平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性

1、隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組1.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性 平穩(wěn)性：若一個函數(shù)平穩(wěn)性：若一個函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) ， 的的特性不變特性不變，就稱，就稱 關(guān)于關(guān)于函數(shù)是平穩(wěn)的。函數(shù)是平穩(wěn)的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx對確定函數(shù)來說：特性不變指函數(shù)值不變。對確定函數(shù)來說：特性不變指函數(shù)值不變。對隨機(jī)過程來說：特性不變指統(tǒng)計特性不變，對隨機(jī)過程來說：特性不變指統(tǒng)計特性不變， 且僅僅對時間變量且僅僅對時間變量t而言。而言。分類分類嚴(yán)格平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn)寬平穩(wěn)（廣義平穩(wěn)）寬平穩(wěn)（廣義平穩(wěn)）1隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組2 隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)

2、兩大類隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類, , 嚴(yán)格地說嚴(yán)格地說, , 所有信號都是非平穩(wěn)的所有信號都是非平穩(wěn)的, , 但是但是, , 平穩(wěn)信號的分析要容平穩(wěn)信號的分析要容易得多易得多, , 而且在電子系統(tǒng)中而且在電子系統(tǒng)中, , 如果產(chǎn)生一個隨機(jī)過程如果產(chǎn)生一個隨機(jī)過程的主要物理條件在時間的進(jìn)程中不改變的主要物理條件在時間的進(jìn)程中不改變, , 或變化極小或變化極小, , 可以忽略可以忽略, , 則此信號可以認(rèn)為是平穩(wěn)的則此信號可以認(rèn)為是平穩(wěn)的. . 如接收機(jī)的如接收機(jī)的噪聲電壓信號噪聲電壓信號, , 剛開機(jī)時由于元器件上溫度的變化剛開機(jī)時由于元器件上溫度的變化, , 使得噪聲電壓在開始時有一段

3、暫態(tài)過程使得噪聲電壓在開始時有一段暫態(tài)過程, , 經(jīng)過一段時經(jīng)過一段時間后間后, , 溫度變化趨于穩(wěn)定溫度變化趨于穩(wěn)定, , 這時的噪聲電壓信號可以這時的噪聲電壓信號可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。認(rèn)為是平穩(wěn)的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組3 一一 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程1 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程(Strictly Stationary Process)(1) 定義定義 如果隨機(jī)過程的如果隨機(jī)過程的任意任意n n維分布維分布不隨時間起點不隨時間起點變化，即當(dāng)時間平移時，其任意的變化，即當(dāng)時間平移時，其任意的n n維概率密度維概率密度不變，則稱是不變，則稱是嚴(yán)（格）平穩(wěn)的隨機(jī)過程嚴(yán)（格）平穩(wěn)的

4、隨機(jī)過程 或稱為或稱為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 ),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf實際應(yīng)用中，通過上式來判定過程的平穩(wěn)性是很不容易的，因?qū)嶋H應(yīng)用中，通過上式來判定過程的平穩(wěn)性是很不容易的，因此在實際中往往不需要所有時間都平穩(wěn)，只要此在實際中往往不需要所有時間都平穩(wěn)，只要觀測的有限時間觀測的有限時間平穩(wěn)就行了。平穩(wěn)就行了。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組4(2) 特性特性 一階平穩(wěn)一階平穩(wěn)(n=1) 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)時間無關(guān)),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf111111( ,)(

5、 , )( ,0)( )XXXXfx ttfx tfxfx時，對于一維概率密度有：時，對于一維概率密度有：11,ntt 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組522222( )( )( )( )( )()( )XXXXXXXE X txfx dxmE Xtx fx dxD X txmfx dx 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的的均值均值，均方值均方值和和方差方差都是平穩(wěn)的都是平穩(wěn)的都與時間都與時間t無關(guān)無關(guān)隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組6),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf二階平穩(wěn)二階平穩(wěn)(n=2) 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度只與嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度只與 t1, t

