哈工大材料力學(xué)(第七章 差分法)

1、第第7章章 彎曲彎曲(wnq)作業(yè)(zuy)：7-19，7-20b,d, 7-21a,c7-11 疊加法求解梁的位移疊加法求解梁的位移 精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)疊加法的適用疊加法的適用(shyng)條件：條件：1）小變形）小變形 2）彈性變形）彈性變形7-11 疊加法求解梁的位移疊加法求解梁的位移 在變形為小變形和彈性變形的條件下，內(nèi)力是根據(jù)初始尺寸計算的，在變形為小變形和彈性變形的條件下，內(nèi)力是根據(jù)初始尺寸計算的，因此內(nèi)力與荷載之間，變形與荷載之間都是因此內(nèi)力與荷載之間，變形與荷載之間都是線性關(guān)系。線性關(guān)系。所以所以 ，結(jié)構(gòu)上同時，結(jié)構(gòu)上同時作用幾個荷載所產(chǎn)生的內(nèi)力作用幾個荷載

2、所產(chǎn)生的內(nèi)力、變形變形 ，等于每一個荷載單獨作用產(chǎn)生的內(nèi)力，等于每一個荷載單獨作用產(chǎn)生的內(nèi)力、變形的代數(shù)和，這就是疊加原理。變形的代數(shù)和，這就是疊加原理。 精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-11 疊加法求解疊加法求解(qi ji)梁的位移梁的位移 qABlFC/ 2l415384cqlvEI3248cFlvEI 4312538448cccqlFlvvvEIEIBlF/ 2lAqBlA例：疊加法求例：疊加法求vc解：將荷載分解為兩組解：將荷載分解為兩組精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變形梁的變形 當(dāng)受彎構(gòu)件是變截面梁或梁上荷載

3、比較復(fù)當(dāng)受彎構(gòu)件是變截面梁或梁上荷載比較復(fù)雜時，用積分法計算梁的變形是相當(dāng)困難的雜時，用積分法計算梁的變形是相當(dāng)困難的，而利用有限差分法計算則較為方便。而利用有限差分法計算則較為方便。 有限差分法是一種數(shù)值計算方法，把求解有限差分法是一種數(shù)值計算方法，把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題。微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題。計算函數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式計算函數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x 設(shè)一曲線如圖，其方程為設(shè)一曲線如圖，其方程為v=v（x），是一，是一連續(xù)函數(shù)，該曲線可以是梁的撓曲線，也可以連續(xù)函數(shù)

4、，該曲線可以是梁的撓曲線，也可以是其它曲線，取橫坐標(biāo)是其它曲線，取橫坐標(biāo)為為xi-2 ， xi-1 ，xi，xi+1 ， xi+2 的的各點，相鄰各點的間距為各點，相鄰各點的間距為h，均相等（也可不，均相等（也可不相等）。相等）。這些點的縱坐標(biāo)為這些點的縱坐標(biāo)為vi-2,vi-1,vi,vi+1,vi+2。在在i點將點將v=v(x)展開為泰勒級數(shù)展開為泰勒級數(shù)23232311() ()() ()() () ( )2!3!iiiiiiidvd vd vvvxxxxxxadxdxdx精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限有限(yuxin)差分法求解梁的差分法求解梁的變形變形hiv1i

5、v2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x式中式中2323() ,() ,() ,iiidvd vd vdxdxdx分別為各階導(dǎo)數(shù)在分別為各階導(dǎo)數(shù)在x=xi處的數(shù)值。處的數(shù)值。在點在點i-1處處 x=xi-1=xi-h在點在點i+1處處 x=xi+1=xi+h將上兩個坐標(biāo)分別代入將上兩個坐標(biāo)分別代入(a)式式232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx在在i點將點將v=v(x)展開為泰勒級數(shù)展開為泰勒級數(shù)23232311() ()() ()() () ( )2!3!iiiiiiidvd vd vvvxxxxxxadxdxdx精

6、品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限有限(yuxin)差分法求解梁的變形差分法求解梁的變形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x式中式中2323() ,() ,() ,iiidvd vd vdxdxdx分別為各階導(dǎo)數(shù)在分別為各階導(dǎo)數(shù)在x=xi處的數(shù)值。處的數(shù)值。在點在點i-1處處 x=xi-1=xi-h在點在點i+1處處 x=xi+1=xi+h將上兩個坐標(biāo)分別代入將上兩個坐標(biāo)分別代入(a)式式232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd

