西南交大《有限元方法》課件—趙華主講01

1、第1章 桿件結(jié)構(gòu)1.1 直梁左端A簡(jiǎn)支，右端D固定，B處承受集中力F、彎距M作用，求其撓度？分析步驟：Step 1、離散化、離散化梁的特征？將結(jié)構(gòu)自然分為三段：AB、BC、CD。每一段內(nèi)部有相同的幾何尺寸、無外載，可視作一個(gè)單位體（單元），各段內(nèi)部特性（材料、幾何）可與其他單元相互獨(dú)立。各段之間的交界截面可看作單元之間的連接節(jié)點(diǎn)，兩端支座A、D也可以看作節(jié)點(diǎn)。 梁?jiǎn)卧娃D(zhuǎn)化為下圖所示的計(jì)算模型。含有3個(gè)單元，4個(gè)節(jié)點(diǎn)（注意要分別編號(hào)，不重復(fù)）節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧g的連接，本身是虛構(gòu)的，而結(jié)構(gòu)是連續(xù)的，采用“結(jié)”或 “節(jié)”無實(shí)質(zhì)區(qū)別?！敖Y(jié)”強(qiáng)調(diào)了單元之間的連接，而“節(jié)”則有所淡化，有虛擬之意。-文人嚼字

2、 Step 2：節(jié)點(diǎn)位移描述：節(jié)點(diǎn)位移描述空間任一點(diǎn)有三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，即有6個(gè)位移量；平面上任一點(diǎn)則有二個(gè)位移和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于平面內(nèi)變形的梁，為簡(jiǎn)化起見，引入材料力學(xué)的平面假設(shè)：梁任一截面(節(jié)點(diǎn))的變形只需中性面位移及其繞中性面的轉(zhuǎn)角就可確定。梁受橫向載發(fā)生變形時(shí)，各截面的位移只含截面中性軸處的撓度及其截面的轉(zhuǎn)角，無軸向位移。 任一節(jié)點(diǎn) 處的位移為 、 。換言之，任一節(jié)點(diǎn) 有兩個(gè)自由度。規(guī)定 向上為正， 逆時(shí)針為正。 記： 節(jié)點(diǎn)的位移為 ，iifiiiifi i iiif對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)位移，有相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)載荷，也成為廣義力：若梁離散有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)有2n個(gè)節(jié)點(diǎn)位移、載荷分量。全部節(jié)

3、點(diǎn)位移記為 、全部節(jié)點(diǎn)載荷記為 ： iiiFQM Q 1122,.,Tnnfff 1122,.,TnnQF MF MF MStep 3：?jiǎn)卧獜椥蕴卣鳎簡(jiǎn)卧獜椥蕴卣鳟?dāng)建立了 與 的定量關(guān)系后，對(duì)于任一 就有對(duì)應(yīng)的 ，則問題就可以求解。對(duì)任一單元e，建立節(jié)點(diǎn)位移與截面節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。 Q Q e單元的節(jié)點(diǎn)位移 ，單元變形時(shí)，節(jié)點(diǎn) 和 處應(yīng)受到力的作用，有節(jié)點(diǎn)力 。 注意：注意：節(jié)點(diǎn)力與截面載荷意義不相同！節(jié)點(diǎn)力指單元截面處的內(nèi)力，為材料力學(xué)中的切向力和彎距。節(jié)點(diǎn)載荷為梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)處受到的外載荷。節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的正向取為一致。與材料力學(xué)中的符號(hào)規(guī)定有異 ： ,Tiijjffij ,Teiijjp

4、q m q m在線性彈性，小變形條件下，存在線性關(guān)系： （1.1)(1.2)11121314212223243132333441424344iiiijjjjqfaaaamaaaaqfaaaamaaaa eeepk 代表了力與位移的關(guān)系，為一特定的物理意義，仿彈簧變形規(guī)律，可定義為剛度矩陣。 存在另一種表達(dá)式：（1.3)稱為柔度矩陣 本步的工作就是要給出 的具體表達(dá)式。為規(guī)范化編制程序，對(duì)梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力另外編號(hào)： ek eeeRp eR ek 1234Teuuuu 1234Tepssss則（1.1式）變換為：111213141121222324223132333433414243444

