離子在固體中的射程理論

1、第五章 載能離子在固體中的射程和射程分布 前面幾章我們討論了帶電粒子在固體中的碰撞過程、核阻止本領(lǐng)及電子阻止本領(lǐng)，它們是研究帶電粒子與固體相互作用過程的根底。本章我們將討論載能離子在固體中的射程和射程分布。5.1 射程的概念 由前面幾章的討論可以知道，對于具有一定初始能量的入射離子，當它在固體中穿行時，將不斷地同固體中的原子進行一系列的彈性和非彈性碰撞，并逐漸地損失其能量，最終將停止在固體內(nèi)部。由于離子在同靶原子碰撞時不斷地改變其飛行方向，所以它在固體中的軌跡不是一條直線，而是一條折線，如圖5.1所示。離子在固體中實際穿行的路程稱為總射程，用表示。然而，在實驗中不是一個可以直接測量的物理量。通

2、常，人們引入投影射程這個可測的物理量來描述離子在固體中的穿行深度。的定義為離子的總射程在其入射速度方向的投影，見下列圖。除了總射程和投影射程，在理論研究中，有時人們還引入橫向射程這個概念，其定義為=+。 外表 離子 x 圖5.1 離子在固體中的射程示意圖。 很顯然，投影射程的大小與離子在很顯然，投影射程的大小與離子在固體中的能量損失狀況有關(guān)，即與核阻止本領(lǐng)和電子阻止本領(lǐng)有關(guān)。我們知道：離子同固體中的原子碰撞時過程隨機的，因此離子在每次碰撞中它飛行速度的偏轉(zhuǎn)方向及能量損失均是隨機的。這樣，即使對同一入射能量的不同離子它們在固體中的穿行深度是不同的。一般地，離子在固體中的終止位置即穿行深度在其入射

3、方向上是有一定空間分布的。投影射程即為分布函數(shù)的最大值。分布函數(shù)的形狀取決于它的矩。它的一階矩 (5.1-1)即為投影射程，而它的二階矩定義為 (5.1-2)有時稱為射程偏離。 在1963年，J. Lindhard，M. Scharff 和 H. Schiott采用了一種統(tǒng)計的方法來描述離子在固體中的傳輸過程，并給出了一個積分-微分形式的離子射程方程，一般簡稱LSS射程理論。不過本章我們不是按照LSS的原始方法來建立射程方程，而是從Boltzmann輸運方程出發(fā)，較為嚴格地推導出離子的射程方程。另外，Biersack和Ziegler (1982)采用投影射程代數(shù)法建立了一個微分形式的射程方程，

4、稱其為BZ射程理論。除了上述兩種理論外，人們還可以采用計算機模擬方法，如蒙特卡羅方法，來研究離子在固體中的射程分布。首先我們介紹一種計算射程的簡單方法。5.2射程的簡單估算 我們知道一初始能量為的離子在固體中運動時沿著它路徑方向上的能量損失可以用電子阻止本領(lǐng)和核阻止本領(lǐng)來描述，即 (5.2-1) 其中 和分別是核阻止截面和電子阻止截面，是固體原子的密度。這樣，離子在固體的總射程可以表示為 (5.2-2) 這樣，我們一旦知道了核阻止截面和電子阻止截面，即可以由上式計算出離子在固體中的總射程。核阻止截面可以由3.4-6或3.-47式給出，而電子阻止截面可以由LS公式 見4.4-9式 如果入射離子的

5、能量不是太高，例如約化能量 時，電子阻止本領(lǐng)的值較小，與核阻止本領(lǐng)相比可以略去不計。這時總射程可以表示成為 (5.2-3) 作為一種簡單的估算，我們采用冪級指數(shù)勢給出的核阻止本領(lǐng)見第三章 (5.2-4) 來計算射程，其中為常數(shù) (5.2-5) 將(5.2-4) 式代入(5.2-3) 式，可以得到總射程為 (5.2-6) 可見離子的射程隨入射能量的增加而增加。對于，可以選擇參數(shù)及的值為， 。作為一個例子，100 keV 的氬離子入射到中，可以估算出總射程為。 對于重離子入射，散射角較小，這時投影射程與總射程的關(guān)系可以近似地表示為 (5.2-7) 同樣，射程偏離可以近似地寫成 (5.2-8) 對投