6、2的的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。 時，二維概率密度：時，二維概率密度：12121212122112( , , )( ,)( ,0,)( , )XXXXfx x t tfx x tt ttfx xttfx x1212,ntttt 從概率密度函數(shù)的角度講，高階平穩(wěn)一定低階平穩(wěn)從概率密度函數(shù)的角度講，高階平穩(wěn)一定低階平穩(wěn)隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組7121212( , , )( , )XXfx x t tfx x都與時間無關(guān)都與時間無關(guān)1212122112121212( , )( ,;)( ,; )( )XXXXRt tx x fx x tt dx dx

7、x x fx xdx dxR 1212122( ,)( ,)( )( )( )( )XXXXXXxKt tRt tmt mtRmK隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)都是都是平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。若若 ，則，則21tt22(0)(0)XXXXKRm隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組8隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組9(3) 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的判斷嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的判斷 按照嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義，判斷一個隨機(jī)過程按照嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義，判斷一個隨機(jī)過程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求維概率密度，可是求n維維概率密度是比較困難

8、的。不過，如果有一個反例，就概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個：可以判斷某隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個：1) 1) 若若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則為任意正整數(shù)，則 與時間與時間t t無關(guān)。無關(guān)。 )(tXEk2) 2) 若若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對于任一時刻為嚴(yán)平穩(wěn)，則對于任一時刻t0 ， X(t0)具具 有相同的統(tǒng)計特性。有相同的統(tǒng)計特性。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組10 實際中，要確定一個對一切實際中，要確定一個對一切n都成立的隨機(jī)過都成立的隨機(jī)過 程概率密程概率密度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中

9、往往根據(jù)實際需要只度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中往往根據(jù)實際需要只在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮平穩(wěn)過程問題。在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮平穩(wěn)過程問題。 相關(guān)理論：只限于研究隨機(jī)過程一階和二階矩的理論。相關(guān)理論：只限于研究隨機(jī)過程一階和二階矩的理論。即研究隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度等。即研究隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度等。 隨機(jī)過程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù)隨機(jī)過程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù)那樣全面的描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，但它們在一定程度上那樣全面的描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，但它們在一定程度上相當(dāng)有效的描述了隨機(jī)過程的重要特性。相當(dāng)有效的描述了隨機(jī)過

10、程的重要特性。 （1 1）平穩(wěn)隨機(jī)過程表示噪聲電壓，）平穩(wěn)隨機(jī)過程表示噪聲電壓，一、二矩函數(shù)可以一、二矩函數(shù)可以表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參數(shù)。數(shù)。 （2 2）工程中常見的隨機(jī)過程是高斯過程，只要知道數(shù)）工程中常見的隨機(jī)過程是高斯過程，只要知道數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組112 寬寬(廣義廣義)平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(Weakly Stationary Process)XXmtm)()()(22tXEtX若隨機(jī)過程若

11、隨機(jī)過程X(t)滿足滿足1212( , )( )( )( )XXRt tE X t X tR則稱則稱X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系： 嚴(yán)格平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定一定不一定不一定當(dāng)隨機(jī)過程滿足高斯分布時，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價的。當(dāng)隨機(jī)過程滿足高斯分布時，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組12為什么要研究寬平穩(wěn)隨機(jī)過程為什么要研究寬平穩(wěn)隨機(jī)過程? 隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類, , 嚴(yán)格地嚴(yán)格地說說, , 所有信號都是非平穩(wěn)的所有信號都是非平穩(wěn)的,

12、, 但是但是, , 在在自然界和實自然界和實際應(yīng)用中許多隨機(jī)過程可以近似為平穩(wěn)信號際應(yīng)用中許多隨機(jī)過程可以近似為平穩(wěn)信號。且平。且平穩(wěn)信號分析要容易得多，穩(wěn)信號分析要容易得多，理論成熟理論成熟，是隨機(jī)信號分，是隨機(jī)信號分析的基礎(chǔ)。析的基礎(chǔ)。 物理規(guī)律或統(tǒng)計結(jié)果與隨機(jī)試驗的時間起點無物理規(guī)律或統(tǒng)計結(jié)果與隨機(jī)試驗的時間起點無關(guān)在線性時不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平關(guān)在線性時不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平穩(wěn)。穩(wěn)。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組13例例 隨機(jī)相位信號隨機(jī)相位信號0( )cos()X tAt是否平穩(wěn)是否平穩(wěn)? ?0200( )( )cos()1cos()02XmtE X t