5、4aaaasuaaaasuaaaasuaaaasu（e）4S2S3SjS1i取單元長(zhǎng)度，彈性模量、截面慣性矩分別討論如下： 設(shè) 、 ，其物理意義相當(dāng)于懸臂梁的變形：11u 參考材料力學(xué)中梁的變形公式： 從（1.4）式中，可以得到一個(gè)聯(lián)立方程（關(guān)于 、 ），1s2s32121132sls luEJEJ 212202sls luEJEJ42432322212124143132121111uauauauasuauauauas聯(lián)立上述二方程組求解 （注意： 與變形定義有負(fù)號(hào)之差 ）最后求得：EJlsEJlsas232231111EJlsEJlsas2322312122s221311612lEJalEJ

6、a由單元的力矩平衡方程：這樣，由 、其余等于0時(shí)，可以導(dǎo)出中 第一列的元素。 13ss33112lEJa214slss2416lEJa11u ek 設(shè) （1弧度），其物理意義如下圖，相當(dāng)于左簡(jiǎn)支和右懸臂。同樣由梁的變形及平衡方程可以得到： 12u0432uuu232126lEJaalEJa422lEJa242 反過來，分別設(shè)： ；對(duì)應(yīng)于左端固支的懸臂梁。同樣可以得出， 中的第三列、第四列元素。最后得到具有普遍意義的單元?jiǎng)偠染仃嚕海?.5) 13u0421uuu14u0421uuu ek 2222346266126122646612612lllllllllllllEJke 回顧一下 元素的求解過

7、程，任一元素都是在 狀態(tài)下求出的， 對(duì)應(yīng)于一個(gè)變形剛度。整個(gè)矩陣 的物理意義就對(duì)應(yīng)為一個(gè)剛度矩陣。 ，當(dāng)節(jié)點(diǎn) i 取單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn) i 的節(jié)點(diǎn)力。 通常約定：通常約定：?jiǎn)卧奈灰?、?jié)點(diǎn)力、剛度矩陣均按節(jié)點(diǎn)分組；對(duì)每一節(jié)點(diǎn)的位移，節(jié)點(diǎn)力分量，再按 順序排列。其剛度矩陣節(jié)點(diǎn)子塊則對(duì)應(yīng)各分量排列。 ekjijiuas ija ekijazyxzyxuuu,Step4： 單元的組合單元的組合上一步中，我們導(dǎo)出了任一單元的剛度矩陣，從而確定了單元內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)位移之間的定量關(guān)系。下面討論單元1、2之間的關(guān)系：將單元1、2分解為：?jiǎn)卧?，獨(dú)立節(jié)點(diǎn)2，單元2三部分，單元之間不

8、直接聯(lián)系，通過獨(dú)立節(jié)點(diǎn)聯(lián)系。 分別表示單元1的節(jié)點(diǎn)2上的節(jié)點(diǎn)力、力矩；余類推。 q223（2）m2222qq2112m（1）11212,mq單元?jiǎng)偠确匠蹋?單元1： （1.6a） 單元2： （1.6b）121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp梁在靜平衡狀態(tài)下，節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力由兩部分組成：?jiǎn)卧?的2節(jié)點(diǎn)上的反作用力、單元2的2節(jié)點(diǎn)上的反作用力，則，獨(dú)立節(jié)點(diǎn)2處于平衡狀態(tài)條件為： 或（1.6c)由（1.6a）（1.6b）得： 2212222122mmmqqq 22122ppQ 121221112112kkp 232232222222kkp注意：對(duì)于節(jié)點(diǎn)2

9、，其位移是唯一的，否則各單元間的變形不連續(xù)，代入式（1.6c）：（1.6d）同樣地，在單元2與單元3的連接，由力平衡關(guān)系得：（1.6e) 22212 3223222212211212kkkkQ 4334333323322323kkkkQ對(duì)于節(jié)點(diǎn)1、4，分別只有一個(gè)單元獨(dú)有：(1.6f)(1.6g)將（1.6d）（1.6g）合并： (1.7) 434433434kkQ 211211111kkQ43213443433343332332322232221221211111114321000000kkkkkkkkkkkkQQQQ單元組合規(guī)律：?jiǎn)卧M合規(guī)律：從（1.7）式，單元的組合即為剛度矩陣疊加的過

