MATLAB入門與矩陣運算

1、MATLAB入門與矩陣計算入門與矩陣計算制作人：慕黎明、耿寒制作人：慕黎明、耿寒MATLAB基本內(nèi)容基本內(nèi)容一 MATLAB入門二 矩陣的生成方法三 矩陣的基本運算四 矩陣的分解五 解方程組Matlab 的特點與功能的特點與功能q Matlab 具有很強的數(shù)值計算功能l Matlab 以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位， 但無需預(yù)先指定矩陣維數(shù)（動態(tài)定維）l 按照 IEEE 的數(shù)值計算標(biāo)準(zhǔn)進行計算l 提供十分豐富的數(shù)值計算函數(shù)，方便計算，提高效率l Matlab 命令與數(shù)學(xué)中的符號、公式非常接近， 可讀性強，容易掌握q Matlab 是一個交互式軟件系統(tǒng)輸入一條命令，立即就可以得出該命令的結(jié)果Mat

2、lab 的特點與功能的特點與功能q Matlab 符號計算功能Matlab 和著名的符號計算語言 Maple 相結(jié)合q Matlab 的編程功能Matlab具有程序結(jié)構(gòu)控制、函數(shù)調(diào)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入輸出、面向?qū)ο蟮瘸绦蛘Z言特征，而且簡單易學(xué)、編程效率高。通過 Matlab 進行編程完成特定的任務(wù)q Matlab 的繪圖功能Matlab提供豐富的繪圖命令，很方便實現(xiàn)數(shù)據(jù)的可視化 Desktop操作桌面簡介操作桌面簡介命令窗口工作區(qū)窗口命令歷史窗口菜單欄工具欄文件目錄瀏覽器文件概括新建打開剪切粘貼恢復(fù)Help：打開 MATLAB 幫助； Current Directory：設(shè)置當(dāng)前目錄MATLAB

3、 的工具欄的工具欄復(fù)制撤消q 變量命名原則Matlab 變量u 以字母開頭u 后面可以跟 字母、數(shù)字 和 下劃線u 長度不超過 63 個字符u 變量名 區(qū)分字母的 大小寫q Matlab 語句的通常形式變量 = 表達式表達式是用運算符將有關(guān)運算量連接起來的式子，其結(jié)果被賦給賦值號“=”左邊的變量q 系統(tǒng)預(yù)定義變量Matlab 變量u pi ： 圓周率 ，其值為 imag(log(-1)u inf，Inf ：無窮大 u nan，NaN ：Not-a-Number，一個不定值，如 0/0u eps ：浮點運算相對精度 u i，j ：虛部單位應(yīng)盡量避免給系統(tǒng)預(yù)定義變量重新賦值！q 數(shù)學(xué)運算符u +

4、加法Matlab 數(shù)值運算u - 減法u * 乘法u / 和 除法（右除和左除）u 冪運算q 命令分隔符：逗號和分號二、矩陣的生成方法二、矩陣的生成方法這是最簡單，也是最常用的一種矩陣的生成方法。l整個矩陣必須用“ ”括起來；l矩陣的行與行之間必須用”;”或回車鍵Enter隔開；l元素之間必須用逗號,或空格分開。q 直接輸入法例： A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 或 A = 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9l 二、矩陣的生成方法二、矩陣的生成方法此方法用于生成一維行數(shù)組。 q 設(shè)定步長生成l整個格式：x=a:inc:b ； 其中：a是數(shù)組的第一個元素； inc是相鄰兩個元

5、素之間的間隔； b是數(shù)組的最后一個元素。例： x=1:3:22 x=1:3:21 x=1:7二、矩陣的生成方法二、矩陣的生成方法命令：全零陣全零陣函數(shù)：zeros格式：B=zeros(n) %生成元素全為零的n階零方陣 B=zeros(m,n) %生成元素全為零的mxn矩陣例例: : 1、產(chǎn)生一個4階零方陣 2、產(chǎn)生一個3x4零陣 q 特殊矩陣的生成方法3、特殊矩陣的生成方法命令：單位陣單位陣函數(shù)：eye格式：A=eye(n) %生成nxn單位陣 A=eye(m,n）%生成mxn單位陣例例: : 1、產(chǎn)生一個5階單位陣 2、產(chǎn)生一個4x5單位陣 命令：全全1 1陣陣函數(shù)：ones格式：B=on

6、es(n) %生成nxn全1陣 B=ones(m,n) %生成mxn全1陣例例: : 1、產(chǎn)生一個5階全1陣 2、產(chǎn)生一個4x5全1陣 3、特殊矩陣的生成方法命令：隨機矩陣函數(shù)：rand格式：A=rand(n) %生成nxn隨機矩陣，其元素在（0，1）內(nèi) A=rand(m,n) %生成mxn隨機矩陣例例: : 1、產(chǎn)生一個4x5的隨機矩陣 2、產(chǎn)生一個在區(qū)間10，20內(nèi)均勻分布的3階矩陣3、特殊矩陣的生成方法命令：對角元素矩陣 函數(shù)：diag格式：A=diag(V) %已知向量生成對角矩陣 V=diag(A) %已知矩陣提取對角元素列向量 A=diag(V,k) %生成主對角線上第k條對角線為