6、影射程及射程偏離的嚴格計算將在如下幾節(jié)詳細地討論。5.3 LSS射程理論一輸運方程的建立 為了便于討論，我們做如下假設(shè)：1忽略固體的晶體結(jié)構(gòu)效應(yīng)對離子射程的影響，即靶是一種非晶靶。在一般的情況下，只要入射離子不是沿著某一晶軸或晶面進入固體，這一假設(shè)是能夠滿足的；2在離子與靶原子碰撞過程中，認為靶原子在碰撞前后是近似不動的，即靜態(tài)靶；3離子同靶原子的相互作用可以分為同靶原子核的彈性碰撞過程和同核外電子的相互作用過程，這兩個過程是相互獨立的，且前者可以用二體碰撞理論來描述，而后者可以用電子阻止力來描述。 根據(jù)假設(shè)1和3，我們可以采用Boltzmann輸運方程來描述離子在固體中的傳輸過程。設(shè)時刻在點

7、發(fā)現(xiàn)離子的幾率函數(shù)為，它在時空中的演化遵從如下Boltzmann方程 ( 5.3-1 其中 是電子阻止力；分別是離子在碰撞前后的動量；是靶原子的分布函數(shù)，是靶原子在碰撞前后的動量；是離子同靶原子的相對速度，是入射離子同靶原子核碰撞時的微分散射截面，是質(zhì)心系中的散射角。根據(jù)假設(shè)2，在碰撞前后靶原子的分布函數(shù)可以寫成 ( 5.3-2 其中是靶原子的密度。利用( 5.3-2式，方程可以簡化成為 ( 5.3-3阻止力可以寫成，其中是電子阻止截面，是離子的能量，所以有。為了進一步地簡化問題的討論，我們可以假設(shè)固體為一無限大的平板，離子的初始速度方向沿著軸方向。這樣方程 ( 5.3-3又可以簡化成 ( 5

8、.3-4這就是入射離子在固體中的輸運方程。二矩方程及投影射程方程 我們可以看出：盡管在一維模型下，方程( 5.3-4仍是一個關(guān)于時間、位置及動量的積分-微分方程，它包含的信息太多，而實際上我們最感興趣的是離子的射程隨能量的變化。為此，需要對方程 ( 5.3-4做進一步地簡化情況。 首先除去時間變量。將方程( 5.3-4兩邊對時間積分，并利用條件，可以得到如下方程 ( 5.3-5 其中 為離子的通量。引入速度的偏轉(zhuǎn)角，即, 那么變量可以用能量和偏轉(zhuǎn)角來代替。這樣方程( 5.3-5可以變成 ( 5.3-6其中為反沖原子得到的能量，是離子在碰撞后的速度偏轉(zhuǎn)角。在方程( 5.3-6中，我們已經(jīng)利用了關(guān)

9、系式將雙變量的微分散射截面用單一變量的微分散射截面來表示。的形式已在第四章中給出。方程( 5.3-6稱為離子的通量輸運方程。 其次，消去偏轉(zhuǎn)角。將通量函數(shù)按勒讓德函數(shù)展開 (5.3-7 其中為展開系數(shù)。將( 5.3-7式代入方程( 5.3-6，并利用勒讓德函數(shù)的正交歸一性條件，可以得到 (5.3-8 其中為反沖原子得到的最大能量，為實驗坐標系中的散射角。根據(jù)3.1-7式，可以將散射角用離子的能量及反沖原子的能量來表示 ( 5.3-9 最后，將變量除去。引入的矩函數(shù) ( 5.3-10 那么方程( 5.3-8可以寫成 ( 5.3-11 這就是射程的矩方程。我們在引入矩函數(shù)時，已假定函數(shù)隨著增加而下

10、降，且下降的速度要比快。另外，根據(jù)函數(shù)的歸一性，有 ( 5.3-12在方程 ( 5.3-11中，的取值范圍為。 我們看到，通過求解方程 ( 5.3-11，可以得到任意階的矩函數(shù)。但實際上我們最感興趣的是一些低階矩函數(shù)，因為它們直接與離子在固體中的平均投影射程和縱向射程偏離有關(guān)。所謂的投影射程就是離子在固體中穿行的路徑在其入射速度方向上的投影，即離子注入到固體內(nèi)部的平均深度。借助于幾率函數(shù)，可以定義平均投影射程為 (5.3-13)其中利用了 可以從方程(5.3-11)看出 ?？梢钥吹?，平均投影射程僅與一階矩函數(shù)有關(guān)。根據(jù)矩方程 ( 5.3-11，可以得出所滿足的方程為 (5.3-14)這就是所謂