10、程，只需把具有相同下標(biāo)的剛陣元素（多為子矩陣）相加在一起。改寫為：（1.8) KQ 、 、 分別稱為總節(jié)點(diǎn)力（載荷）列陣、總剛度矩陣，總位移列陣。矩陣，列陣的維數(shù)： 一般情況下，結(jié)構(gòu)若含n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則（1.8）含有2n個(gè)方程，即為結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的基本方程（力平衡方程）。由所離散的全部單元?jiǎng)偠染仃嚡B加而成。 Q K 18Q 88K 18 K單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕篴)、單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣；b)、單剛元素表示單元發(fā)生某種單位節(jié)點(diǎn)位移時(shí)所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力，反映出單元抵抗這種變形的能力剛度；c)、對(duì)角元素總為正值d)、奇異性，其行列式為零，物理意義代表單元有剛體運(yùn)動(dòng)存在。 總體剛度矩

11、陣的特性：總體剛度矩陣的特性：a)、結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣為對(duì)稱矩陣；b)、稀疏、呈帶狀分布，非零元素集中在對(duì)角線附近；c)、總剛矩陣表示結(jié)構(gòu)發(fā)生某種單位節(jié)點(diǎn)位移時(shí)所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)載荷，反映結(jié)構(gòu)整體的剛度，代表了各單元?jiǎng)偠戎傮w效應(yīng)。d)、對(duì)角元素總為正值e)、奇異性，其行列式為零，物理意義代表結(jié)構(gòu)有剛體運(yùn)動(dòng)存在，存在整體漂移。 Step 5： 建立定解建立定解（1.8）式不能直接求解？源于總剛的奇異性。結(jié)構(gòu)存在剛體運(yùn)動(dòng)，為一類任意的、結(jié)構(gòu)不發(fā)生變形的剛體漂移。 根據(jù)邊界的約束條件，確定出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)已知位移； 代入方程組中，化解降階，消除總剛的奇異性； 最后求解新方程組。（1.9）上式即為初始形態(tài)的有限

12、元方程 QK討論：討論：A、上述有限元方程是在力系平衡條件下建立，力的平衡條件自動(dòng)滿足；導(dǎo)出單元?jiǎng)偠葧r(shí)，引入了材料力學(xué)中的力與變形的關(guān)系，也就是物理關(guān)系滿足：力與變形中涉及到單元內(nèi)的幾何關(guān)系，同時(shí)單元節(jié)點(diǎn)的位移相同，保證了變形的協(xié)調(diào)性；這樣彈性理論中的三個(gè)基本方程：力平衡、幾何、物理，均已近似滿足！B：在單元?jiǎng)偠冉⑦^程中，我們根據(jù)材料力學(xué)結(jié)果直接導(dǎo)出單元?jiǎng)偠仍刂?，未引入新的理論與假設(shè)，是否存在問題或不足？ 簡(jiǎn)要、明確地闡述了建立有限元方程的一種原始模式，但是流程具有共通性。C：在單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)中，我們均未涉及結(jié)構(gòu)載荷、邊界條件等； 在有集中載荷作用處，我們直接取為節(jié)點(diǎn)，集中載荷均轉(zhuǎn)化為

13、節(jié)點(diǎn)載荷； 若是梁的一段上承受均布或者其他形式的連續(xù)分布載荷，怎么處理？等效節(jié)點(diǎn)載荷：從力的平衡等效原理出發(fā)，將連續(xù)分布載荷等效變更為節(jié)點(diǎn)載荷。根據(jù)圣維南原理，只是梁的局部受影響較大，而遠(yuǎn)離區(qū)域幾乎不受影響。1.2 平面剛架平面剛架：意指平面內(nèi)的一種桿件（梁）組合結(jié)構(gòu)，在平面內(nèi)承受載荷、變形也發(fā)生于平面內(nèi)。這種桿件相當(dāng)于一種細(xì)長(zhǎng)梁，長(zhǎng)度方向遠(yuǎn)大于其界面尺寸。Step1：離散化：離散化結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)桿件可作為一個(gè)單元，各桿件的交點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，共26單元、13節(jié)點(diǎn)。注意：平面剛架中的截面載荷一般都作用在節(jié)點(diǎn)處。Step2：節(jié)點(diǎn)位移描述：節(jié)點(diǎn)位移描述平面剛架中，載荷的方向不再與梁的截面平行（即與梁的縱

