現(xiàn)的濾波器去近似實現(xiàn)。另外，也要。另外，也要考慮復雜性與成本問題，因此實用中通帶和阻帶中都考慮復雜性與成本問題，因此實用中通帶和阻帶中都允許一定的允許一定的誤差容限誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶，即通帶不是完全水

7、平的，阻帶不是絕對衰減到零。此外，按照要求，在通帶與阻帶不是絕對衰減到零。此外，按照要求，在通帶與阻帶之間還應設置一定寬度的之間還應設置一定寬度的過渡帶過渡帶。 以低通為例。以低通為例。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計ps通帶阻帶過渡帶10112p1, 1)(1 ejH通通帶帶：)(lg20)()(lg200ppjwjwjpeHeHeH )(lg20)()(lg200ssjwjwjseHeHeH s2,)(ejH阻阻帶帶：阻帶阻帶應達到的最小衰減應達到的最小衰減 ： s 通帶通帶允許的最大衰減允許的最大衰減 ： p 實際中濾波器：實際中濾波器：當當=c,幅度

8、降到幅度降到 ，此時，此時 dB，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率通帶截止頻率。2/23p6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計pjjp0,dB| )e (|min| )e (|maxlg20HHdB|)e(|min|)e(|maxlg20jjsHH顯然，顯然， p 越越小小, 通帶波紋越通帶波紋越小小，通帶逼近誤差就越，通帶逼近誤差就越小??； s越越大大, 阻帶波紋越阻帶波紋越小小，阻帶逼近誤差就越，阻帶逼近誤差就越小??； p與與s間距越小間距越小, 過渡帶就越窄。過渡帶就越窄。所以低通濾波器的所以低通濾波器的設計指標設計指標完全由通帶邊界完全由通帶邊界頻率頻率

9、p、通帶最大衰減、通帶最大衰減 p 阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率s和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s確定。確定。片段常數(shù)特性：片段常數(shù)特性： 對于對于選頻選頻型濾波器，一般對通帶和阻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的帶內(nèi)的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求，只要求其波紋幅其波紋幅度小于某個常數(shù)度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性”。所謂所謂片段，是指片段，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻帶”，常數(shù)是指，常數(shù)是指“通帶波通帶波紋幅度紋幅度1”和和“阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2”，而通帶最大衰減，而通帶最大衰減 p和阻和阻帶最小衰減帶最小衰

10、減 s是與是與1和和2完全等價完全等價的兩個常數(shù)。的兩個常數(shù)。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計lIIR濾波器設計方法有間接法和直接法濾波器設計方法有間接法和直接法間接法間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。 設計步驟是：設計步驟是： 先先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后然后將將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。直接法直接法直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立

11、方程，設計時需要計算機輔助設計。方程，設計時需要計算機輔助設計。lFIR常用的設計方法有常用的設計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。紋逼近法。3 數(shù)字濾波器設計方法概述數(shù)字濾波器設計方法概述6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器、濾波器、切比雪夫切比雪夫(C

12、hebyshev)濾波器、濾波器、橢圓橢圓(Cauer)濾波器、濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。人員使用。 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖6.2.1 各種理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計lha(t)、a(s)、Ha(j)中任一個用于描述模擬濾中任一個用于描述模擬濾波器，三者的關(guān)系如下：波器，三

13、者的關(guān)系如下： l 但是設計模擬濾波器時，設計指標一般但是設計模擬濾波器時，設計指標一般由幅頻響由幅頻響應函數(shù)應函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設計是根據(jù)設計給出，而模擬濾波器設計是根據(jù)設計指標，求出指標，求出系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。再到。再到結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖即可。即可。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt 6.2.1模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計一、模擬濾波器描述一、模擬濾波器描述工程實際中通常用所謂的工程實際中通

14、常用所謂的損耗函數(shù)損耗函數(shù)（也稱為衰減函數(shù)）（也稱為衰減函數(shù)）A()來描述濾波器的幅頻響應特性，來描述濾波器的幅頻響應特性， 對歸一化幅頻響應函數(shù)對歸一化幅頻響應函數(shù), A()定義如下（其單位是分貝，用定義如下（其單位是分貝，用dB表示）：表示）： 2aa()20lg(j)10lg(j) dB 6.2.1AHH （） 損耗函數(shù)損耗函數(shù)A()和幅頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)|H(j)|只是濾波器幅頻響應特性只是濾波器幅頻響應特性的的兩種兩種描述方法。描述方法。損耗函數(shù)的優(yōu)點損耗函數(shù)的優(yōu)點:對幅頻響應對幅頻響應|Ha(j)|的取值的取值非線性壓縮非線性壓縮，放大了，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶

15、和阻帶頻響特性的變化情況。小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計模擬低通濾波器的模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)設計指標參數(shù)有有 p、p、 s和和sp和和s:分別稱為分別稱為通帶邊界頻率通帶邊界頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率p:通帶最大衰減通帶最大衰減 （即通帶（即通帶0，p中允許中允許A()的最大值）的最大值）s:阻帶最小衰減阻帶最小衰減 （即阻帶（即阻帶s上允許上允許A()的最小值的最小值6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應

16、數(shù)字濾波器的設計對于單調(diào)下降的幅度特性，對于單調(diào)下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成：2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H 2/1| )j (|caH3dB| )(|lg20cajH)1lg(201p2slg206 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù):)(2 jHa)( ,2jHasspp) s (aH濾波器設計：濾波器設計：jssHsHjHjHjHaaaaa)()()()()(*2)()()()(2sHsHsHjHaaaa 二、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)二、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

17、由于所設計的濾波器沖激響應都為實數(shù)，所以幅度平方函數(shù)由于所設計的濾波器沖激響應都為實數(shù)，所以幅度平方函數(shù): :1.幅度平方函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系幅度平方函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計334 j4j6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計j極極點點特特點點)()(.2sHsHaa 將左半面將左半面的極點的極點 歸歸于于右半面的右半面的的極點的極點 歸歸于于（3 3）按頻率特性確定增益常數(shù)。按頻率特性確定增益常數(shù)。下面是具體的設計。下面是具體的設計。 方方法法確確定定由由)()j(.32sHHaa )()()() 1

18、(222sHsHjHaasa 求求（2）分解分解 得到各零極點，將左半面的得到各零極點，將左半面的極點極點 歸于歸于 ，對稱的，對稱的零點任一半零點任一半歸歸 。若要求最小相位延時，若要求最小相位延時，左半面左半面的零點歸的零點歸 由由極點得系統(tǒng)函數(shù)。極點得系統(tǒng)函數(shù)。)()(sHsHaa )(sHa)(sHa)(sHa6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示： 圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系6.2.2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法巴特沃斯低通濾波器的設計方

19、法 (6.2.6) 221()1()aNcHj隨著階次隨著階次N N的增加，通帶的增加，通帶越平坦，越接近理想的越平坦，越接近理想的特，特，N ，逼近矩形，逼近矩形.6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計一、幅度平方函數(shù)一、幅度平方函數(shù)1.1.巴特沃斯模擬低通濾波器設計原理巴特沃斯模擬低通濾波器設計原理 將幅度平方函數(shù)將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函數(shù)有此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點個極點，極點sk用下式表示：用下式表示：1121()222( 1)()k1

20、,21kjNNkccsjeN 0,(6.2.8) 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計二、巴特沃斯二、巴特沃斯filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)確定的系統(tǒng)函數(shù)確定方法方法1 1: :) s (H) s(H) s (H)j (Haaa2a 圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 為形成穩(wěn)定的濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取個極點中只取s平面左半平面左半平面的平面的N個極點構(gòu)成個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的，而右半平面的N個極點構(gòu)成個極點構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為的表

21、示式為10( )()NcaNkkHsss設設N=3，極點有，極點有6個，它們分別為個，它們分別為6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計22330121133345jjcccjjcccsessesesse 取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHsssese6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計101( /)()acNkkccG sss(6.2.11) 101( )()aNkkGppp(6.2.12) 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有由于各濾波器的幅頻特性不同，

22、為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率截止頻率c歸一化歸一化，歸一化，歸一化后的后的Ha(s)表示為表示為 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計式中，式中，pk=sk/c, 為為歸一化極點歸一化極點令令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率稱為歸一化頻率， p稱為歸稱為歸一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為方法方法2 2: 由歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)獲得由歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)獲得)(sHa 這樣，只要根據(jù)這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標求出階數(shù)技術(shù)指標求出階數(shù)

23、N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N個極點個極點，再按照，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)，如果如果給定給定c，再去歸一化再去歸一化。).(132611021221 ,N,k epNkjkc(6.2.14)kksp6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計顯然顯然,cpasppGsH )()(將極點表示式將極點表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的分母的分母是是p的的N階多項式，用下式表示：階多項式，用下式表示： 歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)的系