7、vvvhhhdxdxdx精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限有限(yuxin)差分法求解梁的變差分法求解梁的變形形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx 如將如將h取得充分小式中含取得充分小式中含h3以及更高次的項以及更高次的項都可以略去，于是：都可以略去，于是：22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx22121()()2!iiiidvd vvvhhd

8、xdx精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變形梁的變形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x11() ( )2iiivvdvbdxh 如將取得充分小式中含以及更高次的項如將取得充分小式中含以及更高次的項都可以略去，于是：都可以略去，于是：22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx聯(lián)立上兩式，解出：聯(lián)立上兩式，解出：211222() ( )iiiivvvd vcdxh 這就是函數(shù)這就是函數(shù)v=v(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式。當(dāng)?shù)?/p>

9、一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式。當(dāng) v=v(x)為撓曲線方程時，為撓曲線方程時，上兩式即為撓曲線的斜率和曲率的近似值。上兩式即為撓曲線的斜率和曲率的近似值。精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變梁的變形形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x11() ( )2iiivvdvbdxh將將(c)式代入撓曲線近似微分方程式代入撓曲線近似微分方程22( )d vM xdxEI2112 ( )iiiiiMvvvhdEI得：得：211222() ( )iiiivvvd vcdxh 這就是函數(shù)這就是函數(shù)v=v(x)的一

10、階和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式。當(dāng)?shù)囊浑A和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式。當(dāng) v=v(x)為撓曲線方程時，為撓曲線方程時，上兩式即為撓曲線的斜率和曲率的近似值。上兩式即為撓曲線的斜率和曲率的近似值。上式稱為差分方程，上式稱為差分方程，Mi和和EIi是梁是梁在在x=xi（i點）點）處的彎矩和抗彎剛度處的彎矩和抗彎剛度精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變梁的變形形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x將將(c)式代入撓曲線近似微分方程式代入撓曲線近似微分方程22( )d vM xdxEI2112 ( )iiiiiMvvv

11、hdEI得：得：在梁上選定某些點，按公式在梁上選定某些點，按公式(d)對每對每一點寫出一個差分方程，一點寫出一個差分方程，這樣就得到一組代數(shù)方程，其未知量就是所選各點的撓度。這樣就得到一組代數(shù)方程，其未知量就是所選各點的撓度。解這一組代數(shù)方程即可求出所選各點的撓度。解這一組代數(shù)方程即可求出所選各點的撓度。 上式稱為差分方程，上式稱為差分方程，Mi和和EIi是梁是梁在在x=xi（i點）點）處的彎矩和抗彎剛度。處的彎矩和抗彎剛度。精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變梁的變形形例例 求圖示懸臂梁的變形求圖示懸臂梁的變形解：解： 將梁分成三等

12、份，步長將梁分成三等份，步長h=l/3。2112iiiiiMvvvhEI 差分方程差分方程，Mi和和EIi是梁在是梁在x=xi（i點）點）處的彎矩和抗彎剛度處的彎矩和抗彎剛度。xyF/3l/3l/3l/3l302111v2v3v1v012321, , , 0,33MFlMFl MFl M2）撓度）撓度v0=0，其余撓度，其余撓度v1 ， v2 ， v3未知未知3） 建 立 各 點 的 差 分 方 程 ：） 建 立 各 點 的 差 分 方 程 ：0 點點：1 點點：2 點點 ：21012( ) () 3lFlvvvEI201222() ()33lFlvvvEI21232() ()33lFlvvv

13、EI4） 0點處的點處的v-1為虛擬點為虛擬點-1的撓度：的撓度：11011() =0 2vvdvvvdxh5） v0=0，解出：，解出：333123519, , 182754FlFlFlvvvEIEIEI 1 ）各等分點處的彎矩為：）各等分點處的彎矩為：精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限差分法求解有限差分法求解(qi ji)梁的變梁的變形形例例 求圖示懸臂梁的變形求圖示懸臂梁的變形解：解： 將梁分成三等份，步長將梁分成三等份，步長h=l/3。2112iiiiiMvvvhEI 差分方程差分方程，Mi和和EIi是梁在是梁在x=xi（i點）點）處的彎矩和抗彎剛度處的彎矩和抗彎剛度

