第四章423直線與圓的方程的應(yīng)用

1、4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐以及數(shù)學(xué)直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，下面通過幾個例子說明直線中有著廣泛的應(yīng)用，下面通過幾個例子說明直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應(yīng)用與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.問題：問題：趙州橋的跨度是趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為，圓拱高約為7.2m你能用一個適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？你能用一個適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程

2、表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何結(jié)論成幾何結(jié)論. 例例1：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造時每隔，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的的長度（精確到長度（精確到0.01m)yx解解：建系如圖，建系如圖，02+(4b)2= r2102+(0b)2=r2解得：

3、解得：b= 10.5 ， r2=14.52 .所以圓的方程是：所以圓的方程是： x2 +(y+10.5)2 = 14.52把點把點P2的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) x = 2 代入圓的方程，得代入圓的方程，得 (2)2+(y+10.5)2=14.52因為因為y0,所以所以y=14.52 (2)2 10.514.3610.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的長度約為的長度約為3.86m。由題意可設(shè)圓的方程：由題意可設(shè)圓的方程：x2 + (y-b)2 = r2因因P(0，4)、B(10，0)都在圓上，都在圓上，例例1：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱

4、跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造時每隔，在建造時每隔4m需用一個支柱需用一個支柱支撐，求支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到的長度（精確到0.01m)yxC1解解2：練習(xí)：練習(xí)：趙州橋的跨度是趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為，圓拱高約為7.2m你能用一個適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？你能用一個適當(dāng)?shù)姆匠堂枥L該橋的圓拱嗎？建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 解解：即有即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，P(0，7.2) .OCxy則由題意：則由題意：|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.設(shè)所求圓的方程是設(shè)所求圓的方程是(x a)2 + (y

5、 b)2 = r2. 222222222(18.7),(18.7),(7.2)abrabrabr則則解方程組得解方程組得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以這圓拱橋的拱圓的方程是所以這圓拱橋的拱圓的方程是: x2 + (y + 20.7)2 = 27.92(0y7.2)2.如圖，等腰梯形如圖，等腰梯形ABCD的底邊長分別為的底邊長分別為6和和4，高，高為為3，求這個等腰梯形的外接圓的方程，并求這個，求這個等腰梯形的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑長圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.xyOEABCD解：解：建立直角坐標(biāo)系如圖，建立直角坐標(biāo)系如圖， 則則, )03( ，B).32( ，

6、CBC邊的中點：邊的中點：),2325( ，M直線直線BC的斜率：的斜率：3203 BCk. 3 線段線段BC的中垂線：的中垂線：)25(3123 xy線段線段AB的中垂線：的中垂線：0 x),320( ，圓心圓心E半徑長半徑長:22)02()30(| EB.385 等腰梯形的外接圓的方程：等腰梯形的外接圓的方程：.985)32(22 yx. 例例2. 已知四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的已知四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，求證它的對角線互相垂直平方和，求證它的對角線互相垂直.xyO證明：證明：已知四邊形已知四邊形ABCD（如圖），（如圖），|AB|2 + |CD|2 =

7、|BC|2 + |AD|2求證：求證：AC BD .ABCD建系如圖建系如圖:設(shè)設(shè)A(a, 0) , B(0 , b)，C(c ,0) , D(x , y) .|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|222222222)()(yaxcbycxba 即即0)( xca,0 ca. 0 x從而從而D(0 , y) 在軸上在軸上. AC BD .例例3.已知圓已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線直線l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 (mR).（1）求證：不論）求證：不論m取什么實數(shù)，直線取什么實數(shù)，直線l與圓與圓C恒相交；恒相交；（2）求直線）求直線