11、的平均投影射程方程。如果假設(shè)散射角為零，那么方程(5.3-14) 即為總射程所遵從的方程。 同樣，射程偏離也可以用矩函數(shù)來表示。的定義為 (5.3-15) 其中，?？梢娚涑唐x僅與一階矩函數(shù)和二階矩函數(shù)有關(guān)。引入積分-微分算子 (5.3-16) 那么由方程 ( 5.3-11，很容易得到所滿足的方程分別為 (5.3-17)由此可以得到所滿足的方程為 (5.3-18)這樣通過求解方程 (5.3-14) 和 (5.3-18)，即可以得到縱向偏離的值。方程 (5.3-14) 和 (5.3-18) 分別是一階矩和二階矩所滿足的方程，它們都是非齊次的積分-微分方程。類似地還可以得到更高階矩所滿足的方程。三

12、投影射程方程的解 下面我們討論平均投影射程方程 (5.3-14) 的求解方法。由于該方程是一個積分-微分方程，直接進行數(shù)值求解很不方便。在一般的情況下，只要入射離子的質(zhì)量和靶原子的質(zhì)量不是太接近，那么反沖原子得到的能量要小于入射離子的能量，即。這樣我們可以將方程 (5.3-14) 左邊的積分項中的做關(guān)于小量的展開 (5.3-19)將其代入方程 (5.3-14)， 可以得到 (5.3-20) 其中 (5.3-21) (5.3-22) (5.3-23)方程(5.3-20)的邊界條件為。 可以采用逐級迭代的方法求解方程 (5.3-20)。把投影射程寫成一階近似項和高階修正項之和，即 (5.3-24)

13、在一階近似下，有，將其代入方程 (5.3-20)，并略去二階求導項，那么滿足的方程為 (5.3-25) 這是一個簡單的一階微分方程，很容易得到其解為 (5.3-26) 很容易看出，當時，上式退化為總射程的表示式 (5.2-2)。 考慮到二階修正項，可以將投影射程寫成，將其代入方程 (5.3-20)，并略去含有二階導數(shù)包含二階以上的項和含有三階導數(shù)包含三階以上的項，那么得 (5.3-27)由此可以得到 (5.3-28) 其中 (5.3-29) 這樣依此類推，可以求出三階修正項，四階修正項。修正到多少項為止取決于級數(shù)(5.3-19)的收斂速度。5.4 BZ投影射程理論 前面我們已經(jīng)看到，在LSS射

14、程理論中，投影射程方程是一個積分微分方程，不僅該方程的建立過程較為繁雜，而且其數(shù)值求解也不太方便，尤其是要輸入核碰撞的微分散射截面。核碰撞微分散射截面是一個微觀量，只能通過理論計算得到，其精確度如何取決于相互作用勢的選取以及計算過程中所采用的近似，由它計算出的射程將會帶來一定的誤差。而Biersack和Ziegler 等人采用投影射程代數(shù)法建立的投影射程理論，不僅在數(shù)學處理上簡單，而且該理論僅依賴于核阻止截面和電子阻止截面。因為核阻止截面和電子阻止截面都是宏觀量，可以通過實驗測量而確定。因此，由這種射程理論給出的投影射程與實驗測量值符合得較好。 我們知道當入射離子在固體中運動時，由于它不斷地同

15、固體中的原子發(fā)生碰撞，其運動方向也將不斷地偏轉(zhuǎn)。離子同靶原子的碰撞是隨機的，其速度的偏轉(zhuǎn)方向也是隨機的。因此離子在固體中的運動類似于布朗 (Brown) 運動。用表示離子的速度偏轉(zhuǎn)角，即速 外表 離子 圖5.2 離子在固體中速度偏轉(zhuǎn)的示意圖。度方向與初始入射方向軸的夾角，那么每次碰撞后的偏轉(zhuǎn)角是一系列的隨機量，如圖5.2。令，那么是區(qū)間-1，1中的隨機量。我們知道隨機量的分布函數(shù)應(yīng)服從角度空間的擴散方程 (5.4-1)其中為擴散系數(shù)，為角度空間的拉普拉斯算符 (5.4-2) 我們的目的不是求出分布函數(shù)的具體形式，而是要知道隨機量的平均值。將方程 (5.4-1) 同乘以，并對進行積分，那么得到

16、(5.4-3) 其中為新的擴散系數(shù)。在給出(5.4-3) 式時，我們已經(jīng)利用了初始條件。 下面我們確定擴散系數(shù)與離子能量損失之間的關(guān)系。根據(jù)布朗運動中的Einstein 關(guān)系，應(yīng)有 (5.4-4)其中為相鄰兩次碰撞偏轉(zhuǎn)角的差。由圖5.2可以看出，即為第次碰撞的實驗系中的散射角，因此可以將(5.4-4)式寫成 (5.4-5)根據(jù)第二章的討論可以知道，實驗系中的散射角與質(zhì)心系中的散射角有如下關(guān)系 (5.4-6)在小角散射近似下，有。這樣又可以將(5.4-5)式表示成為 (5.4-7)另一方面，我們知道在每一次碰撞過程中，靶原子從入射離子中得到的能量為 (5.4-8)結(jié)合(5.4-7)式和(5.4-