24、數(shù)bk，k=0，1，N1，以及，以及極點極點pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出得到。另外，表中還給出了了Ga(p)的因式分解形式中的的因式分解形式中的各系數(shù)各系數(shù)，這樣只要求出，這樣只要求出階數(shù)階數(shù)N，查表可得到查表可得到Ga(p)及各極點及各極點, 而且可以選擇級聯(lián)型和直接型而且可以選擇級聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運算工作。結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運算工作。a1212101( )(6.2.15)NNNNNGppbpbpb pb6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參

25、數(shù) 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計巴特沃斯濾波器的設計實質(zhì)：根據(jù)設計指標求階數(shù)巴特沃斯濾波器的設計實質(zhì)：根據(jù)設計指標求階數(shù)N和和3 dB截截止頻率止頻率c的過程的過程。(6.2.16) 10/2cpp101N6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計1 .1 .階數(shù)階數(shù)N N的確定方法的確定方法三三. .巴特沃斯濾波器的階數(shù)巴特沃斯濾波器的階數(shù)N N和截止頻率和截止頻率cc確定確定將將=p代入幅度

26、平方函數(shù)中，再由代入幅度平方函數(shù)中，再由 得到：得到：2pap10lg|(j)|H 階數(shù)階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標p、 p、s和和 s確定。確定。sp/10s/10p101101N由由(6.2.16)和和(6.2.17)式得到：式得到： 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計2sas10lg|(j)|H 將將=s代入代入幅度平方函數(shù)中，再由代入代入幅度平方函數(shù)中，再由 得：得：/1021 ()10saNsc(6.2.17) 令 (

27、6.2.18a) sspp(6.2.18b) sp/10sp/10101101k則則N由下式表示：由下式表示： (6.2.18c) spsplglgkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于等于可能有小數(shù)部分，應取大于等于N的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計10.1210.12(101)(101) psaNcpaNcs(6.2.19)(6.2.20) 關(guān)于關(guān)于3dB截止頻率截止頻率c，如果技術(shù)指標中沒有給出，按照，如果技術(shù)指標中沒有給出，按照下二式：下二式： 請請注意注意，如果采用，如果采用(6.2.19)式確定式確定c，

28、則通帶指標剛好滿，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余；足要求，阻帶指標有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式確定式確定c，則，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余。阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計2 .2 .截止頻率截止頻率cc的確定方法的確定方法/1021()10saNsc10/2cpp101N可得：四四. .低通巴特沃斯濾波器的設計步驟低通巴特沃斯濾波器的設計步驟 (1)根據(jù)技術(shù)指標根據(jù)技術(shù)指標p,p,s和和s，求出濾波器的階數(shù)，求出濾波器的階數(shù)N。(2) 求截止頻率求截止頻率c(3)求出歸一化極點求出歸

29、一化極點pk，得到歸一化傳輸函數(shù)，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (4)將將Ha(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ha(p)，得到實際的濾波，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)器傳輸函數(shù)Ha(s)。 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計例例6.2.1 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上，按照以上技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。解解 (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。 0.10.11010.02

30、4210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 (2) 求極點3455016523754,jjjjjsesesesese歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。在一起，形成因式分解形式。這里不如這里不如直接查表直接查表6.2.1簡單，由簡單，由N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 極點：

31、-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式 中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23616 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 (3) 為將為將Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB截止頻率截止頻率c。 按照按照(6.2.19)式，得到：式，得到：10.12(101)25.2755/ paNcpkrad s將將c代入代入(6.2.20)式，得到：式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：5542332

32、45432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.12(101)210.525/ saNsckrads6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計此時此時算出的算出的比題目中給的比題目中給的s小小，因此，過渡帶小于指，因此，過渡帶小于指標要求。或者說，在標要求?；蛘哒f，在s=212 krad/s時衰減大于時衰減大于30 dB，所以，所以說阻帶指標有富余量。說阻帶指標有富余量。s2. 2. 用用MATLABMATLAB工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯

33、濾波器設計函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: （6.2.21）a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A,可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù) B, A=zp2tf(Z, P, K)。2） N,

34、 wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率（對應模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當wswp時，為高通濾波器； 當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As

35、, s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。4） B, A=butter(N, wc, ftype)計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于歸一化），一般按格式2）調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)z5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波