8、l 被圓被圓C截得的弦長最短長度以及此時直線截得的弦長最短長度以及此時直線 l 的方程的方程.的方程變形得：的方程變形得：）將直線）將直線（l1解：解：.，方方程程成成立立對對任任意意實實數(shù)數(shù)m 04072yxyx.13），（恒恒過過定定點點，直直線線對對任任意意實實數(shù)數(shù)Alm.13 yx22)21()13( AC又又，內(nèi)內(nèi)在在圓圓點點CA.恒相交恒相交與圓與圓，直線，直線對任意實數(shù)對任意實數(shù)Clm，）（）（0472 yxmyx5 5 分析：分析：（1）若對于任意的實數(shù)）若對于任意的實數(shù)m，直線，直線l與圓與圓C恒相交，則直線恒相交，則直線l必必過圓內(nèi)過圓內(nèi)(上上)一定點，因此應(yīng)從直線一定點，

9、因此應(yīng)從直線l過定點的角度去考慮問題；過定點的角度去考慮問題；.2垂直的弦垂直的弦直徑直徑被圓截得最短的弦是與被圓截得最短的弦是與）由平幾知識可得，）由平幾知識可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直線直線.052最短時的直線方程最短時的直線方程被圓截的線段被圓截的線段為直線為直線即即lyx |2|ABBD 最短弦長為最短弦長為.CABD的距離為的距離為到直線到直線，此時圓心此時圓心052)21( yxC22)1(2|52112| CA5252 分析：分析：（2）根據(jù)平面幾何定理，過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)是過這）根據(jù)平面幾何定理，過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)是過這點的與弦心距垂直的

10、弦。點的與弦心距垂直的弦。21 5 .54 （2）求直線）求直線 l 被圓被圓C截得的弦長最短長度以及此時直線截得的弦長最短長度以及此時直線 l 的方程的方程.解解.2垂直的弦垂直的弦直徑直徑被圓截得最短的弦是與被圓截得最短的弦是與）由平幾知識可得，）由平幾知識可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直線直線.052最短時的直線方程最短時的直線方程被圓截的線段被圓截的線段為直線為直線即即lyx .CABD21 （2）求直線）求直線 l 被圓被圓C截得的弦長最短長度以及此時直線截得的弦長最短長度以及此時直線 l 的方程的方程.解解0322 xx221221)()(|yyxxAB

11、 則則得得設(shè)設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),最短時的直線方程最短時的直線方程. 25)2()1(05222yxyx由由221221)52()52()( xxxx2212)(21(xx |21212xx 212214)(5xxxx )3(4)2(52 .54 |1212xxk 2122124)(1xxxxk 若直線若直線l:y=kx+b與與圓圓C: (xa)2 + (yb)2=r2交于交于A(x1, y1), B(x2, y2)，弦長公式：弦長公式：則則221221)()(|yyxxAB 221221)()()(bkxbkxxx 2212)(1(xxk |1|212xxkAB y=

12、kx+b(xa)2 + (yb)2=r202 mqxpx課堂練習(xí)課堂練習(xí)教材教材132頁頁 1, 3, 4課后作業(yè)課后作業(yè)2. 教輔課時作業(yè)教輔課時作業(yè)36頁頁 4.2.31. 教材第教材第132頁頁 習(xí)題習(xí)題4.2 B組組 1 43. 教輔教輔161頁頁163頁頁 .2|0344)4()0()4()0(22 CDDCyxyxABbbBaaA兩點，且兩點，且、相交于相交于與圓與圓，直線，直線，已知點已知點解：解：.)3()2()4)(4()1(面積的最小值面積的最小值求求的軌跡方程；的軌跡方程；中點中點求線段求線段；的值的值求求AOMMABba :)1(AB由題意知直線由題意知直線1 byax

13、)44( ba，又由圓又由圓5)2()2(:22 yx2|22|22 baabab，0448 baab.8)4)(4( ba.2| CD且且AB2442-2-2OxyCD.0 abaybx即即)44( ba，知圓心到直線知圓心到直線AB的距離的距離，2 d即即化簡為化簡為EM練習(xí)：練習(xí)：，則，則，（的中點的中點設(shè)線段設(shè)線段)2(yxMAB由中點坐標(biāo)公式得：由中點坐標(biāo)公式得：2020byax ，ybxa22 ，即即將它代入將它代入8)4)(4( ba8)42)(42 yx（得得4)2)(2( yx得得)22( yx，.中點的軌跡方程中點的軌跡方程即為所求線段即為所求線段AB|21)3(MAOMy