14、向不再垂直），梁不再只是一種彎曲變形，還包含有軸向拉伸、壓縮變形。與直梁?jiǎn)卧嗨?，需要?duì)各單元的每一節(jié)點(diǎn)的位移作描述，為簡(jiǎn)化起見，在單元內(nèi)引入局部坐標(biāo)系 、 。,x,y對(duì)任一節(jié)點(diǎn) ，在局部坐標(biāo)系中有三個(gè)位移分量：縱向位移、橫向位移、截面轉(zhuǎn)角；亦有相應(yīng)的載荷分量：縱向力、垂向力、彎矩：而在整體坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn) 有三個(gè)位移分量：水平位移、水平位移、轉(zhuǎn)角；亦有相應(yīng)的載荷分量：水平力、垂向力、力矩。 i Tiiiivu, TiiiiMYXQ, Tiiiif,i TiiiimqTQ,由于各桿件的分布方向不一致，各局部坐標(biāo)系紊亂，不利于公共節(jié)點(diǎn)處力平衡關(guān)系的建立。需引入統(tǒng)一坐標(biāo)系描述剛架的變形，將局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)

15、換到總體坐標(biāo)系，相應(yīng)的位移、節(jié)點(diǎn)力也需作變換。Step3：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧奈灰?、?jié)點(diǎn)力在局部坐標(biāo)系中可表述為： Tjjjiiieff, TjjjiiiemqTmqTQ,注意：軸向變形 只與軸向力 相關(guān)，而與橫向力、彎矩 無關(guān)；同樣地?fù)隙?、轉(zhuǎn)角 只與 相關(guān)，而與軸向力 無關(guān)。也就是說，桿的軸向變形與彎曲變形相互獨(dú)立！單元的剛度矩陣即可簡(jiǎn)單分離為軸向、彎曲兩部分剛度。分別討論如下：假定：桿截面積為 ，截面慣性矩 ，彈性模量 ,單元長(zhǎng)度 。fTmq,mq,TAJElI 彎曲變形部分彎曲變形部分節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之關(guān)系與1.1節(jié)中的直梁變形一致。(1.10)其中，（1.5) jjiib

16、jjiiffKmqmq 2222346266126122646612612lllllllllllllEJKb 軸向變形軸向變形彈性范圍內(nèi)，節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移存在線性關(guān)系：（1.11)表示桿件的軸向變形特性，為拉伸剛度: jisjiKTT sKsjjsjisijsiieskkkkK同樣地，采用與1.1節(jié)確定彎曲剛度矩陣元素的相同方法，可以直接定 。令 時(shí)，由桿件的拉伸理論：由 令 時(shí)，則：（1.12) sK0, 1jilEAkTsiii0jiTTlEAkTsjij1, 0jilEAkTsjjjlEAkTsiji 1111lEAKs分別將（1.5）代入（1.10）、（1.12）代入（1.11），再按

17、節(jié)點(diǎn)分塊合并（1.10）、（1.11），有：（1.13)其中, TiiiimqTQ Tiiiif bijsijijkkk00 ejjjiijiiekkkkK eeeKQ jie jieQQQ(1.14) lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAKe460260612061200000260460612061200000222323222323通過上面的步驟，我們導(dǎo)出了平面內(nèi)任一梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)下的剛度矩陣。上述單元?jiǎng)偠染仃囃茖?dǎo)中，立足于局部坐標(biāo)系，使得單元的剛度、節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移描述具有通用性，物理意義清晰； 對(duì)多單