13、E AtAtd解解12120 10 220120122220120120220120( , )( )( )cos()cos()1cos()cos()22111cos()cos()2 22211cos()cos22XRt tE X t X tE AtAtA EttttAttAttdAttA X(t)均值為均值為“0 0”，自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，故，自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，故X(t)是寬平穩(wěn)的。是寬平穩(wěn)的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組14例例 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其中。其中 X，Y為相互獨立的隨機(jī)變量，為相互獨立的隨機(jī)變量， 且分別以概

14、率且分別以概率 2/3、1/3取值取值-1和和2。 試討論隨機(jī)過程試討論隨機(jī)過程Z(t)的平的平 穩(wěn)性穩(wěn)性。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組15解解()( )()E XE Y 2112033()()()E XE Y 222221241223333()()()E XE Y 323321281223333()()() ( )E XYE YXE X E Y 0隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組16( ) ( )cos sinZmtE Z tE XtE Yt 0( , ) ( ) ( )cossin cossincoscossinsincossinsincoscoscossinsincos()c

15、osZRt tE Z t Z tEXtYtXtYtE XttE YttE XYttE YXtttttttttt 121211222212121212121212122222( )ZR 02Z(t)是廣義平穩(wěn)的。是廣義平穩(wěn)的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組17( )cossin cossincossincos sin cossinE ZtEXtYtE XtYtX YttY Xtttt33333322233332Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)的。不是嚴(yán)格平穩(wěn)的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組18例例 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的隨機(jī)變量。試問的隨機(jī)變量。

16、試問X(t)是否平穩(wěn)？是否平穩(wěn)？隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組19解解( ) 0E X tE tAtE A212121 21 2( , )( )( )XRt tE X t X tt t E At t所以所以X(t)是非平穩(wěn)的。是非平穩(wěn)的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組20二二 平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程的基本數(shù)字特征。是隨機(jī)過程的基本數(shù)字特征。 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，經(jīng)中心對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本的數(shù)字特征實際上就是化后為零，所以基本的數(shù)字特征實際上就

17、是相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)。 相關(guān)函數(shù)不僅僅展示隨機(jī)過程各隨機(jī)變量相關(guān)函數(shù)不僅僅展示隨機(jī)過程各隨機(jī)變量(狀態(tài)狀態(tài))間關(guān)間關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也為隨機(jī)過程的功率譜密度以及從聯(lián)特性的信息，而且也為隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。噪聲中提取有用信息的工具。 要求：要求： (1)根據(jù)圖形或表達(dá)式判斷一個函數(shù)是否是廣義平穩(wěn)根據(jù)圖形或表達(dá)式判斷一個函數(shù)是否是廣義平穩(wěn) 過程的自相關(guān)函數(shù)；過程的自相關(guān)函數(shù)； (2)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過程其它數(shù)字特征。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過程其它數(shù)字特征。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組21性質(zhì)性質(zhì)1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性質(zhì)性質(zhì)

18、2 )()(XXRR)()(XXKK偶函數(shù)偶函數(shù) 證：證：同理同理( )( )()( )()()XXRE X t X tE X u X uR( )()XXKK隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組22性質(zhì)性質(zhì)3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK極值性極值性證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負(fù)值，即證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負(fù)值，即0)()(2tXtXE0)()()(2)(22tXtXtXtXE對于平穩(wěn)過程對于平穩(wěn)過程X(t)，性質(zhì)，性質(zhì)1 1可知可知)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2XXXK

19、K0當(dāng)當(dāng) 平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有最大值。平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有最大值。物理意義：隨機(jī)過程同一時刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng)。物理意義：隨機(jī)過程同一時刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng)。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組23性質(zhì)性質(zhì)4 若平穩(wěn)過程若平穩(wěn)過程X(t)滿足條件滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱，則稱 它為周期平穩(wěn)過程，其中它為周期平穩(wěn)過程，其中T為隨機(jī)過程周期。為隨機(jī)過程周期。 周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù)，周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù)， 且與隨機(jī)過程的周期相同。即：周期平穩(wěn)過且與隨機(jī)過程的周期相同。即：周期平穩(wěn)過 程程X(t)=X(t+T)，T為周期，則相關(guān)函數(shù)滿足為周期