17、8)式，又可以將表示成 (5.4-9)其中，是由于核碰撞而造成的能量損失。由前面幾章的討論可以知道，入射離子的能量損失正比于阻止截面，即，其中為總能量損失，為總阻止截面。我們最后得到 (5.4-10)其積分形式為 (5.4-11)這樣我們就將擴散系數(shù)同阻止截面聯(lián)系起來了。我們應(yīng)當注意到，在以上的討論中已經(jīng)采用了小角散射近似。嚴格地說，這種近似對重離子注入輕原子靶比擬有效。實際上，在前面的LSS射程理論中，所使用的微分散射截面就是在小角散射近似條件下得到的。 由圖5.2可以看出，在相鄰兩次碰撞之間離子的徑跡在軸上的投影為，那么平均投影射程應(yīng)為 (5.4-12)其中離子穿行的路徑元與總阻止本領(lǐng)的關(guān)

18、系為。利用(5.4-3)式，那么平均投影射程又可以寫成 (5.4-13)由此可以看出，一旦我們知道離子在固體中的阻止本領(lǐng)和，直接對(5.4-13)式進行積分并利用(5.4-12)，即可以得到平均投影射程的值。 (5.4-13)式為平均投影射程的積分表示式。然而在實際數(shù)值計算中，直接采用這種積分形式來計算平均投影射程并不是一種較為簡單的方法，因為在 (5.4-13)式的積分項中也是由一個積分式給出的。下面我們建立平均投影射程所滿足的微分方程。將(5.4-13)式兩邊對微分，那么得到 (5.4-14)再根據(jù)(5.4-11)式，有。再利用 (5.4-15)及的積分形式(5.4-13)，即可以得到如下

19、微分方程 (5.4-16)這就是平均投影射程的微分方程，利用其邊界條件。可以證明，在現(xiàn)在的理論模型中，射程偏離可以由如下方程給出 (5.4-17) (5.4-18)其中，為橫向偏離。 圖5.3 離子在硅靶中的平均投影射程和縱向偏離，其中實線和虛線分別是由BZ射程理論給出的平均投影射程和縱向偏離的值， 和 為實驗測量結(jié)果， 和為用蒙特-卡羅模擬的結(jié)果。 由此可以看出，與LSS射程理論相比，在BZ射程理論中平均投影射程方程及縱向偏離所滿足的方程均為一階微分方程。采用差分迭代的方法，可以很容易地計算出平均投影射程及縱向偏離的值。此外，在現(xiàn)在的理論模型中，無需知道核微分散射截面的形式，只要知道核阻止截

20、面和電子阻止截面的值，就可以計算出平均投影射程及縱向偏離。圖5.3顯示出氦離子在硅靶中的平均投影射程和射程偏離的值。 前面對投影射程的討論是對單元靶進行的。而對于復(fù)合靶，設(shè)每種組分的原子質(zhì)量為 (I=1, 2, )，將方程(5.4-16)中的替換成，其中并利用阻止截面的線性迭加原理，即Bragg規(guī)那么，那么仍可以利用方程(5.4-16)計算離子在復(fù)合材料中的平均投影射程。不過Bragg規(guī)那么是一種近似方法。僅對金屬化合物，用這種方法給出的阻止截面值與實驗測試值符合得較好，而對其它化合物，如氧化物 ，那么符合得較差。這時必須考慮化學鍵效應(yīng)。5.5 離子在固體中濃度分布前面兩節(jié)我們分別介紹了兩種不

21、同的射程理論，由此可以計算出離子在固體材料中的平均投影射程 及射程偏離。特別是利用LSS射程理論，原那么上可以計算出任意階的矩函數(shù)，進而可以構(gòu)造出任意的矩函數(shù)。在數(shù)學上可以嚴格地證明，離子在固體中的濃度分布可以用矩函數(shù)來構(gòu)造。特別是在低劑量離子注入情況下，如果忽略了固體的晶體效應(yīng)，那么離子的濃度分布可以簡單地由低階矩和來構(gòu)造，即 (5.5-1)其中為離子的注入劑量。 由 (5.5-1)式給出的離子的濃度分布為一簡單的高斯分布，且在處離子的濃度最大 (5.5-2) 考慮100 keV 的注入Fe中，可以算得離子的平均投影射程為，縱向偏離為。如果注入劑量為，那么離子在固體中的最大濃度為 。鐵的原子