18、元結(jié)構(gòu)系統(tǒng)就出現(xiàn)了問題：局部坐標(biāo)系多而亂，單元之間的耦合無基準(zhǔn)可依，難以建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系。在節(jié)點(diǎn)位移描述（Step2）中，我們提出了需要建立總體坐標(biāo)系，以使統(tǒng)一描述整體結(jié)構(gòu)的變形。 Step 4：坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換設(shè)任一單元的局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系存在一相對(duì)角位移，討論節(jié)點(diǎn)的變化： 節(jié)點(diǎn) 在局部坐標(biāo)系中的位移為： 在整體坐標(biāo)系中的位移為：由幾何關(guān)系，而在兩個(gè)坐標(biāo)系中， 均采用右手法則定義，相同無變化。兩組位移的變換關(guān)系（幾何）可由矩陣形式表示。 Tiiiifi Tiiiivusincosiiivucossiniiivufi（1.15a）定義方向余弦矩陣：（1.15b）（1.15

19、c）iiiiiivuf1000cossin0sincos 1000cossin0sincos ii對(duì)節(jié)點(diǎn) ，同樣有相同的表達(dá)式，合并為：記為， （1.16） （1.15c）即為單元局部位移與總體位移的變換關(guān)系。其中 為坐標(biāo)變換矩陣，（1.15d） jjiji00 eT 00eT eeeT問題：上面只考慮了局部與整體系原點(diǎn)相同，存在相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，位移之間存在坐標(biāo)變換關(guān)系。那么，原點(diǎn)不一致，即坐標(biāo)系有平行移動(dòng)時(shí)，對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的描述有無變化？局部系到總體系的變換，勿需考慮坐標(biāo)系的相對(duì)平移，只需考慮相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) ！仿上述方式 ，同樣可導(dǎo)出兩坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力的變換關(guān)系：(1.17)反觀局部系中的節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系

20、（1.13）式，即將(1.16)、(1.17) 式代入： eeeQTQ eeekQ eeeeTkQT兩端同乘以 （注: 為非奇異矩陣，存在唯一的逆矩陣）自然地， 為單位矩陣！ 則令 （1.18)（1.19) 1eT eT eeeeeeTkTQTT11 eeTT1 eeeeTkTQ1 eeeTkTk1 eekQ (1.19)式即是總體坐標(biāo)系中單元節(jié)點(diǎn)的力和位移之間的表述形式， (1.18)式則表示了局部坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠鹊娇傮w坐標(biāo)系的變換關(guān)系 。注意：這是一種相似變換（線性代數(shù)中的相似變換定義），可以進(jìn)一步證明亦為正交變換。證明：由于力做功與坐標(biāo)系無關(guān)，即在局部坐標(biāo)系或總體系中，單元節(jié)點(diǎn)力在節(jié)點(diǎn)位

21、移上所做功應(yīng)相等： 比較之，而 則， 為一正交矩陣，即 QQTT QTTT QTTTT ITTT ITT1 T 1 TTT（1.18）式即可改寫為：(1.20)經(jīng)過正交變換后，因 對(duì)稱， 亦為對(duì)稱矩陣 。經(jīng)坐標(biāo)變換后，單元?jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)稱性不變，結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣也將保持其對(duì)稱性。依據(jù)上述變換，對(duì)任一種單元，可建立其特定局部系的單元?jiǎng)偠染仃?，具有通用表達(dá)式（就可以形成單元庫）；而在整體結(jié)構(gòu)中，只需對(duì)逐一單元的剛度矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，就能實(shí)現(xiàn)單元的組合疊加；各通用程序出于規(guī)范、簡(jiǎn)化之目的，均采用這種模式。 eTeeTkTk ek ekStep 5： 整體剛度矩陣整體剛度矩陣各單元的疊加與1.1節(jié)中直

22、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠券B加方式一致?；驹瓌t：與任一節(jié)點(diǎn)相連的各單元，在此節(jié)點(diǎn)處的位移均相同，這些單元對(duì)該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力貢獻(xiàn)之和（即節(jié)點(diǎn)力）與節(jié)點(diǎn)處的外載荷是平衡的。整體剛度由單元?jiǎng)偠劝垂?jié)點(diǎn)編號(hào)分塊疊加而成：（1.21）上式(1.21)僅為一符號(hào)！單元?jiǎng)偠冉M積（疊加）中：一般按單元編號(hào)逐個(gè)計(jì)算其剛度，先變換到總體坐標(biāo)系中，再按照總節(jié)點(diǎn)編號(hào)的節(jié)點(diǎn)，疊加在對(duì)應(yīng)的剛度元素上。 meekK1根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的設(shè)置，一個(gè)單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)總編號(hào)的數(shù)值之差，就能確定出結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的帶寬大小，若半帶寬為 ，某一單元有節(jié)點(diǎn)編號(hào)數(shù)值差 ，每一節(jié)點(diǎn)的位移分量數(shù)（自由度）為 ，則總剛的半帶寬 。帶寬越大，對(duì)總剛 的有效數(shù)值的存儲(chǔ)量就