14、。xyF/3l/3l/3l/3l302111v2v3v1v012321, , , 0,33MFlMFl MFl M2）撓度）撓度v0=0，其余撓度，其余撓度v1 ， v2 ， v3未知未知3 ） 建 立 各 點 的 差 分 方 程 ：） 建 立 各 點 的 差 分 方 程 ：4） 0點處的點處的v-1為虛擬點為虛擬點-1的撓度：的撓度：11011() =0 2vvdvvvdxh5） v0=0，解出：，解出：333123519, , 182754FlFlFlvvvEIEIEI 1 ）各等分點處的彎矩為：）各等分點處的彎矩為：精確解：精確解：3330.333 3FlFlvEIEI 差分解：差分解：

15、333190.352 54FlFlvEIEI 誤差為：誤差為： 5.7僅分三段僅分三段,h 越小精度越高越小精度越高精品資料第第7章章 彎曲彎曲(wnq)7-12 有限有限(yuxin)差分法求解梁的變差分法求解梁的變形形1F52655060522F10010010015125200358540練習(xí)練習(xí) 階梯軸如圖，設(shè)階梯軸如圖，設(shè)E=200GPa,F1=1.2kN,F2=6.7kN。試用差分法求試用差分法求F1及及F2作用面的撓度，并確定撓曲線。作用面的撓度，并確定撓曲線。電算參考題?？扇‰娝銋⒖碱}?？扇=0.025m。精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力時桿件應(yīng)力復(fù)雜內(nèi)力時桿件應(yīng)力(yngl)計

16、算計算一、組合變形一、組合變形(bin xng)(bin xng) 在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形(bin xng)(bin xng)可以看可以看成幾種簡單變形成幾種簡單變形(bin xng)(bin xng)的組合，稱為組合變形的組合，稱為組合變形(bin xng)(bin xng)。二、組合變形分類二、組合變形分類 斜彎曲，偏心拉壓，彎扭組合。斜彎曲，偏心拉壓，彎扭組合。三、組合變形的研究方法三、組合變形的研究方法 疊加原理疊加原理 前提：線彈性，小變形前提：線彈性，小變形精品資料第第8章章 復(fù)雜復(fù)雜(fz)內(nèi)力時桿件應(yīng)內(nèi)力時桿件應(yīng)力計算力計算組合變形工程組合變形

17、工程(gngchng)實例實例精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)時桿件應(yīng)力計算力計算組合變形組合變形(bin xng)工程實例工程實例精品資料第第8章章 復(fù)雜復(fù)雜(fz)內(nèi)力時桿件應(yīng)力計內(nèi)力時桿件應(yīng)力計算算組合組合(zh)變形工程實例變形工程實例偏心壓縮偏心壓縮精品資料拉彎組合拉彎組合(zh)變形變形第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力計時桿件應(yīng)力計算算組合變形工程實例組合變形工程實例精品資料拉彎組合拉彎組合(zh)變形變形第第8章章 復(fù)雜復(fù)雜(fz)內(nèi)力時桿件應(yīng)力內(nèi)力時桿件應(yīng)力計算計算組合變形工程實例組合變形工程實例精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil

18、)時桿件應(yīng)力時桿件應(yīng)力計算計算組合變形組合變形(bin xng)工程實例工程實例精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力時桿件應(yīng)力計算計算組合變形組合變形(bin xng)工程實例工程實例精品資料精品資料yz第第8章章 復(fù)雜復(fù)雜(fz)內(nèi)力時桿件應(yīng)力內(nèi)力時桿件應(yīng)力計算計算8-1 斜彎曲斜彎曲(wnq)FyzxyzxzyxlzFFyFzMyMcosyFFsinzFF()zyMF lx()yzMF lxyzyzMMzyII外力外力內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力zy略去了剪力略去了剪力yFzF疊加法疊加法精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力時桿件應(yīng)力計算計算8-1 斜彎曲斜彎曲

19、(wnq)應(yīng)力分布規(guī)律應(yīng)力分布規(guī)律精品資料第第8章章 復(fù)雜復(fù)雜(fz)內(nèi)力時桿件應(yīng)力計內(nèi)力時桿件應(yīng)力計算算8-1 斜彎曲斜彎曲(wnq)應(yīng)力分布規(guī)律應(yīng)力分布規(guī)律精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力計時桿件應(yīng)力計算算8-1 斜彎曲斜彎曲(wnq)中性軸中性軸()()coscoszyMF lxF lxM()()sinsinyzMF lxF lxMyzyzMMzyII00sincos()0yzzyMII()MF lxF0z0y中性軸中性軸yz精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力計時桿件應(yīng)力計算算8-1 斜彎曲斜彎曲(wnq)中性軸中性軸00sincos0yzz