20、，則相關(guān)函數(shù)滿足 )()(TRR證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性質(zhì)性質(zhì)5 若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則自相關(guān)函數(shù)若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則自相關(guān)函數(shù) 含有同一個周期分量。含有同一個周期分量。 )(XR自相關(guān)函數(shù)可用來檢測信號是否含有周期分量。自相關(guān)函數(shù)可用來檢測信號是否含有周期分量。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組24例：設(shè)隨機(jī)過程為例：設(shè)隨機(jī)過程為)()cos()(0tNtAtX式中式中 為常數(shù)，為常數(shù)， 為為 上均勻分布的隨上均勻分布的隨機(jī)變量，機(jī)變量， 為一般平穩(wěn)過

21、程，對于所有為一般平穩(wěn)過程，對于所有t 而言，而言， 與與 統(tǒng)計獨立。統(tǒng)計獨立。則易得出相關(guān)函數(shù)為則易得出相關(guān)函數(shù)為0,A(0,2 )( )N t( )N t)(cos2)(02NXRAR可見，相關(guān)函數(shù)也包含有與隨機(jī)過程可見，相關(guān)函數(shù)也包含有與隨機(jī)過程X(t)的周期的周期分量相同周期的周期分量。分量相同周期的周期分量。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組25性質(zhì)性質(zhì)6 若平穩(wěn)隨機(jī)過程若平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)不含有任何周期分量，不含有任何周期分量， 則滿足則滿足2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK物理含義：當(dāng)物理含義：當(dāng) 增大時，增大時， 與與 之之 間相關(guān)性會減弱，在間相關(guān)性會減

22、弱，在 的極限情況下，兩者相互獨立。的極限情況下，兩者相互獨立。( )X t()X t 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組26性質(zhì)性質(zhì)7 若平穩(wěn)過程含有平均分量若平穩(wěn)過程含有平均分量( (均值均值) ) ，則相，則相關(guān)函數(shù)也含有固定分量關(guān)函數(shù)也含有固定分量 , , 即即2XmXm則則2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)是非周期的，是非周期的，自相自相關(guān)性關(guān)性函數(shù)函數(shù)確定確定方差方差由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)是非周期，則有是非周期，則有證：證：)()0()0(

23、2XXXXRRK且在且在t=0時時, ,可得可得2)(XXmR隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組27平穩(wěn)隨機(jī)過程必須滿足平穩(wěn)隨機(jī)過程必須滿足對所有對所有 均成立。均成立。 性質(zhì)性質(zhì)8 0)(deRjX自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的，限制了自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的，限制了自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求相關(guān)函數(shù)是連續(xù)的（平頂，垂直邊均是非連相關(guān)函數(shù)是連續(xù)的（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）即：續(xù)）即：不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)。的任何不連續(xù)。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組28平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的典型曲線

24、平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的典型曲線)(XR2X)0(XR2Xm022(0)XXXRm隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組29隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組30平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)X(t)的兩個不同時刻的兩個不同時刻t和和 的起的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用自協(xié)方差伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用自協(xié)方差表示。但是，表示。但是， 還與還與 和和 的強(qiáng)度有的強(qiáng)度有關(guān)，若關(guān)，若 或或 很小，即使兩者的相關(guān)程很小，即使兩者的相關(guān)程度較強(qiáng)，則度較強(qiáng)，則 也不會太大，所以并不能準(zhǔn)確表示關(guān)聯(lián)也不會太大，所以并不能準(zhǔn)確表示關(guān)聯(lián)程度的大小。為了消除起

25、伏值強(qiáng)度對程度的大小。為了消除起伏值強(qiáng)度對 的影響，需的影響，需要對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，引入相關(guān)系數(shù)。要對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，引入相關(guān)系數(shù)。t( )( )()XXXKE X tmX tm( )XK( )XX tm()XX tm( )XX tm()XX tm( )XK( )XK隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組31此值在此值在 1 1，11之間。之間。 表示不相關(guān)，表示不相關(guān)， 表示完全相關(guān)。表示完全相關(guān)。 表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號相同可能性大。起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號相同可能性大。 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)22)