23、越大；求解有限元方程時(shí)，計(jì)算量就越大，求解效率越低，一般按3次方形式增加；尤其是自編程序，手工離散結(jié)構(gòu)時(shí)，需特別重視。整體剛度矩陣仍然具有對(duì)稱、稀疏、帶狀、奇異等特性。 BDm1DmB K整體剛度流程圖： 否e K + K eTe T k T eee結(jié) 束e = m K 計(jì) 算 ： K 計(jì) 算 ： k , T 輸 入 ： 滿 足 e 單 元 的 E , J , A , l , i , j , 參 數(shù)Step 6： 建立定解建立定解引入位移邊界條件，消除結(jié)構(gòu)的漂移（即剛體運(yùn)動(dòng)），對(duì)方程組降階，整體結(jié)構(gòu)的有限元方程具有下列形式：（1.22） KQ 1.3 空間桿結(jié)構(gòu)空間桿結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)具有普遍性意義

24、，其求解步驟與直梁，平面剛架的相同。只是節(jié)點(diǎn)位移描述、單元?jiǎng)偠确矫鎻?fù)雜了。Step1： 離散化離散化 Step2： 節(jié)點(diǎn)位移描述節(jié)點(diǎn)位移描述節(jié)點(diǎn) 位移變形分量： 軸向位移 ，兩個(gè)平面內(nèi)彎曲位移（撓度） 、 ，（分別對(duì)應(yīng) 軸， 軸）； 桿件的扭轉(zhuǎn) （截面繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)）； 截面繞 、 軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 、 。簡(jiǎn)言之：三個(gè)位移，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。 一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有6位移分量（自由度），記為：方向：線位移：沿坐標(biāo)軸 向?yàn)檎?；角位移：右手螺旋指向與坐標(biāo)軸正向相同為正。 iiuiviwyzxixyzyizi Tziyixiiiiiwvu單元節(jié)點(diǎn)位移 ：這樣，每一單元具有12個(gè)位移分量（自由度）。對(duì)節(jié)點(diǎn)力，同樣有：所有這些變形之

25、間是否存在關(guān)聯(lián)性？也就是說節(jié)點(diǎn)力的分量與變形分量之間如何對(duì)應(yīng)？ ejie ejieQQQa)、單元的軸向節(jié)點(diǎn)力，不產(chǎn)生彎曲、扭轉(zhuǎn)變形， 即 與 、 、 、 、 無關(guān)；b)、單元的扭轉(zhuǎn)，不產(chǎn)生軸向及彎曲變形， 即 與其它位移分量無關(guān)，是獨(dú)立的；c)、各平面的彎曲變形是獨(dú)立的， 即 與 是相互獨(dú)立的。注意： 與 配對(duì)，在 平面內(nèi)變形、彎曲； 與 匹配，在 平面內(nèi)變形、彎曲。iuiviwxiyizixiziiv,yiiw,ivziyoxiwyizoxStep3： 單元?jiǎng)偠葐卧獎(jiǎng)偠容S向節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系，與1.2節(jié)中相同，(1.23) (1.24) 在 平面內(nèi)，節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之關(guān)系，與（1.5）式相

26、同， yox 1111lEAkesejiejiuulEATT1111(1.25)在 平面內(nèi)，節(jié)點(diǎn)力與位移之關(guān)系與上式相似， (1.26) zjjziizzzzzzzzzzzjyjziyivvlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJmqmq46261261246122232323zoxyjjyiiyyyyyyyyyyyjzjyiziwwlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJmqmq46261261246122232323下面分析扭轉(zhuǎn)變形，設(shè)剪切模量為 ，截面極慣性矩為 ，桿長(zhǎng) 。與1.2節(jié)中的推導(dǎo)相似，由扭矩扭轉(zhuǎn)角關(guān)系，可以導(dǎo)出：(1.27)當(dāng)單元節(jié)點(diǎn)位