14、OAS 221ba 得得由由8)4)(4( ba844 baab2 baSAOM6)4()4( ba6)4)(4(2 ba 624 .624)(min AOMS44 ba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)8)4)(4( ba時，時，即即422 baAB2442-2-2OxyCD.EMab41 求動點軌跡方程的一般步驟：求動點軌跡方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用（）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用（x,y）表示）表示曲線上任意一點曲線上任意一點M的坐標(biāo)的坐標(biāo)（2）寫出適合條件）寫出適合條件P的點的點M的集合的集合 P=M | p(M); (3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程，列出方程 f(x,y)=

15、0 (4)化方程化方程 f(x,y)=0為最簡形式為最簡形式（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。線上的點。建系、設(shè)點、設(shè)點等量關(guān)系等量關(guān)系坐標(biāo)化坐標(biāo)化化簡化簡查缺補漏查缺補漏接法、代入法、參數(shù)法求動點軌跡的方法：直練習(xí)練習(xí)3. 已知定點已知定點 A(3，0)，P是圓上是圓上 x2 +y2 =1 上的動點，上的動點，AOP 的平分線交的平分線交 PA 于于N ，求點，求點N的軌跡的軌跡.解：解：|OPOANPAN yyxx341340012020 yx1)34()134(22 yx169)43(22 yx即即3 MPxyAO.N設(shè)設(shè) N(

16、x，y) ，P(x0，y0) ， 則由角平分線性質(zhì)得則由角平分線性質(zhì)得NPAN3 即即 ), 3(yx),(300yyxx )33 ,33(00yyxx yyyxx3333300 點點N軌跡是以軌跡是以( ,0)為圓心、為圓心、 為半徑的圓為半徑的圓 .4343169)43(22 yx即即解解2： 設(shè)設(shè) N(x，y) ，MPxyAO.N),03( ，A|OPOANPAN 3 NPAN3 ), 3(yx)sin,(cos3yx 點點N軌跡是以軌跡是以( ,0)為圓心、為圓心、 為半徑的圓為半徑的圓 .4343練習(xí)練習(xí)2. 已知定點已知定點 A(3，0)，P是圓上是圓上 x2 +y2 =1 上的動

17、點，上的動點，AOP 的平分線交的平分線交 PA 于于N ，求點，求點N的軌跡的軌跡.，)sin(cos P則由角平分線性質(zhì)得則由角平分線性質(zhì)得又又 sin43cos4343yx為參數(shù)）為參數(shù)） (例例4.)21(822的弦的弦且傾斜角為且傾斜角為為過點為過點，內(nèi)有一點內(nèi)有一點圓圓 PABPyx 解：解：時，時，當(dāng)當(dāng)43)1( )1(2 xyAB的方程為的方程為直線直線01 yx即即.30 的長；的長；時，求時，求當(dāng)當(dāng)AB43)1( .2的方程的方程平分時，直線平分時，直線被點被點當(dāng)弦當(dāng)弦）（ABPAB作作OMAB于于M，連連OB，則則 |AB| = 2|MB| 22|OMOB 222|100| OM又又，8| OB2182| ABM143tan kAB的斜率為的斜率為直線直線.P例例4.)21(822的弦的弦且傾斜角為且傾斜角為為過點為過點，內(nèi)有一點內(nèi)有一點圓圓 PABPyx 解解2：時，時，當(dāng)當(dāng)43)1( )1(2 xyAB的方程為的方程為直線直線1 xy即即 8122yxxy07222 xx221221)()(|yyxxAB 的長；的長；時，求時，求當(dāng)當(dāng)AB43)1( .2的方程的方程平分時，直線平分時，直線被點被點當(dāng)弦當(dāng)弦）（ABPAB則則由由得得P.143tan kAB的斜率為的斜率為直線直線