26、()0()()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr也稱為歸一也稱為歸一化協(xié)方差函化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)表征隨機(jī)過表征隨機(jī)過程在兩個不程在兩個不同時刻的狀同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)態(tài)之間的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)程度計關(guān)聯(lián)程度隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組32相關(guān)時間相關(guān)時間 對于一般的隨機(jī)過程而言，隨著時間間隔對于一般的隨機(jī)過程而言，隨著時間間隔 增大相增大相關(guān)程度減弱，因此相關(guān)系數(shù)也隨著減弱，當(dāng)間隔大到一關(guān)程度減弱，因此相關(guān)系數(shù)也隨著減弱，當(dāng)間隔大到一定程度（假定為定程度（假定為 ），相關(guān)系數(shù)很小可以認(rèn)為起伏值不），相關(guān)系數(shù)很小可以認(rèn)為起伏值不相關(guān)了，這個時間就稱為

27、相關(guān)了，這個時間就稱為相關(guān)時間相關(guān)時間。0隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組3305. 0)(0Xr01 1 通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于0.050.05的時間間隔的時間間隔 ，記做相關(guān)時間記做相關(guān)時間, , 即即: : 時的時間間隔時的時間間隔 為為相關(guān)時間。相關(guān)時間。00000( )1( )XXrrd 1)0(Xr)(Xr2 2 有時我們用矩形（高為有時我們用矩形（高為 , ,底為底為 的矩形）的矩形）面積等于面積等于 積分的一半來定義相關(guān)時間即積分的一半來定義相關(guān)時間即相關(guān)時間示意圖相關(guān)時間示意圖0.050隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組34物理意義：物理意

28、義： 相關(guān)時間相關(guān)時間 越小，就意味著相關(guān)系數(shù)越小，就意味著相關(guān)系數(shù) 隨隨 增加而降落的增加而降落的越快，這表明隨機(jī)過程隨時間變化越劇烈。反之，越快，這表明隨機(jī)過程隨時間變化越劇烈。反之， 越大，則表時隨越大，則表時隨機(jī)過程隨時間變化越慢。機(jī)過程隨時間變化越慢。 相關(guān)時間越長，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越強(qiáng)，變化相關(guān)時間越長，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越強(qiáng)，變化越緩慢，相關(guān)時間越小，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越弱，越緩慢，相關(guān)時間越小，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越弱，變化越緩慢變化越緩慢。 0)(Xr0兩個不同相關(guān)時間隨機(jī)過程的樣本函數(shù)兩個不同相關(guān)時間隨機(jī)過程的樣本函數(shù)

29、 101000050100-4-2024050100-10-50510隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組35例例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組36 RX(t) =(100cos10t)+(100e-10|t|+100)= RX1(t)+ RX2(t)RX1(t)=100cos10t是是X(t)中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值此分量的均值m mx1x1=0 =0 RX2

30、(t)=100e-10|t|+100是是X(t)的非周期分量的自相關(guān)函的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，由性質(zhì)數(shù)，由性質(zhì)6可知，可知，22( )10XXmR 1222210( )(0)300(0)300 100200XXXXXXXmmmE XtRRm 所以有所以有解解：隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組37例例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。251436)(XR隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組38解解：由性質(zhì)：由性質(zhì)6可知可知36)(2XXRm6Xm43640)()0(2XXXRR由性質(zhì)由性質(zhì)7可知可知隨機(jī)信號分析

31、隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組39例例： 已知隨機(jī)過程已知隨機(jī)過程X(t)與與Y(t)的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù) 比較兩個過程的比較兩個過程的起伏速度起伏速度21( )4XKesin( )YK隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組40解解: : 由隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)，得出由隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)，得出X(t)、Y(t)的方差的方差22(0)1/4(0)1XXYYKK2( )( )sin( )( )(0)(0)XYXYXYKKrerKK001( )( )22XYXYrdrd由于由于YX ，故過程，故過程X(t)比比Y(t)起伏起伏速度快。速度快。由定義得出由定義得出X(t)、Y(t)的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)X