27、移為：節(jié)點(diǎn)力相應(yīng)有： Gl xjxiTxjxiTjjjiijiiexjxiKkkkkmm Tzjyjxjjjjziyixiiiiewvuwvu TziyixiziyijziyixiziyiiemmmqqTmmmqqTQJ 1111lGJKT將（1.221.25）四組方程組合起來（按節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力順序）我們就可求得局部坐標(biāo)系中的空間桿單元的剛度矩陣：(1.28)(1.29) eeekQlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlGJlGJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlGJlEJlEJlEAzzzzyyyyYyyzzzzzyyyz40006020

28、006040600020600000000001200060120012060001200000040006040600000120012022223233232233Step4： 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換在總體坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn) 的位移有相似排序：在小變形條件下，局部坐標(biāo)到總體坐標(biāo)系的變換：(1.30) 上式為彈性力學(xué)中的坐標(biāo)變換公式，將之退化為二維，可取 軸 軸重合，二軸夾角為 ，有： （1.15b)i Tziyixiiiiiwvu ),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(zzyzxzzyyyxyzxyxxxzz 1000cossin

29、0sincos局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移與總體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于坐標(biāo)軸系的變換，可直接表述為：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移的變換關(guān)系為： (1.31) iiiiiiwvuwvu ziyixiziyixi 1212eT eeeT空間結(jié)構(gòu)中的單元?jiǎng)偠茸儞Q形式為： 為12*12方陣。同樣可以證明： 為正交矩陣， 經(jīng)正交變換后仍為對(duì)稱矩陣。 eeTeeTkTk ek eT ekStep5： 整體剛度整體剛度同樣地，先將單元的剛度從局部系變換到總體系，再按節(jié)點(diǎn)塊形式組積成結(jié)構(gòu)整體剛度。步驟與1.2節(jié)平面剛架問題相似。Step6： 建立定解建立定解注意：前面我們介紹了從直梁、平面、到空間桿件結(jié)構(gòu)分析的矩陣位移法，

30、但并非現(xiàn)在通常意義的有限元方法。其分析方法、表達(dá)方式、流程、及一些概念都與有限元法有密切的關(guān)聯(lián)（正如一開始我們提到的，可理解為最原始的有限元方法）。采用材料力學(xué)梁理論，直接建立梁的剛度矩陣和相應(yīng)的載荷位移方程，即原始形態(tài)的有限元方程。 主要差異在于單元?jiǎng)偠染仃嚨慕ⅰ?1.4 桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法（初級(jí)）桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法（初級(jí)）以平面梁?jiǎn)卧獮槔Y(jié)合材料力學(xué)中的基本假定（注意不是依賴和采用材料力學(xué)結(jié)果!），討論梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚒?、對(duì)任一梁?jiǎn)卧猠，仍在局部系中討論。 節(jié)點(diǎn) 的位移為：?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移為：i Tiiiivu jie、位移函數(shù)軸向變形u：梁?jiǎn)卧獌?nèi)的軸向變形與其彎曲、轉(zhuǎn)角均無關(guān)聯(lián)；

31、由于單元內(nèi)無外載荷，其軸向應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?于是，可以假定位移模式： (1.32)矩陣形式： cdxduxaau10 axhaaxu101 xxh1橫向變形（撓度）v：由小變形，梁的轉(zhuǎn)角 ；彎曲應(yīng)變 ；在節(jié)點(diǎn)力 作用下，梁?jiǎn)卧獌?nèi)的彎曲應(yīng)力（應(yīng)變）沿單元長(zhǎng)度線性變化，于是 沿單元長(zhǎng)度變化，即 ，可以假定位移模式： (1.33)dxdv22dxvdiq22dxvdxccdxvd1022332210 xbxbxbbv寫成矩陣形式：為位移模式的待定系數(shù)。 、轉(zhuǎn)化待定系數(shù)為節(jié)點(diǎn)位移和坐標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)記為： bxHbbbbxxxv3210321 321xxxxH ba ,)0 ,(),0 , 0(lji軸向節(jié)