22、密度為，那么有。因此在一般的離子束材料外表改性工藝包括等離子體源離子注入技術(shù)中，注入離子在固體中的濃度遠低于固體的原子密度。 在高劑量注入的情況下，離子的濃度分布將對高斯分布(5.5-2)式有所偏離。這樣一來必須考慮高階矩帶來的修正。如果三階矩的值遠小于的值，那么可以采用如下雙高斯分布來逼近離子的濃度分布，即 (5.5-3) (5.5-4)其中， 及由如下方程組確定： (5.5-5) (5.5-6) (5.5-7)在 (5.5-3)和(5.5-4)式中，常數(shù)可以由離子的注入劑量來確定 (5.5-8) 如果三階矩的值大于的值，那么需要考慮四階矩帶來的修正。這時可以采用所謂的埃及華斯Edgewor

23、th分布來逼近離子的濃度分布 (5.5-9) 其中， (5.5-10) 為高斯分布，由條件確定。5.6 離子與固體相互作用過程的Monte-Carlo機模擬 在前面幾節(jié)，我們采用了解析的方法研究了離子與固體的相互作用過程，即離子的射程和濃度分布。在這一章，我們將借助于計算機模擬來研究離子在固體中的慢變和散射過程。目前主要有兩種不同的計算機模擬方法用于研究離子與固體的相互作用過程：一種是蒙特卡羅Monte-Carlo，簡稱MC方法，另一種是分子動力學molecular dynamics，簡稱MD方法。MC方法是建立在二元碰撞根底之上的，主要適用于模擬能量在以上的離子在固體中的散射過程，而MD方法

24、那么是建立在多體相互作用根底之上的，適用于低能離子能量在左右在固體中的慢變過程。與前面的解析理論相比擬，用MC方法研究離子與固體的相互作用過程有許多優(yōu)點：MC方法能使我們以較嚴格的方法處理彈性散射過程，同時還能給出離子的角分布和能量分布。此外，MC方法還能模擬離子在非均勻靶中的慢變過程，而解析方法那么無能為力。 在過去幾十年中，已建立了許多用于模擬離子與固體相互作用過程的MC程序，這些MC程序的主要差異在于對彈性散射過程的處理及所使用的電子阻止本領(lǐng)。目前較為流行的MC程序是由 Biersack，Ziegler 和Littmark等人1980；1985建立的TRIMTransport of Io

25、ns in Matter程序。本節(jié)我們將對TRIM 程序中如何處理散射過程、計算電子阻止本領(lǐng)以及跟蹤離子的運動歷史等問題做以簡單地介紹。 在TRIM程序中，采用了如下根本假設(shè)：1固體是一個非晶靶，即原子在靶中的排列是隨機的；2入射離子同固體中單個原子的相互作用被看成是一個二體碰撞過程，忽略周圍原子的影響；3核散射和電子阻止被認為是兩個獨立的過程。TRIM程序可以處理離子在三維空間中的慢變過程。但為了簡化問題，在如下討論中我們將假設(shè)靶是一個半無限大的平板，離子的入射方向沿軸。 我們知道離子在慢變過程中，將不斷地同固體中的原子發(fā)生碰撞。離子同靶原子每碰撞一次，它的能量位置，速度的偏轉(zhuǎn)方向及能量均發(fā)

26、生變化。因此，可以用，及三個量來確定離子在固體中的運動歷史： (5.6-1) 設(shè)離子在相鄰兩次碰撞之間飛行的距離為，即碰撞自由程，那么離子在次碰撞時的位置為 (5.6-2)利用球面三角函數(shù)的公式，離子在次碰撞時其速度的偏轉(zhuǎn)角為 (5.6-3) 其中 為實驗坐標系中的散射角，為速度的方位角。在次碰撞時，離子的能量為 (5.6-4) 其中為核碰撞時產(chǎn)生的能量損失，為電子阻止產(chǎn)生的能量損失。 由次可見，為了知道離子在固體中的歷史，首先要確定出離子的碰撞自由程、實驗坐標系中的散射角、速度的方位角、核碰撞時的能量損失 和電子阻止引起的能量損失等物理量。下面分別確定之。碰撞自由程確實定。設(shè)固體的原子密度為，那么碰撞自由程應(yīng)小于或等于固 體中原子之間的平均距離。另外，我們知道離子在每次同靶原子碰撞時是隨機的，因此應(yīng)是一個隨機量。這樣可以將表示成 (5.6-