32、(t)、Y(t)的相關(guān)時間的相關(guān)時間隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組41三三 遍歷遍歷(Ergodic)隨機(jī)過程（各態(tài)歷經(jīng)性）隨機(jī)過程（各態(tài)歷經(jīng)性） 每當(dāng)提及隨機(jī)過程時，意味著要涉及大量的樣本函每當(dāng)提及隨機(jī)過程時，意味著要涉及大量的樣本函數(shù)的集合。要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，需要觀察大量數(shù)的集合。要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等都是對大量的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等都是對大量樣本函數(shù)在特定時刻的取值利用統(tǒng)計方法求平均而得到樣本函數(shù)在特定時刻的取值利用統(tǒng)計方法求平均而得到的數(shù)字特征。這種平均稱為的數(shù)字特征。這種平均稱為統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均或或集

33、合平均集合平均。顯然。顯然，取統(tǒng)計平均所需要的試驗工作量很大，處理方法也很，取統(tǒng)計平均所需要的試驗工作量很大，處理方法也很復(fù)雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特復(fù)雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特性與記時起點無關(guān)這個特點，能否找到更加簡單的方法性與記時起點無關(guān)這個特點，能否找到更加簡單的方法代替上述的方法。代替上述的方法。 辛欽證明：辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機(jī)過程的在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個樣本函數(shù)取時間平均（觀察時間足夠長），從任意一個樣本函數(shù)取時間平均（觀察時間足夠長），從概率意義上趨近于該過程的統(tǒng)計平均值。概率意義上趨近于該過程的統(tǒng)計平均

34、值。這樣的隨機(jī)過這樣的隨機(jī)過程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組42 隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為：隨機(jī)過程的各樣隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為：隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)。因此本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)。因此從隨機(jī)過程的任何一個樣本函數(shù)都可以得到隨機(jī)過程的從隨機(jī)過程的任何一個樣本函數(shù)都可以得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計信息，任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分地全部統(tǒng)計信息，任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分地代表整個隨機(jī)過程的特性。代表整個隨機(jī)過程的特性。問題：隨機(jī)過程問題：隨機(jī)過程 的各數(shù)字特征（的

35、各數(shù)字特征（集合平均集合平均），能），能 否用任一條樣本函數(shù)的特征（否用任一條樣本函數(shù)的特征（時間平均時間平均）來代替。）來代替。)(tX隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組431 遍歷性隨機(jī)過程的定義遍歷性隨機(jī)過程的定義 如果一個隨機(jī)過程如果一個隨機(jī)過程X(t)，它的各種時間平均（時間它的各種時間平均（時間足夠長）依概率足夠長）依概率1 1收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱X(t)具具有嚴(yán)格遍歷性，并稱它為嚴(yán)遍歷過程。有嚴(yán)格遍歷性，并稱它為嚴(yán)遍歷過程。 嚴(yán)（狹義）遍歷性的定義嚴(yán)（狹義）遍歷性的定義 寬（廣義）遍歷性的定義寬（廣義）遍歷性的定義 設(shè)設(shè)X(t)是是一個平穩(wěn)隨機(jī)過

36、程，如果其一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果其均值均值和和相關(guān)函相關(guān)函數(shù)數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，則稱都具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，則稱X(t)為寬遍歷過程為寬遍歷過程，或簡稱遍歷過程。，或簡稱遍歷過程。在相關(guān)理論的在相關(guān)理論的范圍內(nèi)討論歷范圍內(nèi)討論歷經(jīng)過程，即討經(jīng)過程，即討論均值和自相論均值和自相關(guān)時間平均關(guān)時間平均隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組44均值均值各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性1( )( )2TTTX tlimX t dtT定義定義 為為隨機(jī)過程隨機(jī)過程的的時間平均值。時間平均值。如果它依概率如果它依概率1 1收斂于集合均值，即收斂于集合均值，即XmtXEtXtXA)()()(則稱平穩(wěn)過程則稱平穩(wěn)過