32、點(diǎn)位移記為：撓度、轉(zhuǎn)角記為： 節(jié)點(diǎn)軸向位移和坐標(biāo)代入（1.32），得到： jiuuu Tjjiivvvlaauauji100 aAaalu110101 uAa11 llA110111節(jié)點(diǎn)撓度、轉(zhuǎn)角和坐標(biāo)代入（1.33），得到：于是，0bvi1bdxdvii332210lblblbbvj232132lblbbj bAbbbblllllv232102323210100100001 vAb12232322121212132300100001llllllllA位移模式分別可表示為：記： （1.34） 上式稱為形函數(shù)，關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移為未知量的單元位移模式可以記為： （1.35）vu, uAxhaxhu11

33、 vAxHv12 1211AxHNAxhNvu vNvuNuvu綜合上述，位移模式改寫為矩陣形式：（1.36）式中， eevuNAxHxHvuf 3201000001xxxxHxxHvu 232322120120130230001001000100000010000001llllllllllA、用節(jié)點(diǎn)位移表示應(yīng)變、應(yīng)力梁?jiǎn)卧艿嚼瓑骸澢饔?，變形后有拉壓?yīng)變 ，彎曲應(yīng)變 ，且隨截面高度變化（設(shè)反對(duì)稱變化），忽略剪切影響。 記：則：(1.37) 稱為應(yīng)變矩陣0b evubAxHyxHdxvdydxdu 220 AxHyxHBvu eB B由Hooke定律，應(yīng)力 ，得到：(1.38) 問題：如何

34、建立力載荷和位移之間的關(guān)系？前述假定力與位移服從彈性規(guī)律，借助于材料力學(xué)結(jié)果導(dǎo)出單元?jiǎng)偠忍匦裕涣εc位移之間的聯(lián)系？ E ebBEE0、由虛位移原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃囂撐灰圃恚涸谕饬ψ饔孟绿幱谄胶鉅顟B(tài)的彈性體，當(dāng)發(fā)生約束所允許的任意微小虛位移時(shí)，外力在虛位移上所作功等于彈性體內(nèi)的應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所作的功。假定單元內(nèi)存在虛位移 ，由（1.36）式，可用節(jié)點(diǎn)虛位移表征單元內(nèi)任意節(jié)點(diǎn)的虛位移， （1.39a）單元內(nèi)相應(yīng)有虛應(yīng)變，（1.39b） f eNf eB由彈性理論，梁?jiǎn)卧獌?nèi)應(yīng)力由于虛應(yīng)變所作虛功為：(1.39c) 單元節(jié)點(diǎn)力記為： 為任意性，再考慮單元沿軸線作用有分布載 、節(jié)點(diǎn)處有集中載 ，

35、單元外力在虛位移所作的虛功為：(1.39d) dUTe eTTedBBE TjjjiiiemqTmqTQ q eTeTeFdxqfW eTTeFdxqN eF由虛位移原理 ，從(1.39c)、(1.39d)式，（1.39e）再由假定虛位移的任意性 ， 兩邊可同時(shí)消去項(xiàng) ，則，令 (1.40) (1.41)為單元等效節(jié)點(diǎn)載荷、為單元的剛度矩陣 。eeWU 0e Te eTeTFdxqNdBBE eTeFdxqNQ eQ ek dBBEkTe梁?jiǎn)卧挠邢拊匠?：(1.42)對(duì)（1.41）式作一系列積分運(yùn)算，即可得到與1.2節(jié)中的 相同的表達(dá)式：(1.43) eeeQk ek lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEAk4602601206120004601202232323、等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算 為單元節(jié)點(diǎn)載荷（集中載），分布載荷 通過形函數(shù)等效到節(jié)點(diǎn)上，形成等效節(jié)點(diǎn)載荷 ： 討論： A：若 為分布軸向力，其對(duì)應(yīng)的軸向位移的形函數(shù)矩陣為 ，節(jié)點(diǎn)等效載荷： eeeTeFQFdxqNQ q eQ dxqNQTe eF q