7、V的矩陣運算規(guī)則：對應(yīng)元素相加減，即按照線性代數(shù)中矩陣的“+”、“-”運 算進行。三、矩陣的基本運算三、矩陣的基本運算q 矩陣的加減運算一般乘法：c=a*b,要求a的列數(shù)等于b的行數(shù)。點積： dot(a,b)叉積： cross(a,b)卷積： conv(a,b)三、矩陣的基本運算三、矩陣的基本運算q 矩陣的乘法運算除法：一般在解線性方程組時會用到。左除：x=ab 如果ax=b，則 x=ab是矩陣方程的解。右除：x=b/a 如果xa=b, 則x=b/a是矩陣方程的解。三、矩陣的基本運算三、矩陣的基本運算q 矩陣的除法運算轉(zhuǎn)置：B=A逆：C=inv(A)或C=A(-1)行列式：D=det(A)三、

8、矩陣的基本運算三、矩陣的基本運算q 矩陣的轉(zhuǎn)置、逆和行列式矩陣的秩矩陣的秩函數(shù)：rank格式：k=rank(A) 矩陣的跡矩陣的跡函數(shù)：trace格式：b=trace(A) 3、矩陣的跡和秩4、矩陣的范數(shù)n = norm(A) % A為矩陣，求歐幾里德范數(shù) n = norm(A,1) %求A的列范數(shù) ，等于A的列向量的1-范數(shù)的最大值。n = norm(A,2) %求A的歐幾里德范數(shù) ，和norm(A)相同。n = norm(A,inf) %求行范數(shù) ，等于A的行向量的1-范數(shù)的最大值即：max(sum(abs(A)。2A1AAq 提取矩陣的部分元素： 冒號運算符u A(:) A 的所有元素u

9、 A(:,:) 矩陣A 的所有元素u A(:,k) A 的第 k 列， A(k,:) A 的第 k 行 u A(k:m) A 的第 k 到第 m 個元素u A(:,k:m) A 的第 k 到第 m 列組成的子矩陣5、矩陣元素的抽取上（下）三角矩陣的抽取上（下）三角矩陣的抽取U=triu(A) 抽取矩陣A的上三角L=tril(A) 抽取矩陣A的下三角5、矩陣元素的抽取格式：格式：V,D= eig(A)說明：說明：其中D為特征值構(gòu)成的對角陣，每個特征值對應(yīng)于V矩陣中列向量（也正是其特征向量），如果只有一個返回變量，則得到該矩陣特征值構(gòu)成的列向量。6、求解矩陣的特征值q 矩陣的旋轉(zhuǎn)u fliplr(

10、A) 左右旋轉(zhuǎn)u flipud(A) 上下旋轉(zhuǎn)u rot90(A) 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 度； rot90(A,k) 逆時針旋轉(zhuǎn) k90 度 A = 1 2 3;4 5 6 B = fliplr(A) C = flipud(A) D = rot90(A) E = rot90(A,-1)例：注意矩陣旋轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)置的區(qū)別！四、矩陣的分解四、矩陣的分解 矩陣的LU分解就是將一個矩陣表示為一個交換下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積形式。當(dāng)L為單位下三角矩陣而U為上三角矩陣時，此三角分解稱為杜利特(Doolittle)分解。當(dāng)L為下三角矩陣而U為單位上三角矩陣時，此三角分解稱為克勞特(Crout)分解。調(diào)用格式：

11、調(diào)用格式： L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這 里的矩陣X必須是方陣。 L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。q 可逆方陣的可逆方陣的LU分解分解四、矩陣的分解四、矩陣的分解 矩陣的LU分解就是將一個矩陣A分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積形式，即A=LU，其中L和U矩陣可以分別寫成：q 可逆方陣的可逆方陣的LU分解分解2112111nnlLll11121222nnnnuuuuuUu這樣由產(chǎn)生的矩陣與原來矩陣A的關(guān)系就可以知道ij

12、l和iju遞推計算公式為111,111,;jijikkjikijijijikkjiikjjal uljiual ujiuau在MATLAB中也給出了基于矩陣LU分解函數(shù)lu()L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這 里的矩陣X必須是方陣。 L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。由該函數(shù)得到的下三角矩陣L是一個變換形式的下三角矩陣，而不是一個真正的下三角矩陣，因為選取它可能進行了一些元素行的交換，這樣對角線上的元素可能不是1。如果想獲得有關(guān)換行的信

13、息，則可以采用后一種格式調(diào)用lu()函數(shù)，此時的P為單位陣變換出的置換矩陣。四、矩陣的分解四、矩陣的分解 對矩陣X進行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進行。調(diào)用格式：調(diào)用格式： Q,R=qr(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足X=QR。 Q,R,E=qr(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿足XE=QR。q 滿秩矩陣的滿秩矩陣的QR分解分解 如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR

14、。調(diào)用格式：調(diào)用格式： R=chol(X)：產(chǎn)生一個上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。 R,p=chol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信息。當(dāng)X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個正整數(shù)。q 對稱正定矩陣的對稱正定矩陣的Cholesky分解分解五、解方程組五、解方程組第一步:定義變量syms x y z .; 第二步:求x,y,z,.=solve(eqn1,.,eqnN,var1,.varN); 第三步:求出n位有效數(shù)字的數(shù)值x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);.syms x y; x,y=solve(x2+3*y+1=0,y2+4*x+1=0); x=vpa(x,4);y=vpa(y,4);例：解二（多）元二（高）次方程組： x2+3*y+1=0 y2