37、程X(t)的的均值具有遍歷性。均值具有遍歷性。與取哪條樣與取哪條樣本有關(guān)與本有關(guān)與時間無關(guān)時間無關(guān)是時間是時間t的函的函數(shù)，與取哪數(shù)，與取哪條樣本無關(guān)條樣本無關(guān)隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組451( )( )2TTTE X tlimX t dtT均值各態(tài)歷經(jīng)均值各態(tài)歷經(jīng) 任何一條樣本函數(shù)所包含的取值狀態(tài)與隨機(jī)過程（任任何一條樣本函數(shù)所包含的取值狀態(tài)與隨機(jī)過程（任意時刻）所有的狀態(tài)相同，而且出現(xiàn)的頻率與隨機(jī)過程各意時刻）所有的狀態(tài)相同，而且出現(xiàn)的頻率與隨機(jī)過程各狀態(tài)的概率相同。狀態(tài)的概率相同。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組46定義定義 隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的時間自相關(guān)函數(shù)。時間自相關(guān)函

38、數(shù)。則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性如果它依概率如果它依概率1 1收斂于集合均值，即收斂于集合均值，即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時上式成立，則稱時上式成立，則稱X(t)的均方值具有的均方值具有遍歷性。遍歷性。0隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組471( )() ( )2TXTTRlimx tx t dtT自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng) 任何一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各任何

39、一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種二階可能狀態(tài)。種二階可能狀態(tài)。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組48各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組492 遍歷隨機(jī)過程的實際應(yīng)用遍歷隨機(jī)過程的實際應(yīng)用 一般隨機(jī)過程的時間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過程一般隨機(jī)過程的時間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間T 不不可能無限長，只要足夠長即可?？赡軣o限長，只要足夠長

40、即可。 3 遍歷隨機(jī)過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系遍歷隨機(jī)過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系 遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組504 遍歷隨機(jī)過程的意義遍歷隨機(jī)過程的意義 在實際應(yīng)用中，如果隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，要從理論上在實際應(yīng)用中，如果隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，要從理論上證明過程的各態(tài)歷經(jīng)性并非易事。我們總是證明過程的各態(tài)歷經(jīng)性并非易事。我們總是憑經(jīng)驗假設(shè)它憑經(jīng)驗假設(shè)它是各態(tài)歷經(jīng)的是各態(tài)歷經(jīng)的。 任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分代表隨機(jī)過程的任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分代表隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計特性，簡化研究過程和實際

41、統(tǒng)計方法。全部統(tǒng)計特性，簡化研究過程和實際統(tǒng)計方法。 實際通信系統(tǒng)中，通常認(rèn)為噪聲和信號一般都是實際通信系統(tǒng)中，通常認(rèn)為噪聲和信號一般都是平穩(wěn)平穩(wěn)和和各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)的。的。隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組515 遍歷過程（各態(tài)歷經(jīng)性）的判別定理遍歷過程（各態(tài)歷經(jīng)性）的判別定理 均值遍歷判別定理均值遍歷判別定理 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件：的均值具有遍歷性的充要條件：平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件：的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件： 自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理 式中：式中：2201lim(1)( )02XTXT

42、Rm dTT0)()()21 (1lim120211dRBTTTTX)()()()()(111tXtXtXtXEB隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組52對于對于正態(tài)正態(tài)平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若均值為零，自隨機(jī)過程，若均值為零，自 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則可以證明此過程具連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為：有遍歷性的一個充分條件為：)(XRdRX0)(注意：注意：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷，我們總是先假設(shè)其判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷，我們總是先假設(shè)其 是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平 均以概率均以概率1 1等于統(tǒng)計平均）等于統(tǒng)計平均）

43、, ,一般不用兩個判別定一般不用兩個判別定 理。理。 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組53020( )( )( )( )1cos()02XXmtE X tx tfdatdm000022( ,)( )()coscos(22)2cos( )2XXRt ttE X t X ttaEtttatRt 故故X(t)是寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過程。是寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過程。解解2),()(22attRtXEX例例 設(shè)設(shè) , ,式中式中a a， 為常數(shù)，為常數(shù)， 是在是在 上均勻分布的隨機(jī)變量。上均勻分布的隨機(jī)變量。 試問：試問：X(t)是否平穩(wěn)？是否遍歷？是否平穩(wěn)？是否遍歷？0( )cos()X tat 0(0,2 )隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析教學(xué)教學(xué)組組540001( )( )limcos()2cossinlim0TTAX tX tatdtTaTT故平穩(wěn)隨機(jī)過程