20、IyI中性軸方程中性軸方程-直線方程直線方程 00tantanzyyzII 當(dāng)當(dāng)Iy=Iz 時時=FyF0z0y中性軸中性軸z（正方形，圓等截面（正方形，圓等截面不發(fā)生斜彎曲）不發(fā)生斜彎曲）zzyyctWMWMmaxmaxmax,max,一般情況下一般情況下最大拉壓應(yīng)力最大拉壓應(yīng)力精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力時桿件應(yīng)力復(fù)雜內(nèi)力時桿件應(yīng)力(yngl)計算計算8-1 斜彎曲斜彎曲(wnq)yvwf撓度撓度22fvw撓度撓度 f 與與F 不在同一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。不在同一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。f 與中性軸垂直。與中性軸垂直。F精品資料第第8章章 復(fù)雜內(nèi)力復(fù)雜內(nèi)力(nil)時桿件應(yīng)力時桿件應(yīng)力計算計算8-1 斜彎

21、曲斜彎曲(wnq)作業(yè)：作業(yè)：81，2，4（點（點A處處軸向軸向線應(yīng)變）線應(yīng)變）精品資料結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)欣賞欣賞 將集中里分散將集中里分散(fnsn)后作用于梁上，可減少梁的彎矩。后作用于梁上，可減少梁的彎矩。 精品資料斗拱斗拱(dugng)(dugng) 斗是斗形木墊塊，拱是弓形的短木。拱架在斗上，向外挑出，拱端之上再安斗，這樣逐層縱橫交錯(zng hng jio cu)疊加，形成上大下小的托架。 精品資料精品資料應(yīng)縣木塔應(yīng)縣木塔 應(yīng)縣木塔建于遼清寧二年（1056年），距今已有900多年的歷史，是我國，也是世界上現(xiàn)存最古老、最高的木構(gòu)建筑。全塔高6731米，底層(d cn)直徑3027米

22、，外觀九層，可用空間只有五層，謂“明五暗四”。各明層外柱均立在下層外柱的梁架上，并向塔心收進(jìn)半柱徑，使塔的外觀輪廓構(gòu)成一條優(yōu)美的逐層收分的曲線。整座塔比例適當(dāng)，巍巍聳立，蔚為壯觀。精品資料精品資料等強(qiáng)度等強(qiáng)度(qingd)梁梁 /2lP/2lx1( )2M xPx設(shè)高度設(shè)高度(god)h為常量，則為常量，則23( )Pxb xh( )b x( )( ) M xW xM2( )( )6 2 bhM xPxW x精品資料精品資料世界最高大橋世界最高大橋(d qio)法國米法國米約大橋約大橋(d qio) 米約高架橋的橋柱高達(dá)米約高架橋的橋柱高達(dá)343米，是目前世界上最高的橋梁。這座米，是目前世界上

23、最高的橋梁。這座大橋位于法國首都大橋位于法國首都(shud)巴黎通往地中海地區(qū)的公路上。巴黎通往地中海地區(qū)的公路上。2004年年12月月9日，法國塔恩河河谷的云霧從米約高架橋下穿過日，法國塔恩河河谷的云霧從米約高架橋下穿過 精品資料 大橋(d qio)橋面離地270米，長2.46公里，而斜拉索最高點離地有343米，比埃菲爾鐵塔還要高出23米，創(chuàng)下了橋面距地面最高的世界紀(jì)錄。 精品資料這張攝于5月28日的照片顯示了位于法國西南部的米約大橋。當(dāng)天，世界上最高的橋梁米約大橋完成(wn chng)了合龍。 精品資料2004年12月14日，米約高架橋于當(dāng)天舉行落成儀式，法國空軍飛行表演隊在法國西南部米約市的米約高架橋上空(shngkng)進(jìn)行飛行表演。精品資料2004年12月14日，在法國(f u)西南部米約市的米約高架橋上，法國(f u)總統(tǒng)希拉克和米約高架橋設(shè)計者諾爾曼福斯特（右）共同參加大橋落成儀式。號稱世界上最高的米約高架橋于當(dāng)天舉行落成儀式。 精品資料12月月16日上午，坐落在法